图形的相似与位似 教师版

图形的相似与位似教师版
一、选择题
1．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．
1【解答】解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3，∵AB∥CD∥EF，∴=，故答案为：．
2如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）
A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE
2解：过点D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB===2，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴，设BE=x，则AE=2，即，解得x=，∴，∴CE=，故选B．
3如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
3解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴=，∵DE∥AC，∴
==，∴=，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，故选：B．
5如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为．
5解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3，∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，
∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，
∴EF=CF+CE=3=6，故答案为：6．
二、填空题
1．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A．已知BC=，AB=3，则BD=．
1【解答】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，∴△DCB≌△CAB，
∴=，∴=，∴BD=．故答案为．
2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5
5，则BD 的长为_______．
2连接AC ，过点D 作BC 边上的高，交BC 延长线于点H ．在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5，又CD ＝10，DA ＝55，可知△ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°，易证△ABC
∽△CHD ，则CH ＝6，DH ＝8，∴BD =
三解答题
1在△ABC 中，P 为边AB 上一点．
(1) 如图1，若∠ACP ＝∠B ，求证：AC 2＝AP ·AB ；(2) 若M 为CP 的中点，AC ＝2， ① 如图2，若∠PBM ＝∠ACP ，AB ＝3，求BP 的长；
② 如图3，若∠ABC ＝45°，∠A ＝∠BMP ＝60°，直接写出BP 的长．
1【解析】（1）证明：∵∠ACP ＝∠B ，∠BAC ＝∠CAP ，∴△ACP ∽△ABC ，∴AC ：AB ＝AP ：AC ，∴AC 2＝AP ·AB ；（2）①如图，作CQ ∥BM 交AB 延长线于Q ，设BP ＝x ，则P Q ＝2x ∵∠PBM ＝∠ACP ，∠P AC ＝∠CAQ ，∴△APC ∽△ACQ ，由AC 2＝AP ·AQ 得：22＝（3－x ）（3＋x ），∴x ＝5即BP ＝5；
②如图：作CQ ⊥AB 于点Q ，作CP 0＝CP 交AB 于点P 0，
∵AC ＝2，∴AQ ＝1，CQ ＝BQ ，
设P 0Q ＝PQ ＝1－x ，BP －1＋x ，
∵∠BPM ＝∠CP 0A ，∠BMP ＝∠CAP 0，∴△AP 0C ∽△MPB ，∴00AP P C MP BP
=，
∴MP ∙ P 0C ＝2012P C ==AP 0 ∙BP ＝x －1＋x ），解得x
∴BP －11．
2如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N 分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD 分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM 与PN的数量关系，并加以证明．
2【解答】解：
（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中
，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，
∴PM=PM，∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．
（3）PM=kPN ∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=BD，PN=AE．
∴PM=kPN．。