指数函数图像的变换(采用)
a>1
图
0<a<1
象 性 质
y a x (a 0且a 1) 的图象和性质
a>1
图
y
0<a<1 y
1 象
o
x
性 (1)定义域：R
1
o
x
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
质 （4）在 R上是增函数
即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
综上总结，y ax中,指数x与底数a满足以下规律：
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
同一x下，比较 y ax与y bx的大小方法：
x正半轴（即 x 0），同一 x下，a越大，y ax的值越大； x负半轴（即 x 0），同一 x下，a越大，y ax的值越小.
二、指数函数变换： 例1.在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它
们与指数函数 y 2x 的图象的关系.
(1) y 2x1与y 2x2 (2) y 2x1与y 2x2
解：⑴作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0
2 x 0.125 0.25 0.5 1
2 x1 0.25 0.5 1
y= -f(-x) y= -f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
推广到广泛函数变换：
函数 y=f(x+a)
y=f(x)+a
y=f(-x) y= -f(x) y= -f(-x)
y=f(x)
a>0时，向左平移a个单位； a<0时，向右平移|a|个单位. a>0时，向上平移a个单位； a<0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y= -f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y= -f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
-2 -1 0 1 2 3
2 x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
2 x1 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
2 x2 0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2
比较函数y 2x、y 2x1与 y 2x2 的关系：
y 2 x 向右平行移动1个单位长度 y 2x1
学生训练
1.在同一坐标系中画出y 2x，y 3x , y 0.2x与y 0.4x
的草图.
y
y 0.2x
y 0.4x
y 3x
y 2x
1
2.比较下列两个数的大小
O
x
(1) 53.1,33.1;
(2) 0.23.1,0.53.1
(3) 5பைடு நூலகம்1.1,31.1;
(4) 0.2-3,0.33
(3)当x 0时，总有 ax bx 1;
特别当x>0时，指数函数的底数越大，函数值增长越快
如x 0下,3x 2x. 即a>1时，a越大，图像越“陡”.
以上时a>1时的情况，那0<a<1是什么样的呢？
画出 y 0.2x , y 0.3x 与y 0.5x图像，并比较0<a<1
2
2 x2 0.5
1
2
4
123 248 4 8 16 8 16 32
比较函数y 2x、y 2x1与 y 2x2 的关系： y 2x 向左平行移动1个单位长度 y 2x1
y 2x
向左平行移动2个单位长度
y 2x2
y
8
● ● y＝2x
7
6 y＝2x＋1
5
y＝ 2x +2
基本函数图象+变换
函数
y=f(x)
y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位； a<0时，向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位； a<0时，向下平移|a|个单位.
y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y= -f(x) y= -f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y 2x
向右平行移动2个单位长度
y
y＝2x
8
●
●
7 6
y＝2x-1
5
4
●
●
3 2 ●●
y＝ 2x －2
1● ●
●●
-5 -4 -3 -2-1O 1 2 3 4 5 x
y 2x2
小结:比较函数 y 2x与 y 2xm 的关系 当m>0时, y 2x 向右平行移动m个单位长度 y 2 xm 当m<0时, y 2x 向左平行移动|m|个单位长度 y 2 xm
（4）在R上是减函数
一、a对指数函数影响：
实践一 在同一个坐标系中画出函数 y 2x 与y 3x
的图像，比较两个函数增长的快慢：（几何画板展示）
任意两个指数函数 y ax与y bx 当a b 1时，同一取值x下：
(1)当x 0时，总有 ax bx 1; (2)当x 0时，总有 ax bx 1;
y ax中,指数x与底数a满足以下规律：
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
同一x下，比较 y ax与y bx的大小方法：
时a对函数图象变化的影响.
任意两个指数函数 y ax与y bx
当0 a b 1时，同一取值x下：
(1)当x 0时，总有1 bx ax;
(2)当x 0时，总有 ax bx 1;
(3)当x 0时，总有 0 ax bx 1;
特别当x<0时，指数函数的底数越小，函数值减少越快
a决定开口方向及大小； h 0, x往左移h单位，h 0, x往右移 h 单位； k 0, y往上移k单位，k 0, y往下移 k 单位.
推广:比较函数 y f (x) 与 y f (x m)的关系 当m>0时, y f (x) 向左平行移动m个单位长度 y f (x m) 当m<0时, y f (x) 向右平行移动|m|个单位长度 y f (x m)
4 3
●●
2● ●
1● ●
●●
-5 -4 -3 -2-1O 1 2 3 4 5 x
例1.在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它
们与指数函数 y 2x 的图象的关系.
(1) y 2x1与y 2x2 (2) y 2x1与y 2x2
解:⑵作出图像，显示出函数数据表
x -3
高中数学同步教学课件 指数函数的性质与图像(二)
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) 【答案】D
D．(－∞，－1)
【解析】∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
2．设23－2x＜0.53x－4，则x的取值范围是________. 【答案】(－∞，1) 【解析】∵0.53x－4＝123x－4＝24－3x，∴由 23－2x＜24－3x， 得 3－2x＜4－3x，∴x＜1.]
知识点2 指数不等式
对于形如 af(x)>ag(x)(或 af(x)<ag(x))的不等式， 当 a>1 时，转化为 f(x)>g(x)(或__f_(_x_)<_g_(_x_)_)； 当 0<a<1 时，转化为__f_(x_)_<_g_(_x_) _(或___f(_x_)_>_g_(x_)_)．
[微体验]
[方法总结] 解简单的指数不等式的一般方法
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的 取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形 式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式利用函数图像求解．
C．(2，－3)
D．(2，－2)
【答案】B 【解析】令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0－3＝1－3＝－2， ∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2)．
2．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是________. 【答案】a|a≥1或a＝0 【解析】作出 y＝|2x－1|的图像， 如图，要使直线 y＝a 与图像的交点只有一个， ∴a≥1 或 a＝0.
指数函数的定义与图像(2)指数函数的图像--参考教案
第七单元4.2《指数函数》教案一、创设情境初中我们学习了正比例函数、反比例函数和二次函数,通过描点法画出它们的图像分别是直线、双曲线和抛物线.我们可类比借鉴学习上述函数的经验,画出指数函数的图像.二、知识学习x 下面我们利用“描点法”作指数函数y=2x和y=1()2的图像．第一步:列表第二步: 描点.将表中的每一组x , y 的值为坐标，描出对应的点（x , y ）．第三步：连线.分别用光滑的曲线依次联结所描的各点，得到函数y =2x 和y =1()2x 的图像，如图所示．三、例题讲解例 1 已知指数函数()x f x a =的图像过点27(3,)8，求(4.3)f 的值(精确到0.01)．分析 首先由函数图像过点27(3,)8可以确定底a ，得到函数的解析式．然后用计算器求出函数值．解 由于函数图像过点27(3,)8，故27(3)8f =,即3278a =．由于327382⎛⎫= ⎪⎝⎭，且0a >，故 32a =．因此，函数的解析式为3()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以 4.33(4.3) 5.722f ⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．例 2 在同一平面直角坐标系中分别作出下列函数的图x … −3−2 −10 1 2 3 …y =2x …1814121 248…y =1()2x (8)4 21121418…像：21,, 2.3,353x xx x y y y y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.分析：鼓励学生亲自动手，尝试用不同的方法解答，特别是借助数学软件.通过计算机软件的实际操作，直观感受指数函数图像，建立起对指数函数的直观形象思维，为接下来的函数性质的探究做好准备.解：21,, 2.3,353xxx x y y y y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像如图所示：四、课堂练习1.已知指数函数()x f x a =满足9(2)4f -=， 试求a 、(0.15)f 的值(精确到0.001)，并画出函数的图像．2.已知指数函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的图像过点（3，64）.（1）求函数的解析式； （2）求f (−12)的值. 五、课堂小结利用“描点法”作指数函数的图像： 1. 列表 2. 描点 3. 连线。
课件3：4.1.2 指数函数的性质与图像(一)
知识点二 指数函数的图像与性质 a>1
0<a<1
图像
定义域 值域 性 过定点 质 函数值 的变化 单调性
R
_(_0_，__＋__∞_ )
过点_(0_,_1_)，即 x＝__0__时，y＝__1__
当 x>0 时，_y_>_1_；
当 x>0 时，0_<_y_<_1；
当 x<0 时，0_<_y_<_1
答案：B
3．在同一坐标系中，函数 y＝2x 与 y＝21x 的图像之间的关系是(
)
A．关于 y 轴对称
B．关于 x 轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线 y＝x 对称
解析：由作出两函数图像可知，两函数图像关于 y 轴对称，
故选 A.
答案：A
【课堂探究】
题型一 指数函数概念的应用
例 1 (1)若指数函数 f(x)＝(2a－1)x 是 R 上的减函数，则实数 a
4.1.2 指数函数的性质与图像(一)
【课标要求】
(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函 数的概念． (2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像， 探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
【自主预习】
知识点一 指数函数的定义 函数__y_＝__a_x__ (a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量． 定义域为 R. 状元随笔 指数函数解析式的 3 个特征 (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数． (2)自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是 1. (3)ax 的系数是 1.
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1
D．y＝31x
高中新教材数学必修件时指数函数的图象与性质
对称变换规律
01
指数函数$y=a^x$（$a>0$，$aneq 1$）的图像关于 原点对称。即当$x$取相反数时，$y$也取相反数。
02
指数函数图像也关于直线$y=x$对称。即当函数形式为 $y=a^x$和$x=a^y$时，两个函数的图像关于直线 $y=x$对称。
03
对称变换不改变图像的形状和开口方向，只改变图像的 位置和对称轴。
当$0 < a < 1$时，指数函数的 图像在$x$轴上方，但随着$x$ 的增大，函数值逐渐减小，图像
向右下方延伸。
指数函数的图像都经过点$(0, 1)$。
指数函数性质总结
01
指数函数的值域为$(0, +infty)$。
02
指数函数在其定义域内是连续的。
03
指数函数在其定义域内是可导的，且导数等 于其自身乘以一个常数。
03
电磁辐射衰减
在通信和电磁学领域，指数函数可用于描述电磁辐射在传播过程中的衰
减。根据衰减常数和传播距离，可以计算信号强度的变化。
复合增长问题中指数函数应用
复利计算
在金融领域，指数函数用于计算 复利问题。通过给定本金、年利 率和存款期限，可以计算存款到
期时的本息总额。
连续增长模型
在经济学和生物学等领域，指数 函数可用于描述连续增长的模型 。通过分析历史数据，可以估算 出连续增长率，并预测未来某一
时刻的数量或规模。
化学反应动力学
在化学领域，指数函数用于描述 化学反应的动力学过程。通过分 析反应速率与反应物浓度的关系 ，可以了解反应的动力学特性和
反应机理。
05 典型例题解析与课堂互动环节
典型例题解析过程展示
01
北师大版高中数学必修一课件《3.3.3指数函数的图像与性质(2)》
（金戈铁骑 整理制作）
§3.3.3指数函数的图像与性质（2）
永丰中学高中数学教研组
必修1第三章第3节
复习导入
指数函数的图像与性质
a＞1
0＜a＜1
•
图
1、指数y函数的定义；y
函象• 2数、叫指做数指o函y数1 数函a图xx数(a象，的0其, 且作中oa1法x是；1)自x
(变1)•定量义3域、. 指数列函表数描的点图R连象线和性质.
形如y a f (x)的函数的定义域就是f (x) 的定义域
必修1第三章第3节
探究二、指数型函数值域的求法
例：求下列函数的值域 （1）y 2x1；（2）y 2 ； x2 2x1
1
（3）y 2x2 ；（4）y 23x5； （5）y 2 x ；（6）y 2 x5
必修1第三章第3节
解：（1）｛y y 0｝；（2）｛y y 1｝； （3）｛y 0 y 1｝；（4）｛y y 0且y 1｝； （5）｛y y 1｝；（6）｛y y 1｝
总结：
求形如y a f (x)的函数的值域时 先求f (x)的值域
必修1第三章第3节
探究三、利用指数函数性质比较大小
(2)值域
(0,+∞)
性 (3)定点
过定点(0,1)，即x=0时，y=1
质 (4)单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
(5)函数值 的分布情
况
当x＞0时，y＞1
当x＞0时，0＜y＜1
当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1
必修1第三章第3节
新知探究
探究一、指数型函数定义域的求法
例：求下列函数定义域
（7）方程2x x 3的实数解的个数为 _____ .
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
高一数学人必修件指数函数的图象和性质
在生物学领域，指数函数用于描述生物种群的繁殖速度。某 些生物种群的增长符合指数函数的规律，如细菌繁殖、昆虫 数量增长等。
其他领域应用案例
放射性衰变
在物理学中，指数函数用于描述放射性物质的衰变过程。放射性元 素的原子数量随时间呈指数减少。
化学反应速率
化学领域中，指数函数可用于描述某些化学反应的速率。反应速率 与反应物浓度的关系可以用指数函数表示。
同底数幂相乘
幂的乘方
底数不变，指数相加。即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
底数不变，指数相乘。即$(a^m)^n = a^{m times n}$。
同底数幂相除
底数不变，指数相减。即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
幂的乘方法则
1 2
正整数指数幂的乘法
$(a^m)^n = a^{m times n}$，其中$m, n$为 正整数。
指数函数图像与坐标轴交点
指数函数的图像与x轴没有交点，与y轴的交点是(0,1)。
指数函数性质总结
指数函数的单调性
当a>1时，指数函数在定义域 内单调递增；当0<a<1时，指 数函数在定义域内单调递减。
指数函数的奇偶性
指数函数既不是奇函数也不是 偶函数。
指数函数的值域
指数函数的值域是(0, +∞)。
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数叫做指数函数。
指数函数表达式
y=a^x，其中a是自变量，x是指 数，y是因变量。
指数函数图像特征
指数函数图像形状
指数函数的图像是一条从坐标原点出发，向右上方或右下方无限 延伸的曲线。
指数函数图像位置
当a>1时，图像位于第一象限和第二象限；当0<a<1时，图像位于 第一象限和第四象限。
3. 指数函数图像
当0 x 1 时，y 0 ;当x 1 时，y 0 , 故选B
4.翻折变化：
1 y f x 去掉y 轴左边图，保 留y 轴右 边图 y f x 将y 轴右边的图像翻折到左边去
① f x ex f x = e x
② f x = e x f x 2 = e x-2
指数函数的图象
知识点
1.当 当0a
1 a
时， 底数a 越大，图象在x 1 时，底数a 越小，图象在x
0
时越接近y 轴，在x 0 0 时越接近x 轴，在x
时越接近x 轴 0 时越接近y 轴
2.平移变换：左加右减
1 f x 向左平移a 个单位 f x a 2 f x 向上平移 a个单位 f x a 3 f x 向右平 移 a个单位 f x a 4 f x 向下平移a个单位 f x a
解析：① 有界性：由函数的定义域得x 0 , A错； 当x 0 时，y 0 ,B错;
② 指数爆炸，当x , y 0 ,D错
例7 函数y x3 x 2 x 的图象大致是
解析：① 奇偶性：f x x3 x 2 x f x ,故函数为奇函数，C错； ② 有界性：令y 0 ,则 x3 x 2 x 0
D. a b 1 d c
例2 已知1 n m 0 ,则指数函数① y mx ,
② y nx 的图象为
例3 已知函数y ax b a 0且 a 1 的图象经过
第二、三、四象限，则有
A. 0 a 1 ,b 1
指数函数图像的变换(采用)ppt课件
x x ( 3 ) 当 x 0 时，总有 0 a b 1 ;
以上时a>1时的情况，那0<a<1是什么样的呢？ x x x 0 . 2,y 0 . 3 与 y 0 . 5 图像， 画出 y 并比较0<a<1 时a对函数图象变化的影响.
特别当x<0时，指数函数的底数越小，函数值减少越快 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
综上总结， ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
f( x m ) )与 y 推广:比较函数 y f (x 的关系
向左平行移动m个单位长度 y f ( x ) 当m>0时,
yf( x m )
) 向右平行移动|m|个单位长度 yf( x m ) 当m<0时, y fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x
作业：
P A 组第 3 题， B 组第 2 题 77
ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下规律
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
x x 负半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值 .
《指数函数》经典讲义(完整版)
指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数． （3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。