2019届高三第三次调查研究考试数学(文)试题(解析版)
【详解】对于选项 A, 互联网行业从业人员中 后占 56%，占一半以上，所以该选项正确；
对于选项 B, 互联网行业中 90 后从事技术岗位的人数占总人数的
该选项正确；
对于选项 C, 互联网行业中从事运营岗位的人数
后占总人数的
, 超过总人数的
，所以
，比 前多，所以该选项正确 .
对于选项 D, 互联网行业中从事运营岗位的人数
【详解】 由题意可知△
是等腰直角三角形，且
平面
．
三棱锥的底面
扩展为边长为 1 的正方形，
然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：
．
球的半径为 ，
球的表面积为
．故选： ．
【点睛】 本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想 象能力．
.
2. 复数 对应的点位于 ( )
A. 第一象限
B. 第二象限
【答案】 C 【解析】 【分析】 先化简复数，再找到其对应的点所在的象限得解
C. 第三象限 .
D. 第四象限
【详解】由题得
.
所以复数对应的点为（ -1,-1 ） , 点在第三象限 .
故选： C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能
12. 设双曲线 于 、 两点，若点 平分线段
的左、右焦点分别为
【详解】由题得
.
故选： D
【点睛】本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
.
6. 已知函数垂直，则=Fra bibliotek )A.
B.
【答案】 A
，若函数 是奇函数， 且曲线
在点
的切线与直线
C.
D.
【解析】 【分析】 先根据函数是奇函数求出 的值，再根据切线与直线垂直得到 b 的值 , 即得 +b 的值 .
乐山市高中 2019 届第三次调查研究考试
数学 ( 文史类 )
一、选择题 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .
1. 设集合
，
，则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 【分析】 先化简集合 N, 再求
得解 .
【详解】由题得 N={x|x ＜ 1} ，所以
.
故选： D
【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
.
11. 如图，边长为 的正方形
中，点
分别是
的中点，将
，
，
分别沿 ， ， 折
起，使得 、 、 三点重合于点 ，若四面体
的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为
()
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
【分析】
把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可
求球的表面积．
. 按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形
的面积一直算到了正
边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图， 若输出的
，则 的值可以是 ( )
( 参考数据 :
，
，
)
A.
【答案】 C
【解析】
模拟执行程序，可得：
，
，
故选 C．
B. ，
C.
D.
，不满足条件 ，满足条件
，
，
， 不满足条件
，退出循环，输出 的值为 .故
7. 已知抛物线
上的点
到其焦点的距离为 ，则该抛物线的标准方程为 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 【分析】
根据点
到其焦点的距离为 得到点 M 到准线的距离为 2 ，解方程组即得解 .
【详解】由题得点
到准线的距离为 2 ，所以 1-
所以该抛物线的标准方程为
.
故选： B
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
力.
3. 若
，则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】 A 【解析】 【分析】 直接利用二倍角的余弦公式求解 .
【详解】由题得
.
故选： A
【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力
.
4. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、
者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
()
后从事互联网行业
A. 互联网行业从业人员中 后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数
后比 前多
D. 互联网行业中从事运营岗位的人数
后比 后多
【答案】 D 【解析】
【分析】 结合两图对每一个选项逐一分析得解 .
后占总人数的
，80 后占总人数的 41%，所以互
联网行业中从事运营岗位的人数
后不一定比 后多 . 所以该选项不一定正确 .
故选： D
【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
.
5. 已知向量 满足
，
，
，则
=( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 【分析】 直接利用向量的模的公式求解 .
.
9. 函数 y= sin2x 的图象可能是
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
分析 :先研究函数的奇偶性，再研究函数在
上的符号，即可判断选择 .
详解：令
，
因为
，所以
为奇函数，排除选项 A,B;
因为
时，
， 所以排除选项 C，选 D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路
：（ 1）由函数的定义域，判断图象的左 、 右位置，由函数的
.
8. 已知函数
与
的部分图像如图所示，则 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 B 【解析】 【分析】 先根据最值分析出 A 的值，再根据周期分析出 的值 .
【详解】因为 A ＞ 0, 所以
由题得
故选： B
【点睛】本题主要考查正弦函数余弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
【详解】因为函数 f(x) 是奇函数，所以 f （ -x ）=-f(x), 所以 =5.
由题得
，
因为切线与直线
垂直，所以 b+31=-6,
所以 b=-37. 所以 +b=-32. 故选： A 【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理
能力 .
值域，判断图象的上 、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对
称性；（ 4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
10. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法
. 所谓割圆术，
就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法
四川省成都市2019届高三第三次诊断性考试数学(文)(含答案)
成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U= {x∈Z|(x+l) (x-3)≤0），集合A={0，1，2}，则=(A){一1，3} (B){一1，0）(C){0，3) (D){一1，0，3）2.复数z =i(3 -i)的共轭复数为(A) 1+3i (B) -1+3i (C) -1- 3i (D) 1- 3i3．已知函数f(x) =x3+ 3x．若f(-a)=2，则f(a)的值为(A)2 (B) -2 (C)1 (D) -14．函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期为(A) (B) π(C) 2π(D) 4π5．如图，在正方体ABCD-A1B l C l D1中，已知E，F，G分别是线段A l C1上的点，且A1E =EF =FG =GC l.则下列直线与平面A1BD平行的是(A) CE (B) CF (C) CG (D) CC16．已知实数x，y满足，则z =2x +y的最大值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)47．若非零实数a，b满足2a =3b，则下列式子一定正确的是(A)b>a (B)b<a (C)|b|<|a| (D)|b|>|a|8．设数列的前n项和为S n，则S10=(A) (B) (C) (D)9．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的—个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示)．则“5阶幻方”的幻和为(A) 75 (B) 65 (C) 55 (D) 4511.已知双曲线C: =l(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=2px(p>0)与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且，则双曲线C的离心率为(A) 或(B) 或3 (C)2或(D)2或312.三棱柱ABC -A1BlCl中，棱AB，AC，AA1两两垂直，AB =AC，且三棱柱的侧面积为+1。
新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测(文)数学试题(解析版)
乌鲁木齐地区2019年高三年级第三次质量监测文科数学(问卷)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】算出后可得它们的关系.【详解】，故，选B.【点睛】本题考查集合的运算及关系，属于基础题.2.若 (其中是虚数单位)，则实数( )A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算可求出实数的值.【详解】因为，故，整理得到，所以，故选A.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.3.当时，在同--平面直角坐标系中，函数与的图像是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=log a x，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C．考点：对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．4.已知直线⊥平面，直线平面，以下四个命题①若，则；②若，则；③若，则；④若，则中正确的两个命题是( )A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③【答案】D【解析】【详解】对于①，因为直线⊥平面，，所以直线⊥平面，因直线平面，所以，故①正确；对于②，与异面、平行或相交，故②错误；对于③，因为直线⊥平面，，所以，而，所以，所以③正确；对于④，当直线⊥平面，直线平面，时，、平行或相交，故④错误，综上，①与③正确，故选D.【点睛】本题考查空间中点线面的位置关系，属于基础题.解决这类问题时注意动态地考虑不同的位置关系，这样才能判断所给的命题的真假.5.从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，其和为7的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列出所有的基本事件和随机事件中含有的基本事件，两者的比值为所求的概率.【详解】从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，共有15种不同的取法，它们分别是，，从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，它们的和为7，则不同的取法为：，共有3种情形，故所求的概率为，故选B.6.设等差数列的前项和为若,，则( )A. 45B. 54C. 72D. 81【答案】B【解析】【分析】利用等差数列前项和的性质可求【详解】因为为等差数列，所以为等差数列，所以即，所以，故选B.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.7.在下列区间中，函数的零点所在的区间为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的单调性，再利用零点存在定理判断零点所在的区间.【详解】，为上的增函数，，因为，所以，所以，但，所以的零点在区间，故选C.【点睛】函数零点所在区间的判断，需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，选择怎样的点来计算其函数值且函数值异号是关键，可根据解析的特点选点，如对于对数等，应选或等，对于指数，应选（如等）等形式的数来计算.8.若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据图像得到函数的振幅和周期，从而得到的值，再根据对称轴得到的值后可得函数的解析式. 【详解】由函数的部分图像可知，，故，所以即.由函数图像的对称轴为，所以，因，故，所以，故选D.【点睛】已知的图像，求其解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图像上看出振幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算.9.正方体的全面积是6.它的顶点都在球面上，这个球的表面积是( ) A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先求出正方体的棱长为1，再利用外接球的直径即为正方体的体对角线可得球的半径，最后利用公式计算球的表面积.【详解】设正方体的棱长为，则，故，又其外接球的直径，所以，所以，故选B .【点睛】一般地，长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，我们常利用这个关系来沟通长方体的几何要素与其外接球的几何要素之间的关系.10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数,例如: ,，已知函数,则函数的值域为( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 先求的值域，再根据高斯函数的定义求的值域. 【详解】的定义域为，，因为，所以，所以的值域为，所以的值域为，故选C.【点睛】函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.（2）利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域.11.已知抛物线的焦点为 ,直线过焦点与抛物线分别交于，两点，且直线不与轴垂直，线段的垂直平分线与轴交于点，则的面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设直线，联立直线方程和抛物线方程可求得中垂线的方程，再利用的坐标求出，最后算出的长和到的距离后可得所求的面积.【详解】设直线，，则由可以得到，所以的中点，线段的垂直平分线与轴交于点，故.所以的中垂线的方程为：，令可得，解方程得.此时，到的距离为，所以.故选C.【点睛】直线与圆锥曲线相交时的产生的对称问题，应利用两个几何性质来构造不同变量之间的关系，这个两个几何性质就是中点和垂直.12.已知函数是定义在上的奇函数，且时，.给出下列命题:①当时；②函数有三个零点；③的解集为；④都有.其中正确的命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】先求出时，，从而可判断①正确；再根据可求及的解，从而可判断②③正确，最后依据导数求出函数的值域后可判断④正确.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且时，.所以当时，，故，故①正确.所以，当时，即函数有三个零点，故②正确.不等式等价于或，解不等式组可以得或，所以解集为，故③正确.当时，，，当时，，所以在上为增函数；当时，，所以在上为减函数；所以当时的取值范围为，因为为上的奇函数，故的值域为，故都有，故④正确.综上，选D.【点睛】（1）对于奇函数或偶函数，如果知道其一侧的函数解析式，那么我们可以利用或来求其另一侧的函数的解析式，注意设所求的那一侧的函数的自变量为.（2）对于偶函数，其单调性在两侧是相反的，并且，对于奇函数，其单调性在两侧是相同的．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若变量满足约束条件则最大值是__________．【答案】7【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域后平移动直线可得的最大值．【详解】不等式组对应的可行域所示：其中，当动直线过时，有最大值为7．填7．【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．14.在中，为的中点，为的中点，为的中点，若,则=__________．【答案】【解析】分析】在和分别利用中线向量公式即可得，从该等式中得到的值后可求的值．【详解】因为为的中点，所以，而，所以，所以，故，填．【点睛】在中，如果为边上的中线，那么，与中点有关的向量问题注意利用这个性质．15.已知双曲线的右焦点为，以为圆心，焦距为半径的圆交轴正半轴于点，线段交双曲线于点，且 ,则双曲线的离心率为____________．【答案】【解析】【分析】先求出，故可得，代入双曲线方程可得，齐次化后可求得．【详解】因为，，所以，因为，所以为的中点，所以，代入双曲线方程有，整理得到，所以，故或（舎），所以，填．【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．16.已知数列中，前项和为，且，则的最大值为_________【答案】2【解析】∵∴当时，，即∵数列单调递减∴当时最大故答案为2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为,已知（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若,求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用降幂公式和正弦定理化简可得，从而得到即.（Ⅱ）利用余弦定理得到，再利用可得，利用面积公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）因为，所以即，由正弦定理得到即，因为，故，所以，又， . （Ⅱ）由（Ⅰ）得由余弦定理的，所以，整理得，.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.18.如图，在三棱锥中，，，平面，、分别是上的点，且平面.（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）若为线段中点，.求点到平面的距离.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由平面可得，从而可证平面.（Ⅱ）利用等积法可求点到平面的距离.【详解】（Ⅰ）平面，平面，平面平面，，又，平面；（Ⅱ）取的中点为，连接，因为，故，因为平面平面，平面平面，平面，故平面，又，故为等腰直角三角形斜边上的高，故，所以点到平面的距离为，因为为线段中点，，故为的中点，故，因为平面，平面，所以，同理，因，故，故，而，故，又平面，平面，故，因，故平面，而平面，所以，故，在中，因，故，在中，因，故，故，又，设点到平面的距离为，则，.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 点到平面的距离的计算可以利用面面垂直或线面垂直得到点到平面的距离，可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积.19.十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫,坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了个蜜柚进行测重，其质量分别在，，,,，(单位:克)中，其频率分布直方图如图所示，（Ⅰ）已经按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中抽取了个，现从这个蜜柚中随机抽取个。
2019年吉林市高三第三次调研考数学试题(文)
2019年吉林市高三第三次调研考数学试题（文）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.（1）若集合2{|540}{|3}A x x x B x x =∈+->=<N ，，则A B 等于（A ）(13)-，（B ）{12}， （C ）[03)， （D ）{012}，， （2）复数2a iz i+=-（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（A ）1(2)2-， （B ）1(2)2-， （C ）(2)-∞-， （D ）1(+)2∞，（3）在梯形ABCD 中，3AB DC =，则BC 等于（A ）1233AB AD -+ （B ）2433AB AD -+ （C ）23AB AD -（D ）23AB AD -+（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5261S a ==，，则公差d 等于（A ）15 （B ）35 （C ）65（D ）2（5）函数()f x 的定义域为开区间(则函数()f x 在开区间()a b ，（A ）1个（B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（6）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（A ）1 （Bx（C（D（7）考拉兹猜想又名31n +猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i = （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（8）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积为 （A ）32（B）（C）（D）（9）已知x y ，满足约束条件20626x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≤，则目标函数442y z x +=+的最大值为（A ）6 （B ）5 （C ）2 （D ）1-（10）以下四个命题中是假命题的是（A ）“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理.（B ）“在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a b ∥，b c ∥则a c ∥，将此结论放到空间中也成立” 此推理属于合情推理.第（7）题第（8）题108正视图侧视图俯视图（C ）“a ≤0”是“函数()ln f x ax x =+存在极值”的必要不充分条件. （D ）若(0]2x π∈，，则2sin sin x x+的最小值为（11）如图，南北方向的公路l ，A 地在公路正东2km 处，B 地在A 东偏北30︒方向处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路l 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上一处M 建一座码头，向A B ，两地运货物，经测算，从M 到A 、M 到B 修建费用都为a 万元/km ，那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元（A）(2a +（B）1)a （C ）5a（D ）6a（12）设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ∀∈∃∈，，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“Ω函数”. 给出下列四个函数：①sin y x =；②2x y =；③11y x =-；④ln y x =, 则其中“Ω函数”共有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 21cos 152-= .14. 已知实数,x y 满足10380,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪⎩，则2y z x =+的最大值为 .15. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .16. 已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE BC ⊥于点E，1,3,2EC AB BC PE ====，则四棱锥P A B C D -的外接球半径为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、lAPQBM验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈（1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前项和.n S18.（本题满分12分） 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.（1）完成列22⨯联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？19.（本题满分12分）已知三棱锥A BCD -中，ABC ∆是等腰直角三角形，且,2,AC BC BC AD ⊥=⊥平面, 1.BCD AD =（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若E 为AB 的中点，求点A 到平面CED 的距离.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>与直线40x +=相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l 与抛物线C 交于A,B 两点，使得2211AMBM+为定值.如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈（1）若()f x 存在极值点1，求a 的值； （2）若()f x 存在两个不同的零点，求证：2ea >（e 为自然对数的底数，ln 20.6931=）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）,0,.2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）设曲线2C 与曲线1C 的交点为A,B ，()1,0P ,当72PA PB +=时，求cos α的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围；（2）若,a b 均为正数，求证：a b b a a b a b ≥.2019年吉林市高三第三次调研考数学试题（文）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1若集合2{|540}{|3}A x x x B x x =∈+->=<N ，，则A B 等于（A ）(13)-，（B ）{12}， （C ）[03)， （D ）{012}，， 【答案】（D ） 2复数2a iz i+=-（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（A ）1(2)2-， （B ）1(2)2-， （C ）(2)-∞-， （D ）1(+)2∞，【答案】（A ）3在梯形ABCD 中，3AB DC =，则BC 等于（A ）1233AB AD -+ （B ）2433AB AD -+ （C ）23AB AD -（D ）23AB AD -+【答案】（D ）4等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5261S a ==，，则公差d 等于（A ）15 （B ）35 （C ）65（D ）2 【答案】（A ）5函数()f x 的定义域为开区间()a b ，则函数()f x 在开区间()a b ，（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【答案】（A ）6“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如x图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （A）1 （B（C（D【答案】（A ）7考拉兹猜想又名31n +猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i =【答案】（D ）8某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积为（A ）32 （B ）（C ）（D ）【答案】（C ）第（7）题第（8）题 108正视图侧视图俯视图9已知x y ，满足约束条件20626x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≤，则目标函数442y z x +=+的最大值为（A ）6 （B ）5 （C ）2 （D ）1-【答案】（B ）10以下四个命题中是假命题的是（A ）“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理.（B ）“在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a b ∥，b c ∥则a c ∥，将此结论放到空间中也成立” 此推理属于合情推理.（C ）“a ≤0”是“函数()ln f x ax x =+存在极值”的必要不充分条件. （D ）若(0]2x π∈，，则2sin sin x x+的最小值为【答案】（B ）11如图，南北方向的公路l ，A 地在公路正东2km 处，B 地在A 东偏北30︒方向处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路l 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上一处M 建一座码头，向A B ，两地运货物，经测算，从M 到A 、M 到B 修建费用都为a 万元/km ，那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元（A）(2a + （B）1)a （C ）5a（D ）6a 【答案】（C ）12设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ∀∈∃∈，，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“Ω函数”. 给出下列四个函数：①sin y x =；②2x y =；③11y x =-；④ln y x =, 则其中“Ω函数”共有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个lAPQBM【答案】（C ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14. 7 15. 91简答与提示：13【命题意图】本题考查同角基本关系式和二倍角公式.【试题解析】22111cos 15(2cos 151)cos30222︒-=︒-=︒=. 14【命题意图】本题主要考查线性规划.【试题解析】通过画可行域可以确定，使目标函数2yz x =+取最大值的最优解为(4,6)，故2yz x =+的最大值为7.15【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.【试题解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91. 16【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题.【试题解析】由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为1O ，F 为BC 边中点，进而求出1O F =，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为2219()22BD O F +=三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查等比数列及数列前n 项和.【试题解析】(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n n a a n ，从而有13+=n n b b ，11112=-=b a ，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.（6分）(2) 由(1)知13-=n n b ，从而1132-=+n n a ，有1111311332222-+-=+++++=n n n n S . （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.22⨯经计算7.287 6.635k ≈>的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关. （6分）(2) 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为,A B ，矮茎玉米有3株，设为,,a b c ，从中取出2株的取法有,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，共10种，其中均为矮茎的选取方式有,,ab ac bc 共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是310.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求点到平面距离问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】（1）证明：因为AD ⊥平面,BCD ⊂BC 平面BCD ，所以⊥AD BC ，又因为,⊥=AC BC AC AD A ，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD . （6分） （2）由已知可得=CD ，取CD 中点为F ，连结EF，由于12E D E C ==所以ECD ∆为等腰三角形，从而EF =ECD S ∆=由（1）知⊥BC 平面,ACD 所以E 到平面ACD 的距离为1，ACD S ∆=，令A 到平面CED 的距离为d ，有11133A ECD ECD E ACD ACD V S d V S -∆-∆=⋅⋅==⋅⋅，解得d =.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 联立方程有，2402⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y px，有280-+=y y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=y x . （4分）(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+⎧⎨=⎩x ty my x ，2880--=y ty m ，设112(,),(,)A x y B x y ，有12128,8+==-y y t y y m，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222122222222222212121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t mAM BM t y t y t y y t m+++=+==++++，当4=m 时，2211||||AM BM +为定值，所以(4,0)M . （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) ()1'=+--a f x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a . （4分） (2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a a f x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意；②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ，当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数，当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为增函减数，所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a 整理得1ln 12>-a a ，令1()l n 12h a a a =+-，11()02h a a '=+>，()h a 在定义域内单调递增，()()(ln 1)(ln 1)(ln 2)224224e e e e e e h h e e ⋅=+-+-=-，由l n 20.6931,e ≈≈知ln 204e -<，故2e a >成立. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 由22(3sin )12ρθ+=得22143+=x y ，该曲线为椭圆. （5分）（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，设12||||,||||==PA t PB t ，1226cos ,4cos t t αα-+=-12294cos t t α-=-，所以122127||||||4cos 2PA PB t t α+=-==-，从而24cos 7α=，由于(0,)2πα∈，所以cos α=. （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 令24,1|1||5|6,1524,5-+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集，有6≥m . （5分）（2）由,a b 均为正数，则要证≥a b b a a b a b ，只需证1--≥a b b a a b ，整理得()1-≥a b a b，由于当≥a b 时，0-≥a b ，可得()1-≥a b a b ，当<a b 时，0-<a b ，可得()1->a b a b，可知,a b 均为正数时()1-≥a b a b，当且仅当=a b 时等号成立，从而≥a b b a a b a b 成立. （10分）。
2019年全国3卷文科数学真题（解析版）
19年全国3卷文数D. {0,1,2}D. 1+i 一、选择题:1. 已知集合 A = {—l,0,l,2}, 8 = {.巾2罚，则 “8=（）A. {-1,0.1}B. {0.1}C. （-1.1）2. 若z （l + i ） = 2i ，则z=（）A. -l-i B. -1+i C. 1-i3. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（A. —B. —C. 一6 4 34. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某 中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的 学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5 B 0.6 C 0.7 D 0.85. 函数/⑴= 2siiu 」sin2x 在［0.2勿］的零点个数为（）A. 2 B 3 C 4 D. 56. 已知各项均为正数的等比数列{%}的前4项和为15,且约=3与+4^・则闩=（）A. 16B. 8C. 4D. 27. 已知曲线y = uc r +x\nx 在点（1,w ）处的切线方程为y = 2x+b,则（）A. a = e.h = -\B. a = e,b = \C. " = = 1D. u =广』？ = 一18.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△£（?£）为正三角形，平面ECD ±平面ABCD.M 是线段 功的中点，则（）A. BM = EN ,旦直线.可V 是相交直线c BM =EN,且直线BM.EN 是异面直线 9.执行如图所示的程序框图，如果输入的£为0.01，BM 手EN .且宜线BM,珈是相交直线 BM*EN ,且直线BM ，EN 是异而直线 则输出S 的值等于（）B. 2一一r 2510.己知F 是双曲线\ = 1的一个焦点.点P 在C 上，。
广东省惠州市2019届高三数学第三次调研考试试题文含解析(最新整理)
A. 192 B. 186 C. 180 D. 198
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为
分为长方体，棱长分别为
，再由表面积公式求解
，下部
【详解】
由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为
分为长方体，棱长分别为
，
(1)
；（2）
； （3）
；（4）
；此外，需注
意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
18.如图，在直三棱柱
中， 分别为
的中点，
，
.
（1）求证： 平面 ；
- 11 - / 20
（2）求三棱锥
的体积.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
试题分析：（1）设 为边 的中点，连接 ， ，∵ ， 分别为 ， 的中点，根据三角
（）
A.
B.
- 5 - / 20
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 利用圆心到直线的距离小于半径即可求出 k 的范围． 【详解】直线 l 为 kx﹣y+2k=0，又直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点
故
∴
故选：C． 【点睛】本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，是基础题． 10.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯， 榫和卯合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图 所示是一种榫卯的三视图，则该空间几何体的表面积为（ ）
转化为直线的斜截式方程
取得最大值；当截距 取得最小值时， 取得最小值.
新疆2019届高三第三次诊断性测试数学(文)试题(含精品解析)
新疆2019届高三第三次诊断性测试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先根据题干得到集合B 的元素，再由集合交集的概念得到结果. 【详解】集合，集合，则.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，属于简单题目. 2.复数，则（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】 分析】直接由复数的模的公式求解。
【详解】因为， 所以故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的模的定义，属于基础题。
3.若直线与圆相交，则点P 的位置是( ) A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 以上都有可能【答案】C【解析】试题分析：圆的圆心为，半径，由直线与圆相交得，所以点在圆外考点：点与圆，直线与圆的位置关系4.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面的面积的最大值为（）A. B. C. 8 D.【答案】D【解析】【分析】将三视图还原成三棱锥求解即可.【详解】将三视图还原成的几何体如图所示：底面为等腰直角三角形（两直角边长为2），侧棱垂直底面的三棱锥，面ABC，ABD,BCD面积均为2，三角形ACD为等边三角形，且边长为，∴面积为故选A.【点睛】本题考查三视图，正确还原成椎体，是本题关键，注意运算准确性，是基础题.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图象的平移变换法则，即可求解.【详解】因为，所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移个单位，故选C.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.6.关于的方程有两个解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得：，对的范围分类，作出函数及的图象，由图象即可得解。
2019年吉林省吉林市高三第三次调研考试数学(文科)试题(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5吉林市普通中学20xx —高中毕业班第三次调研测试文科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1． 设全集U Z =，{1,1,3,5,7,9},{1,5,7}A B =-=-，则()U A B =ðA. {1,3,9}B.{1,5,7}-C. {1,1,3,9}-D. {1,1,3,5,9}-2． 已知复数1iz i=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为A.12i B. 12i - C. 12D. 12-3． 已知命题2000:,23p x R x x ∃∈+>，则命题p 的否命题为A ．2000:,23p x R x x ⌝∃∈+≤B ．2:,23p x R x x ⌝∀∈+≤C ．2:,23p x R x x ⌝∀∈+<D ．2000:,23p x R x x ⌝∃∈+≥4． 下列各组向量中，可以作为基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e == B.1213(2,3),(,)24e e =-=-C.12(3,5),(6,10)e e ==D. 12(1,2),(5,7)e e =-=5． 设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是A.5- B.4C. 3-D. 116． 已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =A.(1)2n n + B.2(1)2n + C.212n + D.(3)4n n + 7． 以抛物线28y x =上的任意一点为圆心作圆与直线2x =-相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)8. 执行如图所示的程序框图，当输出210S =时，则输入n 的值可以为 A. 6 B.7C. 8D.99． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的 三视图,则该几何体的体积为 A. 143πB. 103πC. 83πD. 53π10．已知锐角α满足cos()cos 24παα-=，则sin cos αα等于 A.14B.14-C.24D.24-11．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”．这个问题中，前5天应发大米A. 894升B. 1170升C. 1275米D. 1467米12．对于定义域为R 的函数()f x ，若同时满足下列三个条件：① (0)0f =；② 当x R ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12||||x x =时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出下列三个函数：3213()2f x x x =-+；2()1x f x e x =--；3ln(1),0()2,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为A. 0B. 1C.2D. 3二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
2019届高三第三次调研考试数学试题含答案
cm 3．
10．在平面直角坐标系
xOy 中，若曲线 y
sin 2x 与 y
1 8
tan
x
在
2 ， 上交点的横坐标为
，则 sin2 的值
为
．
11．如图， 正六边形 ABCDEFEຫໍສະໝຸດ DA 中，若
AD AC AE
（ ， R ），则
F 的值
C C
为
．
2
A
B
（第 11 题）
B 6
3.5
（第 12 题）
12． 如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 6 m，最低点 B 处离地面 3.5 m．若从离地高 2 m 的 C 处观赏它， 则
M
0 ，1 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 M 作直线 l1 交椭圆 C 于 P ，Q 两点， 过点 M 作直线 l1 的垂线 l2 交圆 P
y
AQ M
O
N
x
O 于另一点 N ．若△ PQN 的面积为 3，求直线 l1 的斜率．
（第 17 题）
18． 南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长
y2 b 2 1（ a
0 ，b
0 ）的右准线与两条渐近线分别交于
△AOB 的面积为 ab ，则该双曲线的离心率为
．
4
A，B 两点．若
9． 已知直角梯形 ABCD 中， AB∥CD ， AB⊥ BC， AB=3 cm， BC=1 cm ， CD=2 cm ．将此直角梯形绕 AB 边所
在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为
（ 2）当风筝面 AEA F 的面积为 3 m2 时，求点 A 到 AB 距离的最大值．
D
A
长郡中学2019届高三第三次调研考试数学(文)答案
2019届调研考试（三）数学（文）试题—7
2019
数学（文）试卷参考答案
命题人：沈清臣 审题人：王守磊
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有
13．12
-
14．
13
15．15,16⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
16．2
三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
） 17．解：
（Ⅱ）ABD ∆的周长为7+ 18．解：（Ⅰ）基本达标；（Ⅱ）5092万元． 19．解：（Ⅰ）证明略；
（Ⅱ）①证明略；②三棱锥E －ADF ． 20．解：（Ⅰ）轨迹C 的方程为22
143
x y +=；
（Ⅱ）点T 的坐标为（4，0）． 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的单调递减区间是10,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
； （Ⅱ）证明略．
22．解：（Ⅰ）2；（Ⅱ）四边形ACBD 的面积为122AB CD ⋅=+
23．解：（Ⅰ）2；（Ⅱ）(3,)k ∈-+∞．。
2019届四川省成都市石室中学高三下学期三诊模拟数学(文)试题(解析版)
2019届四川省成都市石室中学高三下学期三诊模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2=10M x x -≤，1124,2x N x x Z +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N =I （ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．[)1,1-D ．[]1,0-【答案】B【解析】解出集合M 、N ，利用交集的定义可得出集合M N ⋂. 【详解】∵集合{}{}2=1011M x x x x -≤=-≤≤，{}{}1112124,222,112,2x x N x x Z x x Z x x x Z +-+⎧⎫=<<∈=<<∈=-<+<∈⎨⎬⎩⎭{}{}21,1,0x x x Z =-<<∈=-，因此，{}1,0M N ⋂=-， 故选：B. 【点睛】本题考查交集的运算，涉及一元二次不等式与指数不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2．设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+=（ ） A ．22i - B ．22i +C ．3i -D ．3i +【答案】B【解析】利用复数的除法运算、共轭复数的定义可计算出2z z+的值. 【详解】1z i =-Q ，1z i =+，则()()()()2122112122111i z i i i i z i i i ++=++=++=+=+--+， 故选：B. 【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的除法、共轭复数的相关计算，考查计算能力，属于基础题. 3．经过圆22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 （）A ．30x y -+=B ．30x y --=C ．10x y +-=D ．30x y ++=【答案】A【解析】依题意可得直线经过点(1,2)-且斜率为1，则其方程为21y x -=+，即30x y -+=，故选A4．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )A ．(4)3π+B (8)3π+C ．(8)3π+D ．(43π+【答案】B【解析】试题分析：该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为2×3(8)3π+选B ．【考点】本题主要考查三视图，几何体的体积计算．点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题． 5．设0x >，0y >，且1142x y+=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（ ） A ．4- B ．3-C ．2log 6-D ．232log 8【答案】B【解析】利用基本不等式可求出xy 的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出z 的最小值. 【详解】0x Q >，0y >，且1142x y +=，11111422222x y x y xy ∴=+≥⋅=，122xy ∴≤， 18xy ∴≥，当且仅当2x y =时取等号.42222212log log log log log log 38z x y x y xy =+=+=≥=-，则z 的最小值是3-. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6．若A 为不等式组0{02x y y x ≤≥-≤所示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x+ y =a 扫过A 中的那部分区域面积为（ ） A ．2 B ．1 C ．34 D ．74【答案】D【解析】试题分析：如图，不等式组0{02x y y x ≤≥-≤表示的平面区域是,动直线在轴上的截距从变化到1,知是斜边为3等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积,故选D.【考点】二元一次不等式（组）与平面区域点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．7．函数y=sin(πx+)(＞0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是( )A ．1665B ．6365C ．1665-D ．1663-【答案】A【解析】由周期公式可知函数周期为2，∴AB =2，过P 作P C ⊥AB 与C ，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APC 与∠BPC 的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ． 【详解】. ,BAP a PBA β∠=∠=()a θπβ=-+P C ⊥AB 与C115||,||||142AC T AP PC ====||255sin ,cos ||55PC a a AP ===3313||,||422BC T PB '===213313sin ββ==16sin 22sin cos 2sin()cos()2(sin cos cos sin )(cos cos 65=a a a θθθβαβαβββ=-++=-+=, 故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了两角和的正弦公式以及二倍角的正弦公式，属于综合题.8．下列命题中：①若“x y >”是“22x y >”的充要条件；②若“x R ∃∈，2210x ax ++<”，则实数a 的取值范围是()(),11,-∞-+∞U ；③已知平面α、β、γ，直线m 、l ，若αγ⊥，m γα=I，l γβ=I ，l m ⊥，则l α⊥；④函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用充分条件与必要条件的关系判断①的正误；根据特称命题成立的等价条件求实数a 的取值范围，可判断②的正误；由面面垂直的性质定理可判断③的正误；利用零点存在定理可判断④的正误. 【详解】①由x y >，可知0x >，所以有22x y >，当0x y <<时，满足22x y >，但x y >不成立，所以①错误；②要使“x R ∃∈，2210x ax ++<”成立，则有对应方程的判别式>0∆，即2440a ->，解得1a <-或1a >，所以②正确； ③因为αγ⊥，m γα=I，l γβ=I ，所以l γ⊂，又l m ⊥，所以根据面面垂直的性质定理知l α⊥，所以③正确；④因为111332111103333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111222111102332f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且函数()y f x =连续，所以根据零点存在定理可知在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在零点，所以④正确.所以正确的是②③④，共有三个. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练，考查推理能力，属于中等题.9．已知数列{n a }的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且1a ＝1，那么10a ＝( ) A ．1B ．9C ．10D ．55【答案】A【解析】a 10＝S 10－S 9＝(S 1＋S 9)－S 9＝S 1＝a 1＝1，故选A.10．已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设0a b c <<<，且满足()()()··0f a f b f c <，若实数0x 是方程()0f x =的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x c >C ．0x c <D ．0x b >【答案】B【解析】由指数函数与对数函数的特点易得，f(x)=21 log 3xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭在（0，+∞）上是连续的减函数.由f(a)·f(b)·f(c)＜0，得f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＜0或f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0， ∴x 0＜a 或b ＜x 0＜c. 故选B.点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.二、填空题11．从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，则()P A 等于______. 【答案】25【解析】列举出所有的基本事件，并确定事件A 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出()P A . 【详解】由于从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，所有的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5，共10种，其中事件A 包含的基本事件有：()1,3、()1,5、()2,4、()3,5，共4种， 由古典概型的概率公式可得()42105P A ==.故答案为：25. 【点睛】本题属于简单的古典概型的问题，属于基础题．关键是找准基本事件以及所求事件包含的基本事件总数．12．下图给出了一个程序框图,其作用是输入x 的值,输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等,则这样的x 值有________个.【答案】3【解析】试题分析：该程序框图是计算分段函数的函数值，从自变量的取值情况看，由三种情况，故应考虑1x x=，224,x x x x -==所得x 值，有3个． 【考点】本题主要考查程序框图的功能识别，简单方程的求解．点评：简单题，注意到应考虑1x x=，224,x x x x -==所得x 值，一一探讨． 13．已知在平面直角坐标系中，()2,0A -，()1,3B ，O 为原点，且OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u r，（其中1αβ+=，α，β均为实数），若()1,0N ，则MN u u u u v的最小值是_____.32【解析】根据OM OA OB αβ=+u u u u ru u u ru u u r可化简为BM BA α=u u u u r u u u r，可得出A 、B 、M 三点共线，求出直线AB 的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出MN u u u u v的最小值.【详解】OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u rQ （其中1αβ+=，α、β均为实数）， ()1OM OA OB αα=+-u u u u v u u u v u u u v ，即()OM OB OA OB α-=-u u u u v u u u v u u u v u u u v ，即BM BA α=u u u u r u u u r，//BM BA ∴u u u u r u u u r ，A ∴、B 、M 三点共线，MN ∴u u u u v 的最小值即为点N 到直线AB 的距离， 直线AB 的方程为23012y x +=-+，即20x y -+=， 因此，MN u u u u v的最小值为d ==故答案为：2【点睛】本题考查利用向量判断三点共线，同时也考查了点到直线距离公式计算线段长度的最小值，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.14．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________ 【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122FF c =，1F B a c =+.又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.故c e a ==.. 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程，然后化为有关,a c 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等. 15．给出下列五个命题：①已知直线a 、b 和平面α，若//a b ，//b α，则//a α；②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；③双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则直线b y x m a =+()m R ∈与双曲线有且只有一个公共点；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；⑤过()2,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于1P 、2P 两点，线段12PP 中点为P ，设直线l 斜率为1k ()0k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于12-. 其中，正确命题的序号为_______. 【答案】④⑤【解析】利用线面平行的判定定理可判断①的正误；结合抛物线的定义及条件可判断②的正误；利用双曲线渐近线的性质可判断③的正误；利用反证法结合线面垂直的定义可判断④的正误；利用点差法可判断⑤的正误. 【详解】①线面平行的前提条件是直线a α⊄，所以条件中没有a α⊄，所以①错误； ②当定点位于定直线上时，此时点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误； ③因为双曲线的渐近线方程为by x a=±，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以③错误； ④若αβ⊥，a αβ⋂=，l α⊂，且l 与a 不垂直，假设l β⊥，由于a β⊂，则l a ⊥，这与已知条件矛盾，假设不成立，则l 与β不垂直，所以④正确；⑤设()111,P x y 、()222,P x y ，中点()00,P x y ，则12112y y k x x -=-，0122012y y y k x x x +==+，把()111,P x y ，()222,P x y 分别代入椭圆方程2212x y +=， 得221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()2222121220x x y y -+-=， 整理得1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，即1212k k =-，所以⑤正确.所以正确命题的序号为④⑤. 故答案为：④⑤. 【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的判断以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，考查学生的运算能力与推理能力，属于中等题.三、解答题16．已知向量()sin ,1a x =-r，1,2b x ⎫=-⎪⎭r ，函数()()2f x a b a =+⋅-r r r .（1）求函数()f x 的最小正周期T 及单调减区间；（2）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，其中A为锐角，a =4c =，且()1f A =.求A 、b 的长和ABC ∆的面积.【答案】（1）T π=，递减区间是()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3A π=，2b =，ABC S ∆=【解析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算得出()()2f x a b a =+⋅-v v v，并利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数()y f x =的最小正周期T 及单调减区间；（2）利用（1）即可得到A ，再利用正弦定理即可得到C ，利用三角形内角和定理即可得到B ，利用直角三角形含6π角的性质即可得出边b ，进而得到三角形的面积. 【详解】（1）()sin ,1a x =-vQ，1,2b x ⎫=-⎪⎭v ，()()233sin ,sin ,1sin cos 22a b a x x x x x x ⎛⎫∴+⋅=+-⋅-=+⎪⎝⎭v vv 1cos 2231sin 2cos 22sin 22222226x x x x x π-⎛⎫=++=-+=-+ ⎪⎝⎭， ()()2sin 26f x a b a x π⎛⎫∴=+⋅-=- ⎪⎝⎭v v v ，所以，22T ππ==，由()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得536k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈，所以，函数()y f x =的单调递减区间是()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）()1f A =Q ，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭， A Q 为锐角，即02A π<<，52666A πππ∴-<-<，262A ππ∴-=，解得3A π=.由正弦定理得sin sin a cA C=，4sin sin 3sin 123c A C a π⨯∴===， ()0,C π∈Q ，2C π∴=，6B AC ππ∴=--=，122b c ∴==， 因此，ABC ∆的面积为1223232ABC S ∆=⨯⨯=. 【点睛】本题综合考查了向量数量积的坐标运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、直角三角形的边角关系及其面积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力． 17．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）求三棱锥C OEF -的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ3【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥, 平面ABCD I 平面ABEF AB =，CB ∴⊥平面ABEF ，∵AF 在平面ABEF 内，∴AF CB ⊥， 又AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥， ∴AF ⊥平面CBF .（Ⅱ）由（1）知CB ABEF ⊥面即CB OEF ⊥面， ∴三棱锥C OEF -的高是CB ， ∴1CB AD ==,连结OE 、OF ，可知1OE OF EF ===∴OEF ∆为正三角形，∴正OEF ∆的高是3， ∴1113311332C OEF OEF V CB S -∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=， 18．某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm ）.跳高成绩在175cm 以上（包括175cm ）定义为“合格”，成绩在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队队，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.（1）求甲队队员跳高成绩的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少；（3）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试求1X =的概率.【答案】（1）177cm ；（2）“合格”有2人，“不合格”有3人；（3）1633. 【解析】（1）将数据从小到大排列，找到中间的两个数，再求平均数即得中位数； （2）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，求出每个运动员被抽中的概率，然后根据分层抽样可求得结果；（3）根据茎叶图，确定甲队和乙队“合格”的人数，利用古典概型的概率公式可求出1X =的概率.【详解】（1）甲队队员跳高的成绩由小到大依次为157、168、169、173、175、176、178、181、182、184、186、191（单位：cm ），中位数为1761781772cm +=； （2）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是51306=， 所以选中的“合格”有11226⨯=人，“不合格”有11836⨯=人；（3）由题意得，乙队“合格”有4人，分别记为A 、B 、C 、D ，甲队“合格”有8人，分别记为a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h ，从这12人中任意挑选2人，所有的基本事件有：(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、(),A e 、(),A f 、(),A g 、(),A h 、(),B C 、(),B D 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),B e 、(),B f 、(),B g 、(),B h 、(),C D 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),C e 、(),C f 、(),C g 、(),C h 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),D e 、(),D f 、(),D g 、(),D h 、(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),a f 、(),a g 、(),a h 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),b f 、().b g 、(),b h 、(),c d 、(),c e 、(),c f 、(),c g 、(),c h 、(),d e 、(),d f 、(),d g 、(),d h 、(),e f 、(),e g 、(),e h 、(),f g 、(),f h 、(),g h ，共66种，其中，事件1X =包含的基本事件有：(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、(),A e 、(),A f 、(),A g 、(),A h 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),B e 、(),B f 、(),B g 、(),B h 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),C e 、(),C f 、(),C g 、(),C h 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),D e 、(),D f 、(),D g 、(),D h ，共32个，因此，()321616633P X ===. 【点睛】本题考查统计知识：求中位数、分层抽样等，同时也考查了古典概型概率的计算，难度不大．19．各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且2421n n n S a a =++，n ∈+N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知公比为()q q N +∈的等比数列{}n b 满足11b a =，且存在m N +∈满足m m b a =，13m m b a ++=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）17n n b -=或13n n b -=.【解析】（1）令1n =，利用数列递推式求出1a 的值，由2421n n n S a a =++得出2111421n n n S a a +++=++，两式相减，结合数列{}n a 各项均为正数，可得数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，从而可求数列{}n a 的通项公式；（2）利用m m b a =，13m m b a ++=，求出公比q ，即可求得数列{}n b 的通项公式． 【详解】（1）当1n =时，211114421S a a a ==++，整理得()2110a -=，11a ∴=. 2421n n n S a a =++Q ，2111421n n n S a a +++∴=++，两式相减得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，即2211220n n n n a a a a ++---=，即()()1120n n n n a a a a +++--=，Q 数列{}n a 各项均为正数，10n n a a ++>∴，12n n a a +∴-=，∴数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，故()12121n a n n =+-=-；（2）111b a ==Q ，111n n n b b q q --=∴=，依题意得12125m m q m q m -⎧=-⎨=+⎩，相除得25612121m q N m m ++==+∈-- 211m ∴-=或213m -=，所以17m q =⎧⎨=⎩或23m q =⎧⎨=⎩， 当1m =时，17n n b -=；当2m =时，13n n b -=. 综上所述，17n n b -=或13n n b -=.【点睛】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2) (0,1)．【解析】【详解】(1)由已知得222222{2a bc a c a b =⨯==-⇒2{1a b ==∴C 方程：2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为：y kx m =+(0,0)k m ≠≠联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则△22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,此时设11(,)M x y 、22(,)N x y ∴212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 于是2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，∴2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒22228014k m m k-+=+ 由0m ≠得：214k =⇒12k =±.又由△0>得：202m <<显然21m ≠（否则：120x x =，则12,x x 中至少有一个为0，直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，矛盾！） 设原点O 到直线l 的距离为d ,则1212OMNS MN d x ==-V 12== 故由m 得取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1) 21．已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()11f =-；（Ⅱ）（ⅰ）1； （ⅱ）()34 ,2ln31,3⎛⎤-∞-+⋃+∞ ⎥⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而得函数()f x 的最大值；（2）（ⅰ）求导函数，利用函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点，可得1x =是函数()g x 的极值点，从而求解a 的值；（ⅱ）先求出1[,3]x e ∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，1[,3]x e∀∈，min ()(1)2g x g ==，max 10()(3)3g x g ==，再将对于121,[,3]x x e ∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，等价变形，分类讨论，即可求解实数k 的取值范围． 试题解析：（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x +-'=-+=->， 由()0{f x x >>'得01x <<，由()0{f x x <>'得1x >，∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）∵()a g x x x=+，∴2()1a g x x =-'，（Ⅰ）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又∵函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点，∴1x =是函数()g x 的极值点，∴(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；（ⅱ）∵211()2f ee =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ∵2192ln 321e -+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，∴1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x =-'，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e为减函数，在(1,3]上为增函数，∵11110(),(1)2,(3)333g e g g ee =+==+=，而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g g e <<，∴1[,3]x e∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，又∵1k >，∴1k >， ②当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，∴342ln 33k ≤-+，又∵1k <， ∴342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-+⋃+∞．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的恒成问题的求解．【方法点晴】本题主要考查了导数在求解函数的最大值、最小值等问题中的应用积极函数的恒成立问题的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，属于难度较大的试题，本题的第2解答中，求出1[,3]x e∀∈，min max ()92ln 3,()1f x f x =-+=-，min ()2g x =，max 10()3g x =，将对于121,[,3]x x e ∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，转化为1k >时，12max [()()]1k f x g x ≥-+；1k <时，12min [()()]1k f x g x ≤-+，分别求解实数k 的取值范围．。