重点突破专题 与圆有关的阴影部分面积的计算
圆求阴影部分面积方法
（五）、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，右图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米，求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
（六）、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.
（七）、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
（八）、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的
6、如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。
7、如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
三、图形训练
1、求阴影部分面积：（单位：米）
r= 4
r=10 16
30
2。
专题8 巧求圆中阴影部分的面积（含答案）
专题8 巧求圆中阴影部分的面积【知识解读】求与圆有关的阴影部分的面积，能考查同学们的观察能力、随机应变能力和综合运用数学知识的能力，解答此类问题要注意观察和分析图形的形成，学会分解和组合图形，消除思路中的“阴影”，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，就能给解决问题带来一片光明，切勿盲目计算；下面介绍几种常用的解法．培优学案【典例示范】等积变换法：是在不改变图形面积的前提下，利用“等底、等高的两个三角形的面积相等”，将不规则图形转化为规则图形的面积来求解的方法．例1 如图1－8－1，点P 是半径为1的⊙O 外一点，OP ＝2，P A 切⊙O 于点A ，弦AB ∥OP ，连接PB ，则图中阴影部分的面积是．图181AB OP图182ABCDEMNO【跟踪训练】如图1－8－2，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，C 为切点，过点A 作AD ⊥MN 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ＝6，BC ＝3，求图中阴影部分的面积．【解答】和差法：是指将阴影部分看作两个规则图形的和或差．例2 如图1－8－3，扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，扇形半径为4，点C 在BC 上，CD ⊥OA ，垂足为点D ，当CD ＝OD 时，图中阴影部分的面积为．图183BCD图184CEF【跟踪训练】如图1－8－4，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，点D 为AB 的中点，已知扇形EAD 和扇形FBD 的圆心分别为点A 、点B ，且AC ＝2，则图中阴影部分的面积为（结果不取近似值）．割补法：是在不改变图形面积的前提下，通过割补，将发散的图形面积集中在一起，把不规则的图形凑合成规则图形的方法．例3 如图1－8－5，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为cm 2．图185ABO图186A 'O 'O ABC【跟踪训练】如图1－8－6，将半圆O 绕直径AB 的端点B 逆时针旋转30°，得到半圆O ′，A ′B 交直径AB 于点C ，若BC ＝23，则图中阴影部分的面积为 ．【提示】连接O ′C ，A ′C ，将阴影部分的面积通过割补，转化为△BO ′C 的面积加上扇形O ′AC 的面积．特殊位置法：是在不改变题意的前提下，通过取特殊位置，将图形特殊化，以方便求解．例4 如图1－8－7，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a （a ＞3r ）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是()A ．23r πB 233π- C ．()233r πD ．2r π【提示】解答本题的关键是搞清楚圆形纸片“不能接触到的部分”的面积，即圆形纸片与正三角形的相邻两边都相切时，两切点与正三角形的一个顶点形成的曲边三角形的面积．图187图188【跟踪训练】如图1－8－8，一张半径为1的圆形纸片在边长为a （a ≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（） A ．2a π-B ．()24a π-C ．πD ．4π-整体代换法：是指在解答过程中，可将某些不易求的且不发生变化的量看作整体处理． 例5 如图1－8－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，分别以A ，B ，C 为圆心，以12AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是．图189CBA【提示】直接求阴影部分的面积是不可能的，根据题意结合图形，知阴影部分的面积等于直角三角形的面积减去三个扇形的面积，其中A ，B 两个扇形的面积无法直接求出，但若把它们看作一个“整体”，则问题易求．【跟踪训练】1.如图1-8-10，正方形的边长a ，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 . 【提示】图中阴影部分的面积可以看作四个半圆的面积之和与正方形的面积之差.CBAOFEDCBA2.如图1-8-11，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是2cm ，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是 cm 2.【提示】图中3个扇形正好拼成一个圆心角为180°的大扇形。
和圆联系的阴影部分面积求法举例
和圆联系的阴影部分面积求法举例2012-11-19 10:52:05| 分类：默认分类| 标签：|举报|字号大中小订阅求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为"叶形"，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形)例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
初中几何与圆有关的阴影部分面积计算
求阴影部分面积公式法（阴影部分是一个规则的几何图形，例如三角形，正方形等）、和差法1.直接和差法S阴影=S爲形EAF-一SAADEIr3'//S阴影=S扃形〃,vr + S半圆人歹_ S半間.,⑷S阴影=S半圓“；+ S 半SI BC —S zuc"2 、构造和差法（须添加辅助线）、割补法1、全等2、对称800C. πcm23 D ．350 πcm 2练习：、和差法一）直接和差法1. 小明和小兵进行投靶游戏，如图所示，靶中两个同心圆的半径OA 与OB 的比为3:4 ，随机投一次，若投在阴影部分，小明获胜；投在环形部分，小兵获胜；小明获胜的概率记为P小明，小兵获胜的概率为P小兵，则P小明P小兵（用“>”“<”“＝”填空）2. 两个同心圆被两条半径截得的弧AB 长为10 π，弧CD 长为 6 π，又AC=12 ，则阴影部分面积为__________ 。
3. 如图，⊙ A、⊙B、⊙C 两两不相交，且它们的半径都是0.5 ，则图中三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为______ 。
外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120 °，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为4.如图，一扇形纸扇完全打开后，A ．175 πcm 2 B．150 πcm 210 、如图，已知两个半圆中长为 4的弦AB 与直径 CD 平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于 _________O 为圆心，OC 的长为半径作 交 OB 于点 D ．若 OA ＝ 4，则图中阴影部分的面积为二)构造和差法1 、如图，在以点 O 为圆心的半圆中， AB 为直径，且 AB=4 ，将该半圆折叠，使点 A 和点 B 落在点 O 处，折痕分别为 EC 和 FD ， 则图中阴影部分面积为(A. 4 3 3B. 4 3 232C. 2 3D. 2 3 332、如图，在扇形 AOB 中，∠AOB ＝90 ，点C 为OA 的中点， CE ⊥OA 交 于点 E ，以点B ． +2C ． +D ．2 +A ．+4. 如图， 阴影部分是从一块直径为 40cm 的圆形铁板中截出的一个工件示意图， 其中△ABC 是等边三角形，则阴影部分的面积为4.如 图 ，在 ⊙O 的 内 接 正 六 边 形 ABCDEF 中 ， OA=2 ，以 点 C 为 圆心 ，AC 长 为半 径 画弧 ，恰 好 经 过 点 E ，得 到 ︵，连 接 CE ，OE ，则 图 中 阴 影 部 分的面 积 AE交 AB 于 E ，交 CD 于 F ，则图中阴影部分的面积为A.800 πcm 2C.( 400 3100 3)cm 2400 2 B. ( π 200 3) cm 2 3 2 D. 200 πcm A ． 10 4 33 B. 2 2 3 C. 83 3 3 4D. 3 235.如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=4 3 ，AD=2 3 ，BD ⊥AD ，以 BD 为直径的⊙ O6.已知AB、CD为⊙ O的两条弦，如果AB=8 ，CD=6 ，弧AB 所对的圆心角与弧CD所对的圆心角的度数和为180 °，那么圆中的阴影部分的总面积为__________ 。
中考数学专题复习--利用圆的相关知识求阴影部分的面积问题及解析
利用圆的相关知识求阴影部分的面积问题及解析常用方法是将弧的端点与圆心相连，将阴影部分的面积转化成扇形面积与其他图形的和或差。
一、割补法问题1.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是（）。
A．﹣B．﹣ C．π﹣ D．π﹣【解析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBFD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∠3+∠5=60°∵AB=2，∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBFD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×2×=．故选：B．问题2.（也可顺时针旋转）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．（1）求证：AC=BD；（2）若图中阴影部分的面积是πcm2，OA=2cm，求OC的长答案：（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD；∴∠AOC=∠BOD；在△AOC和△BOD中，∵OA=OB ∠AOC=∠BOD CO=DO ，∴△AOC≌△BOD（SAS）；∴AC=BD．（2）根据题意得：S阴影=290603OAπ⨯-2609?3OCπ⨯=2?290?(60)3OA OCπ⨯-；∴34π=2()3694?0?OCπ-；解得：OC=1（cm）．二、等积法问题3如图，AB是半圆O的直径，AB=2，C、D是半圆上两点，且三等分半圆，则图中阴影部分的面积为_______.解答：连接CD，OC,OD由C、D为半圆弧的三等分点，可得CD//AB，∠COD=60°因此S△ECD=S△COD,∴S阴影部分=S扇形CED又OC=12AB=12×2=1，∴S阴影部分=S扇形CED=23606OCπ⨯=2601360π⨯=6π问题4如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC 于点E、B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（）。
圆求阴影部分面积方法
学生姓名：年级：课时数：辅导科目：数学学科教师：课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法（一）、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
@（二）、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
（三）、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。
（四）、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
（五）、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，右图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米，求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
'（六）、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.（七）、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
中考专题-圆中阴影部分面积求解解析(教案)
难点举例：在计算过程中，注意分数、小数的运算，以及平方、开方等运算的准确性。
（5）数据分析能力的运用：在解决不同类型的题目时，学生需要分析数据，找出解题规律，提高解题效率。
难点举例：分析不同类型题目的共同点和差异，总结解题方法，形成自己的解题策略。
在学生小组讨论环节，我发现学生们在讨论过程中能够积极思考，提出自己的观点。但与此同时，也有一部分学生在讨论中过于依赖他人，缺乏独立思考。为了解决这个问题，我将在今后的教学中注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们在讨论中敢于发表自己的见解。
最后，我注意到在总结回顾环节，部分学生对所学知识点的掌握程度并不理想。这说明我在教学过程中可能没有充分关注到学生的个体差异，导致他们在学习过程中跟不上整体进度。因此，我将在今后的教学中更加关注每个学生的学习情况，因材施教，确保每个学生都能掌握所学知识。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们在圆中阴影部分面积求解方面存在一些问题。首先，他们在构建空间观念上还有一定的困难，尤其是在处理复杂的几何图形时，难以准确把握图形之间的关系。在接下来的教学中，我需要加强这方面的训练，多提供一些直观的教具或图形，帮助学生建立更清晰的空间观念。
其次，学生在逻辑推理能力方面也表现出一定的不足。在解决实际问题时，他们往往不能迅速找到解题的关键步骤，导致解题思路不清晰。针对这一问题，我打算在讲授过程中，更多地运用案例分析，引导学生逐步分析问题，培养他们的逻辑推理能力。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如绘制圆形和扇形，并进行面积求解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
与圆有关的计算求阴影部分面积-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
与圆有关的计算求阴影部分面积 题型解读｜模型构建｜通关试练模型01 阴影部分面积计算求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键． 模型02 阴影部分周长计算求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形=n 360πR 2或S 扇形=12lR （其中l 为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 模型03 与最值相关的计算阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.求阴影部分面积方法总结 方法一 直接利用公式法求阴影部分面积方法二 直接或构造和差法求阴影部分面积 方法三 利用等积转换法求阴影部分面积方法四 利用容斥原理求阴影部分面积模型01 阴影部分面积计算 考｜向｜预｜测阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.答｜题｜技｜巧 第一步： 确定弧所对的圆心，（找圆心）第二步： 连接圆心与弧上的点；（连半径） 第三步： 确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特殊角，大胆假设小心论证）第四步： 把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解例1．（2023·四川）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．2(4π4)cm +B ．2(4π8)cm +C ．2(8π4)cm +D ．2(4π16)cm −【答案】A 【详解】解：由题意知4cm AF AD BC ===，10cm BF AF AB =+=，阴影部分的面积211π42S AB BC AD BF BC =⋅+−⋅ 21164π410442=⨯+⨯−⨯⨯244π20=+−4π4=+，故选A ．例2．（2023·湖北）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，3,6,AB AC O ==是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，则图中两个阴影部分面积的和为 ．【答案】5π−/5π−+【详解】解：如图，连接OD ，OE ，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，∴OD AB ⊥，OE AC ⊥，90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形， 又OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴AD DO OE AD ===，90DOE ∠=︒，90A OEC ∠=∠=︒，A C B E C O ∠=∠，∴ACB ECO ∠∽， ∴AC AB EC EO =，设AD DO OE AD r ====，则6EC AC AE r =−=−， ∴636r r =−，解得2r =，∴2AD DO OE AD ====， 90DOE ∠=︒，∴DOB 和EOC △所包含扇形的面积之和为：22180901ππ2π3604r ︒−︒⨯=⨯=︒，∴图中两个阴影部分面积的和为：21π362π5π2ABC ADOE S S −−=⨯⨯−−=−正方形，故答案为：5π−．模型02 阴影部分周长计算考｜向｜预｜测阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形的长度问题.答｜题｜技｜巧第一步： 观察图形特点，确定弧长和线段长；第二步： 利用弧长公式求长度；第三步： 求图形中其它边的长度；例1．（2023·河北）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点P ，那么图中阴影部分①的周长为 ，阴影部分①②的总面积为 ．【答案】 2π+ 2233π【详解】解：连接PB 、PC ，作PF BC ⊥于F ，2PB PC BC ===，PBC ∴△为等边三角形，60PBC PCB ∴∠=∠=︒，30PBA ∠=︒，∴sin602PF PB =⋅︒=∴阴影部分①的周长AP BP l l AB =++ 3026022180180ππ⨯⨯=++2π=+阴影部分①②的总面积()2BPC ABP BPC S S S ⎡⎤=−−⨯⎣⎦扇形扇形223026021223603602ππ⎡⎤⎛⨯⨯=−−⨯⨯⎢⎥ ⎝⎣⎦ 23π=，，故答案为：2π+；23π．例2．（2023·浙江）如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为 ．【答案】a π 【详解】解：四边形ABCD 是正方形，边长为a ，AB CB AD CD a ∴====，90B D ∠=∠=︒，∴树叶形图案的周长902180a a ππ⋅=⨯=．故答案为：a π． 模型03 与最值相关的计算 考｜向｜预｜测圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题. 答｜题｜技｜巧 第一步： 观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定，线段长变化）第二步： 利用将军饮马或者“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等知识点进行转化 第三步： 牢记弧长公式，求对弧长和线段长；第四步： 利用数形结合思想注意确定最值；例1．（2023·江苏）如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若1OA =，则阴影部分面积的最小值为（ ）A ．3144πB ．142π−C ．24πD ．184π− 【答案】C【详解】解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足ABC 的面积最大即可， 从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，ABC 的面积最大，连接OC '，则OC AB '⊥于D ，12OD AB ∴===，1DC OC OD ''∴=−=，1111122AOB ABC AOBC S S S ''⎛∴=+=⨯⨯+⎝⎭四边形， 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==， ∴阴影部分面积的最小值42π=−，故选：C ． 例2．（2022·浙江）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π−【答案】D【详解】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴，∵OA'=OB'=∴=，∴tan ∠A'OP=tan ∠，∴∠A'OP=∠B'OP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ−=− ，故答案为：D ． 例3．（2023·吉林）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为．【答案】483π+【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP +=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==， ∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒. 故答案为483π+.1．（2023·江苏）如图，在Rt ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==,,，以O 为圆心的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点，且O 点在BC 边上，则图中阴影部分面积S =阴（ ）A ．12B ．π3C ．35π4−D ．15036π4949− 【答案】D 【详解】解：连接,OD OE ，设O 与BC 交于M 、N 两点，∵AB AC 、分别切O 于D 、E 两点，∴90ADO AEO ∠=∠=︒，又∵90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴90DOE ∠=︒，∴90DOM EON ∠+∠=︒，设OE x =，则AE AD OD x ===，4EC AC AE x =−=−． ∵,90C C CEO A ∠=∠∠=∠=︒，∴COE CBA ∽， ∴CE OE CA AB = ， ∴443x x −= ， 解得127x = ，∴()ABC ADOE DOM EON S S S S S =−−+阴影正方形扇形扇形 22129011273427360π⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯⨯−− ⎪⎝⎭ 150364949π=−．故选D ．2．（2022·湖北）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．A ．13πB ．43πC ．23π D3− 【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，∴S △AFD ＝S △OFA ，∴S 阴＝S 扇形OFA ，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝2 6022= 3603 p p.故选：C．3．（2023·安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且AB BC=，则阴影部分面积与圆的面积之比为（）A B C D【答案】B【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC设正六边形的边长为1，则1OA =，60AOB ∠=︒，OA OB =∴AOB 为等边三角形，则60BOA OBA ∠=∠=︒，1OA OB AB ===，2AC =，∴BCO BOC ∠=∠，又∵ABO BCO BOC ∠=∠+∠，∴30BCO BOC ∠=∠=︒，则=90AOC ∠︒，∴OC所以圆的面积为3π，正六边形的面积为1166sin 6061122AOB S AB OA =⨯⋅⋅︒=⨯⨯⨯△，则阴影部分面积与圆的面积之比为23π=， 故选：B ．4．（2022·广西）如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值等于（ ）A ．2π﹣4B ．4π﹣8 CD【答案】D 【详解】由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小，∵P），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴∴tan ∠AOP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S △AOB=2120·41-23602π⨯= ，故选D ．5．（2023·山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB 、两点，分别以AB 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（ ）A ．12πB ．14πC ．πD ．4π【答案】C【详解】解：∵点A 的坐标为（2，1），且⊙A 与x 轴相切，∴⊙A 的半径为1，∵点A 和点B 是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B 的坐标为（-2，-1），同理得到⊙B 的半径为1，∴⊙A 与⊙B 关于原点中心对称，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分完全重合，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C ．6．（2023·山西）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点O 在AB 上，以O 为圆心作圆与BC 相切于点D ，与AB 、AC 相交于点E 、F ；连接AD 、FD ，若O 的半径为2．则阴影部分面积为（ ）A ．13πB ．43πC ．23πD ．23π【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵O 与BC 相切，∴90ODB ∠=︒.∵90C ∠=︒，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ∥，∴.AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴影扇形，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵OF OA =，∴AOF 是等边三角形，∴60AOF ∠=︒， ∴260223603OFA S S ππ⋅⋅===阴影扇形．故选C ．7．（2023·黑龙江）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径作圆，分别交AB 于点DE ，则弧CD 弧CE 和线段DE 围成的封闭图形（图阴影部分）的面积 （结果保留π）【答案】4π8−【详解】解：∵904ACB AC BC ∠=︒==，， ∴14482ABC S =⨯⨯=△，4542CAD S ππ⨯==扇形，()282164S ππ=⨯−=−空白， ∴()816448ABC S S S ππ=−=−−=−阴影空白，故答案为：48π−．8．（2022·河南）在矩形ABCD 中，4,AB AD ==，以BC 为直径作半圆（如图1），点P 为边CD 上一点．将矩形沿BP 折叠，使得点C 的对应点E 恰好落在边AD 上（如图2），则阴影部分周长是 ．4+/4【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O ，如图，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠A=90°，由折叠得，BE BC ==∵4,AB =∴4AE ==∴,AB AE = ∴1(18090)452ABE AEB ∠=∠=︒−︒=︒∴90904545,OBE ABE ∠=︒−∠=︒−︒=︒∵OB OF =∴45OBF OFB ∠=∠=︒∴180454590BOF ∠=︒−︒−︒=︒∴BF 的长==，4BF ==，∴ 阴影部分周长4+4+．9．（2022·内蒙古）如图，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD AC =，延长CD 交OB 的延长线于点E ．(1)求证：CD 是圆的切线；(2)已知4sin 5OCD ∠=，AB =AC 长度及阴影部分面积． 【答案】(1)证明见详解；(2)AC=3，阴影部分面积为50-43π．【详解】（1）证明：连接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC=∠BDE∴∠A=∠EDB∵∠AOB=90°∴∠A+∠ABO=90°∴∠ODB+∠BDE=90°即OD ⊥CE ，又D 在o 上∴CD 是圆的切线；（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°在Rt △OCD 中，4sin 5OD OCD OC ∠==∴设OD=OB=4x ，则OC=5x ，∴3CD x∴AC=3x∴OA=OC+AC=8x在Rt △OAB 中：222OB OA AB +=即：()()(22248x x += 解得1x =，（-1舍去）∴AC=3，OC=5，OB=OD=4在Rt △OCE 中，4sin 5OE OCD ∠==∴设OE=4y ，则CE=5y ，∵222OE OC CE +=()()222455y y += 解得53y =，（53−舍去） ∴2043OE y ==219012050-5-4-42360233OB S OE OC πππ⋅=⋅=⨯⨯=阴影 ∴阴影部分面积为50-43π．1．如图，在以点O 为圆心的半圆中，AB 为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．3πD ．23π 【答案】D 【详解】∵AB 是直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，S 半圆=21222=ππ⨯，S 长方形CDFE=2∴S 阴=S 长方形CDFE -(S 半圆-S 长方形CDFE)+2（S 扇形OEF -S △EOF ）=212232+（-ππ⨯=23π 故选D.2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 是AB 中点，在AD 上取一点G ，以点G 为圆心，GD 的长为半径作圆，该圆与BC 边相切于点F ，连接DE ，EF ，则图中阴影部分面积为（ ）A．3πB．4πC．2π+6D．5π+2【答案】B【详解】如图，连接GF，∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4∵点E是AB中点∴AE＝BE＝2∵BC与圆相切∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°∴四边形GFCD是矩形，又∵GD＝DF∴四边形GFCD是正方形∴GD＝GF＝CD＝CF＝4∴BF＝BC﹣FC＝2∵S阴影＝（S四边形ABFD﹣S△AED﹣S△BEF）+（S扇形GDF﹣S△GDF）∴S阴影＝（(26)4116222222+⨯−⨯⨯−⨯⨯）+（4π﹣1442⨯⨯）＝4π.故选B．3．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画AB，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )A ．4π−B ．6πC ．42π−−D ．43π−−【答案】C【详解】过E 点作EM ⊥BC 于M 点，作EN ⊥AB 于N 点，如图，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴∠EBC=60°，∵EM ⊥BC ，∴在Rt △EMC 中，∴tan ∠ECM=EM MC =tan30°=，∴，∴∴在Rt △EBM 中，∴tan ∠EBM=EMBM∴BM=，∵BM+MC=BC=4，∴=4，∴EM =∴BM=1==，∵NE ⊥AB ，EM ⊥BC ，且∠ABC=90°，∴四边形BMEN 是矩形，∴NE=BM=1，∵AB=BC=4，∠ABC=90°，∴1141222ABE S AB NE =⨯⨯=⨯⨯=△，11422BEC S BC EM =⨯⨯=⨯=△22901443604ABCS AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=扇形o o∴42ABE BEC ABC S S S S π=−−=−−△△阴影扇形故选：C ．4．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）A ．（π）cm 2B ．（πcm 2C ．（2π）cm 2D ．（2π-cm 2【答案】C【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴=∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF=1226023360π⨯⨯2π)cm2，故选C ．5．如图，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，将Rt AOB △绕点O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE △，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．5π+C ．524π−D ．724π− 【答案】C 【详解】解：作DH AE ⊥于H ，∵90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，∴AB 由旋转，得EOF BOA ≌，∴OAB EFO ∠=∠，∵90FEO EFO FEO HED ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFO HED ∠=∠，∴HED OAB ∠=∠，∵90DHE AOB ∠=∠=︒，DE AB =，∴()AAS DHE BOA ≌，∴1DH OB ==，阴影部分面积ADE =V 的面积EOF +V 的面积+扇形AOF 的面积−扇形DEF 的面积211902905311222360360ππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+−5124π=−故选：C ．6．如图，在半径为2、圆心角为90︒的扇形OAB 中，2BC AC =，点D 从点O 出发，沿O A →的方向运动到点A 停止．在点D 运动的过程中，线段BD ，CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）A ．23πB ．213π−C ．3πD ．132π− 【答案】B【详解】当点D 在线段OA 上时，易得当点D 与点A 重合时，阴影部分面积最小，连接OC 、BC ，过点C 作CH OA ⊥于点H ，如图，190303AOC ︒︒∠=⨯=，112CH OC ∴==， ∵290603BOC ︒︒=⨯=∠， ∴260223603BOC S =⨯⨯=扇形ππ．∴ 2112212213223BOC AOC AOB S S S S ππ=+−=+⨯⨯−⨯⨯=−△△阴扇形；∴线段BD 、CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为213π−．故答案为B ．7．如图，矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差12S S −为（ ）A ．13124π−B ．9124π−C ．1364π+D ．6【答案】A 【详解】解：∵在矩形ABCD 4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S −+=−矩形扇形扇形， ∴22129039021343123603604S S πππ⋅⨯⋅⨯−=⨯−−=−， 故选A ．8．如图，在半径为4的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 是AB 上一动点，点D 是OC 的中点，连结AD 并延长交OB 于点E ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A ．44π−B ．4πC ．24π−D ．2π【答案】B 【详解】∵点D 是OC 的中点，2OD =，∴点D 在以O 为圆心2为半径的圆弧上，∴可知当AE 与小圆O 相切于D 时，OE 最大，即△AOE 的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值， ∵24OA OD ==， ∴1sin =2OD OAE OA =∠,则30OAE ∠=︒，∵∠AOB=90°，∴tan OE OA OAE =⋅∠=，∴4OAE OAB S S S π=−=阴影扇形， 故选B ．9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、.F 若圆半径为2.则阴影部分面积= ．【答案】23π/23π【详解】解：连接OD ，OF ．AD 是BAC ∠的平分线，DAB DAC ∴∠=∠，OD OA =，ODA OAD ∴∠=∠，ODA DAC ∴∠=∠，OD ∴∥AC ，90ODB C ∴∠=∠=︒，∴AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴扇形，2OD OA ==，6AB =，4OB ∴=，2OB OD ∴=，30B ∴∠=︒，60A ∴∠=︒，OF OA =，AOF ∴是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，260π22π3603OFA S S ⋅∴===阴影部分扇形，故答案为：2π3．10．如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =点O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的圆与AB 相切于点D ，交AC 于另一点E ，点F 为优弧DCE 上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ．【答案】223π+ 【详解】解：连接DE ，OD ，∵Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =∴6tan 30BC AC ===︒，∵AB 为O 的切线，∴90ADO ∠=︒，∴2AO OD =，60AOD ∠=︒，∵OD OE OC ==，∴36AC AO OC OD =+==，△ODE 为等边三角形，∴2DE OE OD OC ====，∵S 阴影=S 弓形DGE+S △DEF∴当OF ⊥DE 时，阴影部分面积最大，此时OF 与DE 交于G ，∴∠DOG=∠EOG=30°，∠DGO=90°，∴cos302OG OD =⋅︒==，2GF OG OF =+=，∴S 阴影= S 扇形ODE - S △DEO +S △DEF=260211222(22360223ππ⨯⨯−⨯⨯⨯=+．11．如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若OA ＝1，则阴影部分面积的最小值为 ．【答案】42π−【详解】取弧AB 的中点C′，连接AB 、OC '、AC '、BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，△ABC 的面积最大，则OC AB '⊥于D1222OD AB ∴===12DC OC OD ''∴=−=−1111(122AOB ABC AOBC S S S D D ''∴=+=⨯⨯+=四边形扇形AOB 的面积29013604ππ⨯== ∴阴影部分面积的最小值为4π=故答案为：4π．12．如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值= ．【答案】【详解】解：由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小．∵P，∴OP=2．∵OA'=OB'=4，∴∴tan ∠A'OP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB'=2120π4360⋅⋅﹣122⋅．故答案为：．13．如图，扇形OAB 中，OA R =，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，点D 为OB 上一动点，连接AD DC 、，当阴影部分周长最小时，tan ADC ∠等于 ．【答案】【详解】解：如图，作点C 关于OB 的对称点E ，连接AE 交OB 于点F ，连接FA 、OC ， 由对称可知，DC DE =，FC FE =，∵AD CD AD DE AE AF EF +=+≥=+，当点D 移动到点F 时，取等号，此时AD CD +最小， ∵C 为弧AB 的中点，∴AC BC =，则30AOC COB BOE ∠=∠=∠=︒，90AOE ∴∠=︒， 又OA OE =，∴45OEF ∠=︒，∴304575EFB BOE OEA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由轴对称可知，75CFB EFB ∠=∠=︒，∴30AFC ∠=︒，∴当阴影部分周长最小时，30ADC AFC ∠=∠=︒，则tan ADC ∠= ．故答案为：．14．如图，扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，M 切弧AB 于点C ，切OA ，OB 分别于点D ，E ，若1OA =，则阴影部分面积的周长为 ．【答案】13π16−+【详解】∵⊙M 内切于扇形AOB ，∴C 、M 、O 三点共线，连接C 、M 、O ，连接ME 、MD ，如图所示，根据相切的性质可知DM ⊥AO ，ME ⊥OB ，设⊙M 的半径为R ，∴ME=MD=MC=R ，∠MDO=∠MEO=90°，结合MO=MO ，可得t t R MDO R MEO ≅△△，∴∠MOD=∠MOE=12∠AOB=120°×12=60°，∴在Rt △MOE 中，∠OME=90°-∠MOE=30°，∴OE=ME=R ，OM=2OE=R ，又∵OA=OC=OB=1，∴OM+MC=1，即R+R=1，解得R=3，∴OE=2BE=OB -1，∵∠MOE=60°，∴»60123603BC OA ππ=⨯⨯=o o ，∵∠OME=30°，∴∠CME=180°-∠OME=180°-30°=150°，15015015223603606EC ME R πππ=⨯⨯=⨯⨯=−，则阴影部分的周长为：BE+BC +EC 1+13π+156π−=1316π−，故答案为：1316π−．15．如图，在AOB 中，2OA =，3OB =，32AB =．将AOB 绕点O 逆时针旋转45︒后得到COD △，则图中阴影部分（边AB 扫过的图形）的周长为 ．【答案】534π+ 【详解】解：∵32CD AB ==，AC 的长为4521801802n OA πππ⋅⨯==，BD 的长为45331801804n OB πππ⋅⨯==，∴阴影部分的周长为533534224AC BD AB CD ππ+++=++=+． 故答案为534π+． 16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ．(1)若25B ∠=︒，求AD 的度数；(2)若D 是AB 的中点，且4AB =，求阴影部分（弓形）的面积．【答案】(1)50°(2)23π【详解】（1）解：连接CD ，如图，90ACB ∠=︒，25B ∠=︒，902565BAC ∴∠=︒−︒=︒，CA CD =，65CDA CAD ∴∠=∠=︒，180656550ACD ∴∠=︒−︒−︒=︒，∴AD 的度数为50︒；（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，D 是AB 的中点，90ACB ∠=︒，122CD AD BD AB ∴====，CD CA =， ACD ∴为等边三角形，60ADC ∴∠=︒，sin 60CH CD =⋅︒=∴阴影部分的面积260212236023ACD ACD S S ππ⋅⋅=−=−⨯=扇形17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC , 以AB 为直径作圆O ，分别交AC , BC 于点D 、E ．(1)求证：BE ＝CE ;(2)当∠BAC ＝40°时，求∠ADE 的度数；(3)过点E 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点F ,当AO ＝BE ＝2时,求图中阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)110︒(3)23π【详解】（1）证明：如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BE=CE ；（2）∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∠BAC ＝40° ∴1==20°,2BAE BAC ∠∠∴∠ABE=90°-∠BAE=70°，∵四边形ABED 是圆内接四边形,∴∠ADE=180°-∠ABE=110°，（3）连接OE ，∵EF 是O 的切线，∴OE EC ⊥，∵22AO BE OB OE AO =====，，∴BOE 是等边三角形，∴60BOE ∠=︒，30F ∠=︒∴EF ==∴160××42==223603OEF OBE S S S ππ−⨯⨯阴影部分扇形． 18．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）163π−【详解】解：（1）证明：过O 作OD AB ⊥于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒OC AC ∴⊥， OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=， OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB=90°，∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，∴∵∠AOC=90°-30°=60°，∴∠COD=2∠AOC=120°，由（1）得：AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线，∴∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积2 1112044422360π⨯=⨯+⨯−163π=．。