理解数学理解学生理解教学_5
理解数学理解学生理解教学(章建跃)
（3）过分关注“题型”及对应的技巧—— 技巧，雕虫小技也，不足道也；技巧无 法穷尽，教技巧的结果可能是“讲过练 过的不一定会，没讲没练的一定不会” ；等。
理解数学理解学生理解教学
人民教育出版社 章建跃 zha• 核心：以学生的全面、和谐与可持续发 展为本——教育中的“科学发展观” • 教学目标——全面关注学生的认知、能 力和理性精神，以学生最近发展区为定 向，促进学生全面、和谐、可持续发 展——数学育人。
• 教改只能成功不能失败，因为人才的成 长没有重复机会，教育要绝对避免“折 腾”。 • 教改必须“大胆创新，谨慎实践”。 • 当前，与教育的本质相悖的“功利化” 现象还占据主导地位，需要我们共同努 力，为教育的理想而奋斗。
二、当前存在的主要问题
• 数学教学“不自然”，强加于人，对学 生数学学习兴趣与内部动机都有不利影 响； • 缺乏问题意识，对学生的创新精神和实 践能力培养不利； • 重结果轻过程，“掐头去尾烧中段” ， 关注知识背景和应用不够，导致学习过 程不完整；
• 重解题技能、技巧轻普适性思考方 法的概括，方法论层次的内容渗透 不够，机械模仿多独立思考少，数 学思维层次不高； • 讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、 理性精神不够，对学生整体数学素 养的提高不利。
三、提高“理解数学”的水平
• 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 • 理解数学概念的几个方面： • 从表面到本质—把握概念的深层结构上 的进步； • 从抽象到具体—对抽象概念的形象描述， 解读概念关键词，更多的典型、精彩的 例子；
理解数学理解学生理解教学(章建跃)
学生带着问题看书：向量的加法法则的关键词是什么？你如何理解？
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汇报对定义和三角形法则、平行四边形法则的理解，其中特别要注意对“关键词”的理解，要求用自己的语言描述。
如果向量a，b共线，如何作a+b？与有理数加法运算有什么关系？
向量a，b不共线，作出a+b，要求说明作法。
加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路——解题的灵活性来源于概念的实质性联系，技巧是不可靠的。
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应追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。
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例4 向量加法运算及几何意义的教学设计
01
先行组织者：类比数及其运算，引进一个量就要研究运算，引进一种运算就要研究运算律。
人民教育出版社 章建跃
理解数学理解学生理解教学
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202X
一、课改中形成的基本共识
核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本——教育中的“科学发展观”
教学目标——全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展——数学育人。
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教学要求——个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础
以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小，只要考察它们的差），再由“利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质”：
性质1，2，3……——证明——例题——练习、习题
“高立意低起点”的教学设计
数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小可以统一化归为比较它们的差与0的大小）；
章建跃核心概念、思想方法的理解与教学
中学数学核心概念、思想方 法的理解和教学设计
五、概念教学的核心
• 概念教学的核心是概括：将凝结在数学 概念中的数学家的思维打开，以典型丰 富的实例为载体，引导学生展开观察、 分析各事例的属性、抽象概括共同本质 属性，归纳得出数学概念。
理论依据
• 概括是人们掌握概念的直接前提； • 概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深 度、创造程度等思维品质的基础； • 概括是科学研究的关键机制； • 学习和应用知识的过程也是概括的过程； • 数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能 力的训练是数学能力训练的基础； • 概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力 的基础。
• 验证：2=1+1（错），4=1+3（错）， 6=3+3（对），8=3+5（对），10=3+7（ 对），12=5+7，14=3+11…… • 提出猜想：任何一个不小于6的偶数都等 于两个奇质数的和。
• 单元目标——中观目标，用于计划需要 几周或几个月的时间学习的单元，是课 程目标的具体化。例如，“理解函数的 概念”就是一个单元目标，因为函数的 概念包含了函数的定义、图像、性质等 众多内容。从这个单元目标到课堂教学 目标，还需要教师的工作。
• 教学目标——微观目标，即课堂教学目标。专 注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计 划日常教学中发挥作用。 例如，“理解函数 的概念”这一单元目标要具体化为： • 理解函数的定义和三种表示法，能用函数的概 念作简单判断（是不是函数）。 • 能分析简单实际问题中的函数关系。 • 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围 ，并会求出函数值。 • 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变 量之间的关系。 • 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况 进行初步讨论。
落实“三个理解”，实现“三会”目标——学习《5.2图形的运动》课堂有感
落实“三个理解”，实现“三会”目标—学习《5.2图形的运动》课堂有感何胜鑫【摘要】章建跃教授提出课堂教学要关注“三个理解”，即理解数学、理解学生、理解教学，旨在解决“教什么”“怎么教”“为什么这样教”的问题。
在“三个理解”理论指导下的课堂教学，要求执教者追溯知识源头，重塑数学知识的产生过程，体现数学文明的探索历程，让学生感悟数学与现实世界的紧密联系。
教师要努力做到知其然，知其所以然，知其所以必然，从而揭开数学神秘的面纱，激发学生学习的内驱力。
【关键词】三个理解；初中数学教学；现实世界“三个理解”是有效进行课堂教学的根本保证，是教师专业化发展的基石。
落实“三个理解”，要清楚数学知识从哪里来，到哪里去。
数学教学是还原和重现数学知识的产生的过程，一切课堂教学行为都是为了知识的生长。
史宁中教授说过：“数学学习的最终目标，是让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是建模。
”教师只有落实“三个理解”，才能实现“三会”目标。
落实“三个理解”体现在课堂教学的每一个环节，比如创设情境导入新课环节，可以创设体现数学知识产生发展需要、数学与生活联系的情境，使学生感悟数学知识产生的必然性；设计学生活动开展研究环节，可以采取问题引导学习的方式，让学生带着问题开展探索活动，将学生学习方式的转变落在实处。
要注重学生参与，让学生有主动学习的机会，教师可适时进行预设性提问，让学生的思维得到发展。
当学生“心求通而未得，口欲言而未能”的时候，教师相机诱导，通过有目的性、针对性的追问方式，进行点拨指引，让学生“开其意”“达其辞”，从而推动学生理解数学。
笔者有幸观摩了周海东老师执教的《5.2 图形的运动》一课，周老师教学设计的每一环节都很精致、精准、精深，真正落实了“三个理解”。
下面笔者结合这节课，谈谈自己的学习感受与思考，不当之处敬请指正。
基于“四个理解”的观点看对勾函数教学
基于“四个理解”的观点看对勾函数教学摘要：本文以“四个理解”为导向研究对勾函数的教学，希望教师形成教学一般观念，实现教师的教和学生的学相统一，提升学生核心素养，从而落实立德树人的根本任务。
关键词：四个理解；对勾函数；核心素养面对当下有些教师在“理解教学”上不到位，“理解学生”上不深入，教学“无灵魂”，技术“不钻研”的现象。
章建跃先生提出“四个理解”是落实核心素养的关键，理解数学，理解学生，理解教学，理解技术是提高数学教学质量和效益的决定性因素[1]。
因此，作为一名教师，应秉承“教书育人”的教育观念，把学生当作有思想的人，在深入理解数学的基础上教会学生学会构建数学知识的整体框架。
本文以“探究对勾函数的图象与性质”为例。
一、理解数学，把握对勾函数内涵理解数学首先应明白数学对象是如何定义的，而后才能把握数学内容的本质以及所蕴含的思想方法。
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲线，是形如的函数。
若将对勾函数分为与两个函数看待的话，其实就是正比例函数与反比例函数的“合成”。
因此，对勾函数的研究必定与正比例函数、反比例函数有着密不可分的联系。
而教材中并没有直接展现对勾函数的教学内容，而是设定了“探究与发现”这一栏目，即探究函数的图象与性质，将对勾函数的学习归入“数学建模与数学探究活动”中，其实也意味着提醒教师要注重学生探究发现的过程，形成研究函数的一般框架。
但从联系生活的角度看，在生产生活中都存在着对勾函数的“身影”。
因此，我们要理解对勾函数研究的必要性，学会从定义出发把握对勾函数内容的本质，探索并理解研究对勾函数所蕴含的思想方法。
二、理解学生，明确现有的知识储备理解学生，首先应把学生当作有活力有思想的个体。
在了解学生个性品质发展的同时要理解学生思维发展规律，把握学生的认知特点。
其次，应关注学生现有的知识储备，寻找搭建“知”与“不知”最近发展区的桥梁。
从而实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同发展”的课程理念。
数学教师如何引导学生理解数学概念
数学教师如何引导学生理解数学概念在学习数学的过程中，理解数学概念是至关重要的。
然而，许多学生往往对数学概念感到困惑和抽象。
作为数学教师，我们应该采取一些有效的方法来引导学生理解数学概念。
本文将探讨一些在教学实践中可行的方法和策略，帮助学生更好地理解数学概念。
1. 创造具体的例子一个有效的方法是通过创造具体的例子来帮助学生理解数学概念。
将抽象的概念与学生已经熟悉的事物联系起来，可以帮助他们更容易地理解。
例如，在教学代数方程时，可以使用简单的实际问题来说明方程的解决方法。
通过将数学与实际生活联系起来，学生可以更好地理解数学概念，并将其应用于实际问题中。
2. 使用图形表示图形可以是引导学生理解数学概念的有力工具。
通过绘制图形，学生可以直观地看到数学概念的特征和关系。
例如，在教学几何学时，使用图形可以帮助学生理解几何定理和关系。
通过观察和分析图形，学生可以更好地理解和应用数学概念。
3. 引导学生发现规律引导学生发现数学概念中的规律是培养他们数学思维能力的重要方法。
而不是简单地告诉学生一个规则或公式，教师可以引导学生通过问题解决过程中发现规律。
例如，在教学数列时，教师可以引导学生观察数列中的规律并尝试找出通项公式。
这种发现过程可以激发学生的学习兴趣，同时帮助他们更好地理解数学概念。
4. 提供多种解决方法数学问题往往有多种解决方法，通过引导学生探索、发现和比较不同的解决方法，可以帮助学生更全面地理解数学概念。
教师可以鼓励学生分享他们不同的解决方法，并引导他们讨论各种方法的优缺点。
通过比较不同的方法，学生可以更深入地理解数学概念，并培养灵活的数学思维能力。
5. 培养批判性思维数学教学不应仅仅关注计算和应用，还应注重培养学生的批判性思维能力。
学生应该被鼓励提出问题、质疑和探索更深入的数学概念。
通过引导学生进行数学推理和证明，可以帮助他们深入理解数学概念，并增强他们的批判性思维能力。
总结起来，引导学生理解数学概念是数学教师的一项重要任务。
小学数学的理解性教学
小学数学的理解性教学在小学数学的教学中，理解性教学是非常重要的。
通过理解性教学，学生能够真正地掌握数学概念与技巧，而不仅仅是机械地进行计算。
本文将探讨小学数学理解性教学的重要性以及实施该教学方法的一些建议。
一、小学数学理解性教学的意义小学数学作为学生在基础教育阶段的第一门正式学科，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要作用。
理解性教学着重培养学生对数学概念的理解能力，强调“为什么”的思考，从而帮助学生建立起扎实的数学基础。
1. 增强数学兴趣传统的机械计算教学往往以应试为导向，给学生带来枯燥乏味的学习体验，容易让学生对数学产生抵触情绪。
而理解性教学则注重培养学生的兴趣，通过生动有趣的教学内容和例题设计，激发学生的学习动力，让他们主动参与、积极思考。
2. 培养创造力和思维能力理解性教学强调学生的思维训练和问题解决能力的培养。
在解决问题的过程中，学生需要自主思考、独立解决，锻炼了他们的逻辑思维和推理能力，培养了创造性思维。
3. 建立数学基础知识的框架理解性教学通过将各个数学知识点有机地联系起来，帮助学生建立起数学知识的框架。
通过将数学概念与实际生活相结合，学生可以更好地理解数学的抽象概念，并能够将所学的知识应用于实际问题的解决中。
二、实施小学数学理解性教学的建议1. 创设情境在教学中，可以创设一些情境，将数学知识与学生的生活经验相结合，帮助学生更好地理解数学的概念。
例如，在讲解面积时，可以通过拓展学生的观察和实践，引导学生通过测量、比较等活动来感受面积的概念。
2. 提供多样化的教学资源为了促进学生的理解，教师可以提供多样化的教学资源，如教学软件、实物模型等，在教学活动中引入游戏、实践性活动等，帮助学生从不同的角度理解数学概念。
3. 引导学生合作学习合作学习是理解性教学中的一种重要方法。
通过组织学生进行小组活动，互相讨论和合作解决问题，可以促进学生之间的思维碰撞和知识共享，帮助他们更好地理解数学知识。
小学生如何有效理解数学概念
小学生如何有效理解数学概念数学是一门抽象而严谨的学科，对于小学生来说，理解数学概念可能是一件挑战性的事情。
然而，通过正确的方法和途径，小学生也可以轻松地掌握数学知识。
下面将介绍一些帮助小学生有效理解数学概念的方法。
1. 创意教学
在教授数学知识时，老师可以使用一些创意教学方法，让学生通过生动有趣的方式来理解抽象的数学概念。
比如，可以通过游戏、实验或故事来引入数学知识，激发学生的兴趣，让他们在轻松愉快的氛围中逐渐理解数学概念。
2. 视觉辅助
视觉辅助是帮助小学生理解数学概念的有效方法。
老师可以准备一些图表、图片或实物来辅助教学，让学生通过视觉的方式来感知数学概念，从而更好地理解和记忆知识。
3. 实践运用
数学知识的理解离不开实践运用。
老师可以设计一些实际问题，引导学生运用所学的数学知识来解决问题，让他们在实践中体会数学的魅力，并加深对数学概念的理解。
4. 多角度思考
数学问题往往有多种解法，通过多角度思考问题可以帮助小学生更全面地理解数学概念。
老师可以鼓励学生多尝试不同的方法来解决问题，培养他们的逻辑思维和创新能力。
5. 及时反馈
在学习过程中，及时反馈对于帮助小学生理解数学概念至关重要。
老师可以对学生的学习情况进行及时评估和反馈，发现问题并及时纠正，使学生得到有效的指导和帮助。
通过以上方法，小学生可以更加有效地理解数学概念，提高数学学习的效果，培养他们的数学兴趣和能力。
希望每一个小学生都能在数学学习中取得优异的成绩，享受数学的乐趣！。
“四个理解”指导下的教学设计新思路——以“位似”教学设计为例
一、素养立意，深化内容解析
对课堂教学具有定向作用的课时目标的设计要有 可操作性和可检测性. 设置课时目标的基础是对内容 的准确理解，进而做出体现内容本质的教学解析. 为 此要探寻内容解析的新思路，包括内容的结构，地位 和作用，内容的本质，蕴涵的数学思想和方法，育人 价值，等等.
内容解析是在知识图谱的指导下，围绕当前内 容，从数学上进行微观分析. 内容解析的基本格式 是：（1） 在“教学内容及其解析”前面添加课时知识 结构图，统领内容解析的叙述；（2） 以知识点的形式 列出教学内容；（3） 阐述当前内容在整个中学数学， 在本章、本节中的地位作用，在揭示概念内涵的基础 上，说明概念的核心，阐释知识内容所蕴涵的数学思 想方法，最后阐明本节课的教学重点.
中国数学教育·初中版 2019 年第 9 期 （总第 201 期）
“四个理解”指导下的教学设计新思路
——以“位似”教学设计为例
王华鹏 （浙江省台州市黄岩区教育局教研室）
摘 要：理解数学、理解学生、理解技术、理解教学是应对互联网时代教育变革的根本保证，基 于“四个理解”的教学设计在知识图谱的指导下，以课时结构图揭示知识的逻辑关联，以测评为依据 优化学习进程，以问题链引导学生的思维，为不同的学生提供最佳的发展路径，从而实现线上教育与 线下教育的优势互补 .
关键词：互联网 + 教育；四个理解；教学设计
尽管“互联网 + 教育”还处于探索阶段，但发展 趋势已经非常明显，人机共教的时代即将到来，传统 的课堂模式和教学方式都需要重新定义、重新思考. 章建跃博士提出的“四个理解”，即理解数学、理解学 生、理解技术、理解教学，是提高教师专业化发展水 平、提高数学教学质量、应对互联网时代教育变革的 根本保证.
笔者有幸参加了章建跃博士领衔的“中小学数学 在线学习资源的研究与开发”课题研究，课题组围绕 “目标导向的精准教学”对教学设计进行了新的思考， 提出的教学设计框架包括内容和内容解析、目标和目 标解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、教 学过程设计、目标检测设计和分层作业设计七个方 面，并对每个方面做了具体、规范的要求，使之比已 有的教学设计案例更加完整、准确、简洁、实用，更 有利于实现线上与线下教育的优势互补. 现以人教版 《义务教育教科书·数学》 九年级下册“27.3 位似 （2）” 一课为例，对教学设计的撰写谈一点心得体会.
培养学生数学理解能力的几点措施
培养学生数学理解能力的几点措施1.设计启发性问题：在数学教学中，可以设计一些有启发性的问题，引导学生思考和探索解决问题的方法。
这样不仅能激发学生的兴趣，还能培养他们的逻辑思考和问题解决能力。
2.清晰的教学讲解：为了帮助学生理解数学概念和原理，教师需要用清晰简明的语言进行讲解。
注重使用生动形象的例子，并结合具体的实际应用，让学生能够更好地理解抽象的数学概念。
3.分层次的教学：学生的数学理解能力有差异，因此需要进行分层次的教学。
教师可以针对不同的学生制定不同的教学计划和教学活动，给予不同程度的指导和支持，以满足学生的学习需求。
4.探究性学习：为了培养学生的数学理解能力，可以通过探究性学习的方式进行教学。
教师可以提供一些探究性的问题和材料，引导学生主动思考和独立解决问题，培养他们的探索精神和数学思维能力。
5.合作学习：合作学习可以培养学生的合作意识和团队精神，同时也有利于学生的数学理解能力的提高。
学生可以在小组内共同思考和讨论问题，相互交流和分享解决思路，通过合作解决问题，提高数学的理解和应用能力。
6.数学建模：数学建模是一种将数学与实际问题相结合的方法，可以帮助学生将抽象的数学概念和原理应用到实际生活中。
教师可以设计一些有实际背景的数学建模问题，让学生运用数学知识解决实际问题，培养他们的数学理解和应用能力。
7.多样化的评价方式：评价是促进学生学习和提高数学理解能力的重要手段。
教师可以采用多样化的评价方式，如考试、作业、小组讨论等，为学生提供不同的评价机会。
同时，评价过程中注意给予积极的鼓励和指导，帮助学生发现和解决问题，提高数学理解能力。
总之，培养学生的数学理解能力需要教师采取多种措施。
通过启发性问题、清晰的讲解、分层次教学、探究性学习、合作学习、数学建模和多样化的评价方式，可以有效提升学生的数学理解能力，同时激发学生的学习兴趣和动力，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
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理解数学理解学生理解教学作者：章建跃来源：人民教育出版社各位代表，老师们，同志们，大家好。
受本届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动组委会、评委会的委托，我给大会作总结报告。
本次活动受到全国高中数学教师、数学教研部门、各会员单位的高度重视，来自全国除西藏、港澳台以外的所有省、直辖市、自治区，行业的近830名代表参加了本次活动，覆盖范围广，参与热情高。
各会员单位做了大量前期工作，很多会员单位从两年前就开始布置、落实本项活动，把工作细化在过程中，积极组织当地广大高中青年数学教师参与观摩活动，引领广大教师交流教学经验，以观摩与评比活动带动课堂教学研究，在研究中不断深化课堂教学改革，切实提高课堂教学质量和效益。
我代表组委会对各会员单位为本次活动作出的贡献表示衷心感谢。
承办方河南省教育学会中学数学教学专业委员会，河南省基础教育教学研究室为本次活动投入了很大精力，付出了辛苦的劳动。
承办大型活动非常不易，需要考虑的问题很多，需要做的具体工作很繁重，承担的风险很大。
我代表组委会对你们做出的努力表示衷心的感谢！本次大会的协办方卡西欧（上海贸易有限公司）、《中国数学教育》&《数学周报》社为本项活动提供了资金、技术、奖品以及人力、物力的大力支持，我代表组委会对他们做出的贡献表示衷心的感谢！特别要感谢各位参赛选手，你们付出了巨大的智力劳动，承受了巨大的心理压力，为本次活动做出了特殊的贡献。
我代表大会组委会、评委会对你们的付出表示衷心的感谢，祝贺你们取得优异的成绩，祝贺你们在教师专业化成长的道路上迈出了重要而坚实的一步。
由于本次活动组织方式的改变，对评委提出了高要求。
各位评委不仅要事先对参赛选手的教学设计、教学设计说明和课堂实录进行仔细阅读、观摩，在现场还要聚精会神地观察选手的表现，根据参赛选手的预设和现场生成，做出评判，并给出点评。
本次活动的圆满成功，与各位评委的无私奉献、辛勤劳动直接相关，我代表组委会对各位评委的高度热情和负责精神表示衷心感谢。
下面我就本次活动作一总结。
一、本次活动的基本成绩1．关于活动满意度的调查。
我们以问卷的方式，对本次活动的现场满意度作了调查，结果如下（问卷127份）：对本次活动的总体评价：满意57.3%，基本满意41.7%，不满意1%。
参会代表最感兴趣的环节：选手讲述4.9%，代表互动16.5%，评委点评78.6%。
这一组数据表明，广大观摩代表对评委会的期望值很高。
要达到这样的预期，真正满足大家的要求，我们评委会还需要努力！我们愿意付出努力！从上述结果看，大家对本次活动的总体评价是好的。
2．本次活动涉及的教材版本有人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、上海版、人教大纲版。
版本的多样化从一个侧面反映了本次活动的代表性和广泛参与性。
3．内容覆盖了高中课程的所有板块，有大量的概念课，这是非常好的现象。
概念教学是我国数学课堂的薄弱环节，加强研究很有必要。
另外，有些选手选择了一些难点课题开展教学研究，例如概率、统计中的一些概念课，这是当前需要重点研讨的，希望今后有更多的选手能迎难而上。
4．各位参赛选手在理解教学内容上下了很大功夫，与往届比较，在数学理解水平上有了很大长进。
5．学生主体意识进一步加强，注重精心设计学生活动，采取问题引导学习的方式，让学生带着问题开展探索活动。
6．教学过程中，能自觉注意根据学生的认知规律安排教学活动。
特别值得一提的是，许多参赛教师都能注意根据概念教学的基本规律安排教学进程，注意通过具体事例的归纳、概括活动得出数学概念。
7．信息技术与数学教学整合的水平进一步提高，大部分教师都能做到恰当使用信息技术，帮助学生理解数学内容。
8．现场互动充分，评委事先观看了各位选手提供的完整的课堂录像，预先写好了点评提纲，并结合每一位选手的现场表现给予认真点评。
代表的参与程度高，现场气氛热烈。
摆事实、讲道理、亮观点的互动原则得到贯彻。
二、几个需要进一步思考的问题1．正确理解“三维目标”在参赛选手提供的教学设计中，教学目标的表述不尽一致。
许多老师采用了“三维目标”分别阐述的方式呈现目标。
例1“二元一次不等式表示平面区域”的教学目标。
知识与技能：(1)理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判定方法；(2)能做出二元一次不等式表示的平面区域。
过程与方法：(1)增强学生数形结合的思想；(2)理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。
情感态度价值观：(1)通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；(2)体会数学的应用价值；(3)体会由一般到特殊、由特殊到一般的思想。
例2“基本不等式”的教学目标。
知识技能：要求学生探索基本不等式的证明过程，了解其几何意义，会解决简单的最值问题。
过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式，体会数形结合思想方法。
情感态度价值观：通过不同角度探究，培养学生积极严谨的学习态度和勇于探索的求知精神。
上述两例，从积极的方面看，老师们已经注意到教学目标必须反映内容特点，关注到显性目标与隐性目标的不同。
但这样的表述，除了目标分类不准确、表达不确切（如把“由一般到特殊、由特殊到一般”的逻辑思考方法不恰当地归入情感领域，把“培养学生积极严谨的学习态度和勇于探索的求知精神”这样的“放之四海而皆准”的目标作为一堂课的目标。
）等“技术性”问题外，最大的问题是混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。
“三维目标”是课程目标而不是课堂教学目标。
“三个维度”具有内在统一性，都指向人的发展，它们交融互进。
“知识与技能”只有在学生独立思考、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建构；“情感、态度与价值观”只有伴随着学生对数学知识技能的反思、批判与运用，才能得到升华；“过程与方法”只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。
“三维目标”是中学课程目标的整体设计思路，反映了一个学习过程中的三个心理维度，但不是教学目标的维度。
在制定教学目标时简单地套用“三个维度”将使课堂不堪重负。
教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度”的指导下，综合考虑高中阶段的数学教学目的、内容特点和学生情况来确定。
课堂教学不是为了体现课程目标的“三个维度”而存在的，而是要具体而扎实地把数学课程内容传递给学生，要以数学知识教学为载体来促进学生的发展，这样才能真正实现“数学育人”。
因此，一堂数学课的教学目标，应当是以数学知识、技能为载体，在教学过程中开展数学思想、方法的教学，渗透情感、态度和价值观的教育。
只有在正确理解教学内容的基础上，才能制定出恰当的教学目标。
例3 “基本不等式”的教学目标——正确理解内容的基础上。
在制定教学目标时我们首先应思考：为什么把≤ （a,b≥0）叫做“基本不等式”？如何理解“基本”二字？我认为，这一不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化。
这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量。
这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。
因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。
认真仔细地分析教材的编写意图，也是理解内容的一个方面。
“人教A版”通过赵爽弦图引入对基本不等式的研究，并在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生讨论基本不等式的几何意义，从而理解为什么把基本不等式叫做“算术平均数与几何平均数的关系”。
教科书引导学生经历了如下过程。
首先，以“探究”引出问题，经过抽象得到赵爽弦图，并且从图中的面积关系得到不等式a2+b2≥2ab及其等号成立的条件，再进一步地作变形（在a，b＞0的条件下用，分别代换a，b）得到基本不等式；其次，用分析法给出代数证明[如果用综合法，要从(－)2≥0开始，思路不自然]，因为不难，所以让学生填空；第三，以“探究”引导学生对基本不等式作几何解释，使学生有机会数形结合地进一步认识基本不等式。
因为基本不等式很重要，但只给代数证明非常乏味，所以教科书构建了上述过程，这是与以往教材有很大区别的地方。
基于上述内容理解，可以确定“基本不等式”的教学目标：(1)借助弦图、实际问题，经历基本不等式模型的猜想过程，提高观察能力，数学抽象能力；(2)探索基本不等式的证明方法，掌握基本不等式的代数结构及其使用条件；(3)会用基本不等式解决简单的实际问题（注重建模过程）。
这样的目标对教学有真正的定向作用，在课堂教学中紧紧围绕目标展开教学，就能使课堂做到高效。
2. 围绕概念的核心展开教学一段时间以来，大家对数学教学的有效性开展了大量研究。
如果在网上以“有效教学”为关键词搜索，那么有效教学的论文数以万计，还有许多理论专著，有效教学研究可谓一片繁荣。
然而，与之形成鲜明对照的是课堂教学的低效甚至无效。
看来，“有效教学”的研究也有“无效”之虞。
到底怎样才能实现课堂教学的有效性？我认为，只有围绕数学概念的核心展开教学，在概念的本质和数学思想方法的理解上给予点拨、讲解，让学生在理解概念及其反应的数学思想和方法的基础上，对细节问题、变化的问题进行深入思考，这样才能实现有效教学。
因为概念的核心、思想方法是不容易把握的，这是教师发挥主导作用的重点所在；具体细节正好是锻炼学生应用概念解决问题的机会，是促进学生理解概念的平台。
那种事无巨细、包打天下的做法，要把所有细节、变化都在课堂上讲完练完的企图，最终只能把关键、重点、核心淹没在细节的海洋中，不仅教学效果不佳，而且导致学生负担沉重。
例4“三角函数诱导公式”的核心。
以往我们从“三角恒等变形”的角度理解三角函数诱导公式，把它当成是“将任意角的三角函数转化成锐角三角函数”的工具。
教学中，因为诱导公式太多，学生记不住，老师们又将之进一步概括成为“奇变偶不变，符号看象限”。
实践表明，教学效果总不尽如人意。
什么原因呢？我认为，主要原因在于这样的教学没有抓住“诱导公式”的核心。
“其实，x＝cos t和y＝sin t是单位圆的自然的动态（解析）描述。
由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述。
”诱导公式本质上是圆的旋转对称性和轴对称性的解析表述，它是三角函数的一条性质——对称性。
围绕“对称性”这一核心展开教学，就可以实现诱导公式教学的以简驭繁。
例如，学生在问题“如果任意角α的引导下，可以容易地得到：β＝2kπ+π+α。
由于α的终边、β的终边与单位圆的交点关于原点对称，因此sinβ＝sin(2kπ+π+α)＝sin(π+α)＝－sinα。
的终边与任意角β的终边关于原点对称，那么它们有什么关系？它们的三角函数又有什么关系？”类似的，在问题“如果αx轴对称，它们有什么关系？它们的三角函数又有什么关系？关于y轴、或关于直线y=x、或关于直线y=－x对称呢？”的引导下，可以容易地得到其他诱导公式。