相似三角形模型总结4(相似与几何图形的综合问题)

难点探究：相似与几何图形的综合问题
——突破相似与三角形、四边形等综合问题及含动点的解题思路
类型一：相似与三角形
1．(娄底中考)一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0，1)，直角顶点C 的坐标为(－3，0)，∠B ＝30°，则点B 的坐标为 ．
解析：如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E .易证△EBC ∽△OCA ，∴EB OC ＝BC CA ＝EC OA
.∵点A 的坐标为(0，1)，点C 的坐标为(－3，0)，∴OA ＝1，OC ＝3，∴AC ＝OA 2＋OC 2＝10.在
Rt △ACB 中，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝210，∴BC ＝AB 2－AC 2＝30，∴BC AC ＝ 3.∴BE ＝33，EC ＝3，∴EO ＝EC ＋CO ＝3＋3，∴点B 的坐标为(－3－3，33)．
2．(无锡中考)如图，Rt∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处．再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为
解析：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5.∵将边AC 沿CE 翻
折，使点A 落在AB 上的点D 处，∴AE ＝DE ，CE ⊥AB .易得△AEC ∽△ACB ，∴AC AB ＝AE AC
，∴AE ＝95.∵S △ABC ＝12AB ·CE ＝12AC ·BC ，∴CE ＝125
.∵将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，∴∠ECF ＝45°，∴EF ＝CE ＝125，∴BF ＝AB －AE －EF ＝5－95－125＝45
类型二：相似与四边形
3．∠(黄石中考)现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图∠所示的形状，R 为DE 的中点，BR 分别交AC ，CD 于P ，Q ，易证BP ∠PQ ∠QR ＝3∠1∠2.
(1)若取四个直角三角形拼成如图∠所示的形状，S 为EF 的中点，BS 分别交AC ，CD ，DE 于P ，Q ，R ，则BP ∠PQ ∠QR ∠RS ＝ ；
(2)若取五个直角三角形拼成如图∠所示的形状，T 为FG 的中点，BT 分别交AC ，CD ，DE ，EF 于P ，Q ，R ，S ，则BP ∠PQ ∠QR ∠RS ∠ST ＝ .
解析：(1)由题意可知AB BC ＝CE ＝12BE .设CQ ＝a .∵S 是EF 的中点，∴EF ＝2ES .∵CD ∥EF ，∴△BCQ ∽△BES ，∴CQ ES ＝BC BE ＝12
，∴ES ＝2CQ ＝2a ，∴AB ＝CD ＝EF ＝2ES ＝4a ，QD ＝3a .∵AB ∥CD ，∴△ABP ∽△CQP ，∴BP QP ＝AB CQ ＝41.同理：PQ QR
＝CQ QD ＝13，QR RS ＝QD ES ＝32
.∴BP ∶PQ ∶QR ∶RS ＝ 4∶1∶3∶2.故答案为4∶1∶3∶2； (2)设CP ＝b .由题意可知B BC ＝CE ＝EG ＝1
3
BG .∵T 是FG 的中点，∴FG ＝2TG .∵AC ∥DE ，∴△BCP ∽△BER ，∴CP ER ＝BC BE ＝12
，∴RE ＝2CP ＝2b .同理：△BCP ∽△BGT ，∴CP TG ＝BC BG ＝13
，∴TG ＝3CP ＝3b ，∴AC ＝DE ＝FG ＝6b ，∴AP ＝5b ，DR ＝4b ，FT ＝3b .∵AB ∥CD ，∴△ABP ∽△CQP ，∴BP QP ＝AP CP ＝51.同理：PQ QR ＝CP DR
＝14，QR RS ＝ DR RE ＝42，RS ST ＝ RE FT ＝23
.∴BP ∶PQ ∶QR ∶RS ∶ST ＝ 5∶1∶4∶2∶3.故答案为5∶1∶4∶2∶3.
小结：根据已知条件，充分利用图形中平行的条件，连续用相似三角形的判定与性质，得出线段之间的比例关系，“遇平行，想相似；用相似，得比例”是相似形的常用思路之一．
4．∠∠(安徽中考)如图∠，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD ＝∠BGC .
(1)求证：AD ＝BC ；
证明：∵点E 是AB 的中点，GE ⊥AB ，∴GE 是线段AB 的垂直平分线，∴AG ＝BG .同
理可得GD ＝GC .在△AGD 与△BGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝BG ，∠AGD ＝∠BGC ，GD ＝GC ，
∴△AGD ≌△BGC ，∴AD ＝
BC ；
(2)求证：∠AGD ∠∠EGF ；
证明：∵∠AGD ＝∠BGC ，∴∠AGB ＝∠DGC .∵AG ＝BG ，DG ＝CG ，且E 、F 分别为
AB 、CD 的中点，∴∠AGE ＝12∠AGB ，∠DGF ＝12
∠DGC ，∴∠AGE ＝∠DGF ，∴∠AGE －∠DGE ＝∠DGF －∠DGE ，即∠AGD ＝∠EGF .∵GE ⊥AB ，GF ⊥CD ，∴∠AEG ＝∠DFG ＝
90°，∴△AGE ∽△DGF ，∴AG DG ＝GE GF ，∴AG GE ＝DG GF
.又∵∠AGD ＝∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF ； (3)如图∠，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求AD EF
的值． 解析：如图，延长AD 交BC 的延长线于点M .∵AD 、BC 所在的直线互相垂直，∴∠DAB ＋∠ABC ＝90°，即∠DAB ＋∠ABG ＋∠GBC ＝90°.由(1)可知△AGD ≌△BGC ，∴∠GAD ＝∠GBC .∴∠DAB ＋∠ABG ＋∠GAD ＝90°，即∠GAB ＋∠GBA ＝90°.由(1)可知AG ＝BG ，∴∠GAB ＝∠GBA ，∴∠GAB ＝45°.又∵GE ⊥AB ，∴∠AEG ＝90°，∴GA ＝AE 2＋GE 2＝2
GE ，∴GA GE ＝ 2.由(2)可知△AGD ∽△EGF ，∴AD EF ＝GA GE ＝ 2.
类型三：运用相似解决几何图形中的动点问题
5．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，CN ＝14
CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．
解析：12或45
6．∠(钦州中考)如图，在平面直角坐标系中，以点B (0，8)为端点的射线BG ∠x 轴，点A 是射线BG 上的一个动点(点A 与点B 不重合)，在射线AG 上取AD ＝OB ，作线段AD 的垂直平分线，垂足为E ，与x 轴交于点F ，过点A 作AC ∠OA ，交射线EF 于点C ，连接OC 、CD ，设点A 的横坐标为t .
(1)用含t 的式子表示点E 的坐标为 ；
(2)当t 为何值时，∠OCD ＝180°？
解析：(1)(t ＋4，8)
(2)∵EF 是线段AD 的垂直平分线，点C 在射线EF 上，AD ＝BO ＝8，∴AE ＝DE ＝12AD
＝4，∠AEC ＝90°，∴∠ECA ＋∠EAC ＝90°.又∵AO ⊥CA ，∴∠OAC ＝90°，∴∠BAO ＋∠EAC ＝90°，∴∠ECA ＝∠BAO .又∵BG ∥x 轴，∴BG ⊥y 轴，则∠OBA ＝90°，∴∠AEC ＝∠OBA ，
∴△ABO ∽△CEA ，∴BO EA ＝AB CE ，即84＝t CE
.∴CE ＝12B t .当∠OCD ＝180°时，点C 在线段OD 上．∵EF ⊥BG ，BO ⊥BG ，∴CE ∥BO ，∴△CDE ∽△ODB ，∴CE OB ＝DE DB ，即12t 8＝4t ＋8，∴12
t 2＋4t －32＝0，解得t 1＝45－4，t 2＝－45－4(不合题意，舍去)．∴当t ＝45－4时，∠OCD ＝180°.。