九年级数学上册知识点归纳

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22.1 一元二次方程

知识点一一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2+ bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次

方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

22.2 降次——解一元二次方程

22.2.1配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直

接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就

可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平

方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知

数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；

④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，

把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）把常数项移到等号

的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

22.2.2公式法

知识点一公式法解一元二次方程

（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两

个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。

（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：

①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式

即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b

2-4ac.

△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根

一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根

根的判别式

△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根

22.2．3 因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2）因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用合适的方法解一元一次方程

方法名称理论依据适用范围

直接开平方法平方根的意义形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

因式分解法当ab=0，则a=0或b=0 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。

22.2.4一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=-b/a，,x1x2=c/a

22.3 实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

（2）设：是指设元，也就是设出未知数。

（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相

等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即

方程。

（4）解：就是解方程，求出未知数的值。

（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

（6）答：写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

（1）数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。三位数

的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是

100a+10b+c.

（2）增长率问题设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经

过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b。

（3）利润问题利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利

润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率

（4）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的

面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

二次函数

1.定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数, ），那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数y=ax2的性质

(1)抛物线y=ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

(2)函数y=ax2的图像与的符号关系.

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数y=ax2+bx+c 的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

4.二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)2+k的形式，其中h=-b/2a,k=4ac-b

2/4a.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y=ax2；②y=ax2+k；③y=a(x-h)2；④y=a(x-h)2+k；⑤y=ax2+bx+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a决定抛物线的开口方向：

当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

9.抛物线中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线

,故：

①b=0时，对称轴为y轴；