第20课时 图形的相似与位似
人教版九年级下册数学《位似》相似PPT教学课件
这个点叫做位似中心。 这时的相似比又称为位似比.
2. 位似图形的性质：
✓ 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比。 ✓ 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质： 若原图形上点的坐标为（x，y），与原图形的位 似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky） 或（―kx，―ky）。
小练习
使新图形与原图形对应线段的比是 在原图2上∶取几1.个关键点A,B,C,D,E,F,G;图外任取一点
作射线A 在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使
E′
D′
A ●
BG CF
DE
F′
C′
G′
B′
A′
顺次连接点A′, B′, C′, D′, E′, F′,G′,所得到的图形(向下的 箭头)就是符合要求的图形。
位似图形的性质
✓ 对应点与位似中心共线。 ✓ 不经过位似中心的对应边平行。 ✓ 位似图形上任意一对应点到位似中心的 距离之比等于位似比。
位似的作用 位似可以将一个图形放大或缩小。
小练习
请以坐标原点O为位似中心，作□ ABCD
的位似图形，并把它的边长放大3倍。
分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O
作法一
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得
OA OB OC OD 1 ； OA OB OC OD 2
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形
A′B′C′D′，如图2．
A
图形的相似图形的位似ppt
。
工程制图
02
在工程制图中，可以利用位似图形来表示物体的形状和大小，
提高制图精度和效率。
艺术创作
03
艺术家可以利用位似图形创造出具有特殊效果的绘画作品，增
强艺术表现力。
03
图形的相似与图形的位似之间的关系
两者之间的联系
图形相似和图形位似都是图形变换的形式，它们都涉及到图 形形状和大小的变化。
图形的相似和位似都涉及到图形的形状和大小，它们都是图 形变换的基本概念。
性质
位似图形的对应线段、对应点所连线段平行（或在同一
图形的位似的判定方法
定义法
根据位似图形的定义进行判定 。
特征法
利用位似图形的性质进行判定 。
合同法
通过合同变换将两个图形转化 为位似图形。
图形的位似的应用
摄影
01
利用位似原理进行摄影，可以得到具有相同形状和大小的图片
在几何证明中的应用
证明定理
在几何证明中，图形的相似可以帮助证明几何定理。例如，通过使用相似图 形的性质，可以证明勾股定理或毕达哥拉斯定理。
推导公式
在几何中，图形的相似可以帮助推导重要的公式。例如，通过使用相似图形 的性质，可以推导出圆的面积公式或球的体积公式。
05
图形的相似与图形的位似在生活中的应 用
图形的相似的应用
艺术领域
在艺术领域中，人们经常利用相似图形的性质进行创作和设计，如相似三角 形在绘画中的应用。
实际生活
在日常生活中，我们也经常遇到相似图形的应用，如相似图形在广告、宣传 海报等方面的应用。
02
图形的位似
定义与性质
定义
如果两个图形形状相同，大小成比例，那么这两个图形称为位似图形。
《图形的相似与位似》课件
相似三角形的判定
1
AAA判定法
了解使用三个角度来判定相似三角形。
2
AA判定法
学习使用两个角度和一个对应边的判定法。
3
SAS判定法
探索使用两个边和一个夹角的判定法。
相似图形的应用
测量高塔、树木等高度
了解如何使用相似图形来测量 高耸物体的高度。
测量山峰高度距离
学习如何使用相似图形来测量 遥远山峰的高度和距离。
确定电线杆的高度
探索使用相似图形来确定电线 杆及其他物体的高度。
位似图形
Hale Waihona Puke 1 什么是位似图形？2 位似变换的性质
了解位似图形的定义和特点。
探索位似变换中保持形状和角度不变的性质。
位似变换的分类
平移
学习平移变换在位似图形中 的应用。
旋转
了解旋转变换如何影响位似 图形。
翻转
探索翻转变换对位似图形的 作用。
位似变换的应用
1
计算机图形学中的应用
2
学习位似变换在计算机图形学中的广
泛应用。
3
地图和航空摄影中的应用
了解位似变换在地图和航空摄影中的 重要性。
工程模型中的应用
探索位似变换在工程模型设计中的实 际应用。
总结
相似图形与位似图形的异同
总结相似图形和位似图形之间的相似之处和 差异。
相似图形和位似图形在现实生活中 的应用
《图形的相似与位似》 PPT课件
探索图形的相似与位似，理解它们的性质和应用。学习如何判定相似三角形 和位似图形变换的分类，以及它们在现实生活中的重要性。
相似图形与比例
相似图形是什么？
了解相似图形的定义和特点。
相似图形之间的比例关系
四川省攀枝花市仁和区布德中小学中考数学 第20课 图形的相似复习学案(无答案)
姓名：__________ 班级：__________第20课 图形的相似一、中考要求：1．了解比例的基本性质，了解比、成比例线段、图形的位似；2．理解相似图形的概念和性质，知道相似多边形的对应角相等，多应边成比例。
3．理解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的判定。
能够利用相似解决实际问题。
4．掌握相似三角形的性质(特征)，并灵活应用相似的性质进行计算 5. 掌握射影定理、平行线分线段成比例定理。
二、知识要点：1．我们把具有 的图形称为相似图形。
2．在4条线段中，如果其中2条线段的长度的比与另2条段的长度的比相等，那么称3．若4条线段a.b.c.d 有d cb a =，则线段d 是 。
4．若三条线段a.b.c 有cbb a =(或c b b a ::=)。
则称线段b 是线段a .c 的 。
5．相似多边形的特征：对应边 对应角6．如果两个多边形的对应边 且对应角 ，那么这两个多边形相似。
7．一条线段上有一点将这条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段与原线段的比例中项，那么这一点将这条线段 ，这一点叫做这条线段的 ，一条线段有 个黄金分割点。
8．位似形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，象这样的两个图形叫做位似形9． 的三角形叫做相似三角形。
10．三角形相似的识别方法(1)定义法 。
(2)两角 。
(3)两边 且 。
(4)三边 。
11．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角 ，对应边 。
(2)相似三角形的对应线段(对应边上的高，中线，对应角的角平分线)的比都等于 。
(3)相似三角形的周长的比等于 。
(4)相似三角形的面积的比等于 三、典型例题：例1．① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km 。
② 若b a =32 则 b b a +=________③ 若 b a b a -+22=59 则 a ：b=______ ④ 已知: 2a =3b =5c且3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_____例2．要做甲.乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm.60cm.80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么符合条件的三角形框架乙共有( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种例3．在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在何处？ 。
北师大版-数学-九年级上册-“相似形”和“位似形”
“相似形”和“位似形”几何学是研究几何图形性质的一门科学．初等几何所研究的几何性质，则是以图形的形状、位置和大小为对象的．在工农业生产和日常生活中，经常遇到许多形状相同而大小不等的图形．例如，同一张底片用不同尺寸洗出来的两张照片，用不同的比例尺绘制的同一地图，同一机械零件的图样等等．像这样形状相同的图形叫做相似形．相似形的形状相同，大小并不一定相等． 如果两个图形不仅形状相同，而且大小又相等，这两个图形就是全等形． 所以，全等形一定是相似形，它是相似形的特例；相似形就不一定是全等形．两个边数相同的多边形，要是对应角都相等，对应边都成比例，叫做相似形．如图1，多边形ABCDE 和多边形A′B′C′D′E′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，∠E=∠E′，且AE EA E D DE D C CD C B BC B A AB ''=''=''=''=''， 则多边形ABCDE ∽多边形A′B′C′D′E′．上面讲到了，两图形相似，只要形状相同就可以了，至于它们的大小和位置怎样，则是无关紧要的．但是，两个相似形有时具有某种特殊的位置关系．例如，电影胶片的图形与放到银幕上的形象，不仅是相似形，而且对应点的连线交于一点(光源)．其他如用放缩尺绘制图形以及用平板仪测量，也常见到类似的情况．像这样对应顶点的连线交于一点的相似形叫位似形．所以，成位似形的图形必定相似，但相似的图形则不一定位似．相似形对位似形而言，是较一般的概念；位似形对相似形而言，则是较特殊的概念．两个图形相似，不论它们的位置如何，都不失其相似性．两个图形位似，则其位置受“对应顶点的连线交于一点”条件的限制，这一点就叫做相似中心．相似中心的位置有多种情况，它可以在两图形对应顶点的连线上(图2)；也可以在对应顶点连线的延长线上(图3)；特别地，还可在某一图形的一边之上(图4)，或者有一个公共的顶点．。
人教版-数学-九年级下册-位似和相似的关系
位似和相似的关系知识要点两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小，在作位似变换时，可以把位似中心取在多边形的外部、内部、多边形的边或顶点上．考题赏析如图8，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A ′B ′C ′是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O ；（2）求出△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比；（3）以点O 为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1∶1.5． 分析：（1）要画出△ABC 与△A ′B ′C ′的位似中心O ，只要连接其对应点找到其交点即为所求；（2）由13AB =，52A B ''=得，AB ∶A ′B ′＝1∶2；（3）要以点O 为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1∶1.5，就是说OA 1∶OA ＝OB 1∶OB ＝OC 1∶OC ＝1∶1.5，从而分别确定了A 1、B 1、C 1，顺次连接A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1即得．解：（1）分别连接A ′A 、B ′B 、C ′C ，并分别延长交于点O ，点O 即为所求，如图8；（2）因为小方格都是边长为1的正方形，所以由勾股定理，得13AB =，52A B ''=，所以AB ∶A ′B ′＝1∶2，即位似比为1∶2；（3）分别在OA 、OB 、OC 上取A 1、B 1、C 1，使OA 1∶OA ＝OB 1∶OB ＝OC 1∶OC ＝1∶1.5，再顺次连接A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1，则△A 1B 1C 1即为所求的三角形，如图8．说明：位似图形也是图形之间的一种变换，它的性质在我们的日常生活中有着广泛的应用．专题训练（三）1．如图9，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O 为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1（不要求写作法）．2．如图10，用画位似图形的方法，画已知三角形的相似三角形，使相似比为2∶3，并且（1）以点O1为位似中心；（2）以点O2为位似中心；（3）以点O3为位似中心；（4）以点B为位似中心．。
相似多边形及位似知识讲解
相似多边形及位似知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点三、黄金分割定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=∵ ∴ ∴∴(舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．【典型例题】类型一、相似多边形ABAP AP PB =x -1ABAP AP PB =11x x x =-x x -=12618.0215≈-=x1.如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.，而，∴∴矩形ABCD与矩形EFGH 的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a ，宽BC=b ．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）A. 2：1B. ：1C. 3：D. 3：2542016221616EFAB==++=652420222020EHAD==++=6554≠EHADEFAB≠AB CDEF GH【答案】B.提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF ，∴AF=AB=a ，∵矩形AFED 与矩形ABCD 相似，∴=，即=，∴（）2=2，∴=．故选B ．2.如图，在长8cm ，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（ ）．A. 2cmB. 4cmC. 8cmD. 16cm【答案】C.【解析】设留下的矩形的宽为x ，∵留下的矩形与原矩形相似，∴，∴x=2，∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm 2）故答案为：8．故选C ．【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．类型二、位似22223. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′. 这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 A B C DE4. 如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标.【答案与解析】因为矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB ，（1）分别取线段OA 、OB 、OC 的中点A ′、B ′、C ′，连接O A ′、A ′B ′、B ′C ′、 C ′O ，矩形OA ′B ′C ′就是所求的图形.A ′，B ′，C ′三点的坐标分别为A ′（3，0），B ′（3，2），C ′（0，2）.（2）分别在线段OA ，OB ，OC 的反向延长线上截取O A ″、O B ″、O C ″，使OA ″=OA ，OB ″=OB ，O C ″=OC ，连接 A ″B ″、B ″C ″，则矩形O A ″B ″C ″为所求. A ″、B ″、C ″三点的坐标分别为A ″（-3，0），B ″（-3，-2），C ″（0，-2）.41212121【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC于F；（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE，GD；∴四边形DEFG即为所求．类型三、黄金分割5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ．即矩形DCEF 为黄金矩形．证明：在正方形ABCD 中，取，∵ N 为BC 的中点，∴ ． 在中，． 又∵ ，∴ ．122AB a =12NC BC a ==Rt DNC△ND ===NE ND=1)CE NE NC a =-=B C A BC D EFM N∴ ． 故矩形DCEF 为黄金矩形． 【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（ ）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm【答案】D.∵该女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，∴此女士下半身长是165×0.60=99cm ，设需要穿的高跟鞋是xcm ，根据黄金分割的定义得：0.618， 解得：x ≈8．故选D ．CE CD ==99+=165+x x。
《图形的位似》与图形的相似
如果两个图形中对应顶点连线所 在的直线交于一点，则这两个图 形位似。
依据边判定位似
总结词
通过比较两个图形对应边的长度和夹 角的大小来判断是否位似。
详细描述
如果两个图形中对应边长相等，且对 应边之间的夹角相等，则这两个图形 位似。
依据角度判定位似
总结词
通过比较两个图形中对应角的大小来判断是否位似。
确定相似关系
在几何作图中，位似关系可以帮助确 定两个图形是否相似，从而判断它们 的形状和大小是否符合要求。
放大或缩小图形
利用位似关系，可以将一个图形按照 一定比例放大或缩小，这在建筑设计 、机械制造等领域非常有用。
在解决实际问题中的应用
测量和计算
在土地测量、建筑规划等领域， 位似图形可用于计算实际物体的 尺寸和比例，为工程设计和施工
当一个位似图形进行反射时，即关于一条直线进行对称， 其形状和大小保持不变。反射后，对称轴一侧的图形会出 现在对称轴另一侧的位置上，这种反射性质也是位似图形 的一个重要特性。
位似图形的平移性质
位似图形在平移时，其形状和大小保持不变，只是位置发生了平移。
当一个位似图形在平面上进行平移时，其形状和大小不会发生变化，只是整体位 置沿着某一方向发生了平移。这种平移性质也是位似图形的一个重要特性，使得 位似图形在几何学中具有广泛的应用。
理论作用
位似和相似的概念是几何学理论体系的重要组成部分，它们有助于理解 图形的性质和关系，以及解决几何问题。
03
实际应用
在实际生活中，位似和相似的概念也有广泛的应用。例如，在建筑设计
、机械制造、测量等领域中，经常需要利用位似和相似的概念来处理和
分析图形数据。
05
位似图形的特殊性质
2023中考数学复习：图形的相似与位似
∠ABC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是( D )
A.(7,2)
1
B.(7,5)
2
3
4
C.(5,6)
5
6
7
8
9
D.(6,5)
10
11
12
13
14
15
挑战高分
基础全练
中考创新练
9.(2022·贵州贵阳)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,
AC ∶ AB=1 ∶ 2,则△ADC与△ACB的周长比是( B )
16
17
18
基础全练
挑战高分
中考创新练
∴△DBH≌△DEC.∴BH=EC.∴ = .∵DH∥AB,∴△EDH∽△EFB.
∴ = = .∴ = .∴ = ;
[问题拓展]解:如图2,取BC的中点H,连接DH.
∵D是AC的中点,∴DH∥AB,DH= AB.
(2)求 的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
挑战高分
基础全练
中考创新练
(1)证明:①∵CD∥AB,∴∠D=∠A,∵∠CFD=∠BFA,∴△ABF∽△DCF;
②∵OB=CO,∴∠OCB=∠ABC=45°,∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°,
∵CD∥AB,∴∠OCD=180°-∠COB=90°,∴CD是☉O的切线;
∵AE=3,EF=2AF=4,∴ME=4,BM=2,BE=3,
2015年浙江省杭州数学中考总复习课件第20课时：相似三角形的应用
图 20－3 B．(4，3) C．(3，1)
杭考探究 当堂检测
D．(4，1)
第20课时┃ 相似三角形的应用
【归纳总结】 位似图形满足以下两个条件： 所有经过对应点的直线都相交于 位似中心 ； 同一 点(该点叫做________) ________ 这个交点到两个对应点的距离之 相等 位似比 ． 比都________( 这个比值叫做________)
杭考探究
当堂检测
第20课时┃ 相似三角形的应用
考点2 相似多边形
1．[2014·凉山] 如果两个相似多边形面积的比为 1∶5，则 它们的相似比为( D )
A．1∶25
B．1∶5 C．1∶2.5
D ．1 ∶ 5
2．[浙教版教材九上 P151 第 2 题] 已知四边形 ABCD 与四边 形 A′B′C′D′相似，AB 与 A′B′是对应边，BC 与 B′C′是对 3 AB 2 B′ C ′ 应边，若 ＝ ，则 ＝________ ． 2 A′ B ′ 3 BC
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第20课时┃ 相似三角形的应用
考点3 位似图形
[2014·武汉] 如图 20－3，线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A(6，6)，B(8，2)．以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 1 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为 2 ( A )
A．(3，3)
第20课时
相似三角形的应用
第20课时┃ 相似三角形的应用
考 点 聚 焦
考点1 相似三角形在实际生活中的应用 1．[2014·拱墅二模] 如图 20－1，身高为 1.5 米的某学生 想测量一棵大树的高度， 他沿着树影 BA 由 B 向 A 走去， 当走到 C 点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC＝3 米， CA＝1 米，则树的高度为 ( D )
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考点 4 图形的位似
1. 概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互
相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，我们就说这两个
图形关于这点位似．
2. 位似图形的性质：
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比；
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于同一个点；
比例线段
比例的性质 黄金分割
平行线分线段成比例
概念 性质
相似多 边形
比例线段 及其性质
图形的相似 与位似
相似三角形 的性质与
判定
概念 图形的位似 位似图形的性质
概念
性质与判定 相似三角
形的判定思路
第20课时 图形的相似与位似
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考点 1 比例线段及其性质
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1.
比例线段：对于四条线段(a、b、c、d)，如果
a b
＝
c d
，那么这四条线段叫做成比例线
段，简称比例线段．
2. 比例的性质
(((123)))性性性质质质123：((合等ab比比＝性性dc质质⇔))：：aab如d＝＝果bcdacb(＝＝ab…cdcd＝，≠0那m)n；么(b＋a db＋b …＝＋__nc_≠d_0_d)_⇒；ab
c K d K
m n
1. 概念：三个角对应相等，三条边___对__应__成__比__例______的三角形．相似三角形 _任__意__对__应__边___的比叫做相似比．
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第20课时 图形的相似与位似
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2. 性质与判定
性质 判定
(1)相似三角形的对应角_相__等___，对应边__成__比__例__；
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于_相__似__比___；
示，l3∥l4∥l5，且被直线l1，l2所截，那么
AB BC
＝
DE ，AB ＝ EF AC
DE ，BC DF AC
＝
EF DF
.
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段
___成__比__例_____．
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第20课时 图形的相似与位似
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考点 2 相似三角形的性质与判定
衡阳必考，岳阳必考，益阳4考）
3. (2016衡阳16题3分)若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与 △DEF的周长之比为__5_∶__4___．
第20课时 图形的相似与位似
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4. (2015岳阳22题8分)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点， EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N. (1)求证：△ABM∽△EFA； (2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
(3)相似三角形的周长比 _等__于___相似_比__的__平__方___.
(1)两组角分别对应_相__等___的两个三角形相似；
(2)两边对应成比例且_夹__角___相等的两个三角形相似；
(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形
第20课时 图形的相似与位似
(郴州3～6分，衡阳3～12分，岳阳3～8分，益阳5～8分)
考点精讲
湖南6年中考真题精选
目 录
中考试题中的核心素养
第20课时 图形的相似与位似
考点精讲
【对接教材】湘教：九上第3章P62－P94. 华师：九上第23章P48－P76，P80－P83
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思维导图
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考点 3 相似多边形
1. 概念：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别对应相等，对应边成比例，那么 这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比． 2. 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于 相似比的平方．
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第20课时 图形的相似与位似
(3)位似图形对应边平行(或在一条直线上)； (4)位似图形对应角相等；
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(5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形上的对
应点的坐标比等于k或－k.
第20课时 图形的相似与位似
湖南6年中考真题精选
命题点 1 比例线段的相关计算（郴州2考）
1. (2019郴州10题3分)若
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AMB.
∵∠AFE＝∠B＝90°，
∴△ABM∽△EFA；
(4分)
第4题图
第20课时 图形的相似与位似
(2)解：在Rt△ABM中，AB＝12，BM＝5，∠B＝90°，
∴由勾股定理得AM＝ AB2＋BM2＝ 122＋52＝13.
∵F是AM的中点，
x y＝ 3 x2
，则
y x
1 ＝____2____．
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第20课时 图形的相似与位似
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湖南其他地市真题
2. (2016湘潭13题3分)如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE＝2，则EF＝ ___2_____．
第2题图
第20课时 图形的相似与位似
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命题点 2 相似三角形的相关证明与计算（郴州5考，在解答题中涉及考查，
相似； (4)三边对应_成__比__例___的两个三角形相似；
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第20课时 图形的相似与位似
3. 相似三角形的判定思路 有平行截线，找等角
另一对等角 有一对等角，找
判定思路
该角的两边对应成比例
夹角相等 有两边对应成比例，找
第三边也对应成比例
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第20课时 图形的相似与位似
∴AF＝ 12AM＝123. 由(1)得△ABM∽△EFA，
(6分)
∴AEMA ＝BFMA ，即A13E＝153，
2
解得AE＝
169. 10
∵在正方形ABCD中，AD＝AB，
∴DE＝AE－AD＝AE－AB＝11609－12＝4190.
(8分)
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第20课时 图形的相似与位似
湖南其他地市真题
5. (2015永州8题3分)如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( D )
a
＝__b__．
3. 黄金分割：点C把线段AB分成AC和CB两段(AC<BC)，如果 AC ＝ CB ，那么点C叫 CB AB
做线段AB的黄金分割点，CB和AB的比叫做黄金分割比( CB ＝ 5 1≈0.618)．
AB
2
第20课时 图形的相似与位似
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4. 平行线分线段成比例
(1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段___成__比__例_______.如图所