万能解题模型(22) 几何中线段最值的求法
高中数学：解析几何中求最值的几种方法
高中数学：解析几何中求最值的几种方法解析几何中的求最值问题在中学数学中占有一席之地，近几年的高考也经常出现。
最值问题涉及的知识面宽，解题方法较灵活，学生时常感到无从下手。
为了解决这个问题，现举例说明求最值的几种方法，请大家指正。
一、利用定义圆锥曲线的定义，是曲线上的动点本质属性的反映。
研究圆锥曲线的最值，巧妙地应用定义，可把问题简化，速达目的。
例1、若使双曲线上一点M到定点A（7，）的距离与M到右焦点F的距离之半的和有最小值，求M点的坐标。
解析：如图1所示，由双曲线定义2可知，，所以|MF|=2|MP|。
令，即。
此问题转化为折线AMP的最短问题。
显然当A、M、P同在一条与x轴平行的直线上时，折线AMP最短，故M点的纵坐标为，代入双曲线方程得M（，）。
图1二、利用对称对称思想是研究数学问题常用的思想方法，利用几何图形的对称性去分析思考最值问题，常可获得简捷明快的解法。
例2、已知点A（2，1），在直线和上分别求B点和C点，使△ABC的周长最小。
分析：这里的主要理论依据是：轴对称的几何性质以及两点间的距离以直线段为最短。
解析：先找A（2，1）关于直线、的对称点分别记为和，如图2所示，若在、上分别任取点和，则△ABC周长=周长。
故当且仅当、、、四点共线时取等号，直线方程为：，与、的交点分别为B（，）、C（，0）。
图2三、利用几何利用参数的几何意义，把它转化为几何图形中某些确定的几何量（如角度、长度、斜率）的最大值、最小值问题，这样可以化难为易，提高解题速度。
例3、椭圆内有两点A（4，0），B（2，2），M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最大值与最小值。
分析：若直接利用两点的距离公式，难度较大，本题通过椭圆定义转化后，利用几何性质帮助我们解决问题。
解析：|MA|+|MB|=2a-|MC|+|MB|=10+|MB|-|MC|，根据平面几何性质：||MB|-|MC||，当且仅当M、B、C共线时取等号，故|MA|+|MB|的最大值是，最小值是。
利用数学模型探求“线段最值”
利用数学模型探求“线段最值”教学中发现学生在解决“线段最值”问题时，困难主要有两个方面：一是对解决这类问题常用的几种数学模型认识不充分，掌握不到位；二是这类问题一般是以动态形式呈现的，学生难以掌握运动中的数量关系而导致无法入手．本文主要谈谈如何利用数学模型求线段最值的问题．笔者归纳出最常用的三种数学模型：从“形”的角度构造“两点之间线段最短”和“垂线段最短”这两种几何模型；从“数”的角度建立函数模型来进行分析．现举例加以分析．类型一、运用“两点之间线段最短”模型【基本模型】如图1，两定点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP ＋BP值最小．作点A关于直线l的对称点A'，易知AP＝A'P，根据“两点之间线段最短”这一原理可知当点P运动到点E(点A'、E、B共线)所在位置时，AP＋BP＝A'B，值最小．这是初中几何教学中一个及其重要的基本模型．在教学中不仅要使学生知道如何解决问题，而且要使学生体会到解决问题所用的数学思想是转化思想和模型思想，所用的数学方法是对称的方法，模型思想与其他数学思想的综合应用是解决问题的关键．【问题载体】多为轴对称载体，几乎涉及初中数学中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、圆、抛物线、双曲线、坐标轴等）．【常用方法】利用翻折变换，构建定点关于动点所在直线的对称点，在不改变线段长度的前提下改变其位置，化同侧为异侧，化折为直，找出相应位置，并求出最小值．例1 （2014年资阳中考题）如图2，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值是多少？分析由题意可知BE＝1为定值，要使BEQ周长的最小值，只要使QE＋QB最小即可．作点B关于AC所在直线的对称点，即点D，连结DE，交AC于点Q．利用勾股定理求得DE＝5，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，这时QE＋QB的值最小(即QE＋QB＝DE＝5)，所以，△BEQ周长的最小值为6．纵观近几年中考试题的变化，为了命题的新颖性和难度的需要，有的问题需要通过平移变换、旋转变换或两种变换相结合来转化处理问题．但万变不离其宗，关键是抓住“两点之间线段最短”这一基本模型，合理运用图形变换转化有关线段来解决问题．例2（2012年济南中考题）如图3，已知∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当点B在ON边上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，AD＝1，求运动过程中点D到点O的最大距离．分析经分析发现点D的运动轨迹不是常见图形，而且很难用其他量来表示线段DO 长，但任何运动问题中或多或少存在着“数”的关系或“形”的不变性，既然在“数”的关系上难以突破，不妨在“形”上深入观察．从运动的相对性来看：在运动过程中AB边的中点E相对于点O和点D是不动点（即线段OE、OD长度保持不变），而这三点正好构成一个三角形，根据“两点之间线段最短”可知当OD经过点E时OD取最大值为OE＋ED，易求OE＝1，DE＝，故运动过程中点D到点O的最大距离为＋1．类型二、运用“垂线段最短”模型例3（2013年咸宁中考题）如图4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝⊙C的半径为1，点P是线段AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，求切线PQ长的最小值．分析如图4，由PQ是⊙C的切线很自然想到连结CQ，则CQ⊥PQ，于是点P、Q、C构成了一个直角三角形，由于CQ＝1为定值，由勾股定理可知PQ＝=，从这一关系式中不难看出PQ随PC的减小而减小，所以当PC 取最小值时PC最小．由“垂线段最短”原理易知当CP⊥AB是CP长最小，此时PC＝3，代入上述关系式中求得PQ的最小值为类型三、建立函数模型探究运动问题中的一些量是有关联的，运动中总隐有常量和变量，可以通过函数来捕捉运动中的各个量，建立函数模型来准确刻画量与量之间的关系．例4 如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝60°，AB＝DC＝2，AD＝1，R、P分别是BC、CD上的动点（点R与B不重合，点P与C不重合），点E、F分别是AP、RP的中点，求线段EF的取值范围．分析如图5，由点E、F分别是线段AP、RP的中点，不难想到连结AR构造三角形中位线的基本图形，发现线段EF的长为线段AR的一半，所以题中两个动点P、R其实对EF长有影响的只是动点R，这样就把求线段EF长的取值问题转化成线段AR的长的取值问题来研究．再由条件∠ABC＝60°，AB＝2想到作梯形的高线，构造Rt△ABG和Rt△AGR，则线段AG、BG为定值．在Rt△AGR中，通过勾股定理可以用线段GR来表示线段AR的长，从而可以建立线段AR长关于变量线段GR长的函数关系式．简解连结AR，过点A作AG⊥BC于点G，设BR＝x，EF＝y易求BG＝1，AG GR＝x－1．在Rt△ARG中，∵AR2＝AG2＋GR2．化简得y由题意，可知0<x≤3，所以当x＝1，即点R与点G重合时，y；当x＝3，即点R与点G重合时，y≤EF“模型思想”新课程标准新增的核心概念，“模型思想”作为十个核心概念之一，第一次以“基本数学思想”的身份出现，并且明确被冠以“学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”．这意味着“建立数学模型”这一意识和要求被明显强化，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容、考查紧密关联，所以，在解题中要高度重视模型思想的教学，要突出建模过程，让学生深刻体会模型思想，让学生经历数学模型的“形成——建立——求解”的全过程，在过程中体会和掌握和数学中常用的、重要的基本模型．。
例谈求线段最值的方法
例谈求线段最值的方法几何最值问题属于中考题中的热点问题，也是难点问题，其中，求线段的最值问题是近年常见的题型.下面结合一些实例谈谈解决此类问题的方法.一、轨迹法对于线段最小值问题，若线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，可以考虑轨迹法，即考虑动点的轨迹.若动点的轨迹是一条直线，可以用“垂线段最短”原理解决;若动点的轨迹是圆(或一段圆弧)，可以用“圆最值模型”解决.圆最值模型如图1, P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点,A B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离, PB是点P到⊙O上的点的最长距离.PC OC.证明如图1，在⊙O是任取一点C(不为,A B)，连结,Q,<+=+=+,P O P C O C P O P A O A P A O C∴<,P A P C即PA是点P到⊙?O上的点的最短距离.PD OD.如图2，在⊙O是任取一点D(不为,A B) ,连接,Q,+>=+=+,PO OD PD PB PO OB PO OD∴>,PB PD即PB是点P到⊙O上的点的最长距离.例1 (2016年无锡市中考题)如图3，已知平行四边形OABC的顶点,A C分别在直线x=上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为.x=和41解析 如图3，设直线1x =和x 轴交于点E .作BF ⊥直线4x =点F ，因为平行四边形OABC ，所以OA 和BC 平行且相等，可得AOE ∆和CBF ∆全等，所以OE BF =，可得点B 的轨迹是直线5x =.当点B 在x 轴上时，OB ⊥直线5x =，此时OB 最小，最小值为5.例2 (2016年安徽省中考题)如图4,Rt ABC ∆中，,6,4,AB BC AB BC P ⊥==是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，则线段CP 长的最小值为( )(A) 32 (B) 2 (c)解析 根据PAB PBC ∠=∠，可得90APB ∠=︒，故点P 在以AB 为直径的圆上(如图4).取AB 的中点,O OC 交⊙O 于点P ,根据圆最值模型知此时CP 最小.13,52OP AB OC ===Q ， 所以CP 的最小值为532OC OP -=-=, 选B.二、构造法对于线段最大值问题，若线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，但动点轨迹难确定，可以考虑构造法，即找一个定点，当这三点共线时，线段最大.例3 如图5，平面直角坐标系中，已知矩形,2,1ABCD AB BC ==，点A 和B 分别在x 轴正半轴和第一象限角平分线上滑动，点C 在第一象限，求OC 的最大值.解析 如图5，取AOB ∆外接圆的圆心I ,因为2AB =是确定的，且45AOB ∠=︒也是确定的，所以AOB ∆外接圆是确定的.那么线段OIBIC ∆是确定的，135,1IBC BI BC ∠=︒=，可解三角形得CI =所以当,,O I C三点共线时，线段OC 取得最大值，即为OI CI + 三、转化法对于线段最值问题，若线段的两个端点都是动点，可以考虑运用转化法，将它转化为求与之有关的另一条线段的最值.例4 (2016年三明市中考题)如图6，在等边ABC ∆中，4AB =，点P 是BC 边上的动点，点P 关于直线,AB AC 的对称点分别为,M N ，则线段MN 长的取值范围是 .解析 如图6，连结,,AP AM AN ，由对称可得,AP AM AN BAP MAB ==∠=∠，CAP NAC ∠=∠,所以2120MAN BAC ∠=∠=︒，所以AMN ∆是顶角为120°的等腰三角形，可得MN ==.于是求线段MN 长的取值范围，就转化为求线段AP 长的取值范围.AP 最小为AP 垂直BC 时，最大为AB ，所以AP 的取值范围是4AP ≤≤，所以MN 的取值范围是6AP ≤≤ 四、函数法当线段最值问题从几何角度很难求解的时候，可以考虑引入参数，建立函数模型，用函数法来解决.例5 如图7，在ABC ∆中，2AB AC BC ===,点P 是AB 边上的动点(不与点,A B 重合).过点P 作//PE BC 交AC 于点E ，作P F B C ⊥于点F ，连结,EF M 是EF 上的点，且2EM FM =，则PM 的最小值是 .解析 由条件“2AB AC BC ===”可知ABC ∆是确定的，tan 2B =;又根据作图可知PBF ∆形状也是确定的，PF 二2BF,并且有2PF BF =.所以，分析可得PM 的大小取决于BF 的大小，所以引入参数.设BF x =，则2PF x =,22PE x =-.加图7，作MN PF ⊥于点N .2EM FM =Q ,122333MN PE x ∴==-,2433PN PF x ==, 在Rt PMN ∆中，222224()()333PM x x =-+， 化简得2220116()9545PM x =-+.所以当15BF =时，PM。
几何专项——线段最值问题
1 / 14线段最值问题一、将军饮马问题作法图形原理在直线l 上求作点P ，使PA ＋PB 最小．连接AB ，与l 交点即为P.两点之间，线段最短． PA ＋PB 最小值即为AB 长．在直线l 上求一点P ，使AP BP +最短将A 对称到'A ，连接'A B ，与l 的交点即为点P两点之间，线段最短.'AP BP A B +=在直线12l l 、上分别求点M N 、，使PMN △周长最小分别将点P 关于两直线对称到'''P P 、，连接'''P P 与两直线交点即为M N 、两点之间，线段最短.'''PM MN PN P P ++=在直线l 1、l 2上分别求点M N 、，使四边形PMNQ 周长最小将P Q 、分别对称到P ′、Q ′，连接''P Q 与直线的交点即为M N 、两点之间，线段最短.''PM MN NQ P Q ++=直线l 1∥l 2，在l 1、l 2上分别求点M N 、，使MN ⊥l 1，且AM ＋MN ＋NB 最小．将点A 向下平移MN 的长度 得A ′，连接A ′B ，交l 2于点N ，过点N 作MN⊥l 1于点M.两点之间，线段最短. AM ＋MN ＋NB 的最小值为A ′B+MN ．2 / 14在直线l 上求两点M N 、（M在左），使得MN =a ，并使AM MN NB ++最短将B 向左平移a 个单位到B ′，对称A 到A′，连接A′B′与l 交点即为M ，右平移a 个单位即为N.两点之间，线段最短.AM MN NB ++的最小值为A′B′+MN .在OA 上求点M ，在OB 上求点B ，使PM+PN 值最小.作点P 关于OA 的对称点P ′，作P ′N ⊥OB 于点N ，交OA 于点M.点到直线，垂线段最短.PA+AB 的最小值为线段P ′N 的长.P ，Q 为OA ，OB 的定点，在OA ，OB 上求作点M ，N ，使PN ＋NM ＋MQ 的值最小．作点P 关于OA 的对称点P ′，作点Q 关于OB 的对称点Q ′，连P ′Q′交OA 于点M ，交OB 于点N.两点之间，线段最短. PN ＋NM ＋MQ 最小值为线段P′Q′的长．在直线l 上求作点P ，使|PA －PB|的值最小．连AB ，作AB 的垂直平分线与直线l 的交点即为P.垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.|PA －PB|最小为0.在直线l 上求作点P ，使|PA －PB|的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P.三角形任意两边之差小于第三边. |PA －PB|最大值即为AB 长．在直线l 上求点P ，使AP BP -最大 作点B 关于l 的对称点B ′，作直线'AB ，与l 的交点即为点P .三角形任意两边之差小于第三边. |AP −BP |最大值即为AB′.3 / 14二、垂线段最值问题作法图形原理在直线l 上求作点P ，使线段AP 的值最小． 过点A 作AP ′⊥l于点P ′.连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短． AP ′即为最小值.三、轨迹问题问题作法图形原理如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值是________.由翻折得到，DF=DB=3.所以点F 在以点D 为圆心以3为半径的圆上.连接A 与圆心D ，AD 与圆的交点即为F'所以AF 的最小值是AD-DF'=5-3=2.利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________.取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小时，DH的长度最小．值为其他两线段之差.4/ 14巩固练习类型一、将军饮马问题1.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=8，CD=2，点P是AB上的一的动点，求：PC+PD的最小值。
初中数学几何模型分享——有关线段的最值问...
初中数学几何模型分享——有关线段的最值问...
初中数学几何模型分享——有关线段的最值问题——将军饮马问题
将军饮马问题解决的是线段和差最值问题,解决的方法是通过轴对称,化折为直,把两条线段的和转化为一条线段的长,利用两点之间线段最短的性质解决问题.常见有下面模型
模型一“一线两点”型(一动点＋两定点)
模型二“一点两线”型(两动点＋一定点)
模型三“两点两线”型(两动点＋两定点)
今天初四，离开学不远了，同学们加油，奥利给[玫瑰][玫瑰][玫瑰][玫瑰][玫瑰]。
初中求线段最值汇总 中考复习
几何中线段最值的求法模型1：垂线段最短直线l 处有一定点A ，点B 是l 上一动点，当AB ⊥l 时，AB 最短．1．(2019·泰安)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是(D)A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2模型2 将军饮马A ，B 是直线l 同侧两定点，P 是直线l 一动点，作点B 关于直线l 的对称点B′，直线AB′交直线l 于点P ，此时PA ＋PB 最小，等于AB′.)2．(2019·凉山州改编)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的图象过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)．P 点是对称轴上一动点，当P 点的坐标为(1，2)时，PA ＋PC 最小，最小值为32．模型3：利用圆的特性确定最值A 是⊙O 外一定点，P 是⊙O 上一动点，P 点运动到点B 时，AP 最小，P 点运动到C 点时，AP 最大．3．(2019·乐山)如图，抛物线y ＝14x 2－4与x 轴交于A ，B 两点，P 是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连接OQ ，则线段OQ 的最大值是(C)A ．3B.412C.72D ．4AB 是⊙O 的定弦，P 是⊙O 上的动点，PC 过圆心O ，且PC ⊥AB 时，P 点到AB 的距离最大．直线l 是定直线，P 是⊙O 上的动点，过点P 作直线的垂线：PC 过圆心O ，PC ⊥L 时，P 2C 最长；P 1C 最短.4．(2019·广元)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且∠BPC ＝60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是6＋33．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=4.AD=6,E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将∆EBF 沿EF 所在直线折叠得到∆EB ’F ，连接B ’D,则B ’D 的最小值是 。
初中最值问题的常用解法及模型
初中最值问题的常用解法及模型
一、初中最值问题的常用解法及模型
1、图形法
图形法是通过绘制图形来解决一些最值问题，常用在局部最值和极值的求解中。
通常可以利用函数图像上的特点来求解极值，如凸函数的图像是一个凹函数图像，而凹函数的图像是一个凸函数图像，拐点和极小值点的坐标位置有特殊的关系等，通过这些特点我们可以分析出对应的最大值和最小值的坐标位置。
例如：求函数y=2x^2-3x+1在区间[-2,2]上的最值
解：
令2x^2-3x+1=0，得x=-1，得函数在该x的点处取得极值。
因此，在[-2,2]上函数的最大值为y=-2，最小值为y=4.
2、求导法
求导法是通过求导求解最值问题的方法，常用于求函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，找到函数的导数为0的极值点，从而判断函数在该点的极值情况。
例如：求函数y=-2x^2-4x+3的极值
解：令y'=0，得-2x^2-4x+3=0，解得x=1/2，此时函数y取得极值，即y=-2(1/2)^2-4(1/2)+3=-5/4。
3、比较法
比较法是通过比较函数值的大小，或者比较函数一次导数的正负来求解问题的方法。
该方法常用于求比较复杂的最值问题，如求分段
函数的最大值。
例如：求函数y=6x-x^2在[-1,2]上的最小值
解：由函数y在[-1,2]上的一次导数关系可知，当x=-1时，y'=5>0，x=2时，y'=-2<0，可知该函数在[-1,2]上的最小值取决于在x=-1和x=2处函数的值，故有y=-1时的最小值为y=-7。
几何中的最值问题的解决策略
几何中的最值问题的解决策略
在几何中，最值问题通常是要找到一个几何对象的最大值或最小值。
以下是几何中解决最值问题的一些常用策略：
1. 利用性质或定理：利用已知的几何性质或定理来推导出最值问题的解。
例如，利用三角形的角度和性质来证明某个角度或边长的最大值或最小值。
2. 利用几何画图法：通过绘制几何图形，并观察图形的性质来解决最值问题。
例如，通过绘制直角三角形来找到两条边长之和固定时，两条边长的乘积的最大值。
3. 利用代数方法：将几何问题转化为代数问题，并通过求导、求解方程等代数方法来求解最值问题。
例如，通过代数方法来证明一个函数的极值点是函数的最大值或最小值。
4. 利用不等式：通过建立合适的不等式关系来限制几何对象的取值范围，并通过求解不等式来解决最值问题。
例如，通过利用三角不等式来推导出三角函数的最值问题。
5. 利用等式的极值性质：利用等式的极值性质来解决最值问题。
例如，通过证明函数的取值范围，并找到函数在取值范围边界处的最大值或最小值。
综上所述，解决几何中的最值问题需要运用几何性质和定理，绘制几何图形观察性质，以及运用代数方法、不等式关系和极
值性质等。
同时，解决最值问题还需要对几何对象的性质有深刻的理解和运用。
初中数学求线段最值的方法
初中数学求线段最值的方法初中数学中，求解线段的最值是一个基本的问题，它可以用来优化一些实际问题的解法，例如最短路径、最大收益、最小支出等。
本文将为大家介绍在初中数学中求解线段最值的方法，包括整体流程和每个环节的详细描述。
一、问题描述和基本概念假设有一条直线段AB，其中A(x1,y1)和B(x2,y2)是已知的点。
我们的问题是如何求出该直线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
我们需要了解一些基本的概念和知识：1. 直线段：由两个端点确定的线段，其中端点A是起点，端点B是终点。
2. 函数：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素的规则。
通常用f(x)表示函数。
3. 函数的最值：给定一个函数f(x)，若存在x1，x2∈D，使得f(x1)≥f(x) ∀x∈D 或f(x2)≤f(x) ∀x∈D，则称f(x)在D上取得最大值或最小值。
4. 坐标系：用于描述点或图形位置的平面直角坐标系，由x轴和y轴组成、原点为(0,0)。
5. 勾股定理：在直角三角形ABC中，设直角边分别为a,b,斜边为c，则有c²=a²+b²。
二、分析求解思路和方法对于我们的问题，我们可以用函数来描述直线段AB上每个点P(x,y)的值。
为了方便，我们通常称这个函数为f(x)。
如果我们要求f(x)的最大值，则需要寻找使得f(x)取得最大值的点x值。
同理，如果我们要求f(x)的最小值，则需要寻找使得f(x)取得最小值的点x值。
基于这个思路，我们可以考虑用以下的方法来求解线段最值：1. 明确问题：首先需要明确问题的具体描述和目标，即要求线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
2. 理解数据：仔细查看题目给定的图形或数据，注意理解每个点的坐标和重要的约束条件。
3. 定义函数：用函数f(x)来描述线段上每个点P(x,y)的值，需要注意函数的定义域D，即x的取值范围。
4. 求解方法：根据问题的不同，可以选用合适的求解方法来求解线段的最值。
线段最值问题模型整理
线段最值问题模型整理
在线段最值问题中，我们要找出给定线段上的某个特定范围内的最小值或最大值。
以下是一些常见的线段最值问题模型：
1. 线段上的最小值：给定线段[a, b]，找出该线段上的最小值。
2. 线段上的最大值：给定线段[a, b]，找出该线段上的最大值。
3. 子线段的最小值：给定一个线段 [a, b] 和一个范围 [c, d]，找出范围内的子线段上的最小值。
4. 子线段的最大值：给定一个线段 [a, b] 和一个范围 [c, d]，找出范围内的子线段上的最大值。
5. 线段上的第 k 小值：给定一个线段 [a, b]，找出该线段上第
k 小的值。
这些问题可以通过以下方法解决：
1. 枚举法：遍历线段上的所有点，找出最小值或最大值。
2. 分治法：将线段均分为两半，分别计算左半边和右半边的最小值或最大值，然后将结果合并。
3. 动态规划：使用动态规划的方法，通过子问题的最小值或最大值来计算整个线段上的最小值或最大值。
4. 线段树：使用线段树来保存线段的最小值或最大值，并进行查询操作。
以上是一些常见的线段最值问题模型和解决方法，具体问题要根据实际情况来选择适合的解决方法。
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解析：根据菱形的性质得到 AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的 性质得到 EG＝AB＝1，EG∥AB，推出四边形 EGCD 是平行四边形， 得到 ED＝GC，于是得到 EC＋GC 的最小值＝EC＋ED 的最小值，根 据平移的性质得到点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上，作点 D 关 于定直线的对称点 M，连接 CM 交定直线于点 E，解直角三角形即可 得到所求最小值．
模型 3 利用圆的特性确定最值 A，B 是⊙O 上两个动点．当 AB 经过圆心时，AB 最大．
10．(2020·常州)如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 是优弧 AB 上的动点 (C 不与 A，B 重合)，CH⊥AB，垂足为 H，点 M 是 BC 的中点．若⊙O 的半径是 3，则 MH 长的最大值是( A )
模型 2 利用轴对称变换确定最值 线段和最小
A，B 是直线 l 同侧的两个定点，P 是直线 l 一动点，作点 B 关于直线 l 的对称 点 B′，直线 AB′交直线 l 于点 P，此时 PA＋PB 最小，等于 AB′.
6．(2020·新疆)如图，在△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB ＝2.若 D 是 BC 边上的动点，则 2AD＋DC 的最小值为 6 ．
当点 B，C，M 三点共线时，|MB－MC|＝BC， ∴当点 B，C，M 三点共线时，|MB－MC|取最大值，即为 BC 的 长． 过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，在 Rt△BEC 中，由勾股定理得 BC＝ BE2＋CE2＝ 2， ∴|MB－MC|的最大值为 2.
基本事实 2：垂线段最短 直线 l 外有一定点 A，点 B 是 l 上一动点，当 AB⊥l 时，AB 最短．
A．3 B．4 C．5 D．6
AB 是⊙O 的定弦，P 是⊙O 上的动点，PC 过圆心 O，且 PC⊥AB 时，P 点到 AB 的距离最大．
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数学 第一轮 中考考点系统复习(讲解册)
万能解题模型(二十二) 几何中线段 最值的求法
模型 1 利用几何基本事实确定最值 基本事实 1：两点之间线段最短
根据线段的基本事实可知 AB≤AC＋BC. 当 A，C，B 三点在一条直线上时， AB 最大＝AC＋BC.
1．(2020·黑龙江)如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°， 将△ABD 沿射线 BD 方向平移，得到△EFG，连接 EC，GC，则 EC＋GC 的最小值为 3 ．
∠BOC 交B︵C于点 D，点 E 为半径 OB 上一动点．若 OB＝2，则阴影
6 2＋π
部分周长的两个定点，P 是直线 l 一个动点，作点 A 关 于直线 l 的对称点 A′，连接 BA′并延长交直线 l 于点 P，此时 PB－PA 最大，等于 A′B.
(1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线对称轴 l 上找一点 M， 使|MB－MC|的值最大，并求出这个最大值．
解：(1)将 A(0，3)，C(－3，0)代入 y＝12x2＋bx＋c，得 c92＝－33，b＋c＝0，解得bc＝＝352.， ∴抛物线的解析式是 y＝12x2＋52x＋3.
(2)联立yy＝ ＝1212xx＋2＋352，x＋3， 解得xy11＝ ＝03， ，yx22＝＝1－. 4， ∵A(0，3)，∴B(－4，1)． ∵当点 B，C，M 三点不共线时，|MB－MC|＜BC，
9．(2019·陕西)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝8，AC 与 BD 交 于点 O，N 是 AO 的中点，点 M 在 BC 边上，且 BM＝6.P 为对角线 BD 上一点，则 PM－PN 的最大值为 2 ．
解析：以 BD 为对称轴作点 N 的对称点 N′，连接 PN′，根据对称 性质可知，PN＝PN′，∴PM－PN′≤MN′，当 P，M，N′三点共线时， 取“＝”．此时 PM－PN＝P′M－P′N′＝MN′＝CM＝8－6＝2.
A，B 是直线 l 同侧的两个定点，P 是直线 l 上一动点，当 A，B， P 三点在一条直线上时，PA－PB 最大等于 AB.
3．(2019·安顺)如图，抛物线 y＝12x2＋bx＋c 与直线 y＝12x＋3 分别 相交于 A，B 两点，且此抛物线与 x 轴的一个交点为 C，连接 AC，BC. 已知 A(0，3)，C(－3，0)．
4．(2020·湘潭)如图，点 P 是∠AOC 的角平分线上一点，PD⊥OA， 垂足为 D，且 PD＝3，点 M 是射线 OC 上一动点， 则 PM 的最小值为 3 ．
5．(2020·鄂州)如图，已知直线 y＝－ 3x＋4 与 x，y 交于 A，B 两点，⊙O 的半径为 1，P 为 AB 上一动点，PQ 切⊙O 于点 Q.当线段 PQ 的长最小时，直线 PQ 交 y 轴于 M 点，a 为过点 M 的一条直线， 则点 P 到直线 a 的距离的最大值为 2 3．
7．(2020·聊城)如图，在平面直角坐标系中，点 A(1，1)，B(3，3) 是第一象限角平分线上的两点，点 C 的纵坐标为 1，且 CA＝CB，在 y 轴上取一点 D，连接 AC，BC，AD，BD，使得四边形 ACBD 的周长 最小，这个最小周长的值为 4＋2 5 ．
8．(2020·河南)如图，在扇形 BOC 中，∠BOC＝60°，OD 平分
A，B 是直线 l 两侧的两个定点，P 是直线 l 上一动点，当 P，A，B 三点在一条直线上时，PA＋PB 最小等于 AB.
2．(2020·广东)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫 紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕捉．把墙 面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ ABC＝90°，点 M，N 分别在射线 BA，BC 上，MN 长度始终保持不 变，MN＝4，E 为 MN 的中点，点 D 到 BA，BC 的距离分别为 4 和 2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 DE 的 最小值为 2 5－2 ．