向量法求空间点到平面的距离教学提纲
向量法求空间点到平面的距离课件
a•b abcos(为a与b的夹角）
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2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
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3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
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1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
2
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y
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BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
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4
练习1
《点到平面的距离》 讲义
《点到平面的距离》讲义在空间几何中，点到平面的距离是一个非常重要的概念，它在解决许多几何问题中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入探讨点到平面的距离。
一、点到平面距离的定义点到平面的距离，简单来说，就是指空间中的一个点到一个平面的最短距离。
这个距离是垂直于平面的，并且是点到平面上任意一点的连线中最短的那一条。
想象一下，有一个平面就像一张无限延展的纸，而有一个点在空间中。
从这个点向平面作垂线，垂线段的长度就是点到平面的距离。
二、点到平面距离的求解方法1、向量法如果我们知道平面的法向量以及点的坐标，就可以使用向量法来求解点到平面的距离。
假设平面的方程为 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝ 0，其法向量为 n ＝（A, B, C)，点 P 的坐标为（x₀, y₀, z₀)。
那么点 P 到平面的距离 d 可以通过以下公式计算：d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ Cz₀＋ D| ／√（A²＋ B²＋ C²)为了更好地理解这个公式，我们来逐步分析。
首先，Ax₀＋ By₀＋ Cz₀＋ D 表示点 P 到平面的有向距离。
如果这个值是正的，说明点在平面的一侧；如果是负的，说明点在平面的另一侧。
而√（A²＋ B²＋ C²) 是法向量的模长，将前面的有向距离除以法向量的模长，就得到了点到平面的距离。
2、等体积法当已知几何体的体积以及相关的面积或长度时，可以通过等体积法来求点到平面的距离。
例如，对于一个三棱锥，如果知道它的体积以及底面积，就可以通过体积公式 V ＝（1/3)Sh （其中 S 是底面积，h 是高，也就是点到平面的距离）来求出点到平面的距离。
3、坐标法在建立了合适的空间直角坐标系后，通过求出点和平面上的点的坐标，然后利用距离公式来计算点到平面的距离。
假设平面上一点 Q 的坐标为（x₁, y₁, z₁)，点 P 的坐标为（x₀, y₀, z₀)，则点 P 到点 Q 所在平面的距离 d 可以通过以下公式计算：d ＝√（x₀ x₁)²＋（y₀ y₁)²＋（z₀ z₁)²｜（PQ · n)｜／｜n|其中，PQ 是点 P 到点 Q 的向量，n 是平面的法向量。
向量法求空间点到平面的距离教案
教材分析
重点:点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤
难点:找到所需的点坐标跟面的法向量
教学目的
1.能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。
2.能将求线面距离、面面距离问题转化养，提高坐标运算的速度和准确性。
因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模
点评：斜线段也可以选择BF或者BC都行。
练习1、(06年福建高考题)如图4，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= ，求点E到平面ACD的距离.
（2）求出该平面的一个法向量
（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模
教学后记：
优点：1.从实际经验引导学生将生活经验用于学习，转换思维；
2.由例题整理步骤，理清思路，便于学生理解；
3.学生掌握很好。
设平面ACD的一个法向量为 ，则由 及 ，得
,取z= ,得 =(- ,1, ),于是点E到平面ACD的距离为d= = = .
板 书 设 计
1、复习
· = cosθ（θ为 与 的夹角）
在 上的投影d= cosθ=
2、点到平面的距离
B到面的距离d=
小结：向量法求点到面距离三步
（1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量
新课导入：
我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗
对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点用另一种方法解决。
向量法求空间距离说课稿
向量法求空间距离说课稿广州市第 78中学 黄涛各位老师：你们好！我是来自广州市第78中学的黄涛。
说课的内容是《向量法求求空间距离》，下面我将从五部分阐述这部分内容。
第一部分：内容分析 1. 设计理念：华罗庚：“把一个比较复杂的问题“退”成最简单最原始的问题，把这最简单最原始的问题想通了，想透了，然后再……来一个飞跃上升”。
牢牢记住学校教材和实际经验二者相互联系的必要性，使学生养成一种态度，习惯于寻找这两方面的接触点和相互的关系。
2. 地位和作用 地位和作用 ：空间位置关系转化为数量关系——高考试题中往往在特定的图形环境中测试有关空间角与距离问题，从而达到考查学生空间想象能力和逻辑推理能力以及计算表达能力的目的。
解决这类问题，如果能比较巧妙地建立三维空间直角坐标系，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，即利用向量的方法能化繁为简，化抽象为具体，避免了几何作图，减少逻辑推理，降低了难度. 但向量坐标法求距离作为常规方法仅在高三总复习的教材中阐述，学生对公式仅是机械记忆，未能理解，导致使用出错。
这一节我，在学习完空间向量数量积及其性质和空间距离的定义后补充讲解，为向量坐标法求距离的两节课的第一节，既是对前面章节的拓展，也是下一节的知识铺垫。
3. 课时安排、教学重点难点本内容选取人教版高中数学（必修）第二册（下B)第九章第八节，在学习数量积和空间距离的定义后作为补充。
安排两个课时，第一课时掌握空间向量的射影，距离公式的推导和初步应用；第二课时进行举一反三的巩固练习和方法拓展迁移。
现介绍第一课时。
教学重点难点重点：数形结合，掌握由向量数量积推导距离公式难点：空间向量的投影的理解，空间直角坐标系的建立，求法向量，向量的选取。
4. 教学方法、教学手段采用启发诱导式教学，并结合实践探索，互动教学。
因为要充分体现数形结合，有大量的图形对比引导，以多媒体展示作为黑板板书补充。
空间点到面距离公式向量法
空间点到面距离公式向量法好的，以下是为您生成的文章：在咱们学习数学的奇妙世界里，有一个超实用的家伙，那就是空间点到面距离公式向量法！这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们轻松打开好多几何难题的大门。
还记得我之前监考的一场考试，有一道题就是关于求空间点到面的距离。
当时大部分同学都愁眉苦脸的，抓耳挠腮，那场面真是让人又着急又觉得好笑。
其实啊，如果他们能把这个向量法给吃透，这道题根本就不在话下。
咱们先来说说这个向量法到底是啥。
简单来说，就是通过向量的运算来求出空间点到平面的距离。
假设平面的法向量为\(\vec{n}\)，平面上任意一点为\(P\)，要求距离的点为\(Q\)，那么点\(Q\)到平面的距离\(d\)就可以用公式\(d = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\)来计算。
可别被这一堆字母和符号给吓到啦！咱们来仔细琢磨琢磨。
比如说，有一个平面方程是\(Ax + By + Cz + D = 0\)，那它的法向量\(\vec{n}\)就可以表示为\((A,B,C)\)。
给大家举个例子哈。
假设平面方程是\(2x + 3y - z + 5 = 0\)，点\(Q(1,2,3)\)，咱们在平面上随便找一个点\(P(0,0,-5)\)，那\(\vec{PQ} = (-1,-2,8)\)。
平面的法向量\(\vec{n} = (2,3,-1)\)。
接下来算距离，先算\(\vec{PQ} \cdot \vec{n} = (-1)×2 + (-2)×3 + 8×(-1) = -2 - 6 - 8 = -16\)，\(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}\)。
所以距离\(d = \frac{|-16|}{\sqrt{14}} = \frac{16}{\sqrt{14}} =\frac{8\sqrt{14}}{7}\)。
向量法求空间距离说课数学说课教学课件
目 录
• 引言 • 向量法基础知识 • 空间距离的定义与计算 • 向量法求空间距离的原理 • 向量法求空间距离的教学设计 • 向量法求空间距离的实践与应用
01 引言
主题介绍
主题名称
向量法求空间距离
主题内容
本主题将介绍如何使用向量法来求解空间中两点之间的距离。通过向量法，我 们可以将三维空间中的距离问题转化为向量模长的计算问题，从而简化计算过 程。
利用向量的模长计算两点之间的距离。
04 向量法求空间距离的原理
向量法的基本原理
01
向量法是一种基于向量运算的数 学方法，通过向量的加、减、数 乘和向量的模长等运算来解决问 题。
02
向量法的基本原理是利用向量的 模长来表示空间距离，通过向量 的点乘和叉乘来计算空间角度和 方向。
向量法在求空间距离中的应用
空间距离的几何意义
空间距离表示点与点之间的最短 路径，即两点之间直线段长度。
空间距离具有度量性质，可以用 于测量和计算物体之间的距离。
空间距离具有对称性，即两点之 间的距离是相互的，一个点到另 一个点的距离等于另一个点到这
个点的距离。
空间距离的计算方法
通过勾股定理计算两点之间的距离。
利用三维坐标系中的坐标值计算两点 之间的距离。
步骤二
02 根据向量的坐标表示，计算向
量。
步骤三
03 利用向量的模长公式计算距离
。
步骤四
04 根据需要，进行相关的向量运
算（如点乘、叉乘）以得出最 终结果。
实例
05 求点A(1,2,3)和点B(4,5,6)之间量AB的坐标表示，
然后利用模长公式计算AB的长 度，即空间距离。
向量法求空间点到平面的距离(经典实用)
向量法求空间点到平面的距离（经典实用）
空间点到平面的距离是衡量两个物体之间距离的重要方式。
本文介绍基于向量法求空间点到平面的距离的方法。
关于向量法求空间点（P）到平面（S）的距离，首先，我们要了解的是，平面的方程可以描述为：
Ax+By+Cz+D=0
其中A、B、C、D是常数，x、y和z分别是空间中的点的坐标值。
接下来，利用向量法求解空间点到平面的距离，我们需要得到两个向量，一个是向量NP（由空间点到原点，即（0，0，0）的向量），另一个是平面的法向量N（由平面上任意一点至原点之间的单位向量），由此可知，距离d=|NP*N|/|N|
此外，可以注意到，有时正距离和负距离可以表示一个点到平面的关系。
正距离表示这个点在平面的一边，而负距离表示这个点在平面的另一边。
也就是说，若d>0时，表示点P在平面S的正侧；若d<0时，表示点P在平面S的反侧；当d=0时，代表点P在平面S上。
因此，基于向量法求解空间点到平面的距离需要考虑到空间点和平面法向量，并利用向量积运算计算出距离d，其中，若距离d>0,表示空间点在平面的正侧，若距离d<0，表示空间点在平面的反侧；当d=0时，表示空间点在平面上。
点到平面的距离空间向量求法_概述说明以及解释
点到平面的距离空间向量求法概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在几何学中，计算点到平面的距离是一个常见的问题。
点到平面的距离可以用来描述点与平面之间的物理距离或者代数上的数值关系。
这个问题涉及到利用空间向量进行计算和分析。
本篇文章将详细介绍点到平面的距离空间向量求法，并概述相关定义、计算方法、实例分析以及数学推导和证明。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分：引言、正文、实例分析、数学推导和证明以及结论与应用展望。
在引言部分，我们将对文章内容进行概述，并介绍本篇文章的结构安排。
此外，我们还将解释点到平面距离问题的目标和重要性。
在正文部分，我们将详细讨论点到平面距离的定义以及两种常用的计算方法：垂直距离法和投影距离法。
我们将明确这些方法的原理和步骤，并提供具体示例来帮助读者更好地理解和应用这些方法。
在实例分析部分，我们将通过两个实例来对点在平面上和点在平面外两种情况进行深入分析。
通过具体的例子，我们将展示如何根据问题的不同情况选择合适的计算方法，并解释计算过程和结果的含义。
在数学推导和证明部分，我们将回顾基本向量运算、向量投影和正交性质等相关数学知识，并推导出点到平面距离的公式。
这一部分将为读者提供理论基础，并帮助他们更好地理解和应用点到平面距离的求解方法。
最后，在结论与应用展望部分，我们将总结全文内容并讨论关键观点。
同时，我们还将展望点到平面距离求解方法在实际应用中的潜力，并提出进一步研究方向建议。
1.3 目的本篇文章旨在深入介绍点到平面的距离空间向量求法。
通过阐述相关定义、计算方法、实例分析以及数学推导和证明，希望读者能够全面了解该问题背后的原理和应用。
此外，本文还旨在引起读者对于点到平面距离求解方法的兴趣，并为进一步研究提供启示和指导。
2. 正文:2.1 点到平面的距离定义点到平面的距离是指从给定点到平面上的垂直线段的长度。
这个距离可以用空间向量来表示和计算。
2.2 距离计算方法一：垂直距离法通过垂直距离法，我们可以通过点P到平面上任意一点Q所在直线的向量N（法向量）来计算点P到平面的距离。
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r 设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
r uuur
则
n r
CB uuur
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
y
令
y
1,
r n
(0,
1,
1)
,d=
2
2
课下作业、 B在 AC中 三 D ,平 棱 A 面 锥 B D平A 面C， D若棱长 AC CD AD AB 1， 且 BAD 300，求 D到 点平 A面 BC 的距离。 d（ 39） 答案
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
r
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一D 的边长为 4，E、F
分别是 求点 B
AB、AD 的中点，GC⊥平面 到平面 EFG 的距离.
ABCD，且
GC＝2z，
G
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
Fu(u4u r,2,0)，G(0,u0uu ,r2)．
xD
C
思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的
平面的一个法向量?
例 1、在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
r
解:设平面 r uuur
ArBCu的uur一个u法uur向量为
n
(
x
,uuyu,rz )
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
13
小结：向量法求点面 到的 平距离 要求一个点到平面离 的， 距可以分为以下步 三骤 个： （1）找出从该点出发面 的的 平任一条斜线段的 对向 应量； （2）求出该平面的一向 个量 法； （3）求出法向量与斜对 线应 段的向量的数量绝 积对 的值 再除以法向量的模可 ，求 即出点到平面距离。
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向量法求空间点到平面的距离
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离
线 B段 的 O 长度。
2、若 AB是平面的任一条斜线段R， tB则 O中 A在， BO BA•cosABO
BABA•BO
BA•BO
,如果令平 的 面法向量 n,考 为虑到法向
EF(2,2,0),EG(2,4,2), uuu r
F
BE(2,0,0)
设平面 r
EFG
的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
r uuur r uuur n E F ，n E G
2x 2y 0
2
x
4
y
2
0
r n
1 (
1 ,
,1)
d|nv3 nvB u3uEur| 21111
点评：斜线段也择可 BF以 或选 者 BG都行，
练习1
练习 2、如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求点 P 到面 PBC 的距离.
解:建立坐标系如图,
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
uuur
uuur
uuur
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
BABO BO
AB•n
量的方向，可以B得 到到 平点 面的距离B为 O
。
n
3、因此要求一面 个的 点距 到离 平，可下 以三 分个 为步 以1骤 ）： 找（ 出从该点出发任 的一 平条 面斜 的线段量 对； 应 2） （ 的求 向出该平 面的一个法向 3）量 求； 出（ 法向量对 与应 斜的 线向 段量的数量 的绝对值再除的 以模 法， 向即 量可求面 出距 点离 到。 平