高一函数值域定义域方法总结
函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法
(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆
求法)
(7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
①
21)(-=
x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x
x x f -++=21
1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21
-x 无意义,
而2≠x 时,分式21
-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .
②∵3x+2<0,即x<-3
2
时,根式23+x 无意义,
而023≥+x ,即3
2
-≥x 时,根式23+x 才有意义,
∴这个函数的定义域是{x |3
2
-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式
x
-21
同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解:要使函数有意义,必须: ??
?≠-≥+0
201x x ? ???≠-≥21
x x 例2 求下列函数的定义域:
①
14)(2
--=
x x f ②2
143)(2-+--=x x x x f
③
=
)(x f x
11111++
④
x
x x x f -+=
0)1()(
⑤
3
7
3132+++-=
x x y
解:①要使函数有意义,必须:142
≥-x 即: 33≤≤-x
∴函数
14)(2--=x x f 的定义域为: [3,3-
]
②要使函数有意义,必须:??
?≠-≠-≤≥??
??≠-+≥--131
40210432x x x x x x x 且或
4133≥-≤<--
∴定义域为:{ x|4133≥-≤<-- ③要使函数有意义,必须: 011110110≠++≠+≠? ?? ? ? ? ? ??x x x ? 2 110-≠-≠≠?????x x x ∴函数的定义域为:}2 1 ,1,0|{--≠∈x R x x 且 ④要使函数有意义,必须: ? ??≠-≠+001x x x ???<-≠?01 x x ∴定义域为: {}011|<<-- ⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ?? ?? ?-≠∈?37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}3 7 |{-≠x x 例3 若函数 a ax ax y 1 2+ -=的定义域是R ,求实数a 的取值范围 解:∵定义域是R,∴恒成立,01 2 ≥+ -a ax ax ∴?? ???≤≤?-=?>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数 )(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+=x f y )4 1 (-?x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须: 4343454 34345 14111411≤≤-??????≤ ≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-?x f 的定义域为:? ?? ??? ≤ ≤-4343|x x 例5 已知 f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。 分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1, 1]内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2)的定义域。 答案:-1≤x 2≤1? x 2≤1?-1≤x ≤1 练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数 )2(-x f 的定域义为:{} 2460|+≤≤x x 例7已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域 因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。 已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2 5 -) (提示:定义域是自变量x 的取值范围) 练习: 已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域 若 ()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( ) A. []1,1- B?? ????-21,21 C.??????1,21 D.10,2?? ???? 已知函数 ()11x f x x += -的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则 ( ) A.A B B =U B.B A ∈ C.A B B =I D. A B = 2、求值域问题 利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数 )0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R , 当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a b a c y y 4)4(|2-≤ }. 例1 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②) (3x 1x 32 )(≤≤-=x f ③ x x y 1 + =(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3, ∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②略 ③ 当x>0,∴ x x y 1 + ==2)1(2+- x x 2≥, 当x<0时, )1 (x x y -+ --==-2)1 (2--- -x x -≤ ∴值域是Y ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数 x x y 1 + =的图像为: 二次函数在区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ①142+-=x x y ; ②; ]4,3[,142∈+-=x x x y ③ ]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 解:∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R , ∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上, min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上, min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上, min y =-3,m ax y =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值a b a c y 4)4(2min -=; ②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值a b a c y 4)4(2max -= . ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0 x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值. ②若0 x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 练习:1、求函数y =3+√(2-3x)的值域 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的值域为 [)+∞,3 . 2、求函数 []5,0,522∈+-=x x x y 的值域 解: Θ对称轴 []5,01∈=x [] 20,420,54 ,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 例3 求函数y=4x -√1-3x(x ≤1/3)的值域。 解:法一:(单调性法)设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x -√1-3x 在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此, 所求的函数值域为{y|y ≤4/3}。 小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端 点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y ≥3}) 法二:换元法(下题讲) 例4 求函数x x y -+=12 的值域 解:(换元法)设 t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y [)(] 2,2 1,01max ∞-∴==∴ +∞∈=值域为,时当且开口向下 ,对称轴y t t Θ 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体 现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数y=√x-1 –x 的值域。(答案:{y|y ≤-3/4} 例5 (选)求函数 x x y -+-=53 的值域 解:(平方法)函数定义域为:[]5,3∈ x [][][] [] 2 ,24,21,0158,5,315 82)5()3(2 222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y 例6 (选不要求)求函数 2 1x x y -+=的值域 解:(三角换元法) 11≤≤-x Θ ∴设[]πθθ,0cos ∈=x [ ][] 2 ,12 ,1)4 sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π θθθθθy 小结:(1)若题目中含有 1≤a ,则可设 ) 0,cos (2 2 ,sin πθθπ θπ θ≤≤=≤ ≤- =a a 或设 (2)若题目中含有122 =+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ,其中πθ 20<≤ (3)若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 (4)若题目中含有 2 1x +,则可设θtan =x ,其中2 2 π θπ < <- (5)若题目中含有)0,0,0(>>>=+ r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x == 其中?? ? ??∈2,0πθ 例7 求 13+--=x x y 的值域 解法一:(图象法)可化为 ?? ? ??>-≤≤---<=3,431,221,4 x x x x y 如图, 观察得值域 {}44≤≤-y y 可得。 解法三:(选)(不等式法) 4 14114)1(134 )1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x Θ 同样可得值域 练习: 1y x x =++的值域呢? ()[∞+,1) (三种方法均可) 例8 求函数 [])1,0(239∈+-=x y x x 的值域 解:(换元法)设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为 [][] 8,28,3;2,13,12 1 ,2max min 2值域为时时对称轴∴====∴ ?= +-=y t y t t t t y Θ 例9求函数 x x y 2231+-? ? ? ??= 的值域 解:(换元法)令1)1(22 2 +--=+-=x x x t ,则)1(31≤?? ? ??=t y t 由指数函数的单调性知,原函数的值域为 ?? ????+∞,31 例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解:(图象法)如图,值域为(]1,0 例11 求函数 2 1 +-= x x y 的值域 解法一:(逆求法){}1121,≠-+= y y y y x x 原函数值域为观察得解出 解法二:(分离常数法)由 12 3 1232≠+-=+-+= x x x y ,可得值域{}1≠y y 小结:已知分式函数 )0(≠++= c d cx b ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为? ?? ? ??≠ c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为)(bc a d d cx c ad b c a y ≠+- + =,用复合 函数法来求值域。 例12 求函数1 33+=x x y 的值域 解法一:(逆求法)10013<<∴>-= y y y x Θ ()1,0原函数的值域为∴ 小结:如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法。 解法二:(换元法)设t x =+13 , 则()11 11 31113113>-=+-=+-+=t t y x x x 101 1 01<<∴<<∴>y t t Θ ()01原函数的值域为 ∴ 练习:y =121 2+-x x ;(y ∈(-1,1)). 例13 函数1 1 22+-=x x y 的值域 解法一:(逆求法)110112<≤-∴≥-+= y y y x Θ [)1,1-∴ 原函数的值域为 解法二:(换元法)设t x =+12 ,则 原函数值域即得∴<≤-∴≤< ∴≥1 122 01y t t Θ 解法三:(判别式法)原函数可化为 010)1(2=++?+-y x x y 1) 1=y 时 不成立 2) 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y 11<≤-∴y 综合1)、2)值域}11|{<≤-y y 解法四:(三角换元法)∴∈R x Θ设?? ? ??-∈=2,2tan ππθθx ,则 ()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 122-∈∴-∈-=+--=θππθθθ θ Θy ∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数 3 425 2+-= x x y 的值域 解法一:(判别式法)化为0)53(422 =-+-y yx yx 1)0=y 时,不成立 2) 0≠y 时,0≥?得 2 0 1 t 2t 5 1 t t 5 500)53(8)4(≤≤?≥--y y y y 50≤<∴y 综合1)、2)值域}50|{≤< y y 解法二:(复合函数法)令t x x =+-3422 ,则t y 5 = 11)1(22≥+-=x t Θ 50≤<∴y 所以,值域}50|{≤ 例15 函数 11 ++ =x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 01)1(2=+-+x y x (][)∞+-∞-∴-≤≥∴≥--∴≥?,31,1 30 4)1(0 2Y Θ原函数值域为 或y y y 解法二:(不等式法)1)当0>x 时,321 ≥∴≥+ y x x 2) 0 综合1)2)知,原函数值域为 (][)∞+-∞-,31,Y 例16 (选) 求函数)1(1 2 22->+++= x x x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x [)∞+∴-≤∴->-≤≥?≥---∴≥?,2212 20 )2(4)2(02原函数值域为 舍去 或y x y y y y Θ Θ 解法二:(不等式法)原函数可化为 当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2 例17 (选) 求函数)22(1 2 22≤≤-+++= x x x x y 的值域 解:(换元法)令t x =+1 。。 小结:已知分式函数)0(2 22 2≠+++++=d a f ex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 (选)) (二次式 一次式 或一次式二次式== y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足 用基本不等式的条件,转化为利用函数 )0(≠+ =x x a x y 的单调性去解。 练习: 1 、 )0(91 22≠++ =x x x y ; 解:∵x ≠0, 11)1(912 2 2+-=++ =x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷: 119291 2 2=+≥++ =x x y (或利用对勾函数图像法) 2 、 3 425 2+-= x x y 0 3 、求函数的值域 ① x x y -+=2; ②2 42x x y --= 解:①令x u -=2≥0,则22u x -=, 原式可化为 49 )21(222+--=+-=u u u y , ②解:令 t=4x -2 x ≥0 得 0≤x ≤4 在此区间内 (4x -2 x )m ax =4 ,(4x -2 x )m in =0 ∴函数 242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1:将函数化为分段函数形式:?? ? ??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3) 1(12x x x x x y ,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}. 解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]. 如图 5、求函数 x x y -+=142的值域 解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t 代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-?==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4 6、(选)求函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域 方法一:去分母得 (y -1)2 x +(y+5)x -6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2 +4(y -1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1) 2 ≥0检验 51-=y (有一个根时需验证)时 2) 5 6 (2551=-?+- -=x (代入①求根) ∵2 ? 定义域 { x| x ≠2且 x ≠3} ∴ 5 1- ≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1 综上所述,函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-} 方法二:把已知函数化为函数 3 6 133)3)(2()3)(2(-- =+-=+---= x x x x x x x y (x ≠2) 由此可得 y ≠1,∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5 1 - } 复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = (2 )01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为 ________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且 1 ()()1 f x g x x += -,求()f x 与()g x 的解析表达式 函数 例1、 已知函数f (x )=3+x + 21+x , (1) 求函数的定义域; (2) 求f (-3),f (32)的值; (3) 当a>0时,求f (a ),f (a-1)的值。 例2、中哪个与函数y=x 相等( )x 3 A 、y=(x )2 B 、y=33 x C 、y=2x D 、y=x x 2 例3、求下列函数的定义域 (1)f (x )= 741+x (2)f(x)=x -1+ 3+x -1 例4、已知函数f (x )=x 2+2x (1) 求f (2),f (-2),f (2)+f (-2)的值 (2) 求f (a ),f (-a ),f (a )+f (-a )的值 例5、某种笔记本的单价是5元,买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记 本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)。 例6、画出函数y=|x|的函数图象。 例7、如图,把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木材,如果矩形木材的一边长为xcm,面积为ycm2,把y表示为x的函数。 1、求下列函数的定义域 (1)f (x )= 43-x x (2)f (x )=2x (3)f (x )= 2 362+-x x (4)f (x )=14--x x 2、下列那组中的函数f (x )与g (x )相等 (1)f (x )=x-1,g (x )=x x 2 -1; (2)f (x )=x 2,,g (x )=(x )4 (3)f (x )=x 2,g (x )=36x 3、已知函数f (x )=3x 2-5x+2,求f (-2),f (-a ),f (a+3),f (a )+f (3)的值. 4、已知函数f (x )=6 2-+x x (1)点(3,14)在f (x )的图象上吗 (2)当x=4时,求f (x )的值; (3)当f (x )=2,求x 的值。 高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 (1 )1 y = (2 )y = (2)(3) 若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m <<(B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 (一)已知函数()f x 的定义域,求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数2(2)f x 的定义域。 (二)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2],求函数()f x 的定义域。 (三)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5),求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 (一) 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+,求()f x 的解析式。 (二) 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 (三) 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈,关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =,求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+,求()f x 。 (四) 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数,对一切x R ∈,均有()(2)0f x f x ++=,当11x -≤≤时,()21f x x =-,求当13x <≤时,函数()f x 的解析式。 (五) 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=,求()f x (六) 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?- ,求[()]f g x 的解析式 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法: 例1:求函数y = 例2:求函数1y 的值域。 2、配方法: 例1:求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 例2:求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3:求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法: 例1:求函数125 x y x -=+的值域。 例2:求函数1 22+--=x x x x y 的值域. 例3:求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法: 例1:求函数2y x = 例2: 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 例1:求函数y x = 例2:求函数()x x x f -++=11的值域。 例3:求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1:求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1:已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域. 例2:若()f x 的定义域为[]35-,,求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域. 例3:求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-= x x f ; ② 23)(+=x x f ; ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4:求下列函数的定义域: ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1:已知 :23)1(2 +-=+x x x f ,求f(x); 个性化学科优化学案 辅导科目 数学 就读年级 学生 教师 徐亚 课 题 函数的概念 授课时间 2015年11月28 备课时间 2015年11月25日 教 学 目 标 1、理解函数的概念,明确确定函数的三个要素,会用区间表示函数的定义域和值域;掌握求函数定义域的基本原则。 2、了解函数的三种表示方法,并能选择合适的方法表示函数。 重、难 考 点 求函数的值域问题时要明确两点,一是值域的概念,二是函数的定义域和对应关系是确定函数的依据。 教学容 鹰击长空—基础不丢 1.定义:设A 、B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系f ,使对于集合A 中的 一个数x ,在集 合B 中 确定的数f(x)和它对应,那么就称:f A B →为集合A 到集合的一个 ,记作: 2.函数的三要素 、 、 3.函数的表示法:解析法(函数的主要表示法),列表法,图象法; 4. 同一函数: 相同,值域 ,对应法则 . 1.区间的概念和记号 在研究函数时,常常用到区间的概念,它是数学中常用的述语和符号. 设a,b ∈R ,且a 数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1,已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域. 例1,已知f(x)的定义域为(-1,1),求f(2x-1)的定义域. 略解:由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0,1) 2,已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域. 例2,已知f(2x-1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域。 解:已知0<1,设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2,加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3,已知f(g(x))的定义域,求f(h(x))的定义域. 例3,已知f(2x-1)的定义域为(0,1),求f(x-1)的定义域。 略解:如例2,先求出f(x)的定义域为(-1,1),然后如例1有-1<1,即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0,2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据: ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4,已知f(x)=1/x+√(x+1),求f(x)的定义域。 略解:x≠0且x+1≧0, ∴f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞) 注意:答案一般用区间表示。 例5,已知f(x)=lg(-x2+x+2),求f(x)的定义域。 略解:由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1,2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6,某工厂统计资料显示,产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律: 又知每生产一件正品盈利100元,每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数; 函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆 求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-3 2 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式 x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ?? ?≠-≥+0 201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: 函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 经典例题透析 类型一、函数概念 1.下列各组函数是否表示同一个函数? (1) (2) (3) (4) 小结1:相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备) 2.求下列函数的定义域(用区间表示). (1);(2);(3). 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3.值域: (先考虑其定义域) 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后,值域就完全确定了,但求值域还是特别要注意讲究方法,常用的方法有: 1.直接法:由常见函数的值域或不等式性质求出; 2.分离常数法:可将其分离出一个常数; 3.观察法:利用函数的图象的"最高点"和"最低点",观察求得函数的值域; 4.判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些"分式"函数等;此外,使用此方法要特别注意自变量的取值范围; 5.换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域. 例题详见备课本 5. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 ∵0e x > ∴01y 1y >-+ 解得:1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(- 例3. 求函数1x x y -+=的值域。 解:令t 1x =-,)0t (≥ 则1t x 2+= ∵ 43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥,由二次函数的性质可知 当0t =时,1y m i n = 当0t →时,+∞→y 故函数的值域为),1[+∞ 高一初等函数定义域值 域 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数 例1、 已知函数f (x )=3+x + 21+x , (1) 求函数的定义域; (2) 求f (-3),f (32)的值; (3) 当a>0时,求f (a ),f (a-1)的值。 例2、中哪个与函数y=x 相等( )x 3 A 、y=(x )2 B 、y=33 x C 、y=2x D 、y=x x 2 例3、求下列函数的定义域 (1)f (x )= 7 41+x (2)f(x)=x -1+ 3+x -1 例4、已知函数f (x )=x 2+2x (1) 求f (2),f (-2),f (2)+f (-2)的值 (2) 求f (a ),f (-a ),f (a )+f (-a )的值 例5、某种笔记本的单价是5元,买x(x {1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)。 例6、画出函数y=|x|的函数图象。 例7、如图,把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木材,如果矩形木材的一边长为xcm,面积为ycm2,把y表示为x的函数。 x 1、求下列函数的定义域 (1)f (x )=43-x x (2)f (x )=2x (3)f (x )=236 2+-x x (4)f (x )=14--x x 2、下列那组中的函数f (x )与g (x )相等? (1)f (x )=x-1,g (x )=x x 2 -1; (2)f (x )=x 2,,g (x )=(x )4 (3)f (x )=x 2,g (x )=36x 3、已知函数f (x )=3x 2-5x+2,求f (-2),f (-a ),f (a+3),f (a )+f (3)的值. 4、已知函数f (x )=62 -+x x (1)点(3,14)在f (x )的图象上吗? 第五讲 函数的定义域与值域 一、知识归纳: (一)函数的定义域与值域的定义: 函数y=f(x)中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域,与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。函数值的集合{f(x)│x ∈A}叫做函数的值域。 (二)求函数的定义域一般有3类问题: 1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下: ①分式的分母不等于0; ②偶次根式被开方式大于等于0; ③对数式的真数大于0,底数大于0且不等于1; ④指数为0时,底数不等于0 [ 2、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义,其包含两类: ①已知f[g(x)]的定义域为x ∈(a,b )求f(x)的定义域,方法是:利用a 课 题 函数的概念和图像 授课日期及时段 教学目的 1.理解函数及其定义域、值域的概念,并能求函数的定义域、值域 2.能用描点法画函数的图像 3.了解函数的表示方法,重点掌握函数的解析法 4.了解分段函数的概念,掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法 5.理解函数的单调性,掌握判断函数单调性和求函数最值的方法 6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性,求函数的最值 7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法 了解映射的定义,明确函数与映射的异同之处 教学内容 1.函数概念是如何定义的,什么是映射?举例说明函数、映射以及它们之间的区别 2.思考:对于不同的函数如:①x x y 22 -=②1-=x y ③1 1+=x y ④()52lg +=x y ⑤x y -=11 的定义域如何确定 3.通常表示函数的方法有: 4.()x f y =的定义域为A x x A ∈21,,。 函数是增函数, 函数是减函数, 函数是奇函数, 函数是偶函数。 讲授新课: 一、函数的判断 例1.<1>下列对应是函数的是 注:检验函数的方法(对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应) ①x y y x =→: ②12++→x x x <2>下列函数中,表示同一个函数的是:( ) 注:定义域和对应法则必须都相同时,函数是同一函数 A.()()()2 ,x x g x x f = = B.()()2,x x g x x f = = C.()()2 4,22--=+=x x x g x x f D.()()33,x x g x x f == 练习: 1.设有函数组:①2,x y x y ==②33,x y x y ==③x x y x y = =,④()() x x y x x y =<>???-=,0011 ⑤x y x y lg 2,lg 2== ⑥10 lg ,1lg x y x y =-= 其中表示同一函数的是 。 二:函数的定义域 注:确定函数定义域的主要方法 (1)若()x f 为整式,则定义域为R. (2)若()x f 是分式,则其定义域是分母不为0的实数集合 (3)若()x f 是偶次根式,则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合; (4)若()x f 是由几部分组成的,其定义域是使各部分都有意义的实数的集合; (5)实际问题中,确定定义域要考虑实际问题 例:1.求下列函数的定义域: (1)2 322 ---=x x x y (2)x x y -?-=11 高一数学求函数的定义域与值域的常用法 一:求函数解析式 1、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将函数用一个变量代换。 例1. 已知2211 ()x x x f x x +++= ,试求()f x 。 解:设1x t x +=,则11x t =-,代入条件式可得:2 ()1f t t t =-+,t ≠1。故得:2()1,1f x x x x =-+≠。 说明:要注意转换后变量围的变化,必须确保等价变形。 2、构造程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个程,联立求解。 例2. (1)已知21 ()2()345 f x f x x x +=++,试求()f x ; (2)已知 2 ()2()345f x f x x x +-=++,试求()f x ; 解:(1)由条件式,以1x 代x ,则得2111 ()2()345f f x x x x +=++,与条件式联立, 消去1f x ?? ???,则得: ()222845333x f x x x x =+--+ 。 (2)由条件式,以-x 代x 则得: 2 ()2()345f x f x x x -+=-+,与条件式联立,消去 () f x -,则得: ()2543f x x x =-+ 。 说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出。 例4. 求下列函数的解析式: (1)已知)(x f 是二次函数,且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ,求)(x f ; (2)已知x x x f 2)1(+=+,求)(x f ,)1(+x f ,)(2 x f ; (3)已知x x x x x f 1 1)1(22++=+,求)(x f ; (4)已知3)(2)(3+=-+x x f x f ,求)(x f 。 【题意分析】(1)由已知)(x f 是二次函数,所以可设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,设法求出c b a ,,即可。 (2)若能将x x 2+适当变形,用1+x 的式子表示就容易解决了。 (3)设x x 1 +为一个整体,不妨设为t ,然后用t 表示x ,代入原表达式求解。 (4)x ,x -同时使得)(x f 有意义,用x -代替x 建立关于)(x f ,)(x f -的两个程 就行了。 【解题过程】⑴设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,由,2)0(=f 得2=c , 由1)()1(-=-+x x f x f ,得恒等式12-=++x b a ax ,得2 3,21-==b a 。 故所求函数的解析式为22 3 21)(2+-= x x x f 。 函数的定义域与值域的常用方法 (一)求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形 式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0; 2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定 义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形; 3、求函数解析式的一般方法有: (1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。 (2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值; (3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g(x),以换元法 解之; (4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x 代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式; (5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列 出等式,解出y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。 (二)求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示; 2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的 范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题; 3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等; 4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u 的范围,即g(x)的范围,再从中 解出x 的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域; 5、分段函数的定义域是各个区间的并集; 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在 叙述结论时分别说明; 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作 为该函数的定义域; (三)求函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示; 2、在函数f:A→B 中,集合B 未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C 是B 的子集;若C=B, 那么该函数作为映射我们称为“满射”; 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集; 4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述; 5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集; 函数的定义域与值域 例1.下列各组函数中,表示同一函数的是( ). A. 1,x y y x == B. 11,y x y +C. ,y x y == 2||,y x y == 解: 变式训练1:下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是 ( ) A.y= x x 2 x ) 2x D.y=x 2lo g 2 解: 变式训练2:下列是映射的是………………………………………( ) (A)1、 2、 3 (B)1、 2、5 (C)1、 3、5 (D)1、2、3、5 变式训练3:下面哪一个图形可以作为函数的图象……………………( ) (A) (B) (C) (D) 变式训练4:如果(x ,y )在映射f 下的象为(x +y ,x -y ),那么(1,2)的原象是…………( ) (A )(-23,21) (B) (23,-21) (C) (-23,-21) (D) (23,2 1 ) 例2.给出下列两个条件:(1)f(x +1)=x+2x (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式 解:(1)令t=x +1,∴t≥1,x=(t-1) 2 则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2 -1,x∈[1, (2)设f(x)=ax 2 ∴f(x+2)=a(x+2)2 +b(x+2)+c 则f(x+2)- ∴?? ?=+=2244 4b a a , ?? ?-==1 1b a ,又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x 2 - 变式训练2:(1)已知f (12+x )=lgx ,求f (x ); (2)已知f (x )是一次函数,且满足3f (x+1)-2f (x-1)=2x+17,求f (x ) ; (3)已知f (x )满足2f (x )+f (x 1 )=3x ,求f (x ) 解:(1)令 x 2+1=t ,则x=12 -t , ∴f(t )=lg 12 -t ,∴f(x )=lg 1 2- x (2)设f (x )=ax+b ,则 3f (x+1)-2f (x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,故f (x )=2x+7. (3)2f (x )+f ( x 1 )=3x , ① 把①中的x 换成 x 1,得2f (x 1)+f (x )=x 3 ①×2-②得3f (x )=6x- x 3,∴f(x )=2x-x 1 . 变式训练3:求满足下列条件的函数解析式: ⑴2 1)11(x x x f -=+ ⑵)(,14))((x f x x f f -=是一次函数. 例3、已知函数f(x)=?? ?????<-=>. 0,1,0, 1,0,2x x x x x (1)画出函数的图象;(2)求f(1),f(-1),f [])1(-f 的值. 解:(1)分别作出f(x)在x >0,x=0,x <0段上的图象,如图所示,作法略. (2)f(1)=12 =1,f(-1)=-,11 1 =-f [])1(-f =f(1)=1. 变式训练:?? ???≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2 x x x x x x x f ,那么f (f (-2))= ;如果f (a)=3,那么实数 a= . 高一人教版必修一数学函数定义域、值域、 解析式题型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 (1 )1 y = (2 )y = (2)(3 )若函数()f x =R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 (一)已知函数()f x 的定义域,求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数2(2)f x 的定义域。 (二)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2],求函数()f x 的定义域。 (三)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5),求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 三、 求函数解析式的方法 (一) 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+,求()f x 的解析式。 (二) 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 (三) 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈,关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =,求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+,求()f x 。 (四) 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数,对一切x R ∈,均有()(2)0f x f x ++=,当11x -≤≤时,()21f x x =-,求当13x <≤时,函数()f x 的解析式。 (五) 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=,求()f x (六) 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?- ,求[()]f g x 的解析式 高一数学《函数的定义域值域》练习题 8.(2004.湖北理)已知)(,11)11(22 x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为 ( C ) A . 2 1x x + B .2 12x x +- C . 2 12x x + D .2 1x x +- 9.(2004.湖北理)函数]1,0[)1(log )(2 在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ,则a 的值为( B ) A . 4 1 B . 2 1 C .2 D .4 13.(2004. 重庆理) 函数y = ( D ) A .[1,)+∞ B .23(,)+∞ C .2 3[,1] D .23(,1] 18.(2004.湖南理)设函数,2)2(),0()4(.0, 2, 0,0,)(2-=-=-???>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为 ( C ) A .1 B .2 C .3 D .4 20、(2004. 人教版理科)函数)1(log 22 1-= x y 的定义域为( ) A 、[ )(] 2,11,2Y -- B 、)2,1()1,2(Y -- C 、[)(]2,11,2Y -- D 、)2,1()1,2(Y -- 28、(2004. 人教版理科)设函数?????≥--<+=1 ,141 ,)1()(2 x x x x x f ,则使得1)(≥x f 的自变量x 的 取值范围为( ) A 、(][]10,02,Y -∞- B 、(][]1,02,Y -∞- C 、(][]10,12,Y -∞- D 、[)[]10,10,2Y - 9.(2006年陕西卷)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文,,,a b c d 对应密文 2,2,23,4.a b b c c d d +++例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为(C ) (A )7,6,1,4 (B )6,4,1,7 (C )4,6,1,7 (D )1,6,4,7 3.(2006年安徽卷)函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 1 2f x f x +=,若()15, f =-则()()5f f =__________。 解:由()()12f x f x += 得()() 1 4()2f x f x f x += =+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()11 5(5)(1)(12)5 f f f f f =-=-= =--+ 第4讲 函数定义域值域及表示 (1)函数的概念 设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域. 注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使 这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意: 1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系 决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) (2)区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: 1.()f x 是整式时,定义域是全体实数. 2.()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. 高一函数同步练习2(定义域、值域) 一. 选择题 1.函数y=2122 --+-+x x x x 的定义域是( ) (A ){x -21-≤≤x } (B ){x -21≤≤x } (C ){x x>2} (D ){R x ∈x 1≠} 2.函数654 2-+--=x x x y 的定义域是 (A ){x|x>4} (B)}32|{<函数定义域、值域经典习题及答案
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高一人教版必修一 数学函数定义域、值域、解析式题型
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