有理数知识点、重点、难点、易错点

第一章 有理数
一、 知识框架图
知识点详列：
1、正数和负数：数0既不是正数也不是负数。

正数和负数是表示两种具有相反意义的量。

2、 有理数分类
（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数
正有理数有理数0 3、数轴：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

它满足以下要求：
（1） 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
（2） 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3） 选取适当的长度为单位长度。

4、相反数：绝对值相等，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数仍是0.
5、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做|a|。

由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
6、有理数比较大小
正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

7、有理数的四则运算
（1）有理数的加法
加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.
③一个数同0相加，仍得这个数。

运算律：
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律:（a+b）+c=a+（b+c）
(2)有理数的减法
可转化为加法进行，减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。

正-正=正+负；正-负=正+正；
负-正=负+负；负-负=负+正。

（4）有理数的乘法
乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

②任何数同0相乘，都得0.
③乘积是1的两个数互为倒数。

④几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积为负。

运算律：
乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：（ab）c=ab+ac
(5)有理数的除法
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即1
(0)a b a b b
÷=⋅≠。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不为0的数都得0。

会用计算器进行相关计算。

8、 有理数的乘方
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

n a ，读作a 的n 次方，或者a 的n 次幂。

其中a 称为底数，n 为指数。

法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

9、有理数的混合运算顺序
（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行； （2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

10、科学记数法
把一些绝对值较大或者较小的数表示为10n a ⨯的形式（110,a n ≤<为整数），n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。

11、近似数
有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

二、 重点
1、了解并掌握正数和负数的概念及意义，弄清符号和实际意义间的关系，学会互变的能力；
2、能正确分辨及使用正数、负数和0；
3、掌握有理数的分类，数轴、相反数和绝对值的概念；
4、数轴概念的理解及应用；
5、能综合应用有理数的知识，解决一些简单的实际问题；
6、有理数大小的比较；
7、有理数的四则运算及混合运算； 8、会用计算器进行有理数的运算； 9、科学记数法； 10、
近似数概念的理解，有效数字的判断。

三、 考点、易错点、难点
考点1：用正负数表示具有相反意义的量，时差转化问题
难点：时差转化
考点2：有理数的分类、分数与小数的互换、有理数大小的比较
难点：有理数的分类中，分数与有限小数和无限循环小数可以用分数表示，因此分数包括上述小数，无限不循环小数不是有理数。

考点3：利用数轴上的点比较数，利用数轴比较数的大小
易错点：数轴画法错误，三要素不齐全；
难点：抽象数大小比较
考点4：求相反数、互为相反数的两数和为0
考点5：求绝对值、绝对值的相关运算、绝对值的性质、考查非负数的性质
考点6：通过运算律进行有理数的简便运算
易错点：运算结果的符号的确定，运算顺序记错；诸如“(-3)+(-4)=-(3+4)=-7”的运算中-4未加括号，写成“（-3)+-4”；有理数的减法可以转化为有理数的加法运算，要特别注意转变中符号的改变。

视具体情况，注意小数与分数、带分数与假分数的转变。

难点：乘方运算、有理数的混合运算；简便运算方法的选择：互为相反数的两个数可以先加，符号相同的数可以先加，能凑整数的可以先加，同分母的分数可以先加。

考点7：科学记数法表示大数、精确度（近似数四舍五入到哪一位，就精确到哪一位）、有效数字的判断
易错点：“科学记数法”中,110,
a n
≤<
为整数；精确度由a的末位数字还原后所在的数位决定；有效数字只
与a有关，当近似数后面有单位时，有效数字与单位无关，只与单位前面的数有关，但精确度与单位有关。

考点8：探索有理数的规律，考查数学思想方法
难点：发现规律。

预测题
1、存入银行200元记作+200元，-500元表示。

2、图纸上一个零件的直径是+0.03
-0.0230φ（单位：mm ）,这样标注表示零件的标准尺寸是 ，实际产
品的直径最大可以是 ，最小可以是 。

3、墨尔本与北京的时差是+3h ，（“+”同一时刻比北京时间早），从墨尔本飞到广州要10h ，若
从墨尔本9:00起飞，到广州时是北京时间 。

4、某粮库10日存粮食3000吨，下表是该粮库一周内进出粮食的记录（运进为正），
（1） 根据记录，这周内该粮库哪一天运进的粮食最多？哪一天运出的粮食最多？ （2）
一周后（17日）该粮库共有粮食多少吨？ （3） 哪一天粮库里的粮食最多？
5.（6
问：这6、把下列各数填在相应的大括号里： ＋
12，－6，0.54，7，0，3.14，200%，3万，－124，3.4365，－4
13
，－2.543。

正整数集合{ …}，负整数集合{ …}， 分数集合{ …}，自然数集合{ …}，
负数集合{ … }， 正数集合{ … }。

7、已知：|a|=3，|b|=2，且a<b ，求a+b 的值。

如果|x-3|+∣y+1∣=0,那么x y =______________。

已知|x+1|=4，（y+2）2=4，求x+y 的值。

8、比较大小：－3.14 －π． —6_____4.5
－212 －31
3
7.9_______0
9、点A 在数轴上表示2,从点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ,则点B 所表示的数是______
10、已知：2+23=22×23；3+38=32×38；4+2444,1515=⨯255
552424+=⨯；……；
若10+b a =102×b
a
符合前面式子的规律，则a+b=________。

11、计算题（每小题3分，共24分）
⑴（+3.41）－（－0.59） ⑵ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-75137413
⑶（-6）÷（-3
1
）2 ⑷ －3－4＋19－11＋2
⑸2(3)2--⨯ ⑹()2
1
2115.2212--+---
⑺ 666(5)(3)(7)(3)12(3)777
-⨯-+-⨯-+⨯- (8) 24)]3(2[61
1--⨯--
12、
用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按上图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）． 13、如果规定符号“*”的意义是a*b=ab/（a+b ），求2*（-3）*4的值。

14、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是 ，用科学记数法表示302400，应记为 ,近似数3.0×
精确
到 位。

15、实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：化简|a －b|+|b －c|-|c －a|.
16、我国拟设计建造的长江三峡电站，估计总装机容量将达16780000千瓦，用科学记数法表示总装机容量是（ ） （A ）4101678⨯千瓦 （B ）61078.16⨯千瓦 （C ）710678.1⨯千瓦 （D ）8101678.0⨯千瓦。