北京大学附属中学2021届上学期高三阶段性检测数学试题
北京市北京工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题
北京市北京工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题一、单选题1．直线10x y +-=的倾斜角是（ ） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．2π32．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0，＋∞) B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)3．过点)，且与椭圆2212516y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）A ．221189x y +=B ．221189y x +=C ．221123x y +=D ．221123y x +=4．已知点()()1,3,2,1A B --.若直线():21l y k x =-+与线段AB 相交,则k 的取值范围是（ ） A ．12k ≥ B ．2k ≤- C ．12k ≥或2k ≤- D ．122k -≤≤5．已知圆的一条直径的端点分别是()1,0A -，()3,4B -，则该圆的方程为（ ） A ．()()22128x y ++-= B ．()()22128x y -++= C ．()()221232x y ++-=D ．()()221232x y -++=6．若椭圆22194x y +=的弦AB 被点()1,1P 平分，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．49130x y +-=B ．94130x y +-=C ．230x y +-=D ．340x y +-=7．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP V 面积的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣8．直线y =与圆22(1)1x y -+=的位置关系是( ) A ．相交但直线不过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交且直线过圆心9．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=10．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆22221y x a b +=（0,0y a b ≥>>且为常数）和半圆()2220x y b y +=<组成的曲线C 如图2所示，曲线C 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点G ，点M是半圆上任意一点，当点M 的坐标为12⎫-⎪⎪⎝⎭时，AGM V 的面积最大，则半椭圆的方程是（ ）A ．()2241032x y y +=≥B ．()22161093x y y +=≥C ．()22241033x y y +=≥D ．()22421033x y y +=≥11．油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有1000多年.以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶.在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子，此时阳光照射方向与地面的夹角为75°，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则该椭圆的长轴长为（ ）A B C ． D 12．已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 的左，右焦点分别为12,F F ，过点1F 垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，2π4,3AB AF B =∠=，若点P 是椭圆C 上的动点，则下列说法错误的是（ ）A ．12cos F PP ∠的最小值为13-B ．12PF F V 的面积的最大值为C ．12PF PF ⋅u u u r u u u u r的取值范围为[]3,6D ．C 上有且只有4个点P ，使得12PF P V 是直角三角形二、填空题13．两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点为. 14．点()2,0P 关于直线l ：10x y ++=的对称点Q 的坐标为.15．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=. 16．已知12,F F 分别为椭圆()222:109x y C b b+=>的左，右焦点，52,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为C 上一点，12PF F V 内切圆的半径为．17．把半椭圆：()222210x y x a b+=≥和圆弧：()()22210x y a x -+=<合成的曲线称为“曲圆”，其中点()10F ,是半椭圆的右焦点，12,A A 分别是“曲圆”与x 轴的左、右交点，12,B B 分别是“曲圆”与y 轴的上、下交点，已知012120B FB ∠=，过点F 的直线与“曲圆”交于,P Q 两点，则半椭圆方程为（0x ≥），1A P Q V 的周长的取值范围是.三、解答题18．已知ABC V 顶点()1,2A 、()3,1B --、()3,3C -． (1)求边BC 的垂直平分线1l 的方程；(2)若直线2l 过点A ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程．19．已知圆C ：()()22124x y -+-=. (1)求过点()3,1M 的圆C 的切线方程；(2)若直线40ax y -+=与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为a 的值.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>长轴长为4，且椭圆C 其左右焦点分别为12,F F ．(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率为2F 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，求1F PQ V 的面积．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，124F F =，且a ．（1）求C 的方程．（2）若A ，B 为C 上的两个动点，过2F 且垂直x 轴的直线平分2AF B ∠，证明：直线AB 过定点．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且椭圆C 经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知过点()4,0P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1x =交于点Q ，设AP PB λ=u u u r u u u r，(,)AQ QB μλμ=∈R u u u r u u u r ，求证：λμ+为定值．。
北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题
北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）A ．{21}x x -≤<∣B ．{21}x x -<≤∣C ．{2}xx ≥-∣D ．{1}xx <∣2．设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．b a c<<D ．a b c <<3．设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将y =cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．已知函数()21xf x =-，则不等式()f x x ≤的解集为（）A ．(],2-∞B ．[]0,1C ．[)1,+∞D ．[]1,26．设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,47．在ABC V 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（）A ．94B ．4C ．92D ．68．已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若2024n n S a +>，则n 的最小值是（）A ．6B ．7C ．9D ．109．设R c ∈，函数(),0,22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）A ．()0,1B ．{}[)01,+∞ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6n b d a d b c c a ++++-．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．若复数4i1iz =-，则复数z 的模z =．12．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =．13．在ABC V 中，222a cb +=+．则B ∠的值是；cos y A C =+的最大值是．14．设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧-++<=⎨-≥⎩①当0a =时，((10))f f =；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是．15．已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．如图，在ABC V 中，2π3A ∠=，AC ，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =(1)求ADC ∠的值；(2)求BC 的长度；(3)求BCD △的面积．17．已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =-的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2；条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；条件③：()f x 的图象经过点π12⎛ ⎝．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18．为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023-年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台 3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量万台6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记20152023-年工业机器人产量的中位数为a ，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”．(1)从20152023-年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；(2)从20202318-年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；(3)从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明19．已知椭圆2222:1x y E a b+=过点()2,1P -和()Q .(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.20．已知函数()ln ()x a f x x-=．(1)若1a =，求函数()f x 的零点：(2)若1a =-，证明：函数()f x 是0,+∞上的减函数；(3)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值．21．已知()12:,,,4n n A a a a n ≥ 为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈- ,都有11i i a a +-≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){},1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-= ．(1)判断数列45:1,0.1, 1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A --是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;(2)若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;(3)给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．。
北京大学附属中学2024届高三上学期十月月考数学试题+答案解析
北大附中2024届高三阶段性检测数学2022.10一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{2,1,2}A =-,{|(2)(1)0}B x x x =+-≤，则A B ⋂=（）A.(2,1)-B.[2,1]- C.{2,1}- D.{2,1,2}-【答案】C 【解析】【分析】先解一元二次不等式化简B ，再根据交集的概念可求出结果.【详解】由(2)(1)0x x +-≤，得21x -≤≤，所以[2,1]B =-，因为{2,1,2}A =-，所以A B ⋂={2,1}-.故选：C2.命题“0x ∀≤，sin 1x ≤”的否定是（）A.0,sin 1x x ∃≤>B.1x x ∃>≤ C.0,sin 1x x ∀≤> D.0,sin 1x x ∀>≤【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定判断即可.【详解】“0x ∀≤，sin 1x ≤”的否定是“0x ∃≤，sin 1x >”.故选A.3.下列函数中既是增函数又是奇函数的是（）A.1()f x x=- B.3()f x x = C.()2xf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】由幂函数、指数函数、对数函数的奇偶性与单调性即可求解.【详解】解：对A ：1()f x x=-是奇函数，在(),0-∞和()0,+∞上单调递增，但在定义域为没有单调性，故错误；对B ：3()f x x =是奇偶性，在R 上单调递增，故正确；对C ：()2x f x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；对D ：()ln f x x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；故选：B4.已知角α的终边为射线(0)y x x =≤，则下列正确的是（）A.54πα=B.cos 2α=C.tan 12πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D.sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题知角α的集合为5=+2,Z 4k k πααπ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，再结合诱导公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为角α的终边为射线(0)y x x =≤，所以，角[]0,2απ∈时，54πα=，所以，角α的集合为5=+2,Z 4k k πααπ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故A 选项错误；所以，5cos cos 242k παπ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，故B 选项错误；53tan tan 2tan 12424k ππππαπ⎛⎫⎛⎫+=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确；53sin sin 2sin 14442k ππππαπ⎛⎫⎛⎫+=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 选项错误.故选：C5.已知函数()=e e x x f x --，则下列说法错误的是（）A.()f x 有最大值B.()f x 有最小值C.00x ∃≠，使得()()00f x f x -=D.x ∀∈R ，都有()()f x f x -=-【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数的单调性得到()f x 的最值情况，即可判断AB 选项；根据()()f x f x -=-、()0=0f 和函数的单调性判断CD 即可.【详解】根据()e e x x f x -=-得()f x 在定义域内单调递增，所以()f x 没有最大值也没有最小值，故AB 错；()()()x x x x f x f x ---=-=--=-e e e e ，故D 正确；()0=0f ，()f x 在定义域内单调递增，所以当00x ≠时，()00f x ≠，又()()f x f x -=-，所以不存在00x ≠，使()()00f x f x -=，故C 错.故选：ABC.6.设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.a c b<< D.c a b<<【答案】A 【解析】【分析】通过0ln 21<<，所以判断出01a <<；又对122b =，133c =进行化简，得到121628b ==，131639c ==，从而判断出a ，b ，c 的大小关系.【详解】 ln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c <<∴a b c<<故选：A7.要得到函数ln(2)y x =的图像，只需将函数ln y x =的图像（）A.每一点的横坐标变为原米的2倍B.每一点的纵坐标变为原来的2倍C.向左平移ln2个单位D.向上平移ln2个单位【答案】D 【解析】【分析】根据图象平移结合对数运算逐个分析判断.【详解】对A ：所得函数为=ln2xy ，A 错误；对B ：所得函数为=2ln y x ，B 错误；对C ：所得函数为()ln 2y x =-，C 错误；对D ：所得函数为()ln ln 2ln 2y x x =+=，D 正确；故选：D.8.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .则“A B >”是“sin sin a A b B +>+”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据正弦定理和大边对大角，小边对小角的性质判断即可.【详解】当A B >时，根据三角形中大边对大角，小边对小角，得a b >，再根据正弦定理得sin sin A B >，所以sin sin a A b B +>+;当sin sin a A b B +>+时，根据正弦定理2sin sin a bR A B==，得()()2sin sin 2sin sin 21sin 21sin R A A R B B R A R B +>+⇒+>+，又210R +>，所以sin sin A B >，根据正弦定理得a b >，所以A B >；所以“A B >”是“sin sin a A b B +>+”的充分必要条件.故选：C.9.已知函数1π()sin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在()()11,x f x 处的切线与在()()22,x f x 处的切线相互垂直，那么12x x -的最小值是（）A.π4 B.π2C.πD.2π【答案】B 【解析】【分析】求出()f x '，根据导数的几何意义得到12ππcos(2)cos(2)133x x +⋅+=-，根据余弦函数的最值可得1πcos(2)13x +=且2πcos(2)13x +=-，或1πcos(2)13x +=-且2πcos(213x +=，分两种情况求出12x x -，然后求出其最小值即可.【详解】因为1π()sin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1ππ()cos(2)2cos(2233f x x x '=+⨯=+，依题意可得12()()1f x f x ''⋅=-，所以12ππcos(2)cos(2)133x x +⋅+=-,所以1πcos(2)13x +=且2πcos(2)13x +=-，或1πcos(2)13x +=-且2πcos(213x +=，当1πcos(2)13x +=且2πcos(2)13x +=-时，11π22π3x k +=，1k Z ∈，22π22π+π3x k +=，2k Z ∈，所以1212π()π2x x k k -=--，1k Z ∈，2k Z ∈，所以1212π|||()π|2x x k k -=--，1k Z ∈，2k Z ∈，所以当120k k -=或121k k -=时，12||x x -取得最小值π2.当1πcos(213x +=-且2πcos(2)13x +=时，11π22π+π3x k +=，1k Z ∈，22π22π3x k +=，2k Z ∈，所以1212π()π2x x k k -=-+，1k Z ∈，2k Z ∈，所以1212π|||()π|2x x k k -=-+，1k Z ∈，2k Z ∈，所以当120k k -=或121k k -=-时，12||x x -取得最小值π2.综上所述：12x x -的最小值是π2.故选：B10.对于201个黑球和100个白球的任意排列（从左到右排成一行），下列说法一定正确的是（）A.存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B.存在一个白球，它右侧的黑球个数等于白球个数的三倍C.存在一个黑球，它右侧的黑球个数等于白球个数的二倍D.存在一个黑球，它右侧的黑球个数大于白球个数的二倍【答案】C【解析】【分析】ABD 选项都可以利用反例推出不成立，对于C 选项，从最右端出发，分类讨论进行证明.【详解】A 选项，从左到右先排100个白球，再排201个黑球，可知每一个白球右侧都是201个黑球，不可能个数一样，A 错误；B 选项，从左到右依次排200个黑球，100个白球，1个黑球，那么每个白球右侧都是1个黑球，黑球无法成为白球的三倍，B 错误；D 选项，从左到右，先排201个黑球，然后100个白球，第一个黑球右侧有200黑球，100个白球，恰好二倍，但从第2个黑球起，其右侧黑球数量减少，白球始终是100个，比例会小于二倍，不会超过二倍，D 错误；C 选项，若从左至右，最后一个是黑球，那么这个球右侧0黑0白，满足黑球是白球的二倍，若最后一个是白球，从右至左进行“计数”操作，当白球比黑球为1:2的形式时，视作一个组合，每计数完这样一个组合，继续向左操作，若刚结束的组合左侧为黑球，那么这个黑球就为C 选项所找，若为白球，重复上述操作，直至刚找完的组合左侧为黑球为止，由于黑球总量是白球总量的二倍多一个，所以最极端的情况是找完所有组合，黑球在最左侧第一个，总之这样的黑球可以找到.故选：C二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln 2y x =-的定义域为___________【答案】(),2-∞【解析】【分析】根据对数的真数大于零，可求出函数定义域.【详解】要使函数()ln 2y x =-有意义，必有20x ->，即2x <.故答案为：(),2-∞12.复数z 满足()1i 1i z +=-，=z ___________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的四则运算可得z ，再利用模长公式直接得解.【详解】由()1i 1i z +=-，则()()()()221i 1i 1i 12i i 2ii 1i 1i 1i 1i 2z ----+-=====-++--，所以1z ==，故答案为：1.13.能够说明“若()g x 在R 上是增函数，则()xg x 在R 上也是增函数”是假命题的一个()g x 的解析式()g x =___________.【答案】x (答案不唯一，符合题意即可)【解析】【分析】根据单调性的概念分析理解.【详解】例如：()g x x =在R 上是增函数，则2()xg x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以()xg x 在R 上不是增函数故答案为：x (答案不唯一，符合题意即可).14.已知函数2e ,0,()=2,>0x x x f x ax x x ⎧≤⎨-⎩，①当=1a -时，函数()f x 的最大值为___________.②如果()f x 存在最小值且最小值小于1e-，则实数a 的取值范围是___________.【答案】①.0；②.0<a <e.【解析】【分析】①分别求0x ≤和0x >时的最大值，然后比较大小即可；②分别求0x ≤和0x >时的最小值，让最小值小于1e-，解不等式即可.【详解】①当1a =-时，()2e ,0=2,>0x x x f x x x x ≤--⎧⎨⎩，当0x <时，0x x <e ，=0x 时，0x x =e ，所以此时()max 0f x =；当0x >时，没有最大值，且()0f x <，所以()f x 的最大值为0；②当0x ≤时，()()1e xf x x '=+，所以1x <-时，()0f x '<，()f x 递减；10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，所以0x ≤时，()()min 11f x f =-=-e；当0x >时，因为()f x 存在最小值且最小值小于1e -，所以>011<e a f a -⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得0e a <<；故答案为：①0；②0e a <<.15.生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：()000()e rtKN N t N K N -=+-，其中0N ，r ，K 是常数，0N 表示初始时刻种群数量，r 叫做种群的内秉增长率，K 是环境容纳量.()N t 可以近似刻画t 时刻的种群数量.下面给出四条关于函数()N t 的判断：①如果03KN =，那么存在00,()2t N t N >=；②如果00N K <<，那么对任意0,()t N t K ≥<；③如果00N K <<，那么存在0,()t N t >在t 点处的导数()0N t '<；④如果002KN <<，那么()N t 的导函数()N t '在(0,)+∞上存在最大值.全部正确判断组成的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】①解方程，求出2ln 2t r=，故①正确；②作差法比较大小，证明出结论；③求导，结合00N K <<，0t >，得到导函数大于0恒成立，③错误；.【详解】当03K N =时，()12e rt N t K -=+，令02212e 3rt K KN -==+，解得：2ln 2t r=，因为r 为种群的内秉增长率，0r >，所以2ln 20t r=>，①正确；()()()000000e ()e e rt rtrtK N KN N t K K N K N N K K N -----=-=+-+--，因为00N K <<，0t ≥，所以()()000e 0ert rtK N N K N K ---<+--，故对任意的0,()t N t K ≥<，②正确；()()00200e ()e rtrt N K N N t N K rK N ---'=⎡⎤+-⎣⎦，因为00N K <<，那么任意的0,()t N t >在t 点处的导数()0N t '>恒成立，故③错误；令()()()00200e ()e rtrtN K r N f N K t N t N K ---'==⎡⎤+-⎣⎦，则()()()()00003002e e e rt rtrtN K N K N N f t N K r K N ---⎡⎤--⎣⎦'=⎡-⎤+-⎣⎦因为002K N <<，令()0f t '>得：()00e0rtK N N -->-，解得：010ln K N t r N -<<，令()0f t '<得：()00e 0rtK N N --<-，解得：001ln K N t r N ->，所以()f t 在0010,lnK N rN -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在001ln ,+K N r N -∞⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，那么()N t 的导函数()N t '在(0,)+∞上存在极大值，也是最大值，④正确.故答案为：①②④【点睛】导函数研究函数的单调性，极值和最值情况，常常用来解决实际问题，本题中，函数本身较为复杂，二次求导时要保证正确率，才能把问题解决.三､解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2()2sin(f x x x x π=--+.（1）求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）求()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（1）0（2）T π=，()max f x 【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式，降幂公式，倍角公式，结合辅助角公式，可得答案；（2）根据（1）可得函数的解析式，根据周期计算公式，利用整体代入的方法，结合正弦函数的性质，可得答案.【小问1详解】2()2sin()cos f x x x x π=--1cos 22sin cos2xx x -=-sin 22x x =12sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则22T ππ==，由5,12x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则772,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令23t x π=+，则()2sin g t t =，则()g t 在73,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在37,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当73t π=，即x π=时，()()max f x f π==17.已知ABC 中，222a c b ac +=+.（1）求角B ；（2）若3sin b C A ==，求ABC 的面积.【答案】（1）3π（2）332【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出a 、c ，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】解：因为222a c b ac +=+，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又()0,B π∈，所以3B π=；【小问2详解】解：因为sin 3sin C A =，由正弦定理可得3c a =，又b =222a c b ac +=+，所以222293a a a +=+，解得a =c =，所以11sin 2222ABC S ac B === .18.已知函数32()f x x ax bx c =-+++.（1）从以下三个条件中选择两个作为已知，使()f x 存在且唯一确定，并求()f x 的极值点；条件：①(1)=2f ；条件②：()f x 的图像关于点(0,0)对称；条件③：()f x '是偶函数.（2）若2b a =，且()f x 在[]1,2上单调递增，求a 的取值范围.【答案】（1）选择①和②，3()3f x x x =-+，且()f x 的极小值点为1x =-，极大值点为=1x .（2）6a ≤-或2a ≥【解析】【分析】（1）化简条件①、②和③，分别选择①和②、①和③、②和③求出,,a b c ，可知只能选择①和②.再根据极值点的概念可求出结果；（2）转化为22()32(3)()f x x ax a x a x a '=-++=-+-0≥在[]1,2上恒成立，再利用二次函数图象列式，可求出结果.【小问1详解】则由条件：①(1)=2f ，可得3a b c ++=，由条件②：()f x 的图像关于点(0,0)对称，可得()f x 为奇函数，则有()()f x f x -=-，即3232x ax bx c x ax bx c +-+=---，即2+=0ax c 对R x ∈恒成立,所以0a c ==，由条件③：()f x '是偶函数，可得2()32f x x ax b '=-++为偶函数，则()()f x f x ''-=，即223232x ax b x ax b --+=-++，即40ax =对R x ∈恒成立，所以=0a ，若选①和②，由++=3==0a b c a c ⎧⎨⎩，得0a c ==，=3b ，此时3()3f x x x =-+，所以2()33f x x '=-+，由()0f x '>，得11x -<<，由()0f x '<，得1x <-或1x >，所以()f x 的极小值点为1x =-，极大值点为=1x .若选①和③，由++=3=0a b c a ⎧⎨⎩，得=0a ，3b c +=，此时()f x 不唯一确定，不符合题意；若选择②和③，由==0=0a c a ⎧⎨⎩，可知b 不确定，此时()f x 不唯一确定，不符合题意；综上所述：只能选条件：①(1)=2f ；条件②：()f x 的图像关于点(0,0)对称，此时3()3f x x x =-+，且()f x 的极小值点为1x =-，极大值点为=1x .【小问2详解】若2b a =，则322()f x x ax a x c =-+++，则22()32f x x ax a '=-++，因为()f x 在[]1,2上单调递增，所以22()32(3)()f x x ax a x a x a '=-++=-+-0≥在[]1,2上恒成立，当=0a 时，2()30f x x '=-≤，不合题意；当0a >时，由二次函数的图象可知，132a a -≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得2a ≥；当0a <时，由二次函数的图象可知，123a a ≤-≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得6a ≤-.综上所述：a 的取值范围为6a ≤-或2a ≥.19.已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图像如下图所示.（1）直接写出()f x 的解析式；（2）若对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎣⎦，存在[]0,t m ∈，满足()()f s f t =-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）1118m π≥【解析】【分析】（1）根据函数图象直接可得函数周期及ω，再代入点5,118π⎛⎫⎪⎝⎭，可得ϕ；（2）由（1）函数解析式可得()f s 的取值范围，设()f s -的取值范围为A ，()f t 的取值范围为B ，可知A B ⊆，根据函数单调性及最值情况可得参数取值范围.【小问1详解】由图象可知5231894T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得23T π=，则23Tπω==，所以()()sin 3f x x ϕ=+，又函数图象经过点5,118π⎛⎫⎪⎝⎭，则5sin 3118f πϕ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得23k πϕπ=-+，Z k ∈，又22ππϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；【小问2详解】由0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得23,333s πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当332s ππ-=时，()f s 取最大值为1，当333s ππ-=-时，()f s 取最小值为32-，所以()3,12f s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()31,2f s A ⎡-∈-=⎢⎣⎦，由对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]0,t m ∈，满足()()f s f t =-，设()f t 的取值范围为B ，则A B ⊆，即32B ⎡-⊆⎢⎣⎦，又函数()sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令32,2322x k k πππππ⎡⎤-∈-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，解得252,183183x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，令332,2322x k k πππππ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦Z k ∈，解得52112,183183x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，所以函数()f x 在252,183183k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递增，在52112,183183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递减，所以函数()f x 在50,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；又()02f =，518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，11118π⎫=- ⎪⎝⎭，所以1118m π≥.20.已知函数()2()1e x f x ax x -=++，其中a ∈R .（1）当=0a 时，求曲线=()y f x 在(1,(1))f --处的切线方程；（2）当0a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上有最小值1，求a 的取值范围；（3）当0a ≤时，直接写出函数()()e g x f x x =-零点的个数（不用说明理由）.【答案】（1）e(1)y x =+（2）[e 2,)-+∞（3）2个【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得=1x -处的切线斜率，进而求得切线方程；（2）根据(0)1f =以及题意可知，=0x 为极小值点，结合二次函数的性质可知，另一极值点12x a =-必在=0x 右边，抓住12x a=-与=1x 的位置关系分类讨论即可求解；（3）将求()g x 的零点个数转化为探究11y ax x =++与1e x y +=的图象交点个数即可．【小问1详解】当=0a 时，()(1)e x f x x -=+，则()e (1)e e x x x f x x x ---'=-+=-，(1)e,(1)0f f '∴-=-=．所以，曲线=()y f x 在(1,(1))f --处的切线方程为e(1)y x =+．【小问2详解】当0a >时，[]()(21)e x f x x ax a -'=-+-，设()()21x x ax a ϕ=-+-，即()()e x f x x ϕ-'=，令()=0f x '，解得1210,2x x a==-，注意到(0)1f =，而函数()f x 在区间[1,1]-上有最小值1，所以，=0x 是函数()f x 的极小值点，即在=0x 附近的左侧，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在=0x 附近的右侧，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，因为()()21x x ax a ϕ=-+-（0a >）为二次函数，结合二次函数图象（如下图）知，所以120a ->，即12a >．①若121a-≥，即1a ≥，则函数()f x 在[)1,0-上递减，在(]0,1上单调递增，所以()f x 在区间[1,1]-上的最小值为(0)1f =，符合题意；②若1021a <-<，即112a <<，则函数()f x 在[)1,0-上递减，在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在12,1a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上递减，因为函数()f x 在区间[1,1]-上有最小值1，而(0)1f =，所以只要2(1)1e a f +=≥，即e 2a ≥-时满足题意，又112a <<，所以，e 21a -≤<．综上，a 的取值范围为[e 2,)-+∞．【小问3详解】当0a ≤时，由()0g x =得2(1)e e x ax x x -++=，易知0x =不是函数()g x 的零点，所以，111e x ax x +++=，令11()e 1x h x ax x+=---，121()e 0x h x a x +'=-+>，()h x ∴在()(),0,0,-∞+∞上递增．当0x >时，2(1)e 20h a =-->，且0x →时，()h x →-∞，0(0,1)x ∴∃∈使得0()0h x =，即当0x >时，()0g x =有唯一零点；当0x <，易知0x →，()h x →+∞，且x →-∞时，()h x →-∞，1(,0)x ∴∃∈-∞使得1()0h x =，即0x <时，()0g x =有唯一零点，综上：函数()()e g x f x x =-零点的个数为2个．2）中，抓住函数(0)1f =，即函数过定点这条性质先缩小a 的范围，从而减少分类讨论；在小问（3）中，探究函数的零点个数一般转化为左右两个函数图象的交点个数，因此，通过图象的直观性判断出零点个数，再用数学语言表达之．21.已知集合(){}{}()12|,,0,1,1,22n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥ ，对于()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =⋯∈=⋯∈，定义A 与B 之间的距离：1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-+⋯+-.若(,)1d A B =，则称A ，B 相关，记为A B ↔.若n S 中不同的元素12,,,(2)m A A A m ⋯≥，满足1211,,,m m m A A A A A A -↔⋯↔↔，则称12,,,m A A A ⋯为n S 中的一个闭环.（1）请直接写出2S 中的一个闭环1234,,,A A A A ；（2）若12,,,m A A A ⋯为n S 中的一个闭环，证明：m 为偶数；（3）若12,,,m A A A ⋯为2023S 中的一个闭环，求m 的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）4046【解析】【分析】（1）写出集合2S ，按照(),1d A B =即可写出.（2）因为(),1d A B =，且各元素为0或1，所以若1i i A A +↔，则1i i A A +，只能有一个元素由0变为1或由1变为0，所以集合中元素有k 个1时，由0变为1的集合有+1k 个，由1变为0的集合有1k -个，即集合个数为2k ，即可得证.（3）由（2）可知，2m k =，k 的最大值为2023，可求出m 的最大值.【小问1详解】解：()()()(){}20,0,0,1,1,1,1,0S =，()()()()12340,0,0,1,1,1,1,0A A A A ====.【小问2详解】解：(){}{}()12|,,0,1,1,22n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥ ，所以不妨设()10,0,0A = ，因为(,)1d A B =，所以2A 中只有一个元素为1，其余为0，可设()21,0,0A = ，同理，()31,1,00A = ，，直至 11,11,0,,0k k A +⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若21,k k A A ++↔则2k A +中有1k -个1，1n k -+个0，且2k k A A +≠，可设210,1,10k k A +-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，，0，直至210,0,1,0,0k k A -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，21,k A A ↔所以2m k =，即m 为偶数；【小问3详解】由（2）可知，若12,,,m A A A ⋯为2023S 中的一个闭环，则2m k =，k 最大值为2023，所以m 最大值为4046.【点睛】思路点睛：解决本题的关键在于充分理解(),1d A B =，即前后相关的两个集合只能有一个元素由0变为1或由1变为0，所以若集合中出现k 个1，则由0变为1的集合有+1k 个，由1变为0的集合有1k -个，即可证明结论。
北京市首都师范大学附属中学(通州校区)2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题(原卷版)
（2）当速度 为何值时，这次行驶的总费用最低，最低值为多少．
19.若给定集合A，对∀a，b∈A，有a+b∈A且a﹣b∈A，则称集合A “好集合”．
（1）判断A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，B＝{…，﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6，…}是否为“好集合”？（只需结果，不需过程）
（2）证明：D＝{x|x＝3k，k∈Z}为“好集合”；
（3）若集合M，N均为“好集合”，则M∪N是否一定为“好集合”；如果是，请加以证明，如果不是，请说明理由．
B. “ ”的充分不必要条件是“ ”
C. “ ”是“ ” 必要非充分条件
D. “ 是实数”的充分不必要条件是“ 是有理数”
10.关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是（）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11.已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N 大小关系为______．
②若 则
③若 则
④若 ，则
A.4个B.3个C.2个D.1个
7.已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A. B. C. D.
8.已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}只有一个元素，则实数a 值为（）
A. B.0C. 或0D.1
9.下列说法中错误的是（）
A. “ 是“ ”的必要不充分条件
其中真命题的是_____．
三、解答题（本大题共3小题，共36分，要求写出必要的解答过程）
17.已知全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|m≤x≤1+m}．
高三数学上学期第一次月考试题含解析
一中2021-2021学年第一学期高三年级阶段性检测〔一〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学学科一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．，，那么___________．【答案】【解析】【分析】此题是集合A与集合B取交集。
【详解】因为，所以【点睛】交集是取两集合都有的元素。
是虚数单位)是纯虚数，那么实数的值是___________．【答案】-2【解析】【分析】此题考察的是复数的运算，可以先将复数化简，在通过复数是纯虚数得出结果。
【详解】，因为是纯虚数，所以。
【点睛】假如复数是纯虚数，那么。
3.“〞是“直线与直线互相垂直〞的___________条件〔填“必要不充分〞“充分不必要〞“充要〞或者“既不充分又不必要〞〕．【答案】充分不必要【解析】【分析】可以先通过“直线与直线互相垂直〞解得的取值范围，再通过与“〞进展比照得出结论。
【详解】因为直线与直线互相垂直，所以两直线斜率乘积为或者者一条直线与轴平行、一条与轴平行，所以或者者，解得或者者，由“〞可以推出“或者者〞，但是由“或者者〞推不出“〞，所以为充分不必要条件。
【点睛】在判断充要条件的时候，可以先将“假设A那么B〞中的A和B化为最简单的数集形式，在进展判断。
的递增区间是___________．【答案】【解析】【分析】此题可以先通过的取值范围来将函数分为两段函数，再依次进展讨论。
【详解】当时，，开口向下，对称轴为，所以递增区间是，当时，，开口向上，对称轴是，所以在定义域内无递增区间。
综上所述，递增区间是。
【点睛】在遇到带有绝对值的函数的时候，可以根据的取值范围来将函数分为数段函数，在依次求解。
5.按如下图的程序框图运行后，输出的结果是63，那么判断框中的整数的值是___________．【答案】5【解析】【分析】此题中，，可根据这几个式子依次推导出每一个A所对应的S的值，最后得出结果。
【详解】因为当时输出结果，所以【点睛】在计算程序框图时，理清每一个字母之间的关系，假如次数较少的话可以依次罗列出每一步的运算结果，最后得出答案。
2022-2023学年北京理工大学附属中学高三上学期12月月考数学试题含详解
2022—2023学年度第一学期高三年级数学学科12月练习一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，则（）A.ABB.BAC.A B B⋃= D.A B ⋂=∅2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A.()1,0 B.()2,0 C.()0,1 D.()0,23.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1y x =-+ B.()21y x =- C.ln y x= D.12y x=4.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若132,12a S ==，则4S =A.24B.20C.16D.105.已知平面向量()0,1,0a = ，130,,22b ⎛=- ⎝⎭ ，则a 与a b + 的夹角为（）A.π3B.2π3C.π6D.5π66.直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是（）A .相交B.相切C.相离D.不确定7.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且()()5f x f x +=.若()21f >，()3f a =，则（）A .3a <- B.3a > C.1a <- D.1a >8.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是（）A.//m β，αβ∥B.m β⊥，αβ⊥C.m n ⊥，n α⊥，m α⊄ D.m 上有不同的两个点到α的距离相等9.我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线2(0)y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z，得截面圆的面积为2l ππ=.由此构造右边的几何体1Z ：其中AC ⊥平面α，AC L =，1AA α⊂，1AA π=，它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，且PQ π=，FP l =，则几何体Z 的体积为A.2L πB.3L π C.212L πD.312L π10.在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111D C B A 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A.0个B.1个C.2个D.3个二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若0.31(2a =，20.3b -=，12log 2c =，则a ，b ，c 按从大到小的顺序排列依次为______．12.圆C ：222210x y x y +--+=的圆心坐标是__________；直线l ：0x y -=与圆C 相交于A ，B 两点，则||AB =__________．13.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p =_________．14.已知ABC ，6a =，给出下列结论：①若10b =，3A π=，则B 的值唯一；②若6A π=，则ABC S 有最大值；③若10b c +=，则cos A 的最小值为725.其中，所有正确的结论序号为___________.15.已知函数(2)(),1,()1, 1.x a a x x f x a x --≤=->（1）若0a =，[04],x ∈，则()f x 的值域是________；（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．三､解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,ωϕπ><的图像如图所示.（1）求,ωϕ的值；（2）设()()4g x f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间.17.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．18.已知函数()1e ln xf x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中R a ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（2）当()0ln2a ∈，时，证明：()f x 存在极小值.19.已知椭圆C 的两个焦点分别为()1F ，)2F ，短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点，过M 点作两条互相垂直的直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，直线AB 是否过定点？并求出DAB 面积的最大值.2022—2023学年度第一学期高三年级数学学科12月练习一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，则（）A.A BB.BAC.A B B⋃= D.A B ⋂=∅B【分析】判定出两集合的关系判断选项AB ；求得A B A ⋃=否定选项C ；求得A B ⋂≠∅否定选项D.【详解】由{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，可得B A故选项A 判断错误；选项B 判断正确；{}{}{}0||0,1,20A B x x x x B =⋃=≥≥≠⋃，则选项C 判断错误；{}{}{}00,1,20,1|,2A B x x ⋂=≥⋂=≠∅，则选项D 判断错误.故选：B2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A.()1,0 B.()2,0 C.()0,1 D.()0,2B 【分析】【详解】试题分析：∵2(1i )(1i)1i 2z =+-=-=，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()2,0.考点：复数的乘法运算、复数与复平面的点的对应关系.3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1y x =-+ B.()21y x =- C.ln y x= D.12y x=D【分析】利用一次函数单调性判断选项A ；利用二次函数单调性判断选项B ；化简ln y x =，则可得到单调区间，即可判断选项C ；利用幂函数单调性判断选项D.【详解】1y x =-+在区间()0,∞+上单调递减，则选项A 判断错误；()21y x =-在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增,则选项B 判断错误；ln ,1ln ln ,01x x y x x x ≥⎧==⎨-<<⎩在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增,则选项C 判断错误；12y x =在区间()0,∞+上单调递增，则选项D 判断正确故选：D4.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若132,12a S ==，则4S =A.24 B.20C.16D.10B【分析】根据等差数列的前n 项和公式化简312S =，将12a =代入求出公差d 的值，然后由首项1a 和公差d ，利用等差数列的前n 项和公式求出4S 即可．【详解】由132,12a S ==得3132363122S a d d ⨯=+=+=解得2d =所以41434812202S a d ⨯=+=+=故选B.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题．5.已知平面向量()0,1,0a =，10,,22b ⎛=- ⎝⎭，则a 与a b + 的夹角为（）A.π3B.2π3C.π6D.5π6A【分析】由题意可得1(0,,22a b += ，设a 与a b + 的夹角为θ，由()cos ||||a a b a a b θ⋅+=⋅+求解即可.【详解】解：因为()0,1,0a = ，130,,22b ⎛=- ⎝⎭，所以13(0,,22a b += ，设a 与a b +的夹角为θ，则1()12cos 112||||a a b a a b θ⋅+===⨯⋅+，又因为[0,π]θ∈，所以π3θ=.故选：A6.直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定A 【分析】由直线方程可得直线过定点(11)，，又点(11)，在圆内，得到答案.【详解】直线l ：10mx y m -+-=过定点(11)，，因为221(11)5+-<，则点(11)，在圆22(1)5x y +-=的内部，∴直线l 与圆相交，故选：A.7.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且()()5f x f x +=.若()21f >，()3f a =，则（）A.3a <-B.3a > C.1a <- D.1a >C【分析】由()()5f x f x +=可知函数()f x 的周期为5，即()()23f f a -==，再结合函数()f x 为奇函数，所以()()221f f a =--=->，进而可得1a <-.【详解】因为()()5f x f x +=，所以函数()f x 的周期为5，所以()()23f f a -==，又因为函数()f x 为奇函数，所以()()221f f a =--=->，所以1a <-.故选：C.8.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是（）A.//m β，αβ∥B.m β⊥，αβ⊥C.m n ⊥，n α⊥，m α⊄ D.m 上有不同的两个点到α的距离相等D【分析】根据直线与平面，平面与平面的关系可得.【详解】对于A 项，//m β，αβ∥则可能m α⊂，故A 不正确；对于B 项，m β⊥，αβ⊥则可能m α⊂，故B 不正确；对于C 项，m n ⊥，n α⊥，m α⊄，则//m α，故C 正确；对于D 项，m 上有不同的两个点到α的距离相等，则可能m 与α相交故选：D9.我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线2(0)y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z ，得截面圆的面积为2l ππ=.由此构造右边的几何体1Z ：其中AC ⊥平面α，AC L =，1AA α⊂，1AA π=，它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，且PQ π=，FP l =，则几何体Z 的体积为A.2L πB.3L π C.212L π D.312L πC【分析】通过截面面积相等可求得BC 的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.【详解】由题意可知：在高为L 处，截面面积为L π，且截面面积相等11BB C C S L π∴=BC L ⇒=111212ABC A B C ABC V S L ππ-∆∴=⋅=本题正确选项：C 【点睛】本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.10.在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111D C B A 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A.0个B.1个C.2个D.3个C【详解】因为线段D 1Q 与OP 互相平分，所以四点O ，Q ，P ，D 1共面，且四边形OQPD 1为平行四边形．若P 在线段C 1D 1上时，Q 一定在线段ON 上运动，只有当P 为C 1D 1的中点时，Q 与点M 重合，此时λ＝1，符合题意．若P 在线段C 1B 1与线段B 1A 1上时，在平面ABCD 找不到符合条件Q ；在P 在线段D 1A 1上时，点Q 在直线OM 上运动，只有当P 为线段D 1A 1的中点时，点Q 与点M 重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个故选C.二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若0.31(2a =，20.3b -=，12log 2c =，则a ，b ，c 按从大到小的顺序排列依次为______．b ac >>【分析】可看出0.321210()1,031,log 202．-<<，从而比较出a ，b ，c 的大小．【详解】解：0.30110(()122<<=，200.30.31->=，1122log 2log 10<=；b ac ∴>>．故答案为b a c >>．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．12.圆C ：222210x y x y +--+=的圆心坐标是__________；直线l ：0x y -=与圆C 相交于A ，B 两点，则||AB =__________．①.(1,1)②.2【分析】由圆的一般式方程，利用配方法，整理得圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，根据圆心与已知直线的位置关系，可得答案.【详解】圆22:2210C x y x y +--+=，即22(1)(1)1x y -+-=，所以圆心为(1,1),半径为1,圆心(1,1)在直线:0l x y -=上,所以AB 为直径，所以2AB =.故答案为：(1,1)；2.13.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p =_________．4【分析】根据双曲线顶点和抛物线焦点相关知识直接求解即可.【详解】双曲线2214x y -=右顶点坐标为()2,0，抛物线22y px =的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，所以22p=，即4p =.故答案为：414.已知ABC ，6a =，给出下列结论：①若10b =，3A π=，则B 的值唯一；②若6A π=，则ABC S 有最大值；③若10b c +=，则cos A 的最小值为725.其中，所有正确的结论序号为___________.②③【分析】利用正弦定理，余弦定理以及均值不等式逐项进行检验即可求解.【详解】对于①，因为10b =，3A π=，由正弦定理可得：sin sin a b A B =，所以5sin sin 1326b B A a ==⨯=>，所以ABC 无解，故①错误；对于②，由余项定理可得：2222cos a bc bc A =+-，也即2236(2b c bc =+≥-（当且仅当b c =时取等号）所以36(2bc ≤=+，则11sin 9(224ABC S bc A bc ==≤+ ，所以ABC S 有最大值，故②正确；对于③，由余弦定理可得：22222()232cos 122b c a b c bc a A bc bc bc+-+--===-，又因为2()252b c bc +≤=（当且仅当b c =时取等号），所以327cos 12525A ≥-=，故③正确，故答案为：②③.15.已知函数(2)(),1,()1, 1.x a a x x f x a x --≤=->（1）若0a =，[04],x ∈，则()f x 的值域是________；（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．①.[1,1]-②.(,0)-∞【详解】（1）因为0a =时，2,1,()1, 1.x x f x x -≤=->，01x ≤<时，210,x -≤-<14x ≤≤时，011,≤-≤所以，[04],x ∈，则()f x 的值域是[]1,1-；（2）当1a >时，没有零点；当1a =时有一个零点1x =，当01a <<时，有一个或有两个零点，当0a =时只有一个零点，当a<0时，有三个零点()2,2,1x a x a x a ===-，所以()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是(),0-¥，故答案为[]1,1-，(),0-¥.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和性质、函数的零点与方程、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.三､解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,ωϕπ><的图像如图所示.（1）求,ωϕ的值；（2）设()()4g x f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间.（1）2ω=，2πϕ=-；（2）[,]()2828k k k Z ππππ-+∈.【分析】（1）由图象可知44T π=，则T π=，可求出2ω=，再根据图象过点(,1)2π，求出ϕ的值；（2）利用第（1）题的结果，化简()f x ，再得出()g x 的解析式，利用正弦函数的单调性，求复合函数的单调区间.【详解】解：（1）由图可知44T π=，则T π=，22πωπ∴==，图象过点(,1)2π，则2222k ππϕπ⨯+=+，()k ∈Z 22k πϕπ∴=-又ϕπ<Q ，2πϕ∴=-，故2ω=，2πϕ=-；（2）由（1）可得()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，则()()()4g x f x f x π=-cos 2[cos 2()]4x x π=---cos 2sin 2x x =1sin 42x =由24222k x k ππππ-≤≤+，解得2828k k x ππππ-≤≤+，故函数()g x 的单调递增区间为[,]()2828k k k Z ππππ-+∈.【点睛】本题考查了由三角函数的图象求解析式，余弦型复合函数的单调区间求解问题，属于中档题.17.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．（1）略（2）4π(3)见解析【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答．第三问的创新式问法，难度非常大【详解】试题分析：（1）证明A 1C ⊥平面BCDE ，因为A 1C ⊥CD ，只需证明A 1C ⊥DE ，即证明DE ⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A 1BE 法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a ∈[0，3]，求出平面A 1DP 法向量为假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，CD∩A 1D=D ，∴DE ⊥平面A 1CD ，又∵A 1C ⊂平面A 1CD ，∴A 1C ⊥DE又A 1C ⊥CD ，CD∩DE=D∴A 1C ⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C （0，0，0），D （﹣2，0，0），A 1（0，0，2），B （0，3，0），E （﹣2，2，0）∴，设平面A 1BE 法向量为则∴∴∴又∵M （﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小45°（3）解：设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a ∈[0，3]∴，设平面A 1DP 法向量为则∴∴假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．18.已知函数()1e ln x f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中R a ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e x y =-垂直，求a 的值；（2）当()0ln2a ∈，时，证明：()f x 存在极小值.（1）0a =（2）见解析【分析】（1）由题意，求得函数的导数()f x '，由()1e f '=，即可求得a 的值；（2）求得导数()f x '，得到()f x '与221ln a x x x +-+同号，构造()221ln g x a x x x =+-+，求得()g x '，求得函数()g x 在存在01(,1)2x ∈，使得()00g x =，进而得到()f x 在1(,1)2上的调性，即可作出证明.【小问1详解】()f x 的导函数为()2211121e ln e e ln x x xf x a x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⋅⎝⋅⎭⎭⎭，依题意，有()()1e 1e f a +'==，解得0a =.【小问2详解】由()221e ln x f x a x x x ⎛⎫'=++- ⎪⋅⎝⎭及e 0x >知：()f x '与221ln a x x x++-同号.令()221ln g x a x x x =++-，则()2322x x g x x -+'==()2311x x-+.所以对任意()0,x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在()0,x ∈+∞单调递增.因为0ln2a ∈（，），所以110g a =+>（），012ln 2g a ⎛⎫ ⎪-⎝=<⎭故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =.()f x 与()f x '在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的情况如下：x 01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭0x ()0,1x ()f x '-0+()f x ↘极小值↗所以()f x 在区间01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增.所以()f x 存在极小值()0f x .【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.已知椭圆C 的两个焦点分别为()1F ，)2F ，短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点，过M 点作两条互相垂直的直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，直线AB 是否过定点？并求出DAB 面积的最大值.（1）2214x y +=，32e =（2）直线过定点，DAB 面积的最大值6425【分析】（1）根据条件求出,,a b c 的值即可；（2）联立直线方程x ty m =+和椭圆方程后利用两直线垂直可算出m ，然后利用点到直线的距离算三角形面积，利用函数性质求最值即可.【小问1详解】解：由题意得：c =22b =故可知2224a b c =+=椭圆方程为：2214x y +=，离心率为：32c e a ==【小问2详解】M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点又由（1）可知：(2,0)M -设直线AB 的方程为：x ty m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立方程可得：22222(4)24044x ty m t y mty m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩有韦达定理可知：12224mt y y t +=-+，212244m y y t -=+又2AMB π∠=()()12121212122202()40x x y y x x x x y y ∴+++=⇒++++=又1122x ty m x ty m=+⎧⎨=+⎩ 221212(1)(2)()(2)0t y y mt t y y m ∴++++++=2222222(1)(4)24(44)(4)0t m m t mt m m t +---++++=展开后整理得：2516120m m ++=，解得：65m =-或2m =-（舍去）65x ty ∴=-直线恒过定点6(,0)5-()()122122125464254t y y t y y t ⎧+=⎪+⎪∴⎨⎪=-⎪+⎩12216322564(2)25254DAB S y y t =+-==⋅+V 令(8)u u =≥则2232323236642536425DAB u u S u u u u =⋅==-+++△由对勾函数的单调性可知：363625882u u +≥+=所以6425DAB S ≤V ，当且仅当8u =，即0=t 时取等号此时DAB S 的最大值为：6425。
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练1数学试题
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练1数学试题一、单选题1．已知集合(){}2log 12A x x =+<，{}22530B x x x =--≤，则A B =U （ ）．A ．132x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭B ．{}13x x -<≤C ．132x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭D ．{}3x x ≤2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是 A ．()ln ||f x x = B ．()2-=x f x C ．3()f x x =D ．2()f x x =-3．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4．为了得到函数2log (22)y x =-的图象，只需把函数2log y x =的图象上的所有点（ ） A ．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 5．设x R ∈且0x ≠,则“1x >”是“12x x+>”成立的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知22{R |240}A x x mx m =∈++-<，{N |||1}B x x =∈<，且A B B =I ，那么实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(2,2)-D ．[2,2]-7．设函数()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +-<的解集是（ ）A ．1,2727⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,27D ．()27,+∞8．若函数2()()x f x ax bx e =+的图像如图所示，则实数,a b 的值可能为A ．1,2a b ==B ．1,2a b ==-C ．1,2a b =-=D ．1,2a b =-=-9．德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的趋势可由函数0.2710.6y t =-近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（ ）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈） A ．2小时B ．0.8小时C ．0.5小时D ．0.2小时10．已知函数2,0,()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩当1324m ≤<时，方程1()8f x x m =-+的根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．计算1ln1lg 2lg 3lg54+-+=．12．已知方程221)42(0x m x m -+-=+的两根一个比2大另一个比2小，则实数m 的范围是．13．若不等式20ax bx c --<的解集是{23}xx <<∣，则不等式20cx bx a -->的解集为． 14．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =15．已知函数()e 2x f x =-，()2g x x ax =+（a ∈R ），()21h x kx k =-+（k ∈R ），给出下列四个命题，其中真命题有．（写出所有真命题的序号） ①存在实数k ，使得方程()()f x h x =恰有一个根；②存在实数k ，使得方程()()f x h x =恰有三个根；③任意实数a ，存在不相等的实数12,x x ，使得()()()()1212f x f x g x g x -=-； ④任意实数a ，存在不相等的实数12,x x ，使得()()()()1221f x f x g x g x -=-．三、解答题16．已知二次函数()2f x ax bx =+(,a b 为常数，且0)a ≠ 满足条件：()()13f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、()n m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由. 17．已知函数2()e x f x ax =-．(1)若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的最大值；(2)若2a =，是否存在1x ，2(0,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直？说明理由．（参考数据：e 2.72≈，ln 20.69≈）18．已知：集合{}12{(,,,,),0,1,1,2,,}n i n i X X x x x x x i n Ω==∈=L L L ，其中3n ≥．12(,,,,,)i n n X x x x x ∀=∈ΩL L ，称i x 为X 的第i 个坐标分量．若n S ⊆Ω，且满足如下两条性质：①S 中元素个数不少于4个．②X ∀，Y ，Z S ∈，存在{1,2,}m n ∈L ,，使得X ，Y ，Z 的第m 个坐标分量都是1．则称S 为n Ω的一个好子集．（1）若{,,,}S X Y Z W =为3Ω的一个好子集，且(1,1,0)X =，(1,0,1)Y =，写出Z ，W ． （2）若S 为n Ω的一个好子集，求证：S 中元素个数不超过12n -．（3）若S 为n Ω的一个好子集且S 中恰好有12n -个元素，求证：一定存在唯一一个{1,2,,}k n ∈L ，使得S 中所有元素的第k 个坐标分量都是1．。
北京市中国人民大学附属中学2021届新高三数学暑假作业(含答案)
(D必 要 而不充分 条件
(O充 要条件
(D)既 不充分也不必要条件
8.已 知 Ω∈R,则 “Ω)2” 是“Ω2>‰ ”的( )
(A)充 分而不必要条件
(D必 要 而不 充分 条件
(O充 要条件
北京市中国人民大学附属中学
2021 届高三数学暑假作业
班级____________________ 姓名____________________
2020 年 08 月
数学暑期复习要求及作业建议
【数学暑期复习要求与建议】
1．请每天安排 1.5 小时，认真复习并完成暑假作业，开学后以班为单位收查． 2．每一章节建议做两个方面的工作：首先要梳理知识（包括看课本、笔记、整理以前 的考试题与练习题），并进行单元小结，最好画出知识结构图；然后再做练习（配套做暑期 作业上的相应练习）．如果是自己的薄弱章节，还要再找一些练习题加强训练． 3．做完练习后，要及时地总结方法和规律，针对自己出现的错题要搞清楚错因，搞清 楚是知识性问题还是方法问题或其他问题，多问问为什么，并记录在改错本上．改错本要经 常翻阅，避免再犯． 有余力的同学再做北京近几年的高考题，了解北京高考的要求．
(D)‘ z丫
(A)充 分而不必要条件
(O充 要条件
(D必 要 而不充分 条件
(D)既 不充分也不必要条件
~0为 ⒎若n9lJ忆 m)满 足午
正常数 ,彳 ∈Nx λ则称 忆m)为 锝 方 比数列△
甲:数列 (Ω m)是 等方 比数列 ;乙 :数 列 (Ω 刀)是 等比数列 ,则 甲是乙的( )
(A)充 分而不必要条件
(A)(— 1,0,1)
(B)(— 1,0,2)
(C)(0,1,2)
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北京大学附属中学2021届上学期高三阶段性检测数
学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
2. 命题：对任意，的否定是( )
A．：存在,B．：存在,
C．：不存在,D．：对任意，
3. 函数y=x cos x+sin x在区间[–π，π]的图象大致为（）
A．B．
D．
C．
4. 设，则的大小关系为（）A．B．C．D．
5. 已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数
的图象．
其中所有正确结论的序号是（）
A．①B．①③C．②③D．①②③
6. 设，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7. 函数在区间内的零点个数为（）
A．B．C．D．
8. 已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）
A．B．C．
D．
9. 已知且，若在上恒成立，则（）
A．B．C．D．
10. 设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，y S，若x≠y，都有xy T
②对于任意x，y T，若x<y，则S；
下列命题正确的是（）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
二、填空题
11. 已知角的终边过点，则______．
12. 已知（为虚数单位），则实数的值为_____．
13. 设为单位向量，且，则______________.
三、双空题
14. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完
毕后，y与t的函数关系式y＝ (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不高于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
四、解答题
15. 已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是______.
16. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若函数在上为单调函数，求的取值范围.
17. 在中，，.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）和的面积.条件①：；条件②：.
18. 已知函数，.
（Ⅰ）是否存在使得0为函数的极值点？若存在，求的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若函数有且只有两个零点，求的值.
19. 已知函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）直接写出，，的值（只需写出结论）；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
20. 已知函数，.
（Ⅰ）求证：曲线在点处的切线方程与实数的取值无关；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围.
21. 对于数列，，…，，记，
.设数列，，…，和数列，，…，是两个递增数列，若与满足，，且
，，则称，具有关系.
（Ⅰ）若数列：4，7，13和数列：3，，具有关系，求，的值；
（Ⅱ）证明：当时，存在无数对具有关系的数列；
（Ⅲ）当时，写出一对具有关系的数列和，并验证你的结论.。