数列变化中的规律
初中数学 数列的找规律
初中数学数列的找规律：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b 为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.例：4、10、16、22、28……,求第n位数.分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n 位的数也有一种通用求法.基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.举例说明：2、5、10、17……,求第n位数.分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了.（三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（四）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧.二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是.解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0,3,8,15,24,…….序列号：1,2,3, 4, 5,…….容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1.（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2（三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：n3+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.. .答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来.例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1（五）有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来.例：4,16,36,64,?,144,196,…?（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方.（六）同技巧（四）、（五）一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）.当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见.（七）观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律.三、基本步骤1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法（一）解题.2、如不相等,综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0,3,8,15,24,······2,5,10,17,26,·····0,6,16,30,48······（1）第一组有什么规律?（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系?（3）取每组的第7个数,求这三个数的和?例2、观察下面两行数2,4,8,16,32,64,．．．（1）5,7,11,19,35,67．．．（2）根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程.）例3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4、3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差下面是常用的一些求和公式：。
数列的找规律
数列的找规律：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b 为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.例：4、10、16、22、28……,求第n位数.分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n位的数也有一种通用求法.基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.举例说明：2、5、10、17……,求第n位数.分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了.（三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（三）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧.二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是.解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0,3,8,15,24,…….序列号：1,2,3, 4, 5,…….容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1.（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2 （三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：n3+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.. .答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来.例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1（五）有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来.例：4,16,36,64,?,144,196,…?（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方.（六）同技巧（四）、（五）一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）.当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见.（七）观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律.三、基本步骤1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法（一）解题.2、如不相等,综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0,3,8,15,24,······2,5,10,17,26,·····0,6,16,30,48······（1）第一组有什么规律?（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系?（3）取每组的第7个数,求这三个数的和?2、观察下面两行数2,4,8,16,32,64,．．．（1）5,7,11,19,35,67．．．（2）根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程.）3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4、3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差。
数列与数表的规律总结知识点总结
数列与数表的规律总结知识点总结数列和数表是数学中常见的概念，在数学的学习中经常会涉及到它们的应用。
数列是一组按照一定规律排列的数的集合，可以是有限的也可以是无限的；而数表是由数列组成的表格形式。
在这篇文章中，我们将总结数列与数表的规律以及相关的知识点。
一、等差数列与等差数表等差数列是一种常见的数列，其中每一项与它前一项的差值都是相等的。
等差数表是由等差数列按一定规律排列而成的表格。
1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的表达式为：aₙ = a₁ + (n - 1) × d2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项的和为Sₙ，则有：Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ)3. 等差数表的规律等差数表的每一行都是一个等差数列，而每一列的数之间也存在等差关系。
可以通过观察数表中每一行或每一列的数之间的关系，推导出其等差数列的通项公式和前n项和公式。
二、等比数列与等比数表等比数列是一种常见的数列，其中每一项与它前一项的比值都是相等的。
等比数表则是由等比数列按一定规律排列而成的表格。
1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的表达式为：aₙ = a₁ × q^(n - 1)2. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项的和为Sₙ，则有：Sₙ = a₁ × (q^n - 1) / (q - 1)，(q ≠ 1)3. 等比数表的规律等比数表的每一行都是一个等比数列，而每一列的数之间也存在等比关系。
可以通过观察数表中每一行或每一列的数之间的关系，推导出其等比数列的通项公式和前n项和公式。
三、特殊数列与数表除了等差数列和等比数列，数列和数表还存在一些特殊的形式。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为：fₙ = fₙ₋₁ + fₙ₋₂，(n ≥ 3)2. 杨辉三角杨辉三角是一种特殊的数表，其中的每个数都是由上面的两个数相加而来。
数列递推规律
公务员考试行测常考题型：数列递推规律递推数列是数列推理中较为复杂的一类数列。
其推理规律变化多样，使得很多考生不易察觉和掌握。
要想掌握递推数列的解题方法，需要从两个方面入手。
一是要清楚递推数列的“鼻祖”，即最典型、最基础的递推数列；二是要明确递推规律的变化方式。
（一）递推数列的“鼻祖”1，1，2，3，5，8，13，21……写出这个数列之后，有不少考生似曾相识。
其中有一些考生知道，这个数列被称为“斐波那契（Febonacci，原名Leonardo，12-13世纪意大利数学家）数列”或者“兔子数列”。
这些考生中还有一些人知道这个数列的递推规律为：从第三项开始，每一项等于它之前两项的和，用数学表达式表示为这个递推规律是整个数列推理中递推数列的基础所在。
在公务员考试中，曾经出现过直接应用这个规律递推的数列。
例题1：（2002年国家公务员考试A类第4题）1，3，4，7，11，（）A.14B.16C.18D.20【答案】：C。
【解析】：这道题可以直接应用斐波那契数列的递推规律，即因此所求项为7+11=18（二）递推规律的多种变式例题2：（2006年北京市大学应届毕业生考试第1题）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（）A.4B.3C.2D.1【答案】：A。
【解析】：这是很别致的一道试题。
从形式上看，这个数列很特殊，不仅给出的已知项达到了9项之多，而且每一项都是一位数字，由此可以猜到这个数列的运算规律。
这个数列从第三项开始存在运算递推规律取“”的尾数由此可知所求项为取“9＋5＝14”的尾数，即4这道题的运算递推规律是将两项相加之和变为了取尾数。
例题3：（2005年国家公务员考试二卷第30题，2006年广东省公务员考试第5题）1，2，2，3，4，6，（）A.7B.8C.9D.10【答案】：C。
【解析】：初看这道题容易将题目错看为一个简单的等差数列1，2，3，4，5，6……正是因为存在这样“先入为主”的观点，使得这道题的运算递推规律被隐藏起来。
数学找规律技巧和方法
数学找规律技巧和方法以数学找规律技巧和方法为题，我们来探讨一下数学中寻找规律的一些常用技巧和方法。
一、观察法观察法是最基本的方法之一。
通过观察数列中的数字或图形的特点，找出其中的规律。
例如，观察以下数列：1, 4, 9, 16, 25, …我们可以观察到这个数列是由每个数字的平方组成的，即第n个数字是n的平方。
这种方法适用于寻找数字规律或图形规律。
二、递推法递推法是指通过已知的一些数值，推导出后面的数值。
这种方法常用于数列或数学问题中。
例如，观察以下数列：1, 3, 6, 10, 15, …我们可以观察到每个数字是前一个数字加上当前的位置。
即第n个数字是前n-1个数字之和加1。
这种方法适用于寻找数列中的数字规律。
三、代数法代数法是通过建立代数表达式或方程来寻找规律。
例如，观察以下数列：2, 4, 8, 16, 32, …我们可以观察到每个数字都是前一个数字乘以2。
即第n个数字是2的n-1次方。
这种方法适用于寻找数列中的数字规律。
四、差分法差分法是通过对数列中的数字进行差分运算，寻找数字之间的规律。
例如，观察以下数列：1, 4, 9, 16, 25, …我们可以观察到每个数字之间的差值是递增的，即1, 3, 5, 7, …。
这种方法适用于寻找数字之间的规律。
五、数形结合法数形结合法是将数学问题中的数字和几何图形结合在一起，通过观察图形的形状和属性，寻找规律。
例如，观察以下图形：□, ■, ▲, ●, ☆, …我们可以观察到每个图形的边数和顶点数是依次递增的。
即第n个图形有n个边和n个顶点。
这种方法适用于寻找图形规律。
六、归纳法归纳法是通过已知的一些例子，总结出规律。
例如，观察以下数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …我们可以观察到每个数字是前两个数字之和。
即第n个数字是前两个数字之和。
这种方法适用于寻找数列中的数字规律。
七、逆向思维法逆向思维法是指从结果出发，倒推出前面的数字或规律。
解读数列的规律与性质
解读数列的规律与性质数列是数学中一个重要的概念，它指的是按照一定规律排列的一系列数字。
数列的规律与性质是数学中研究的一个重要领域，它关注着数列中数字的变化规律，以及这些规律所具备的性质。
本文将解读数列的规律与性质，通过分析不同类型的数列，探索数列中蕴含的数学奥秘。
一、等差数列的规律与性质等差数列是最简单、最常见的数列之一。
它的规律是每一项与它的前一项之差都相等。
我们以公差为d的等差数列为例，首项为a₁，通项公式为an=a₁+(n-1)d。
等差数列的性质有以下几个方面。
1. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过求首项和末项之和乘以项数的一半来计算，即Sn=(a₁+an)n/2。
这个公式简化了计算等差数列的和的过程，提高了计算效率。
2. 等差数列的性质等差数列具有数列项数无限性、数列和的无限性、相邻两项和的无限性和相邻三项和的无限性等性质。
这些性质为解题提供了便利。
二、等比数列的规律与性质等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
我们以公比为q的等比数列为例，首项为a₁，通项公式为an=a₁*q^(n-1)。
等比数列的规律与性质有以下几个方面。
1. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过首项乘以一个比值来计算，即Sn=a₁(1-q^n)/(1-q)，其中q≠1。
此公式用于计算等比数列的和，便于解决相关问题。
2. 等比数列的性质等比数列具有项数无限性、和数的有限性、相邻两项的比值的无限性、相邻三项的比值的有限性等性质。
了解这些性质有助于理解等比数列的特点和应用。
三、斐波那契数列的规律与性质斐波那契数列是指满足每一项都是前两项之和的数列。
我们以首项为a₁，第二项为a₂的斐波那契数列为例，通项公式为an=aₙ₋₁+aₙ₋₂。
斐波那契数列的规律与性质如下。
1. 斐波那契数列的特点斐波那契数列具有递推性，即每一项都是前两项之和。
它的规律非常有趣，数列中的数字逐渐增大，并且相邻两项的比值逼近黄金比例。
数学中的数学规律与规则
数学中的数学规律与规则数学是一门基础学科，它以逻辑性和准确性著称。
在数学中，有各种各样的规律和规则，这些规律和规则往往是通过数学原理和定理来描述和证明的。
在本文中，我们将探讨数学中的一些常见规律和规则，并且展示它们在数学领域的重要性。
一、等式的对称性在代数学中，等式的对称性是一条重要的规律。
它指出，如果两个表达式相等，那么它们的顺序可以交换。
比如说，对于任意的实数a和b，我们有a + b = b + a。
这个规律在加法和乘法运算中都成立。
例如，a × b = b × a也是成立的。
等式的对称性在解方程和证明中都有广泛的应用。
二、交换律和结合律交换律是指在某种运算下，两个操作数的顺序可以交换而不影响结果。
例如，在加法中，a + b = b + a；在乘法中，a × b = b × a。
结合律则是指在某种运算下，对同一个操作数进行多次运算，其结果是相同的，不管运算的先后顺序如何。
例如，在加法中，(a + b) + c = a + (b + c)；在乘法中，(a × b) × c = a × (b × c)。
这两个规则在数学运算过程中经常被使用，有效地简化了计算。
三、分配律分配律是一种运算规则，它指出两个运算的结果相乘再加或相加再乘的结果是相同的。
在代数学中，乘法和加法是经常使用分配律的两种运算。
例如，对于任意的实数a、b和c，我们有a × (b + c) = a × b +a × c。
分配律在代数表达式的化简和计算中起到了重要作用。
四、奇偶性规则奇偶性规则是用来描述整数的性质的规律。
奇数是不能被2整除的整数，而偶数是能够被2整除的整数。
根据奇偶性规则，我们可以推导出许多奇偶数的性质。
例如，两个奇数相加的结果是一个偶数，两个偶数相加的结果仍然是一个偶数。
这些奇偶性规则在数论和代数学中有广泛的应用。
数与式的变化规律
数与式的变化规律在数学中，我们经常会遇到数与式的变化规律。
数与式的变化规律是指数的变化和与之相关的式子的变化之间的关系。
在本文中，我们将探讨数与式的变化规律的几个常见情况，并通过一些例子来加深理解。
一、数列的变化规律数列是指按照一定规则排列的一组数。
数列中每个数称为项，而数列中的规则则被称为变化规律。
常见的数列变化规律有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
常用的表示方式为a₁, a₂, a₃, ..., aₙ，其中a₁是首项，aₙ是第n项。
等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1) * d，其中d为公差，表示每项之间的差值。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，首项a₁为1，公差d为2。
那么该等差数列的第n项通项公式为an = 1 + (n-1) * 2。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。
常用的表示方式为a₁, a₂, a₃, ..., aₙ，其中a₁是首项，aₙ是第n项。
等比数列的通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中r为公比，表示每项与前一项的比值。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，首项a₁为2，公比r为2。
那么该等比数列的第n项通项公式为an = 2 * 2^(n-1)。
二、代数式的变化规律代数式是由一系列数字和字母以及运算符号组成的式子。
在代数式中，字母表示未知数或变量，而数字则表示常数。
代数式的变化规律描述了代数式中变量与结果之间的关系。
1. 线性变化规律线性变化规律是指代数式中变量与结果之间呈线性关系的变化规律。
线性变化规律通常可以表示为y = kx + b，其中y是结果，x是变量，k和b为常数。
例如，当y表示某物体的距离，x表示时间时，线性变化规律可表示为y = kx + b，其中k代表速度，b代表初始距离。
2. 指数变化规律指数变化规律是指代数式中变量与结果之间呈指数关系的变化规律。
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1、1，98，91，84，77，（），（），56。
2、2，1，2，4，7，11，（）
3、有一列由三个数组成的数组，它们依次是：
（1，5，10）
（2，10，20）
（3，15，30）
......
问：第99个数组内三个数的和是多少？
4、有一列数按1，1，3，5，8，13，21，34......的顺序排列，第500个数是奇数还是偶数？
5、5，2，2，4，6，10，16，（），（）。
6、34，21，13，8，5，（），2，（）。
7、3，6，5，6，7，6，9，（），（），6，13.
8、6，1，8，3，10，5，12，7，（），（）。
9、3，4，5，8，7，16，9，32，（），（）。
10、1，5，25，125，（）。
11、1296，216，（），6，1。
12、1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。
13、2+5，3+7，6+11，11+17，18+25，（）。
14、4+2，5+8，6+14，7+20......按这样的规律排的第10个加法算式是什么？它的结果是多少？
15、下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17......第2012个算式是（）+（）。
16、观察下面各题中的排列规律，然后填上所缺的数。
17、下面三个正方形内的数有相同的规律，请你找到它们的规律并填出B、C然后确定A是( )。
18、一次智力测验，主持人量出如图所示的四块三角形牌子，在第四块牌子中“？”表示的数是( )。
19、 1，3，7，15，31，（）。
20、计算出下面数列中从左往右数的第10个数是（）。
1 7 13 19 25......
21、1+1，2+3，3+5，1+7，2+9，3+11，1+13，2+15，3+17......第20个算式
是多少？
22、数列1，5，14，30，55，91......中的第9个数是多少？。