衍射的角谱理论
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3第二章 衍射理论(4)菲涅耳和夫琅和费衍射
结论：可以把光波在衍射孔径后的传播现象 看作是线性不变系统。
2.衍射的角谱理论
A
cos
,
cos
A0
cos
,
cos
exp(
jkz
1 cos 2 cos 2 )
衍射公式的频谱表示： A( f x , f y ) A0( f x , f y )H ( f x , f y )
H( fx ,
复习： 1.近轴条件下的基尔霍夫衍射公式
U(P)
1
j
U(P0 )cos(n, r)
cos(n, r0 )
2
e jkr r
ds
1
e jkr cos 1
U(P) j U0(P0 ) r
dS 2
1 e jkr
h(P, P0 ) j z
U( x, y) U( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0dy0
m [ (
4
fx
f0 ,) (
fx
f0 ,)]
F[t( x0 ,
y0 )]
F
1 2
m 2
cos(2f0 x0 )
Frect
x0 l
rect
y0 l
l2 2
s
in
c(lf
y
)s
in
c(lf
x
)
m 2
sinc[l(
fx
f0
)]
m 2
sinc[l(
fx
f
0
)]
将
fx
x
z
,
fy
y
z
代入上式, 并将上式代入U(x,y), 得
U(x, y)
6衍射的角谱理论
称为复振幅分布的角谱
x0
孔径平面
x
观察平面
y
z
y0
（1）将孔径平面上的光场分布看作是不同方向传播的平面 波的线性组合。 （2）观察平面上的光场分布就等于这些平面波传递到Q点 时的相干叠加。
（二）比较基尔霍夫理论与角谱理论
基尔霍夫理论 角谱理论
讨论光的传播 空间域
频谱域
孔径平面上的光 点源的集合（或 不同方向传播的 场 U 0 P 球面波的线性叠 平面波的线性组 加） 合
f x, y, z F f x , f y , f z exp j 2 f x x f y y f z z df x df y df z
源自则 exp j 2 f x x f y y f z z 代表一个单位振幅的 单色平面波。
结论：
孔径的透过率函数 t x0 , y0 影响着孔径后的光场， cos cos T , 孔径越小，其傅立叶变换 越宽，孔径后 cos cos 的角谱 A 越宽。 ,
0
简而言之，衍射孔径使入射光波在空间受到限制，其效 果是展宽了衍射光波。
cos cos , A0
cos cos , H
因为 cos f x
cos
所以有
A f x , f y A0 f x , f y H f x , f y
fy
系统的传递函数
（四）孔径对角谱的影响
A f x , f y U x, y exp j 2 f x x f y y dxdy
x0
孔径平面
x
观察平面
y
z
y0
（1）将孔径平面上的光场分布看作是不同方向传播的平面 波的线性组合。 （2）观察平面上的光场分布就等于这些平面波传递到Q点 时的相干叠加。
（二）比较基尔霍夫理论与角谱理论
基尔霍夫理论 角谱理论
讨论光的传播 空间域
频谱域
孔径平面上的光 点源的集合（或 不同方向传播的 场 U 0 P 球面波的线性叠 平面波的线性组 加） 合
f x, y, z F f x , f y , f z exp j 2 f x x f y y f z z df x df y df z
源自则 exp j 2 f x x f y y f z z 代表一个单位振幅的 单色平面波。
结论：
孔径的透过率函数 t x0 , y0 影响着孔径后的光场， cos cos T , 孔径越小，其傅立叶变换 越宽，孔径后 cos cos 的角谱 A 越宽。 ,
0
简而言之，衍射孔径使入射光波在空间受到限制，其效 果是展宽了衍射光波。
cos cos , A0
cos cos , H
因为 cos f x
cos
所以有
A f x , f y A0 f x , f y H f x , f y
fy
系统的传递函数
（四）孔径对角谱的影响
A f x , f y U x, y exp j 2 f x x f y y dxdy
11-标量衍射理论3-衍射的角谱理论、菲涅耳衍射
即为普遍的衍射公式。
使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可 以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式
x0
x
y0
y
近似条件：
z
孔径和观察平面
z
x02maxy02max
之间的距离远远 大于孔径的线度
z
xm 2 axym 2 ax
只对轴附 近的一个
U 0 ( x 0 ,y 0 )ex j2 k z ( p x 0 2 [ y 0 2 ) ] fx x z ,fy y z
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：频域形式
或写成卷积式: U (x ,y) U 0(x ,y) h (x ,y)
其中, 脉冲响应函数为:
h(x,y)j1 zexjp k)e z (x jp 2 kz(x2y2)
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：F.T.形式
由菲涅耳衍射的空域表达式：
p U ( x ,y ,z ) ejx j z) k p U z ( x ( ,y , ) ex jz [ p x (x { ) ( y y ) ]d } d x
§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论
从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
xyz平面的光场分布与x0y00平面光场分布的关系：
U(x,y,z) U(x0,y0,0)exjp2p(z 12fx22fy2)
exjp 2p{ [fx(xx0)fy(yy0)]d}0xd0ydxfdyf
xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其 空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
衍射的角谱理论
衍射屏的复振幅透过率（反射率）: 衍射屏对入射光波调制 作用的数学描述, 它是描述衍射屏宏观光学性质的函数. 可用t(x,y)[或r(x,y)]表示.
Uin(x,y) Uout(x,y) t(x,y)
UO ( x, y) Ui ( x, y)t( x, y)
或
t(
x,
y)
UO ( x, U（i x,
exp(
j2
cos
z0 )exp
j2 (ux vy)
exp( j2
cos
z0
)
exp
j
2
cos
x cos
y
可见，单色平面波从 z=0 平面传播到 z=z0 平面上，其在xy平面上的相位分布不变，只是整体发生一个相移:
exp( j2
cos
z0 )
而
exp
j2
(ux
vy)
第一章习题解答
1.2 证明
comb( x ) comb( x)exp( j x ) comb( x)
2
证：comb( x )
( x n) 2
( x 2n)
2
2 n
n
ccomb( x)exp( j x ) ( x n)exp( j x)
n
( x n)exp( j n)
A0(u, v)H (u, v)
Az(u,v)和A0(u,v)分别看成是线性不变系统输出函数和输入函 数的频谱，传递函数为：
H
(u,
v)
exp
jkz
1
u
2
v
2
0
当u2
v2
1
2
其它
1
v
u2
标量衍射的角谱理论
6
按传播距离划分衍射区
1 9 0 6
7
用角谱衍射理论导菲涅耳公式（1） 角谱衍射理论导菲涅耳公式（
1 9 0 6
假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度， 假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度， 并且只对轴附近的一个小区域内进行观察， 并且只对轴附近的一个小区域内进行观察，则有
2 2 z >> x0max + y0max
13
夫琅和费衍射举例（ 夫琅和费衍射举例（续2）
1 9 0 6
函数的分布可知， 由 sin c 函数的分布可知 ， 每个 sin c 函数的主瓣的宽度正比 于 λz l ， 而 由 上 式 可 见 ， 这 三 个 函 数 主 瓣 之 间 的 距 离 大得多， 为 f 0 λz ，若光栅频率 f 0 比 1 l 大得多，即光栅的周期 d = 1 f 0 小得多，那么三个函数（主瓣） 比光栅的尺寸 l 小得多，那么三个函数（主瓣）之间不存在 交叠，那么平方时不存在交叉项，因而 交叠，那么平方时不存在交叉项，
及
2 2 z >> xmax + ymax
因而 λ f x = cos α ≈
x x0 y y0 << 1, λ f y = cos β ≈ << 1 z z
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项， 用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则
1 1 λ 2 f x2 λ2 f y2 ≈ 1 λ 2 ( f x2 + f y2 ) 2
jλr ∞
在傍轴近似下，并利用二项式近似 在傍轴近似下，并利用二项式近似
) K (θ ≈1
r = z +(x x0 ) +(y y0 )
按传播距离划分衍射区
1 9 0 6
7
用角谱衍射理论导菲涅耳公式（1） 角谱衍射理论导菲涅耳公式（
1 9 0 6
假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度， 假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度， 并且只对轴附近的一个小区域内进行观察， 并且只对轴附近的一个小区域内进行观察，则有
2 2 z >> x0max + y0max
13
夫琅和费衍射举例（ 夫琅和费衍射举例（续2）
1 9 0 6
函数的分布可知， 由 sin c 函数的分布可知 ， 每个 sin c 函数的主瓣的宽度正比 于 λz l ， 而 由 上 式 可 见 ， 这 三 个 函 数 主 瓣 之 间 的 距 离 大得多， 为 f 0 λz ，若光栅频率 f 0 比 1 l 大得多，即光栅的周期 d = 1 f 0 小得多，那么三个函数（主瓣） 比光栅的尺寸 l 小得多，那么三个函数（主瓣）之间不存在 交叠，那么平方时不存在交叉项，因而 交叠，那么平方时不存在交叉项，
及
2 2 z >> xmax + ymax
因而 λ f x = cos α ≈
x x0 y y0 << 1, λ f y = cos β ≈ << 1 z z
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项， 用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则
1 1 λ 2 f x2 λ2 f y2 ≈ 1 λ 2 ( f x2 + f y2 ) 2
jλr ∞
在傍轴近似下，并利用二项式近似 在傍轴近似下，并利用二项式近似
) K (θ ≈1
r = z +(x x0 ) +(y y0 )
10标量衍射的角谱理论
进而可以表示为
H
fx, fy
exp jkz
1 λfx 2 λf y2 0fFra bibliotek2 x
f
2 y
1 λ2
其他
因而，可以把光波的传播现象看作一个空间滤波器。它具有有限
的带宽（见下图）。在频率平面上的半径为的圆形区域内，传递
函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响
对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于的信息， 在单色光照明下不能沿方向向前传递。光在自由空间传播时，携 带信息的能力是有限的
角谱的展宽就是在出射波中除了包含与入射光波相同方向传播的分量 之外，还增加了一些与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加 了一些高空间频率的波，这就是衍射波。
平面波角谱的衍射理论
本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分 布 U (x, y,0) 可通过傅里叶变换得到其角谱
U (x, y, z)
可以分别记作
U (x, y,)
A(cos
, cos
,) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
U (x, y, z)
A(cos
, cos
, z) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 z 0 平面上的角谱和 z z 平面上的角谱之间的关系
exp{ j[ f x (x x ) f y ( y y )]}df x df y dxdy
上式的四重积分是类似基尔霍夫公式的一个精确的表达式，尽 管它不含三角函数，但是使用起来仍很不方便。下面还是要按 照菲涅耳的办法进行化简，首先对不同传播距离衍射的情况做 个直观的说明
衍射的角谱理论
函数是二维线性空不变系统的本征函数函数表示振幅为1的平面波在xy平面上形成的复振幅分布与平面波的传播方向相联系表示了单色平面波的传播方向23expj2expj2dfdf任一平面光波场可以看成无数组传播方向不同幅值不同的平面波叠加而成在叠加时各平面波有自己的振幅和相位它们的值分别为角谱的模和幅角如果把相干光场在自由空间两平面间的传播看作是通过一个二维线性空不变系统则单色平面波在该输入平面上形成的分布即为该系统的本征函数
jkz exp H ( fx , f y ) 0 1 1 ( f x ) 2 ( f y ) 2 f x 2 f y 2 2 其他
• 这表明该系统的传递函数相当于一个低通滤波器， 1/ 截止频率为 ．在频率平面上，这个滤波器的 半径为的圆孔. • 对于孔径比波长还小的精细结构，或者说空间频 率高于 1/ 的信息，在单色平面波照明下不能沿 z方向向前传播
式中 k cos cos 1 为实数。角谱将 随z的增大而按指数衰减，在几个波长的距 离内几乎衰减为0，对应于这些传播方向波 动分量称为倏逝波，在通常情况下均略而不 计
2
A(
cos cos cos cos , ) A0 ( , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2
传递函数 H ( f x , f y )
• 将
cos cos cos cos A( , ) A0 ( , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2
写成 A( f x , f y ) A0 ( f x , f y )H ( f x , f y ) • 把 A0 ( f x , f y ) 和 A( f x , f y ) 分别看做系统的输入和输出频 谱，由上式给出的输入和输出频谱关系再次说明系 统是线性不变系统。系统在频域的效应由传递函数 表征：
jkz exp H ( fx , f y ) 0 1 1 ( f x ) 2 ( f y ) 2 f x 2 f y 2 2 其他
• 这表明该系统的传递函数相当于一个低通滤波器， 1/ 截止频率为 ．在频率平面上，这个滤波器的 半径为的圆孔. • 对于孔径比波长还小的精细结构，或者说空间频 率高于 1/ 的信息，在单色平面波照明下不能沿 z方向向前传播
式中 k cos cos 1 为实数。角谱将 随z的增大而按指数衰减，在几个波长的距 离内几乎衰减为0，对应于这些传播方向波 动分量称为倏逝波，在通常情况下均略而不 计
2
A(
cos cos cos cos , ) A0 ( , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2
传递函数 H ( f x , f y )
• 将
cos cos cos cos A( , ) A0 ( , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2
写成 A( f x , f y ) A0 ( f x , f y )H ( f x , f y ) • 把 A0 ( f x , f y ) 和 A( f x , f y ) 分别看做系统的输入和输出频 谱，由上式给出的输入和输出频谱关系再次说明系 统是线性不变系统。系统在频域的效应由传递函数 表征：
3.3 标量衍射的角谱理论
后来，菲涅耳补充了惠更斯原理，提出了惠更斯-菲涅尔耳原 理，波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看作是一个次级子波源 （频率与原波相同），在其后空间任何一点处的光振动是这些子波 的相干叠加。
U0(x1,y1) 推广后的惠更斯-菲涅尔耳原理可以写作: x1
x
U
(P ) = U ( x , y ) e 0 1 1
也就是对于(x02+ y02)一切可能值中的最大值有
2 x0 y 0 max
2 2
(
)
2z
2
z
(x 2
1
2 0
y 0 max
2
)
满足 式的z值范围的衍射叫做夫琅和费衍射。显然夫琅和费衍射 是在菲涅耳衍射的基础上进一步近似所得的结果，其衍射公式为:
2 x0 y 0 max
夫琅和费衍射
U ( x, y , z ) =
exp ( jk z ) j z
k 2 2 exp j ( x y ) 2z
xx0 yy 0 U 0 ( x0 , y 0 ,0 ) exp jk dx0 dy 0 z
jkr
ds
dx dy
1 1
r
p y z
r
y1
上式在解决衍射问题中，在相当大的范围内是正确的，但它 是近似的.其中一个原因是没有考虑子波在不同方向上作用的差异。 实际上每一小面元ds对观察点的作用还与面元法线和面元到观察 点联线的夹角有关。对于普便的情况，菲涅尔提出必须引入体现 子波在不同方向上作用的因子倾斜因子 k (q )
夫琅和费衍射公式
菲涅耳衍射
U ( x, y ) =
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明显的相位差。右端第三项引起的相位变化为
2
x
x0
2
y
y0
2
2
8z3
菲涅耳近似条件
• 当z满足
2
x
x0
2
y
y0
2
2
8z3
2
也就是要求
z3
1
8
x
x0
2
y
y0
2
2 max
菲涅耳衍射公式：
U (x, y)
2π，则上式中从第三项起都可以忽略不计，
即z应满足
z cos2 cos2 2 1
8
max
cos x x0
z
cos y y0
z
有
1 cos2 cos2 1 1 cos2 cos2
复振幅分布的角谱
• 孔径平面(x0, y0)的场分布为 U0 (x0 , y0 ) ， 观察平面上的场分布为 U (x, y) ，则它们
相应的角谱相应为 和 cos cos A0 ( , )
A(cos , cos )
U0(x0, y0)
A0
(
cos
• fx cos / fy cos / 与平面波的传播方向相 联系 ,表示了单色平面波的传播方向
傅里叶反变换的物理意义
f ( x, y ) F( fx , f y )exp[ j2( fxx f y y )]dfxdf y
• F( fx , f y ) 被称为 f ( x, y ) 光场分布的角谱。
,
cos
)
exp
jkz
1 cos2 cos2
传递函数 H ( fx , f y )
•
将
A( cos
,
cos
)
A0
(
cos
,
cos
)
exp
jkz
1 cos2 cos2
写成 A( fx , f y ) A0 ( fx , f y )H ( fx , f y )
,
cos
)
A0
(
cos
,
cos
)
exp
jkz
1 cos2 cos2
几种情况讨论（3）
• cos2 cos2 1 ，在此情况下，该 波动分量的传播方向垂直于z轴，它 在z轴方向的净能流量为零。
A(cos
,
cos
)
A0
( cos
j z
U0
( x0 ,
y0
)
exp
jk
(x
x0
)2 ( 2z
y
y0
)2
dx0dy0
• 从 r 的近似条件 r
z
1+
(
x
x
0
)2 ( 2z2
y
y0
)
2
[(x
x0 )2 (y y0 )2 ]2 8z4
应当是在的展开式中被略去的高次项不致引起
• 把 A0 ( fx , f y ) 和 A( fx , fy ) 分别看做系统的输入和输出频 谱，由上式给出的输入和输出频谱关系再次说明系 统是线性不变系统。系统在频域的效应由传递函数 表征：
H(
fx,
fy)
A( fx , f y ) A0 ( fx , f y )
exp
jkz
1
(
A( cos
,
cos
)
cos A0 (
,
cos
) exp( z)
式中 k cos2 cos2 1 为实数。角谱将 随z的增大而按指数衰减，在几个波长的距 离内几乎衰减为0，对应于这些传播方向波 动分量称为倏逝波，在通常情况下均略而不 计
A(cos
A0
(
cos
,
cos
)
和 A(cos , cos ) 之间的关系，就知
道了每一平面波分量在传播过
程中振幅和相位发生的变化，
自然也就可以确定整个光场由
孔径谱传播规律的基础仍然是标量波动方程
2u
1 v2
2 t 2
u
0
•
dx0dy0
菲涅耳衍射角谱公式
• 观察面上光场角谱与孔径平面上光场的角 谱之间的关系为
A( cos
,
cos
)
A0
( cos
,
cos
)H(
cos
,
cos
)
其中
H(cos , cos ) exp jkz 1 cos2 cos2
• 基尔霍夫理论与角谱理论是统—的，它们都证明了光 的传播现象可以看做线性不变系统。
• 基尔霍夫理论是在空域讨论光的传播，是把孔径平面 上的光场看做点源的集合，观察平面上的场分布则等 于它们所发出的带有不同权重因子的球面子波的相干 叠加，球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系统 的脉冲响应。
• 角谱理论是在频域讨论光的传播，将孔径平面光场分 布看做许多不同方向传播的平面波的线性组合。观察 平面上的场分布等于这些平面波分量的相干叠加，但 每个平面波分量引入了相移。相移的大小决定于系统 的传递函数，它是系统的脉冲响应的傅里叶变换。
,
cos
)
exp
j2
(
cos
x0
cos
y0
)
d
(
cos
)d
(
cos
)
cos
U(x, y) A(
,
cos
)
exp
j2
( cos
x cos
y)
d(
cos
)d(
cos
)
假如我们能够找到
叶变换，即
T (cos , cos )
t
(
x0
,
y0
)
exp
j2
(
cos
x0
cos
y0 )dx0dy0
特殊情况讨论
• 对于用单位振幅的平面波垂直照射衍射屏 特殊情况下：
Ai
( cos
,
cos
)
( cos
,
cos
• 这些平面波分量在空间传播一定距离z仅仅 是引人了一定的相位移动，而振幅不发生 变化．这与平面的性质相一致，平面在空 间传播既不会改变方向，也不会改变振幅
A(cos
,
cos
)
A0
(
cos
,
cos
) exp
jkz
1 cos2 cos2
几种情况讨论（2）
• cos2 cos2 1 公式中的平方根是虚数
孔径对角谱的影响
• 假定入射到孔径平面上的场分布 为 Ui(x0, y0) ，衍射屏的复振幅透过率 为 t(x0, y0) ，衍射屏后表面即出射光 场为 U0(x0, y0) 。它们的关系为
U0 (x0 , y0 ) Ui (x0 , y0 )t(x0, y0 )
孔径对角谱的影响
• 假设入射光场的角谱和透射光场的角谱
f
x
)2
(
f
y
)2
传递函数 H ( fx, fy )
• 由于在所讨论的问题中，传播距离z总是极大于几 个波长，所以可忽略倏逝波，于是传递函数可以 写做
H ( f , f ) x y
exp jkz
1(
f
x
)2
(
f
y
)2
f
2 x
f
2 y
1
2
0
其他
• 任一平面光波场可以看成无数 组传播方向不同、幅值不同的平 面波叠加而成，在叠加时各平面 波有自己的振幅和相位，它们的 值分别为角谱的模和幅角
复振幅分布的角谱
• 如果把相干光场在自由空间两平面间的传播 看作是通过一个二维线性空不变系统，则单色 平面波在该输入平面上形成的分布即为该系统 的本征函数。
• c(cos , cos )
由边界条件确定。在z=0处即为
孔径平面
，角谱是
A0
(
cos
,
cos
，) 因此
cos cos
cos cos
c( , ) A0 ( , )
角谱之间的关系
cos cos
cos cos
A( , ) A0( , ) exp
U0 (x0 ,
y0
)
exp
jk
(x
-
x0 )2 ( y 2z
-