分式方程增根分类举例
分式方程的增根与无解详解(最新整理)
x-2 (x-3)=m
整理得：
x=6-m
∵原方程有解，故 6-m 不是增根。
∴6-m≠3 即 m≠3
∵x＞0
∴m＜6
由此可得答案为 m 的取值范围是 m＜6 且 m≠3。 一、分式方程有增根，求参数值
2
x2 4xa 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 x 3 =0 有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（※） 因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（※）得，9-12+a=0 a=3
整理得（a－1）x＝－10
②
1
若原方程无解，则有两种情形： （1）当 a－1＝0（即 a＝1）时，方程②为 0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 x＝2 或－2，把 x＝2 或－2 代入方程②中，求出 a＝－4 或 6． 综上所述，a＝1 或 a＝一４或 a＝6 时，原分式方程无解． 例 5：（2005 扬州中考题）
入（※）得 m=-2
3 所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根
k
2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程 x 1 +1= ( x 1)( x 2) 有增根，可求得 k=-
2
8
3 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。
二、分式方程是无实数解，求参数值
x2 m 例 9 若关于 x 的方程 x 5 = x 5 +2 无实数，求 m 的值。
整理得：
m(x+1)=7-x2
当 x= -1 时,此时 m 无解；
当 x=1 时,解得 m=3。
人教版数学八年级上册第15章：分式方程的无解与增根
例4、当a为何值时，关于 x的方程
2 x-
2
+
ax x2 -
4
=
x
3 +
2
①有增根； ②无解。
解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，
得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)
整理得（a－1）x＝－10
②
（无（综把1解 2上x））＝。 所当当若则把解2述或aa原增得x，--＝－11分根，≠a2=20＝式为a或0代时＝即1方x－入，或－=a程22方=xa4代或1有＝＝或程入x时增2一6=②或．方(-根４a2中－-程1，或，)2②xa时得=＝中-，1a6，0＝原时无－方，解4程原，或无分原6．解式方，方程 程无解．
x2
课堂小结
复习完本课后你有哪些收获？
课后作业：
1、已知关于 x的方程
2x m x-2
3的解为正数，
则的范围是
2、若关于 x的方程
x x
k
1
x
k
1
1的解为负数，
则k的取值范围是
人教版 八年级上册 第十五章
分式方程的增根与无解
知识回顾:
解分式方程的一般步骤
分式方程 去分母 整式方程
一化
解整式方程
二解
目标
X=a
检验
三检验
a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ a不是分式
方程的解
方程的解
a就是分式 方程的增根
例1 解方程： 2 4x 3 x 2 x2 4 x 2
1）原方程去分母后的整式方程无解，
2）原方程去分母后的整式方程有解，但解 是增根。
关于分式方程的增根与无解问题 的一般步骤：
分式方程的无解与增根
222333aaa0
0
，得a<2. 且a≠-4
2
所以，当a<2且a≠-4时，方程 2x a 1 的解是正数.
x2
关于分式方程解的取值问题的一般步骤：
1、去分母，化分式方程为整式方程。 2、解这个整式方程。 3、根据题意讨论这个解可能出现的 情况，得出有关字母系数的取值。
课后作业：
基础题：
x
m2
小结： 1、分式方程的增根是在分式方程化为整式 方程的过程中，整式方程的解使最简公分母 为0的未知数的值。 2、分式方程无解则包含两种情形：
1）原方程去分母后的整式方程无解，
2）原方程去分母后的整式方程有解，但解 是增根。 3、分式方程有增根和无解时：
方法总结：（1）化为整式方程。（2）确定增根。
例3、当a为何值时，关于x的方程
2 ax 3 x-2 x2 -4 x 2
①有增根； ②无解。
解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)
得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)
整理得（a－1）x＝－10
②
（无（综把1解 2上x））＝。 所当当若则把解2述或aa原增得x，--＝－11分根，≠a2=20＝式为a或0代时＝即1方x－入，或－=a程22方=xa4代或1有＝＝或程入x时增2一6=②或．方(-根４a2中－-程1，或，)2②xa时得=＝中-，1a6，0＝原时无－方，解4程原，或无分原6．解式方，方程 程无解．
例解2：方 【当方解然 程说程 方原明无程可分】解：化式此不为 x方方一2程程定2x肯化就2定为是x224就整产x无式生4x解方增了程根2x4．后．x3x由，2此本2可身见就x，无3分解2式，
方程两边同乘以(x+2)(x-2)，得 2(x+2)-4x=3(x-2)． 解得x=2
分式方程增根例析
分式方程增根例析解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）.【例1】解方程x x 415-+＝0.解：方程两边同乘x （x+1），得 5x-4（x+1）=0.化简，得x-4=0. 解得x=4.检验：当x=4时，x （x+1）=4×（4+1）=20≠0， ∴ x=4是原方程的解.【例2】解方程114112=---+x x x解：原方程可化为1)1)(1(411=-+--+x x x x ，方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）.化简，得2x-3=-1.解得 x=1.检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【点评】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项.【例3】 解方程51614171-+-=-+-x x x x .解：原方程可变形为41615171---=---x x x x .解得x=211.检验：当x=211时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0，所以x=211是原方程的解.【点评】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”.【例4】 若关于x 的方程x x k x x x k +-=----2225111有增根x=-1，求k 的值.解：原方程可化为)1(5)1(1)1)(1(1+-=---+-x x k x x x x k .方程两边同乘x （x+1）（x-1）得x （k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）.化简，得3x=6-k.当x=-1时有3×（-1）=6-k ，∴k=9.【点评】 因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式 方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．解分式方程误区点拨一、漏乘公分母【例1】解方程23132--=--x x x .错解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2，解这个方程，得x=5.错解分析：解分式方程需要去分母，根据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3）时，应注意乘以方程的每一项.错解在去分母时，-2这一项没有乘以（x-3），另外，求到x=5没有代入原方程中检验. 正解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2（x-3），解得x=3检验：将x=3代入原方程，可知原方程的分母等于0，所以x=3是原方程的增根，所以原方程无解.二、去分母时漏添括号【例2】解方程011132=+--x x .错解：方程化为11)1)(1(3+--+x x x ＝0，方程两边同乘以（x ＋1）（x －1），得3-x-1=0，解得x=2.所以方程的解为x=2.错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x －1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验.正解：方程两边都乘以（x ＋1）（x －1），得3-（x －1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.。
增根
增根一. 增根的意义：当分式方程含有若干个分式时，通常可用各个分式的公分母乘方程的两边进行去分母。
必须注意的是，解分式方程一定要验根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零，使分母为零的根叫增根。
二. 分式方程中的增根：例1.若关于x 的方程11-+x ax =0有增根，则a 的值为（ ）.分析：增根是使分式方程的分母为0的未知数的值，所以增根只能是x=1，它应该是原方程去分母后的整式方程的根.解：因为分式方程有增根，所以增根只能是x=1，原方程去分母，得ax+1-(x-1)=0,将x=1代入并整理得a=﹣1,故应填a=﹣1.例2.若分式方程x x x x m x x1112+=++-+产生增根，则m 的值是（ ）.解：方程分母分别为x+1和2x +x,由此我们可以得知x=﹣1或x=0.解题时，先将分式方程通分，得到2x -m-1=(x+1)2,再移项得(x-x-1)(x+x+1)=m+1，化简得m=﹣2x-2,将x=﹣1或x=0代入m=﹣2x-2，当x=﹣1时，m=0；当x=0时，m=﹣2.因此我们可以得出m=0或m=﹣2.例3.当m=（ ）时，关于x 的分式方程32-+x mx =﹣1有增根.解：因为方程有增根，所以x=3.将方程通分得，2x+m=3-x,移项得3x=3-m,所以x=33m-,将x=3代入并整理，所以x=﹣6.例4.当m 为何值时，关于x 的方程35-x +92-x mx =32+x 会产生增根？解：将方程两边通分得5（x+3）+mx=2(x-3),去括号得，5x+15+mx=2x-6，合并同类项得（5+m-2）x=﹣21.因为分母为x+3和x-3，所以当x+3且x-3时会产生增根.此时，我们要分别考虑2种情况，求出与x 相应的m 的值.当x+3时，m=4；当x-3时，m=﹣10.所以当m=4或m=﹣10时方程会产生增根.总结：由以上4道例题可知，增根并不是一块很难的知识，所谓的“增根”口语化就是使分母为0的解。
分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解甲：增根是什么？乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如例一、解方程：。
①为了去分母，方程两边乘以，得②由②解得。
甲：原方程的解是。
乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，查验一下不就明白了。
哟！当时，原方程有的项的分母为0，没成心义，是不是方程变形进程中弄错啦？乙：求解进程完全正确，没有任何的过失。
甲：那什么缘故会显现这种情形呢？乙：因为原先方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后，未知数x的取值范围扩大为全部实数。
如此，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。
甲：如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并非能保证两个方程的解相同，那么，如何明白从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？乙：很简单，两个字：查验。
能够把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是不是使公分母等于0，若是公分母为0，则说明那个值是增根，不然确实是原方程的解。
甲：那么，那个题中确实是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。
甲：啊？！什么缘故会无解呢？乙：无解时，方程本身确实是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如关于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此，那个方程也无解。
甲：是不是有增根的分式方程确实是无解的，而无解的分式方程就必然有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不必然无解，无解的分式方程也不必然有增根，你看：例二、解方程，去分母后化为，解得或，现在，是增根，但原方程并非是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程尽管无解，但原方程也没有增根。
乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系能够解决分式方程的有关问题，你看：例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。
分式方程的增根探讨
分式方程的增根探讨随着数学的不断发展，分式方程作为一种重要的数学工具，已经在各个领域被广泛应用。
分式方程的解法也相对来说比较困难，为此，增根成为了重要的研究方向。
本文将分带大家探讨关于分式方程增根的问题。
一、分式方程的定义和分类分式方程指的是形如$\frac{P(x)}{Q(x)}= k$ 的方程，其中$P(x)$ 和$Q(x)$ 是多项式函数，$k$ 是一个常数。
分式方程的解法通常包括直接合并分式、通分、约分等步骤。
根据$Q(x)$ 的零点，分式方程可以分为以下几类：1.有单根如果$Q(x)$ 有一个重根或者两个不同的根，那么这个分式方程就称为有单根。
例如：$\frac{x^2}{(x-1)^2}=3$。
2.有零根如果$Q(x)$ 的根不是重根且都是实数，那么这个分式方程就称为有零根。
例如：$\frac{1}{x^2-9}=4$。
3.有虚根如果$Q(x)$ 的根都是虚数，则这个分式方程就称为有虚根。
例如：$\frac{x^2+1}{x^2-1}=5$。
4.无根如果$Q(x)$ 在实数范围内没有根，那么这个分式方程就称为无根。
例如：$\frac{x^2+1}{x^2+9}=2$。
以上是分式方程的分类情况，接下来将探讨分式方程的增根问题。
二、分式方程的增根问题当分式方程的分母的次数小于分子的次数时，通常情况下，分式方程就不是方程的形式了，而是一个分段函数。
例如：$\frac{x}{x^2-4}=2$，这个方程的分母次数小于分子次数，无法直接处理。
在这种情况下，增根就成为了解决这类问题的一种常用手段。
增根的思想就是将分母的次数提高到大于等于分子的次数，使得分式方程恢复到方程的形式。
这通常需要在两侧同时乘一个新的多项式。
下面以一个例子来说明增根的具体步骤：例子1：求方程$\frac{x}{x^2-4}=2$ 的解。
步骤1：将方程两侧都乘以$x^2-4$，得到$x=2x^2-8$。
步骤2：将方程变形$2x^2-x-4=0$。
分式方程增根的例题
分式方程增根的例题
在解析分式方程增根的例题的过程中，我们可以清楚地看到分式方程增根的具体步骤和方法。
首先，假设我们有一个分式方程：x/2 + 1 = 0。
那么，我们可以首
先将方程重写为：x/2 = -1，然后乘以2得到：x = -2。
这就是增根后的结果。
再来看一个更复杂一些的例子，假设我们有一个分式方程：2/(x-3) + 1 = 0。
首先，我们可以将这个方程重写为：2/(x-3) = -1，然后两边同时乘以x-3，得到：2 = -(x-3)。
最后，解开括号，将方程重写为：2 = -x + 3。
解这个方程，我们可以得到：x = 1。
这就是增根后的结果。
以上只是两个简单的例子，分式方程的增根需要逐步推理和运算，并不是一蹴而就的。
在遇到复杂的分式方程时，可能需要更多的步骤进行处理。
但无论如何，分式方程增根的基本原理都是相同的，那就是通过一系列数学操作，将分母消除，从而使得x变量的次数降低，以便于求解。
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与分式方程根有关的问题分类举例
与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值
解答此类问题必须明确增根的意义：
（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）
使关于x 的方程a x x a x 2
2
24222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2
C. ±2
D. 与a 无关
解：去分母并整理，得： ()a x 22401--=<>
因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4
所以a =±2
故应选C 。
例2. （1997年山东省） 若解分式方程21112x x m x x x x
+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2
C. 1或2
D. 1或－2
解：去分母并整理，得：
x x m 22201---=<>
又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得： m =2或m =1
故应选C 。
例3. （2001年重庆市）
若关于x 的方程ax x +--=11
10有增根，则a 的值为__________。
解：原方程可化为：()a x -+=<>1201
又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得：
a =-1
故应填“-1”。
例4. （2001年鄂州市）
关于x 的方程x x k x -=+-323
会产生增根，求k 的值。
解：原方程可化为：()x x k =-+<>231
又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得：
k=3
例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：
()()()115111
2x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。
解：原方程可化为： ()()()()x k x k x ++--=-<>151112
把x =1代入<1>，得k=3
所以当k=3时，解已知方程只有增根x =1。
评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；
（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。
2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围
例6. （2002年荆门市）
当k 的值为_________（填出一个值即可）时，方程x x k x x x
-=--122只有一个实数根。
解：原方程可化为：x x k 2201+-=<>
要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：
（1）当方程<1>有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由∆=+=440k 得k=－1。
当k=－1时，方程<1>的根为x x 121==-，符合题意。
（2）方程<1>有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由∆=+>440k ，得k>－1。
又原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入
<1>得k=0，或k=3，均符合题意。
综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。
例7. （2002年孝感市）
当m 为何值时，关于x 的方程2111
2x x m x x x ---=+-无实根？ 解：原方程可化为：
x x m 2201-+-=<>
要原方程无实根，有下面两种情况：
（1）方程<1>无实数根，由()()∆=---<14202
m ，得m <74
； （2）方程<1>的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入<1>得m =2。
综上所述：当m <74
或当m=2时，所给方程无实数解。
例8. （2003年南昌市）
已知关于x 的方程11x m x m --=有实数根，求m 的取值范围。
解：原方程化为：mx x 2101-+=<>
要原方程有实数根，只要方程<1>有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。
（1）当m =0时，有x =1，显然x =1是原方程的增根，所以m =0应舍去。
（2）当m ≠0时，由∆=-≥140m ，得m ≤14。
又原方程的增根为x =0或x =1，当x =0时，方程<1>不成立；当x m ==10，。
综上所述：当m ≤
14
且m ≠0时，所给方程有实数根。
评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围 例9. 当a 取何值时，解关于x 的方程：()()
x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根？ 解：原方程可化为：
23012x ax +-=<>
又原方程的增根为x =2或x =-1，把x =2或x =-1分别代入<1>得：
a =-52
或a =-1 又由∆=+>a 2240知，a 可以取任何实数。
所以，当a ≠-
52
且a ≠-1时，解所给方程无增根。
评注：解答此类问题的基本思路是：
（1）将已知方程化为整式方程；
（2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；
（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。
4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围
例9. 已知关于x 的方程x a x +-=-2
1的根大于0，求a 的取值范围。
解：原方程可化为：22x a =- 所以x a =-12
由题意，得：
120->a 且12
2-≠a 所以a <2且a ≠-2
例10. 已知关于x 的方程x k x +-=2
2的根小于0，求k 的取值范围。
解：原方程可化为：x k x +=-24
所以x k =+4
由题意，得：k +<40
所以k <-4
评注：解答此类题的基本思路是：
（1）求出已知方程的根；
（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
说明：注意例9与例10的区别，例9有12
2-≠a ，而例10无k +≠42这一不等式？请读者思考。