2019苏科课标版初中数学九年级上册第一章一元二次方程11一元二次方程教案语文

“一元二次方程（第1课时）”教学设计及反思1教学内容与学情本节课的教学内容是苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册第一章第1节“一元二次方程（第1课时）”．在七、八年级先后学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）和分式方程，学生对“元”、“次”、“方程”、“解（根）”、“解方程”等概念已比较清晰，并且知道方程是刻画现实生活中数量关系的有效模型；一元二次方程是揭示现实世界数量关系的又一个重要的数学模型，它既是方程本身内容进一步丰实的需要，也是后续学习二次函数以及高中数学的基础．2教学目标（1）了解一元二次方程的概念，理解一元二次方程的解和解一元二次方程的意义；（2）能根据已知的一元二次方程编写相应的生活情境，也能根据实际问题中的数量关系列方程，从中感受一元二次方程是揭示现实世界数量关系的一个有效的数学模型；（3）经历一元二次方程概念的生成与逻辑建构过程，体会由特殊到一般、分类和化归等数学思想方法，感受概念学习的基本方式，逐步形成数学经验体系．3教学重点、难点重点：了解一元二次方程的概念，感受一元二次方程是揭示现实世界数量关系的一个重要的数学模型；难点：经历具体现实原型与抽象数学模型之间的数学化过程，用一元二次方程描述简单问题中数量之间的相等关系．4教学过程设计4．1 概念形成（是什么？）概念形成一般经历4个阶段：“感知认识阶段”、“分化本质属性阶段”、“概括形成定义阶段”和“应用与强化阶段”．4．1．1 感知认识本节课我们开始学习“一元二次方程”，你能写出1个一元二次方程吗？你能再写出类型不同的一元二次方程吗？【有效性分析】学生对“元”、“次”、“方程”的概念已比较清晰，类比地写出几个一元二次方程，让学生形成直观感受；概念抽象需要典型实例，通过“类型不同”引发学生深度参与，逐步向数学对象的本质属性逼近.4．1．2 分化本质下列方程是不是一元二次方程？为什么？①y2=－3；② x 2+1x+2=0； ③ x （x －1）=x 2；④ax 2+3x+1=0.【有效性分析】利用正例和反例变换非本质属性特征，抽象共性特征，概括本质特征．“大众化”的方程没有争议，以无实根型、分式方程、化简后不含x 2型以及二次项系数不确定型等有“个性”的方程引发认知冲突，从而促成一种共同的认知欲望：必须明确“一元二次方程”的定义，这既是一个思维实质性参与过程，又是一个孕育概念生长点的过程．4．1．3 概括定义问题1：你认为什么叫做一元二次方程？⑴文字定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． ⑵符号定义：形如ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是常数，a ≠0）的方程叫做一元二次方程．我们把ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是常数，a ≠0）叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2叫做二次项、bx 叫做一次项、c 叫做常数项，a 、b 分别叫做二次项系数、一次项系数．思考：①如何理解“未知数的最高次数是2”这个条件？②在一般形式中，如果b=0或c=0，那么一元二次方程具有怎样的形式？【有效性分析】有以前学习方程的经验和认识基础，学生具备由具体思维向形式化思维转变、归纳一元二次方程定义的能力．数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中，思考的两个问题是等价的，凸出了概念的内涵和外延，一方面认识到一元二次方程形式的多样性，另一方面也加深了对概念本质的理解．4．1．4 应用强化例1 已知关于x 的方程（m 2－4）x 2+（m ＋2）x －m+2=0．⑴当m______时，该方程为一元二次方程；⑵若该方程为一元一次方程，则m=______．【有效性分析】引导学生养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯，突出一元二次方程基本概念所蕴含的思想方法，在感受数学分类的必要性的同时，训练思维的缜密性． 4．2 建构活动（学什么？）问题2（先留空）：你认为，这个问题应该是什么？ 或者说，此刻我们应该提出什么问题？【有效性分析】学生主动提出问题也是需要引导的．这个留空问题的出现，激发学生思考，我们已经知道了一元二次方程的定义（从哪里来），接下来当然应该研究一元二次方程的其它内容（到哪里去），这是认知的自然趋势；学生应该有这种自主建构学习内容体系的学习倾向和主动提出问题的意识，这种把主动权还给学生的做法有益于促进学习方式的改变．通过回忆与重构，“我们应该如何学习一元二次方程？”或者“接下来我们应该学习一元二次方程的哪些内容？”这类问题呼之欲出，“⒈定义；2.解；3.解方程；4.列方程解决问题.”的认知框架水到渠成．为了强化主动提出问题的意识，积累提出问题的经验，教师可以追问：“你是怎么想到这样提出问题的？”“提这样的问题合理吗？”．4．3 数学探索（怎么学？）4．3．1自主探索结合我们自己写出来的方程，同学们先独立思考：刚才我们所提出的几个问题中，哪些你能解决？哪些你可以尝试解决？【有效性分析】一元二次方程的形式多样、系数复杂，导致解方程的方法多样性与复杂性共存，这些需要学生自主认识与感受；这里不在于是否解决了问题，而在于思维的层次与实质——发现了悬而未决的问题，这既是突出核心概念的过程，也是突破难点的过程．4．3．2合作交流⑴一元二次方程的解的意义各组代表陈述（可以结合已写出的方程，也可以重新写），突出下列几个问题：①什么叫“一元二次方程的解”？②如何验证一个值是否为一元二次方程的解？你发现一元二次方程的解与我们以前学过的方程的解有何异同？⑵解一元二次方程的感受如何确定（或找到）一元二次方程解？学生对照自己写出的方程说明．例如对9x2=4型的可以通过开平方，对（x－1）（x+2）=0或x2－5x=0型的可以通过因式分解，而x2=－5型的没有实数根；当然，像2x2－5x=1等型的方程目前尚难解决，这正是我们本章要学习的内容，后面将有非常巧妙的解法等待着我们！反过来，如果已知解，你能编写出一元二次方程吗？能编出不同的一元二次方程吗？①你能写出一个以1和－2为根的一元二次方程吗？许多学生会写出（x－1）（x+2）=0型的方程，老师可以用“你是怎么想到这样编写的？”初步形成编写的经验．②你能写出一个只以3为根的一元二次方程吗？③你能写出一个没有实数根的一元二次方程吗？④你能写出一个有3个实数根的一元二次方程吗？【有效性分析】学生经历编写过程（逆向思维），或许可以打开解方程（找方程的解）的渠道，让数学活动由方程的“解”向“解方程”自然过渡；在尝试解方程的过程中感受化归求简的思想方法．⑶列一元二次方程解决问题的尝试在我们所写的一元二次方程中选择1个你喜欢的方程，举1个相应的生活问题，使得该方程可以描述其中数量之间的相等关系（能解决其中的问题）．学生可能会选择下列方程编写生活问题：①（x －1）2=2，利用正方形面积来编；已知一个正方形的边长减小1，得到的新正方形的面积为2，那么这个一元二次方程就可以描述原正方形的边长与新正方形面积之间的数量关系；②x （x+1）= 6，利用长方形面积来编；已知长方形的长比宽多1cm ，面积为6cm 2，如果设宽为xcm ，那么这个一元二次方程就可以描述长方形的宽与面积之间的数量关系．③x 2+（x －1）2=25，利用勾股定理来编；已知一个直角三角形两条直角边的差为1cm ，斜边长为5cm ，那么这个一元二次方程就可以描述直角边的长与斜边长之间的数量关系．教学时，还可以补充一些典型问题，例如：例2 某种品牌电脑连续两次降价（降价率相同），单价由原来的6400元降到4900元，求每次降价率．独立作答，然后由1名同学讲述．设每次降价率为x ，则（1—x ）2=4964，这是一元二次方程，同学们可以尝试去解它．【有效性分析】这些问题源于生活，回归教材；例2通过一个相对完整的解决问题的过程，体现一元二次方程的实用价值，领悟到“为什么要学？”4．4 教学小结问题3：经历了一元二次方程的“第1节课”，我们获得了哪些学习经验？【有效性分析】反思自己的学习过程，积累学习经验，用经验理解数学，在理解中学会，在学会中会学．经验提升：学习一个数学对象，我们往往先对它有一个结构性的认识，以下列方式展开，逐步揭示它的本质．4．5 目标检测（5分钟训练）见《目标检测》．5 教学设计说明与教后反思5．1 “第1节课”的任务作为本章“第1节课”，这节课的教学性质是以问题趋动的概念教学课，不是章头导学课，更不是单元教学课．“第1节课”的任务主要有三点：（1）胸中有“森林”，就是感知本章（或单元）的逻辑结构和学习蓝图，让学习始终保持在“抬头看路”的宏观状态；（2）眼前有“树木”，就是了解一些自然生成的数学对象和基本概念；（3）脑海有“套路”，就是经历本章（或单元）框架的生成与构建过程，整体把握知识间的逻辑关系，体会概念学习的基本套路．5．2 问题情境的价值问题情境的价值不外乎为教学活动提供三个方面的服务：获得研究的对象、提出研究的问题、找到研究的方法．数学对象有时是内隐的，人们对它的认识需要由具象（生活原型）到表象（过渡雏形），再到抽象（数学模型）；数学对象不一定来自生活原型，有时来自学生实际，来自学生的经验．下面回答两个疑问：⑴本节课的问题情境是什么？一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的学习都体现了“从问题到方程”的认识观，本节课跳过生活实例（预设的“相关”情境），直入课题，对“元”、“次”、“方程”、“解（根）”、“解方程”等概念进行回忆与迁移，在列举和辨别一元二次方程的过程中形成认知冲突，一元二次方程的定义成为迫切的需要．数学概念来源于两方面：一是对生活问题的直接抽象；二是在已有知识和经验上的逻辑建构．本节课的问题情境就是学生已有的知识与认知经验，以及在自主建构中所形成的认知冲突．这种情境迎合学生的学习内趋，更能体现数学的本质，更能将注意力集结到主题上来．一个徒具形式的“把学生塞进汽车”的情境并不比开门见山值得肯定．⑵对一元二次方程认知的抽象逻辑建构以及从问题情境出发突出方程模型思想的功能，哪个更有价值？对一个新的数学对象，我们一般经历从表面到本质、从抽象到具体、从孤立到系统的认识过程．教学活动要特别关注知识的“生长点”和“归结点”，学生以往学习方程的经验有利于一元二次方程新认知的同化，但一元二次方程对方程的认知既有量的增加，又有质的变化，学生会产生新的疑问：为什么一元二次方程有多种解法？为什么要研究一元二次方程根的判别式？等等，这些新的疑问促使学生对原有认知结构进行改造（新认知的顺应）．让学生在自主建构过程中挖掘数学概念蕴含的价值观资源，提高解读概念所反映的数学思想方法的能力，这是数学教育的价值所在．毋庸置疑，用方程刻画问题成为学生的一种自觉的需要（方程模型思想），是方程教学的核心价值．为了力图实现这一价值，本节课设计了两个不同思维层次的“编写”，先是编写方程，但学生所编写的方程未必从生活问题中来，不乏x2+x=0这些“裸方程”，后是根据方程编写问题情境，这时学生必须回到生活问题中去，通过逆抽象体会问题情境的价值．5．3 坚持为理解而教（1）理解数学发展的规律．数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展都是自然的，一是知识的逻辑顺序自然，二是学生的心理认知自然．数学概念教学要让学生了解概念的背景和引入它的理由，知道它在建立、发展理论或解决问题中的作用，甚至要让学生体验数学家们发现数学规律的心路历程，这一历程闪耀着人类智慧的光芒，它对人类的贡献不仅仅在于数学结论，更重要的是孕育了一种精神品质和这种精神品质的教育功能．（2）理解数学思维的方式．数学教学是对特定数学对象形成序列概念性认识的思维活动，数学学习是数学思维方式的学习．数学思维方式孕育于知识的发生发展过程中，在教学活动中，教师要引导学生从数学角度看问题，善于主动提出问题，有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达，不断反思“这么想对吗？”、“为什么应该这么想？”，逐步形成合理的数学思维方式．（3）理解数学教育的价值．数学教育的核心价值是通过数学教育人思维．教师要引导学生通过对数学科学与人类社会发展之间的相互作用的了解，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，培养严谨态度和探索精神，以及能引发创造动力的价值观念，这种观念在以后认真学习数学与应用数学解决问题的过程中将逐步生成并强固起来，受益终身．。