第32讲_图形的相似与位似

【解析】∵A′ABB′＝12，∴A′2B′＝12，∴A′B′＝4. 【答案】4
15．(2010·湖州)如图，已 知图中的每个小方格都是 边长为 1 的小正方形，每个 小正方形的顶点称为格点， 若△ABC 与△A1B1C1 是位似 图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标 是________．
【解析】在平面直角坐标系中，点 B1 和点 B 的坐标分别是(3,4)和(6,2)，点 C1 和点 C 的 坐标分别是(7,4)和(8,2)，根据位似图形的对应点的连线必经过位似中心这一性质，可知位似 中心必在直线 B1B 和 C1C 上，设直线 B1B 和直线 C1C 的解析式分别为 y1＝ax＋b 和 y2＝cx ＋d，把(3,4)和(6,2)代入 y1＝ax＋b，求出 a＝－23，b＝6，即 y1＝－23x＋6；同理 y2＝－2x＋ 18，联立这两个方程得 x＝9，y1＝y2＝0，所以位似中点的坐标是(9,0)．
【答案】C
5．(2009 中考变式题)如果 a∶b＝4∶5， b∶c＝2∶1，那么 a∶b∶c 的值是( ) A．4∶5∶1 B．4∶5∶2 C．8∶10∶5 D．8∶5∶2
【解析】∵a∶b＝4∶5＝8∶10，b∶c＝2∶1＝10∶5， ∴a∶b∶c＝8∶10∶5.
【答案】C
6．(2009 中考变式题)如图所示的两个四边 形相似，则∠α的度数是( )
3．(2009 中考变式题)已知a2＝b5＝c7，且 a＋ 2a＋3b－2c
b＋c≠0，则 a＋b＋c 的值为( ) A.154 B.151 C.154 D.1167
【解析】设2a＝b5＝c7＝k(≠0)，则 a＝2k，b＝5k，c＝7k.∴2aa＋＋3bb＋－c2c＝4k2＋ k＋155kk＋－71k4k＝154kk
(4)(2009·烟台)视力表对我 们来说并不陌生，如图是视力 表的一部分，其中开口向上的 两个“E”之间的变换是( ) A．平移 B．旋转 C．对称 D．位似
【点拨】本组题重点考查比例的基本性质，位似图形和黄金分割比的概念．
【解答】(1)∵a－b b＝23，∴3(a－b)＝2b，∴ba＝53.故选 D. (2)由题意，设旗杆高为 h，则3h.2＝8＋822，解得 h＝12.∴旗杆高为 12 m．故选 A. (3)∵1x65＝0.60，∴x＝99(cm)．设高跟鞋的高度为 y cm，则y9＋9＋16y5＝0.618，解得 y≈8. 故选 C. (4)利用位似图形的定义可知两个“E”之间是位似变换．故选 D.
【答案】(9,0)
16．(2009 中考变式题)如
图所示，已知△ABC 和△
DEF 是位似图形，且 OB∶
OE＝3∶5，那么
S ∶S △ABC
△DEF
＝________.
【解析】S△ABC∶S△DEF＝(35)2＝9∶25. 【答案】9∶25
三、解答题(共 36 分)
17．(12 分)(2009 中考变式题) (1)已知x＋3y2y＝53，求yx的值；
【答案】B
10．(2011 中考预测题) 如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，下列条件一定能确 定△ABC 为直角三角形的 条件的个数是( ) ①∠1＝∠A；②CADD＝DCBD；③∠B＋∠2＝90°； ④BC∶AC∶AB＝3∶4∶5；⑤AC·BD＝AC·CD.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】能确定△ABC 为直角三角形的有 3 个，分别是①②④.
考点训练 32
图形的相似与位似 图形的相似与位似训练时间：60分钟 分值：100分
训练时间：60分钟 分值：100分
一、选择题(每小题 4 分，共 48 分)
1．(2009 中考变式题)在中华经典美文阅读中， 小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为 黄金比．已知这本书的长为 20 cm，则它的宽 约为( ) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
＝154.
【答案】A
4．(2011 中考预测题)如 图，△DEF 是由△ABC 经过 位似变换得到的，点 O 是 位似中心，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面 积比是( ) A．1∶6 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶2
【解析】∵△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的， ∴△DEF∽△ABC，∴SS△△ADBECF ＝(DAEB)2＝(OODA)2＝(12)2＝14.
5．比例的等比性质 如果ab＝cd＝……＝mn，且 b＋d＋……＋n≠0，
a＋c＋…＋m a 那么b＋d＋…＋n＝b.
考点二 相似多边形的判断及性质
1．多边形相似的判断：各角对应相等，各边 对应成比例． 2．相似多边形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似 比的平方．
(2009·宁夏)在边长均 为 1 的小正方形网格纸中， △OAB 的顶点 O、A、B 均在 格点上，且 O 是直角坐标 系的原点，点 A 在 x 轴上． (1)以 O 为位似中心，将△OAB 放大，使得放 大后的△OA1B1 与△OAB 对应线段的比为 2∶ 1，画出△OA1B1(所画△OA1B1 与△OAB 在原．点． 两．侧．)；(2)求出线段 A1B1 所在直线的函数关 系式．
【答案】A
8．(2011 中考预测题)如图，
正五边形 FGHMN பைடு நூலகம்由正五边
形 ABCDE 经过位似变换得到
的，若 AB∶FG＝2∶3，则下
列结论正确的是( )
A．2DE＝3MN
B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F
D．2∠A＝3∠F
【解析】∵AB∶FG＝2∶3，∴MDEN＝23，即 3DE＝2MN. 【答案】B
影长为 0.8 米，一棵大树的影长为 4.8 米，则
树的高度为( C )
A．4.8 米 B．6.4 米 C．9.6 米 D．10 米
2．下面的四组数中，成比例的是( C )
A．3,4,5,6
B．4,8,3,5
C．5,15,2,6
D．8,4,1,3
3．如图，△ABC 与△
DEF 是位似图形，位似
比为 2∶3.已知 AB＝
4，则 DE 的长为 6.
4．已知x＋3y2y＝53，则xy＝3.
5．已知a2＝3b＝c4，且 a、b、c 都是正数， a＋3b－2c 3 则 2a＋b ＝7.
6．如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼． (1)在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原 点 O 旋转 180°后得到的图案； (2)在同一方格纸中，并在 y 轴的右侧，将原 小金鱼图案以原点 O 为位似中心放大，使它们 的位似比为 1∶2，画出放大后小金鱼的图案．
考点三 位似图形及性质
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形，而 且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么 这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位 似中心，这时的相似比又称为位似比．因此， 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定 是位似图形． 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似 中心的距离之比等于相似比．
【答案】C
二、填空题(每小题 4 分，共 16 分)
abc 13．(2009 中考变式题)已知3＝7＝2， 则a＋2cb－3c的值为________．
【解析】设3a＝b7＝c2＝k，则 a＝3k，b＝7k，c＝2k.∴a＋2bc－3c＝3k＋124kk－6k＝121. 【答案】121
14．(2010·丹东)如图， △ABC 与△A′B′C′是 位似图形，且位似比是 1∶2，若 AB＝2 cm，则 A′B′＝________cm.
考点四 黄金分割
如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC， AC BC
如果AB＝AC，则称线段 AB 被点 C 黄金分割， 点 C 叫做 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫 做黄金比(即AABC＝ 52－1≈0.618)．
(1)(2009·云南)若a－b b＝23，则ba＝(
A．87° B．60° C．75° D．120°
【解析】利用相似多边形的对应角相等的性质可求得∠α＝87°. 【答案】A
7．(2011 中考预测题)图中的两个三角形是 位似图形，它们的位似中心是( )
A．点 P B．点 O C．点 M D．点 N
【解析】确定位似中心时，利用两对对应点所在的直线交于一点，这一点即为位似中心， 通过作图得位似中心是点 P.
【点拨】此题重点考查位似作图，以及一次函数解析式的确定．
【解答】(1)图略 (2)利用(1)的作图可得 A1(4,0)，B1(2，－4)．设线段 A1B1 所在直线的函数关系式为 y＝kx
＋b，则42kk＋ ＋bb＝ ＝－0，4， 解得kb＝ ＝2－，8， ∴y＝2x－8.
1．在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的
【答案】C
11．(2009 中考变式题)如图，等
腰△ABC 中，底边 BC＝a，∠A＝
36°，∠ABC 的平分线交 AC 于 D，
∠BCD 的平分线交 BD 于 E，设 k
5－1 ＝ 2 ， 则 DE ＝
______.( )
A．k2a
B．k3a
a C.b2
a D.k3
【解析】易证△CDE∽△BDC，∴DDCE＝BCDE＝k，易证 CD＝CE＝BE，BD＝BC，∴DBEE＝
9．(2011 中考预测题)如 图，在平面直角坐标系中 有两点 A(6,2)，B(6,0)， 以原点为位似中心，相似 比为 1∶3，把线段 AB 缩 小，则过 A 点对应点的反比例函数的解析式 为( ) A．y＝x4 B．y＝34x C．y＝－34x D．y＝1x8
【解析】由相似比为 1∶3，可求得 A 点对应点的坐标为(2，23)或(－2，－23)，∴反比例 函数解析式为 y＝34x.
BBDE ＝k.∴DE＝k·BE＝k·k·BD＝k2a.