小波变换课件ch3 多分辨分析与正交小波的构造

k


Poisson公式
1.设f (t k )，k Z 是一组正交规范的函数集合：
f (t k ) f (t k )dt (k
1 2 R k
1
k2 )
2
那么频域表示为 F ( 2k ) 1
2.设f1 (t k1 ), f 2 (t k2 ); k1 , k2 Z 是两组正交规范的函数集合：

L2 ( R ) 的小波空间分解理论上是完美的，
实践中是行不通的 ※小波级数的双重无限和难以实现
f (x )djk jk(x )
j k

无穷级数表达式是否有可能用有限求和范围作 近似处理？ ※ k 表征平移位置，只须在有限范围内取值 ※ j 对应信号的某一频率范围，在正整数域中 取值的上界总是有限的，在负整数域中取值至 -∞ 是不可避免的




H ( 0 ) 1 , H ( ) 0
G ( 0 ) 0 , G ( ) 1
正交尺度函数的构造
ˆ ˆ g
2 1 /2

g
ˆ g 2 k k 尺度空间的Reisz基 正交尺度函数
性质？
( x ) 2 h ( 2 x k ) k



在上述前提下，小波级数可改写为

f ( xA ) ( x ) d ( x ) a d ( x ) J j kj k J k J k j kj kjJ k
A jk J (x) d jk
j
J 1
a f ( x ) ,j ( x ) ; d f ( x ) ,j ( x ) j k k j k k
k

g j ( x ) 是信号 f ( x ) 中含有的以第j级小波的平移

函数族为基的展开式, 可简称为 f ( x ) 的第 j 级 小波分量 第j级小波空间 W c l o s { () x ; kZ } 2 j j k L 如果 ( x ) 是正交小波，则
LR ( ) . . . W WW 1 . . . W 1 0

2
l
( x ) 2 g ( 2 x l ) l
l

( ) H ( ) ( )


2
ˆ ˆ( ) G ( ) ( )
2 2
系数之和
h
k
k

2
g
k
k
0

递推关系 频域初值
ˆ( ) H ( k) 2 k 1

ˆ( ) G ( ) H ( k ) 1 2 k 2 1
Ac {} c gx ( k ) Bc {} k k k
2 k 2 2
那么 g ( ) 满足下列不等式，
ˆ A g ( 2 k ) B
2 k

反之亦然。

定理3.3 构成空间 V 0 的 ( x) 的平移族 { ( x k ), k Z } 正交规范基的必充条件是
2 j j . . . . .

W W j k, j k
2 LR () . . . W WW . . . W 1 0 1
j j
2 LR () . . . W WW . . . W 1 0 1
j j
ˆ ( 2 k )
2
1

推论3.1 根据定理3.2和3.3, 可推出如下结论: 如果 g ( x ) 是尺度空间 V 0 的Riesz基，那么由 ˆ( g ) ˆ( ) 1 /2 2 ˆ k ) g(2
( x k ), k Z } 所确定的函数 ( x) 的平移族 { 是同一尺度空间的正交规范基。
2
MRA中特殊情况： 正交尺度函数
( xk ) , ( xm ) k m , V 空间 j k j m k m
j
V0空间


正交小波函数 , j k m l j mk l 小波函数与尺度函数正交 ( xk ) ,( x l ) 0
Vj
Wj-1
Vj-1
小波空间是两个相邻尺度空间的差，也就是说空间Wj包含了函数f投影 到尺度空间Vj与Vj-1间的细节差别，因此小波空间有时又称为细节空间。
3.1.3 L ( R ) 基于正交尺度函数和小波 函数的分解
为了生成一个MRA，在小波函数已经确定的情 况下，需要构造与之对应的尺度函数。反之， 如果已知尺度函数， 则需要构造与之对应的 小波函数
L R Wj
2

( x ) 2 g ( 2 x k ) k
k
j
则
2 2 xk 是 W j 的标准正交基. 2 2 xk 构成 L R 的标准正交基。
j / 2 j j , k k Z
j / 2 j jk , jk , Z
f (t k ) f (t k )dt (k
1 1 2 2 R k
1
k2 )
那么频域表示为 F1 ( 2k ) F2 ( 2k ) 0
利用Poisson公式可以得到部分定理的证明

定理3.4 ( x) 平移族是 V 0 的正交规范基的充要条件 是 H ( ) 满足


2 ) L (R ) 可以展开为二重求和的 进而任何函数 f (x 小波级数: f (x )djk jk(x )
j k
d jk f , jk

进而有
f () x d gx () j k j k j
j k j
g x ) d x ) j( jk , jk , (

k
jJ k

3.2 正交小波构造的理论基础

二尺度关系的频域表达
j k 1 2 () h e () H ( )( ) k 2 2 2 2 k
ˆ ˆ( ) G ( ) ( )
2 2
G ( ) 1 j k ge k 2k
第三章 多分辨分析与 正交小波的构造
3.1 多分辨率分析
2 L 3.1.1 ( R ) 的小波空间分解

如果有一个正交小波，它的二进尺度伸缩平移 函数族
j2 j ( x ) 2 ( 2 xk -) j k
将构成中的正交规范基。
2 2 L ( R ) c l o s {( x ) ; j , kZ } 2 k L j
l l
l
二尺度关系

具有潜套性，完备性，稠密性，互补性， 尺度性质的空间序列{ V j , j Z }称为由尺度 函数 ( x) 生成的一个多分辨率分析(MRA)


对于一幅图像，量化级数决定了图像的分辨率，量化 级数越高，图像就越清晰，即图像的分辨率高。对于 任意一幅图像，都可以用不同的量化空间来表示，细 节比较丰富的部分用高分辨率来表示，细节比较单一 的部分可用低分辨率来表示。 我们可以将不同的量化级数构成的空间看成不同的多 分辨空间Vj，显然这些量化空间是相互嵌套的，从图 像处理的角度，多分辨空间的分解可以理解为图像的 分解，假设有一幅256级量化的图像，不妨将它看成 V W 量化空间Vj中的图像，则 V j j 1 j 1可理解为Vj空 间中的图像有一部分保留在Vj-1空间中，还有一部分 放在Wj-1空间

目标：下式成立
V c l o s , k ZjZ ; 2 j k L ( R ) j

j / 2 j 2 2 ( 2 xkjk ) ,, Z j k
(3.1.13)

定理3.1: 如果 ( x) 是 V 0 空间的Riesz基,并且 它和小波函数 ( x ) 存在如下关系 () x h 2 h ( 2 xl ) ( x ) 2 g ( 2 x l ) l 1 l l l 则式(3.1.13)成立
构造正交小波的基 本条件
G ( ) G ( ) 1
2 2


定理3.7 在 H()满足构造正交小波的基本条件(3.2.11) ， 取 j G ( ) e H ( ) （3.2.16) 则(3.2.13)和(3.2.14)式成立。 推论3.2 (3.2.16)式等价于
k
问题:
x;jk , Z 不是 jk ,
L2 R 的规范正交基.
构成 L 2
目标: 构造一个小波
x ,使 j,k j,kZ
R
的规范正交基.
正交小波函数的构造
V V W j 1 j j
令
1 k g ( 1 ) h k 1 k ,
H ( )
1 j k he k 2k
ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) H () () H ()() H () . . . . . . ( 0 ) H () 22 2 44 2
k 1 k
尺度函数完全由二尺度关系中的序列{hk}确定
H ( ) H ( ) 1
2 2


定理3.5 1 h l ) 1 当 k ， 有 H(0 定理3.6 小波函数 ( x)的平移族能够张成 V 0 在 V 1 空间中 正交补 W 0 的充要条件是它对应的 G ( ) 满足
H ( ) G ( ) H ( ) G ( ) 0
3.1.2 尺度空间的定义和性质

J 级尺度空间