数值分析复习习题
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
《数值分析》期末复习题(1)
《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).(A)21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-6 2. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦(B)10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1，B. 2 ，C. 3，D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值，它有（ ）位有效数字； 2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（ ）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x 其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析一、单选题1. 以下误差公式不正确的是（ D ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ C ）A ．1 B. 2 C.3 D. 4 3.辛卜生公式的余项为（ c ）A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a f η--D ．()()()452880b a f η--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ A ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–25. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ D ） A ．()00l x ＝0,()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =6. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ D ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 7.若用列主元消去法求解下列线性方程组,其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ B )A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B 。
数值分析期末复习题
数值分析期末复习题⼀、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数，绝对误差为，相对误差为。
2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为。
3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。
4.设f(x)可微，求⽅程x=f(x)根的⽜顿迭代法格式是。
5.设⽅程x=?(x)有根x *,且设?(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=?(x k )收敛的充要条件为。
6.求解线性⽅程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为。
7.=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。
8.n 次Legendre 多项式的最⾼次项系数为。
9.中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f b a -+=?的代数精度为。
10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈?的代数精度为。
11.在区间[1，2]上满⾜插值条件??==3)2(1)1(P P 的⼀次多项式P(x)= 。
12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= 。
13．梯形公式和改进的Euler 公式都是阶精度的。
⼆、计算题1.利⽤矩阵的⾼斯消元法，解⽅程组=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。
3.求解超定⽅程组= ?43231211121x x的最⼩⼆乘解。
4.给定下列函数值表：求3次⾃然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建⽴f(x)的⼆次（抛物）插值公式，利⽤插值公式求115的近似值并估计误差。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
数值分析复习题
数值分析复习题⼀、填空1.近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2.设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的⽜顿迭代格式为 .3.对f(x)=x 3+3x 2-x+5,差商f[0,1,2,3,4]= .4.⽅阵A 的谱半径是指 .5.求积分?ba dx x f )(的近似值，其⾟⼘⽣公式为 .⼆、已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试⽤最⼩⼆乘法求形如xb ax x +=)(?的经验公式。
（10分）三、求⼀个次数不⾼于4的多项式p 4(x)，满⾜下列插值条件 x 0 1 2f(x) 0 1 1)(x f '0 1四、写出计算线性⽅程组=+-=+-=+-272135223121321x x x x x x x 的⾼斯⼀赛德尔迭代格式，并分析此格式的敛散性.五、⽤预估⼀校正法求初值问题=≤≤-='1)0(102y x y x y y在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1。
（要求保留⼩数点后4位）六、把区间分成两等份，⽤复化⾟⼘⽣公式计算dxx+1七、在求⾮线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法⼀般为线性收敛，⽽⽜顿迭代法为平⽅收敛.⼀填空1．近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2．设643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 3．求积分()ba f x dx ?的近似值，其复化梯形公式为4．5点⾼斯求积公式，其代数精度为5．设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的近似值的⽜顿迭代格式为 6．利⽤⼆分法求()0f x =在[,]a b 上根的近似值，误差限为 7．⽅阵A 的谱半径是指 8．矩阵A 的条件数是指 9．能⽤⾼斯消元法求解A x b =的充要条件是 10．设215314278A -??=，则1||||A = ⼆给定线性⽅程组1231232231242122316x x x x x x x x x -++=??-++=??++=? 1. ⽤列主元消元法求解所给线性⽅程组。
数值分析考试题
数值分析考试题一、选择题1. 以下哪个方法不是数值分析中常用的数值积分方法？A. 梯形法则B. 辛普森法则C. 牛顿法D. 龙格-库塔法2. 在求解线性方程组的直接方法中，高斯消元法属于以下哪种类型？A. 列主元消去法B. 行主元消去法C. 完全主元消去法D. 选主元消去法3. 非线性方程求根的二分法属于以下哪种类型的数值方法？A. 迭代法B. 直接法C. 优化算法D. 插值法4. 在数值分析中，用于度量舍入误差的常用指标是：A. 截断误差B. 舍入误差C. 估计误差D. 计算误差5. 插值多项式的最高次数与插值节点的数量关系是：A. 次数多于节点数量B. 次数少于节点数量C. 次数等于节点数量D. 与节点数量无关二、填空题1. 在数值分析中，__________是用来描述一个算法在实际运算中所需步数的度量。
2. 线性方程组的雅可比方法是一种__________消去法。
3. 牛顿法在求解非线性方程时，每次迭代都需要计算__________。
4. 龙格现象是指在数值积分中，由于__________而引起的误差。
5. 在多项式插值中，拉格朗日插值法是通过__________来构建插值多项式的。
三、简答题1. 请简述数值分析中的截断误差和舍入误差的区别。
2. 描述高斯-赛德尔迭代法的基本思想，并与雅可比迭代法进行比较。
3. 解释在数值积分中为什么需要使用自适应方法。
4. 讨论在求解非线性方程时，二分法与牛顿法的适用条件和优缺点。
5. 分析多项式插值与样条插值的主要区别及其各自的应用场景。
四、计算题1. 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上使用梯形法则计算积分的近似值，取4个等分点。
2. 设线性方程组如下：\[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 2y + 4z = 14 \\3x + y + 2z = 10\end{cases}\]使用高斯消元法求解该方程组的解。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
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第一作者李欣指导邹曦数值分析复习习题第一章1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试分别指出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数.x1=5.420,x2=0.5420, x3=0.00542, x4=6000,x5=0.6 105.解绝对误差限分别为：1=0.5 10-3, 2=0.5 10-4,3=0.5 10-5, 4=0.5, 5=0.5 104 .相对误差限分别为：r1=0.5 10-3/5.420=0.00923%,「2=0.00923%,「3=0.0923%,「4=0.0083%,「5=8.3%.有效数位分别为：4位,4位,3位,4位,1位.第二章1. 讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中2 1 1 1 2 2(1)A 1 1 1 (2)A 1 1 11 12 2 2 1解(1) J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为0 2 ? 0 2B D 1(L U) 1 0 1 , G (D L) 1U 0 g g* 舟0 0 0 g(B)= , (G)=1/2,故J迭代法不收敛,G-S迭代法收敛.2x y 4z 6x第一作者z李欣指导邹曦(2)类似可得(B)=0, (G)=2,故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.2. 给定方程组第一作者李欣指导邹曦3x y z 2试建立一个收敛的迭代格式，并说明收敛的理由解可建立如下形式的迭代格式1) 2 1、, 1 (k)x —-y —z3 3 3、，1)3 1你）1y —x —z4 4 4(k 1) 3 1x(k)1 、，z —x —y2 2 4因为迭代矩阵为MM 3 1所以此迭代法收敛第三章1用列主元Gauss消元法解方程组3 2 6 x1 410 7 0 x275 1 5 x3 63 2 64 10 7 0 7 10 7 0 7「1 $ 消兀10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.15 1 56 5 1 5 6 0 2.5 5 2.510 7 0 7 10 7 0 73 消元0 2.5 5 2.5 0 2.5 5 2.50 0.1 6 6.1 0 0 6.2 6.2回代得解x3=1, x2=-1, x1=02x y 4z 6x 第一作者z 李欣 指导邹曦2.对矩阵 A 进行LU 分解,并求解方程组 Ax=b,其中2 1 1 4A1 32 ,b 61 225解2 1 1 2 1 1 1 2 1 1A1 32 1 2 522 A 4 1 53 22 1 2 2123 5 3 54 i 13 51y 14 y 1 4解2 1y 26，得 y 2 41 23 51y 35y 33 52 1 1 X 14 X 1 1再解5 2 3 2 X 2 4，得 x 213 5X 33 5X 313. 对矩阵A 进行Crout 分解，其中2 1 2A45 6解6 15152 1 22 1~2 1 A4 5 64 3 2 ■3 6 15 15612 121 4 1故得 Crou it 分解：A431 16 12 114.对任意矩阵范:数，求证:(2) 1 I = AA-1 A A-1 ，故 IA 1 闪.(3) A-1-B-1 = A-1(B-A)B-1A-1 B-1 A-B(1) I证明 1A3)11AB(1)因为 I = AI5.证明:⑴如果A为正交矩阵，贝U Cond2(A)=1;(2)如果A为对称正定矩阵，则Cond2(A)= 1/ n, 1 和n分别为A的最大和最小特征值.证明⑴A 正交，则ATA=AAT=l,Cond2(A)= A 2 A-1 2=1.(2) A 对称正定，ATA=A2, A 2= 1. A-1 2=1/ n. 第七章1. 设(x)=cosx,证明：任取x0,迭代式xk+1= (xk),k=0,1,2, •均收敛于方程x= (x)的根.证明因为对任意x0,都有x仁cosxO ［-1,1］,所以只需证明迭代式在区间［-1,1］收敛.因为(x)=cosx 连续可导,| (x)|=|sinx| sin1<1,所以(x)是区间［-1,1］上的压缩映射，因此结论成立.2. 验证区间［0,2］是方程x3+2x-5=0的有根区间，并建立一个收敛的迭代格式，使对任何初值x0 ［0,2］都收敛，并说明理由.解记(x)=x3+2x-5 C［0,2］,且(0)= -5<0, ⑵=7>0, 所以方程在区间［0,2］内有根，建立迭代格式X k 1 35 2x k ,k 0,1,2,这里迭代函数(x)= 3 5 2x，由于0<1 (x) 3 5<2 , x [0,2]2 2且 |(x)|= 3(5 2x)2/3<1 , x [0,2]所以(x)是区间[0,2]上的压缩映射，故迭代式收敛. 3.给定函数 (x),设对一切 x, (x)存在且 0<m (x)M,证明对任意 (0,2/M),迭代式X k 1 X k f (x k ),k 0,1,2,均收敛于(x)=0的根 .证明这里(x)=x- (x),由于对任意(0,2/M)-1=1 -2v (x)=1-(x)<1所以| ( )|<1,故迭代法收敛 4.已知1.3是 4 3的一个近似值 ，用Newton 迭代法求 4 3的更好近似值，要求准确到小数点后五位.解 对方程(x)=x4-3=0建立Newton 迭代格式，则有所以取x3=1.3160740,已精确到小数点后 6位. 第四章1. 当x=1,-1,2时,(x)分别为0,-3,4,求(x)的二次插值多项式k 01 23xk 1.3 1.3163746 1.3160741 1.3160740 |xk+1-xk|0.0163746 0.0003005 0.0000001取 x0=1. X k i X k 34X k算结3P2(x).解法一.基函数法：p2(x)= IO(x)yO+11(x)y1 + I2(x)y2=-3 I1(x)+4l2(x) l i(x) ,(x x0)(x x2)、1(x 1)(x 2)(X i X o)(X i X2) 6(x X 0)(Xxi)11)(x 1)(X2 X o)(X2 xj 3p2(x)=-3I1(x)+4I2(x)1 4尹1)(x 2)尹1)(x 1)^(x 1)(5x 14)6解法二.待定系数法，设p2(x)=(x-1)(ax+b),则有2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得,a=5/6, b=7/3,所以p2(x)=1/6(x-1)(5x+14)解法三.牛顿插值法，构造差商表2. 设I0(x),I1(x), --I,(x)是以x0,x1, --xn 为节点的n 次Lagrange插值基函数，求证：n k k(1) X j l j(x) X , k 0,1, ,n.j 0nk(2) (X j x) l j(x) 0, k 0,1, ,n.j 0证明⑴记(x)=xk,则yj= (xj)= xjk,j=0,1, …于是n f (n 1)()nx k f (x) y j l j(x) - :「n 1(X)x j|j(x)j 0 (n 1)! j 0⑵记(t)=(t-x)k,则yj= (xj)=(xj-x)k,j=0,1, …于是n - (n 1) ( ) n(t x)k f(t) y j l j(t)- 辟n l(t) (X j x)k|j(t)j 0 (n 1)! j 0n取t=x,则有(X j x)k|j(x) 0j 03. 设(x) C2［a,b］,且(a)= (b)=0,证明f(x) 1(b a)2M2, a x b其中，M 2 max f (x).a x b证明以a,b为节点作(x)的线性插值有L1(x)=0，故| (x)| = | (x)-L1(x)| —2^(x a)(x b) 8(b a) M24. 设(x)=x4+2x3+5,在区间［-3,2］上,对节点x0=-3,x1=-1,求出(x)的分段三次Hermite插值多项式在小区间［x0, x1］上的表达式及误差公式解在［-3,-1］上,由y0=32,y1=4,y0 =-54,y1 =2, h=2,得H3(x)=32 0(x)+4 1(x)-54 0(x)+2 1(x)令0(x)=(x+1)2(ax+b), 可得a=1/4,b=1, 所以0(x)=(x+1)2(x+4)/4同理可得：1(x)=-(x+3)2x/40(x)=(x+3)(x+1)2/41(x)=(x+3)2(x+1)/4所以有H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x-13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1) 二6x3-22x2-24x-4误差为R(x)=(x+3)2(x+1)25.给出函数表试分别作出线性，二次曲线拟合，并给出均方误差. 解线性拟合，即形如y=a+bx的拟合曲线.构造向量0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,=(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T.贝U得正贝U方程组:6a+0.5b=13.52a 2.078971b 2.0923530.5a+2.875b=7.055所以，线性拟合曲线为：y=2.078971+2.092353x均方误差为：II * II 2= (a bx i y i)2=0.38659 二次拟合，即形如y=a+bx+cx2的拟合曲线.构造向量0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T , =(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T. 则得正则方程组：6a+0.5b+2.875c=13.520.5a+2.875b+0.3125c=7.0552.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191二次拟合曲线为：y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.均方误差为：II * II 2= J (a bX i c2 yj2=0.06943.第五章1.确定下列积分公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并说明代数精度是多少？h(1) h f (x)dx A/( h) A o f(O) Af(h)解令公式对(x)=1,x,x2都精确成立，则有A- 1+A0+A1=2h-hA -1+hA1=0h2A -1+h2A1=2h3/3解得：A- 1=A1=h/3,A0=4h/3hL*求积公式为：h f(x)dx -[f( h) 4f(0) f(h)](x)=x3时，左=右=0,公式也精确成立(x)=x4时，左=2h5/5,右=2h5/3,公式不精确成立 所以公式的代数精确为 3. 2•用辛普森公式计算积分1x 4dx的近似值，并估计结点误差113.对积分oln -f (x)dx,导出两点Gauss 型求积公式 入解 区间[0,1]上权函数为ln(1/x)的正交多项式为 P0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252第六章1.用梯形方法和四阶标准 R-K 方法求解初值问题y +y=0 ， 0<x 1 y(0)=i令 p2(x)=0 ，解出Gauss 点为：x 115 -1064215 -10642再令公式对(x)=1, x 精确成立，可得A1+A2=1,A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出1 92 4、106A 2丄 9 2 4、106所以两点Gauss 型求积公式为11Jn f (x)dx1 9 */15 .106 19 */15 .106、2 4J09)f(^^)(2 4、109)f(^^)取步长h=0.1,并与精确解y=e-x相比较.解这里(x,y)=-y ,故梯形公式为：yn+仁yn-0.05(yn+yn+1), 也就yn+1=(0.95/1.05)yny0=1四阶标准R-K公式为：yn+仁yn+(0.1/6)(K1+2K2+2K3+K4)K仁-yn,K2=-(yn+0.05K1),K3=-(yn+0.05K2),K4=-(yn+0.1K3)就是：yn+1=0.9048375yny0=1计算结果为第八章1•利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值，其中解记4 2 1A(0'2 4 21 2 4取i=1，j=2，则有d(0) (0) ai1a22 2諧0,cos sin 0 0.7071 0.7071 0 R 1 R 12()sin cos 0 0.7071 0.7071 00 1 016 0 2.12132A ⑴R 1T A (0)R20.707112.12132 0.707114类似地有7.34521 0.37868 0 7.34521 0.32583 0.19295A ⑵0.37868 20.59716A ⑶0.32583 1.64638 00.59716 2.654790.192953.008411 7.37228 ,2 2.99991 ,3 1.627812. 设矩阵H = l-2xxT,向量x 满足xTx=1,证明：(1)H 为对称矩阵，即HT=H;⑵H 为正交矩阵，即HTH = I; (3)H 为对合矩阵，即H2=l.证明 ⑴因为HT=(l-2xxT)T= I-2xxT=H,故H 对称. (2)因为 HTH=(I-2xxT)T( I-2xxT)= I-4xxT+4xxTxxT= I, 故H 正交.⑶由⑴和⑵即得,H 是对合矩阵.cos =(1+t2)-1/2=0.7071,sin =tcos =0.70717.36378 0 0.19264 A ⑷1.627810.010980.19264 0.01098 3.008417.37228 0.00048 0A (5)0.00048 1.62781 0.010970 0.01097 2.99991所以取。