第二章 事件的概率
第二章事件的概率
§4 概率的公理化定义
例1.已知8.0
P,试证明7.0
A
AB
P.
P
(≥
)
(
)
=B
,9.0
)
(=
例2.小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率
(2) 至少有一类问题能答出的概率
(3) 两类问题都答不出的概率
§2 古典概型
例1.掷两枚均匀硬币,观察出现的面,求事件A={一正一反}发生的概率.
例2.某城市电话号码升位后为六位数,且第一位为6或8,求
(1)随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率;
(2)随机抽取的电话号码末位数是8的概率.
例3.(摸球问题)设袋中有10个外型相同的球(其中6个红球和4个白球),现从种任取3个,试求:(1)取出的3个球都是红球的概率;
(2)取出的3个球种恰有一个是白球的概率.
例4.从10件产品(其中2件次品,8件正品)之中任取3件,求这3件产品中
(1)恰有2件次品的概率;(2)至多有一件次品的概率.
例5.从10件产品(其中2件次品,8件正品)中每次取1件观测后放回,共取3次(以后简称为有放回地取3件),求这3件产品中
(1)恰有2件次品的概率;(2)至多有一件次品的概率.
例6(抽奖券问题)今有某超市抽奖销售,设共有n张券,其中只有一张有奖,问若每个人只能抽一张,第k个人抽到有奖的概率是多少?试就有放回,无放回两种方式回答该问题.
例7.(分房模型）设有k 个不同的球, 每个球等可能地落入N 个盒子中（N
k≤）, 设
每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
（1）某指定的k 个盒子中各有一球；（2）某指定的一个盒子恰有m 个球(k
m≤)
（3）某指定的一个盒子没有球；（4）恰有k 个盒子中各有一球；
（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.
例8.(生日问题)生物系二年级有n个人，求至少有两人生日相同（设为事件A ) 的概率. 例9 区长办公室某一周内曾接待过9次来访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否可以断定接待时间是有规定的？
§3 几何概型
例1.某公共汽车站从上午7时起,每隔15分钟来一趟车,一乘客在7:00到7:30之间随机到达该车站,求(1)该乘客等待不到5分钟乘上车的概率;
(2)该乘客等待时间超过10分钟才乘上车的概率.
例2.某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率.(画图分析)
例3（会面问题）甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时,求它们会面的概率是多少?
习题课:
1.一检验员检验某班组一天生产的n 个产品的质量,事件i A 为第i 个产品为合格品,i=1,2,…,n.
试用1A ,2A ,…,n A 表示下列事件.
(1)没有一个次品;(2)至少有一个次品;
(3)至多有一个次品;(4)至少有两个合格品.
2.电梯从一层升到12层,开始时有10名乘客,每个乘客从第2层到第12层的每一层离开电梯是等可能的,求下列事件的概率:
(1)A={10人在同一层离开电梯}；(2)B={10人在不同层离开电梯}
(3)C={恰有2人在同一层离开电梯}
3.在n 把钥匙中只有一把是房门钥匙,现在一把一把地试开,试就(1)有放回;(2)无放回两种方式,求第k 次试开时就将房门打开的概率(n k ≤≤1).
4.50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3个铆钉;若将3只强度太弱的铆钉装在同一个部件上,则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少?
5.一半径为r 的钱币随机地落在边长为l 的正方形桌面上（r l 2>），求事件A={钱币不与桌面的四条边相交}的概率。
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第2章概率
第二章
随机变量及其分布
§2.1 随机变量 离散型随机变量 §2.2 随机变量的分布函数 §2.3 连续型随机变量及其分布 §2.4 随机变量的函数的分布
1
§2.1 随机变量 量
2.1.1 随机变量的概念
离散型随机变
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1, 2, , 6 (2)电话总机在单位时间内接到的呼唤次数 Y 0，1，2，…… (3)某电子元件的使用寿命 T [0, ) (4) 将一枚硬币抛掷两次，观察正面出现的次数 Z
X ~ ( ),
e e
3e 2
2
P{ X 3} 1 P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2}
21 2 2 2 2 1 e 2 e e 1 5e 2 0.323 1! 2!
27
四、 超几何分布
定义4 称 X 服从参数为N, M, n (M≤N, n≤N)的 超几何分布 ( X ~ h(N, M, n)), 若 X 的分布律为
n k N M n N
C C P{ X k } C
k M
( k 0, 1, , r , r min{ M , n})
注 背景： 若N个元素分为A、B两类，A类中含有 M（M≤N）个元素．任取n个，则这n 个元素中 含有A类元素的个数 X ~ h( N, M, n).
28
§2.2 随机变量的分布函数
击, 每人射击一次，各人击中目标的概率依次为
0.7，0.6，0.5, 求目标被击中次数 X 的分布律.
解：设A, B, C分别表示甲、乙、丙击中目标，
X所有可能的取值为0, 1, 2, 3.
P{ X 0} P ( ABC ) 0.3 0.4 0.5 0.06
随机变量及其分布
§2.1 随机变量 离散型随机变量 §2.2 随机变量的分布函数 §2.3 连续型随机变量及其分布 §2.4 随机变量的函数的分布
1
§2.1 随机变量 量
2.1.1 随机变量的概念
离散型随机变
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1, 2, , 6 (2)电话总机在单位时间内接到的呼唤次数 Y 0，1，2，…… (3)某电子元件的使用寿命 T [0, ) (4) 将一枚硬币抛掷两次，观察正面出现的次数 Z
X ~ ( ),
e e
3e 2
2
P{ X 3} 1 P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2}
21 2 2 2 2 1 e 2 e e 1 5e 2 0.323 1! 2!
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四、 超几何分布
定义4 称 X 服从参数为N, M, n (M≤N, n≤N)的 超几何分布 ( X ~ h(N, M, n)), 若 X 的分布律为
n k N M n N
C C P{ X k } C
k M
( k 0, 1, , r , r min{ M , n})
注 背景： 若N个元素分为A、B两类，A类中含有 M（M≤N）个元素．任取n个，则这n 个元素中 含有A类元素的个数 X ~ h( N, M, n).
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§2.2 随机变量的分布函数
击, 每人射击一次，各人击中目标的概率依次为
0.7，0.6，0.5, 求目标被击中次数 X 的分布律.
解：设A, B, C分别表示甲、乙、丙击中目标，
X所有可能的取值为0, 1, 2, 3.
P{ X 0} P ( ABC ) 0.3 0.4 0.5 0.06
第二版 工程数学-概率统计简明教程-第二章-事件的概率
加法定理的推广
P(AU BU C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
A
B
C
加法定理的推广
对任意 n 个事件 A1, A2 ,L , An ，有
n
n
U P( Ak ) P(Ak )
P( Ai Aj ) L
盒子中，其球在盒子的分布总数为 (r 1)n j ，因而有利于 B 的样
本点数为
n j
(r
1)n
j
.最后得到
PB
n j
(r
1)n
j
rn
.
古典概率的计算：生日问题
某班有30 个同学，求他们生日“无重复”的概率。 （一年按365天计算，并设人在一年内任一天出生是等可能的）
例3 女士品茶问题. 一味常饮牛奶加茶的女士称：她能从一 杯冲好的饮料中分辨出先放茶还是先放牛奶。并且她在10次 实验中都能正确的辨别出来，问该女士的说法是否可信？ 解 假定该女士的说法不可信，她是蒙对的，
则每次蒙对的概率是0.5，于是10次都能蒙对的概率
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立, 从而推断接待时间是有规定的.
第二步 计算事件包含的样本数
第一次取次品有30种可能，第二次次品29种，A有m＝30 ×29
第一次取次品有30种可能，第二次正品70种，B有m＝30 ×70
P( A)
m n
30 29 100 100
0.088.
P(B) 1300017000＝0.21.
第二章 随机事件与概率
古典概率
1、古典概型（等可能性概型）
（1）试验结果只有有限个； （2）每个结果出现的可能性相同。 如抛一颗骰子，出现的结果为{1点，2点…，6点} 共有6个结果，每个结果出现的可能性都是1/6， 因此这个试验就是古典概型.
2、概率的古典定义 若互斥完备群由有限的n个基本事件构成， 而事件A包含m个基本事件，则事件A发生的概率为
（一）条件概率
已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
【例13 】 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋 中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，已 知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率
设A：第一次取到红球, B：第二次取到红球
P ( B | A) 1
2、对立事件加法 证： A A Φ, A A Ω
P ( A) 1 P ( A).
【例12】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5片, 随机抽取3片, 求其中至少有1片穿心莲的概率。 解：设 Ai = {任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有1片穿心莲} 3 0 C15C5 P( B) 1 P( A0 ) 1 3 1 0.3991 0.6009 C20 3、一般加法 A,B任意,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
【例11】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5 片, 随机抽取3片, 求其中至少有2片穿心莲的 概率。 解：设 Ai ={任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有2片穿心莲} 则 B A2 A3 ，故 P ( B) P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 2 0 3 C15 C5 C15 C5 0.1404 3 3 C 20 C 20
工程数学_概率统计简明教程_第二章_随机事件
成一件事情有n 个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
i 1
i
种不同的方法
选排列 从 n 个不同的元素中，任取 m 个
(不放回地）按一定次序排成一列，不同的 排法共有
Pnm n(n 1)( n 2) (n m 1)
等可能性
每次试验中，每一种可能结果发生的可能性相同， 即
1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) n Ai i , i 1,2,, n 其中
古典概型的计算公式
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个,即基本事件ω1，ω2，...， ωn ，而且这些事件的发生具有相同的可能性
例
已知P(A)=0.3， P(B)=0.6,试在下列两
种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A)
(1) 事件A,B互不相容 (2) 事件A,B有包含关系
解
(1) 由于 AB ,因此 A B A, B A B
P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
次试验，事件Ａ发 生的频率 m/n，随着试验次
数n的增大而稳定地在某个常数 p附近摆动,那么
称p为事件Ａ的概率
P( A) p
当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频 率近似的代替事件A的概率
排列组合有关知识复习
加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
古典概率的计算：抽签
10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取 10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第 五个学生抽到入场券}的概率。
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
概率论与数理统计第二章
26
4. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
掷骰子
P(A|B）= 1 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中A所含样本点
个数
27
例8 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
实际上,这个假定并不完 全成立，有关问题的实际概 率比表中给出的还要大 .
当人数超过23时，打赌 说至少有两人同生日是有利 的.
18
例3 某城市的电话号码由5个数字组成，每个 数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求 电话号码由五个不同数字组成的概率.
解：
a
A150 105
=0.3024
问：
b
P( A) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.
这个概率随着球迷人数的增加而迅速增加.
17
人数 至少有两人同
生日的概率
20
0.411
21
0.444
22
0.476
23
0.507
24
0.538
30
0.706
40
0.891
50
0.970
60
0.994
所有这些概率都是在假 定一个人的生日在 365天的 任何一天是等可能的前提下 计算出来的.
25
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
4. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
掷骰子
P(A|B）= 1 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中A所含样本点
个数
27
例8 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
实际上,这个假定并不完 全成立，有关问题的实际概 率比表中给出的还要大 .
当人数超过23时，打赌 说至少有两人同生日是有利 的.
18
例3 某城市的电话号码由5个数字组成，每个 数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求 电话号码由五个不同数字组成的概率.
解：
a
A150 105
=0.3024
问：
b
P( A) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.
这个概率随着球迷人数的增加而迅速增加.
17
人数 至少有两人同
生日的概率
20
0.411
21
0.444
22
0.476
23
0.507
24
0.538
30
0.706
40
0.891
50
0.970
60
0.994
所有这些概率都是在假 定一个人的生日在 365天的 任何一天是等可能的前提下 计算出来的.
25
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
《概率论》 第二章 基本定理
2 1 所以 P ( B A) 4 2
方法二
按乘法法则
1 1 A3 A2 3 P ( AB ) 2 A5 10
1 A3 3 P ( A) 1 , A5 5
P ( AB ) 3/10 1 由乘法法则 P ( B A) P ( A) 3/5 2
注 条件概率的计算方法： (1) 若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定 义求P(B|A)； (2) 当问题比较复杂时，可在原样本空间中先求出 P(AB)和P(A)，再由乘法公式求出P(B|A).
1 2 2 1 207 C4 C 46 276 C C 4 46 ， P ( A1 ) ， P ( A ) 3 2 3 980 C 50 19600 C 50
C 43 P ( A3 ) 3 C 50
4 . 19600
故 P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
定理2 若A，B为任意两事件，则
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
推广 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
例如 同时抛掷一大一小两枚硬币，设事件 A={大硬币正面}，B={小硬币正面} 则基本事件共有4种情况： {大正,小正},{大正,小反},{大反,小正},{大反,小反}
2 1 2 1 , P(B)= , 于是 P(A)= 4 2 4 2 1 P(AB)= 4
有P(AB) = P(A)P(B) ，可见， A、B相互独立.
方法二
按乘法法则
1 1 A3 A2 3 P ( AB ) 2 A5 10
1 A3 3 P ( A) 1 , A5 5
P ( AB ) 3/10 1 由乘法法则 P ( B A) P ( A) 3/5 2
注 条件概率的计算方法： (1) 若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定 义求P(B|A)； (2) 当问题比较复杂时，可在原样本空间中先求出 P(AB)和P(A)，再由乘法公式求出P(B|A).
1 2 2 1 207 C4 C 46 276 C C 4 46 ， P ( A1 ) ， P ( A ) 3 2 3 980 C 50 19600 C 50
C 43 P ( A3 ) 3 C 50
4 . 19600
故 P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
定理2 若A，B为任意两事件，则
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
推广 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
例如 同时抛掷一大一小两枚硬币，设事件 A={大硬币正面}，B={小硬币正面} 则基本事件共有4种情况： {大正,小正},{大正,小反},{大反,小正},{大反,小反}
2 1 2 1 , P(B)= , 于是 P(A)= 4 2 4 2 1 P(AB)= 4
有P(AB) = P(A)P(B) ，可见， A、B相互独立.
概率论基础知识
独立是事 互斥是事 件间的概 件间本身 率属性 的关系
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 两事件互斥
AB
二者之间没 有必然联系
定义2: 设A,B,C是三个事件,若满足: P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A,B,C为相互独立的事件. 定义3：对n个事件A1,A2,…,An,如果对所有可 能的组合1≤i<j<k<…≤n成立着 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An), 则称这n个事件A1,A2,…,An相互独立.
概率的统计定义直观地描述了事件发生的 可能性大小，反映了概率的本质内容，但 也有不足，即无法根据此定义计算某事件 的概率。
2.2、古典概型
若随机试验满足以下特征：
(1)试验的可能结果只有有限个；
(2)各个结果的出现是等可能的. 则称此试验为古典概型.
古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
Ai — 第i次试验中A发生, 则
k P( X k ) Cn p k q nk , k 0,1,2,, n
称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为
P( A n A1A 2 A n1 )
2.4 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分 定义 : 若B1, B2 , , Bn一组事件满足:
(i) Bi B j , i j, i, j 1, 2, ...,n,
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 两事件互斥
AB
二者之间没 有必然联系
定义2: 设A,B,C是三个事件,若满足: P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A,B,C为相互独立的事件. 定义3：对n个事件A1,A2,…,An,如果对所有可 能的组合1≤i<j<k<…≤n成立着 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An), 则称这n个事件A1,A2,…,An相互独立.
概率的统计定义直观地描述了事件发生的 可能性大小，反映了概率的本质内容，但 也有不足，即无法根据此定义计算某事件 的概率。
2.2、古典概型
若随机试验满足以下特征：
(1)试验的可能结果只有有限个；
(2)各个结果的出现是等可能的. 则称此试验为古典概型.
古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
Ai — 第i次试验中A发生, 则
k P( X k ) Cn p k q nk , k 0,1,2,, n
称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为
P( A n A1A 2 A n1 )
2.4 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分 定义 : 若B1, B2 , , Bn一组事件满足:
(i) Bi B j , i j, i, j 1, 2, ...,n,
第二章 可靠性概率统计知识
概率的互补定理
某一事件发生和不发生的概率之和必然是1，即：
P A P A 1
例8：若某产品或设备出现故障的概率为F(t)，则 其无故障地发挥规定功能即正常工作的概率（可 靠度）为： R(t)=1-F(t)
条件概率
在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称 为事件B发生的条件概率。记为：P（B∣A）。
3）乘法定理，A、B相关
50 P( B A) 99 10 50 5 P( AB) P( A) P( B A) 100 99 99
全概率公式
如果事件组A1,A2,…,An满足 A A i j (1) ，i≠j，且P(A )>0，i=1，2，…，n， 即互不相容； n Ai S，即全部事件为必然事件； (2)
的性质的推断（点推断）。 例：随机测试，正品率82%
区间估计：以数值区间（范围）和母体的真正数值可
能存在于该区间的概率来表现的，由子样的性质对母 体性质的推断（区间推断）。
例：正品率在 80% ～ 85% 之间的概率为 95% （置信度或置信水平） 置信度：1-α α —显著性水平（人为给定） 置信区间 例：子样均值对于母体均值μ 的置信度，在 x C , x C 内为1-α 。
若样本容量为n，其观测值为x1,x2,…,xn，则：
1. 样本均值
1 n x xi n i 1 1 n 2 s ( x x ) i n 1 i 1
2
2. 样本方差
3. 样本标准差
s
1 n ( xi x ) 2 n 1 i 1
4. 样本变异系数
Cx
s x
i 1
如果“事件A1,A2,…,An同时发生”这一事件为D，则称 D为事件A1,A2,…,An的积，记为：
概率论 第二章 随机变量与概率分布
(2)P{0 X 2}, P{0 X 2}.
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类 通常分为两类：
所有取值可以逐 个一一列举
离散型随机变量
随 机 变 量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量 非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类 通常分为两类：
所有取值可以逐 个一一列举
离散型随机变量
随 机 变 量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量 非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx