理解数学,理解学生,理解教学(章建跃)

“卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动总结暨大会报告理解数学理解学生理解教学各位代表，老师们，同志们，大家好。

受本届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动组委会、评委会的委托，我给大会作总结报告。

本次活动受到全国高中数学教师、数学教研部门、各会员单位的高度重视，来自全国除西藏、港澳台以外的所有省、直辖市、自治区，行业的近830名代表参加了本次活动，覆盖范围广，参与热情高。

各会员单位做了大量前期工作，很多会员单位从两年前就开始布置、落实本项活动，把工作细化在过程中，积极组织当地广大高中青年数学教师参与观摩活动，引领广大教师交流教学经验，以观摩与评比活动带动课堂教学研究，在研究中不断深化课堂教学改革，切实提高课堂教学质量和效益。

我代表组委会对各会员单位为本次活动作出的贡献表示衷心感谢。

承办方河南省教育学会中学数学教学专业委员会，河南省基础教育教学研究室为本次活动投入了很大精力，付出了辛苦的劳动。

承办大型活动非常不易，需要考虑的问题很多，需要做的具体工作很繁重，承担的风险很大。

我代表组委会对你们做出的努力表示衷心的感谢！本次大会的协办方卡西欧（上海贸易有限公司）、《中国数学教育》&《数学周报》社为本项活动提供了资金、技术、奖品以及人力、物力的大力支持，我代表组委会对他们做出的贡献表示衷心的感谢！特别要感谢各位参赛选手，你们付出了巨大的智力劳动，承受了巨大的心理压力，为本次活动做出了特殊的贡献。

我代表大会组委会、评委会对你们的付出表示衷心的感谢，祝贺你们取得优异的成绩，祝贺你们在教师专业化成长的道路上迈出了重要而坚实的一步。

由于本次活动组织方式的改变，对评委提出了高要求。

各位评委不仅要事先对参赛选手的教学设计、教学设计说明和课堂实录进行仔细阅读、观摩，在现场还要聚精会神地观察选手的表现，根据参赛选手的预设和现场生成，做出评判，并给出点评。

本次活动的圆满成功，与各位评委的无私奉献、辛勤劳动直接相关，我代表组委会对各位评委的高度热情和负责精神表示衷心感谢。

例1 “二元一次不等式表示平面区域”的教学目标。

知识与技能（1）理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判定方法；（2）能做出二元一次不等式表示的平面区域。

过程与方法（1）增强学生数形结合的思想；（2）理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度价值观（1）通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；（2）体会数学的应用价值；（3）体会由一般到特殊、由特殊到一般的思想。

例2 “基本不等式”的教学目标。

知识技能：要求学生探索基本不等式的证明过程，了解其几何意义，会解决简单的最值问题。

过程方法：通过实例探究抽象基本不等式，体会数形结合思想方法。

情感态度：通过不同角度探究，培养学生积极严谨的学习态度和勇于探索的求知精神。

上述两例，从积极的方面看，老师们已经注意到教学目标必须反映内容特点，关注到显性目标与隐性目标的不同。

但这样的表述，除了目标分类不准确、表达不确切（如把“由一般到特殊、由特殊到一般”的逻辑思考方法不恰当地归入情感领域，把“培养学生积极严谨的学习态度和勇于探索的求知精神”这样的“放之四海而皆准”的目标作为一堂课的目标）等“技术性”问题外，最大的问题是混淆了课程目标与课堂教学目标的关系：“三维目标”是课程目标而不是课堂教学目标。

“三个维度”具有内在统一性，都指向人的发展，它们交融互进。

“知识和技能”只有在学生独立思考、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建构；“情感、态度和价值观”只有伴随着学生对数学知识技能的反思、批判与运用，才能得到升华；“过程和方法”只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。

“三维目标”是中学课程目标的整体设计思路，反映了一个学习过程中的三个心理维度，但不是教学目标的维度。

在制定教学目标时简单地套用“三个维度”将使课堂不堪重负。

教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度”的指导下，综合考虑高中阶段的数学教学目的、内容特点和学生情况来确定。

课堂教学不是为了体现课程目标的“三个维度”而存在的，而是要具体而扎实地把数学课程内容传递给学生，要以数学知识教学为载体来促进学生的发展，这样才能真正实现“数学育人”。

因此，一堂数学课的教学目标，应当是以数学知识、技能为载体，在教学过程中开展数学思想、方法的教学，渗透情感、态度和价值观的教育。

只有在正确理解教学内容的基础上，才能制定出恰当的教学目标。

例3 “基本不等式”的教学目标——正确理解内容的基础上。

在制定教学目标时我们首先应思考：为什么把≤（a,b≥0）叫做“基本不等式”？如何理解“基本”二字？我认为，这一不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化。

这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量。

这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都有发挥良好作用。

因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。

认真仔细地分析教材的编写意图，也是理解内容的一个方面。

“人教A版”通过赵爽弦图引入对基本不等式的研究，并在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生讨论基本不等式的几何意义，从而理解为什么把基本不等式叫做“算术平均数与几何平均数的关系”。

教科书引导学生经历了如下过程：首先，以“探究”引出问题，经过抽象得到赵爽弦图，并且从图中的面积关系得到不等式a2+b2≥2ab及其等号成立的条件，再进一步地作变形（在a，b＞0的条件下用，分别代换a，b）得到基本不等式；其次，用分析法给出代数证明（如果用综合法，要从( － )2≥0开始，思路不自然），因为不难，所以让学生填空；第三，以“探究”引导学生对基本不等式作几何解释，使学生有机会数形结合地进一步认识基本不等式。

因为基本不等式很重要，但只给代数证明非常乏味，所以教科书构建了上述过程，这是与以往教材有很大区别的地方。

基于上述内容理解，可以确定“基本不等式”的教学目标：（1）借助弦图、实际问题，经历基本不等式模型的猜想过程，提高观察能力，数学抽象能力；（2）探索基本不等式的证明方法，掌握基本不等式的代数结构及其使用条件；（3）会用基本不等式解决简单的实际问题（注重建模过程）。

这样的目标对教学有真正的定向作用，在课堂教学中紧紧围绕目标展开教学，就能使课堂做到高效。

2.围绕概念的核心展开教学一段时间以来，大家对数学教学的有效性开展了大量研究。

如果在网上以“有效教学”为关键词搜索，那么有效教学的论文数以万计，还有许多理论专著，有效教学研究可谓一片繁荣。

然而，与之形成鲜明对照的是课堂教学的低效甚至无效。

看来，“有效教学”的研究也有“无效”之虞。

到底怎样才能实现课堂教学的有效性？我认为，只有围绕数学概念的核心展开教学，在概念的本质和数学思想方法的理解上给予点拨、讲解，让学生在理解概念及其反应的数学思想和方法的基础上，对细节问题、变化的问题进行深入思考，这样才能实现有效教学。

因为概念的核心、思想方法是不容易把握的，这是教师发挥主导作用的重点所在；具体细节正好是锻炼学生应用概念解决问题的机会，是促进学生理解概念的平台。

那种事无巨细、包打天下的做法，要把所有细节、变化都在课堂上讲完练完的企图，最终只能把关键、重点、核心淹没在细节的海洋中，不仅教学效果不佳，而且导致学生负担沉重。

例4 “三角函数诱导公式”的核心。

以往我们从“三角恒等变形”的角度理解三角函数诱导公式，把它当成是“将任意角的三角函数转化成锐角三角函数”的工具。

教学中，因为诱导公式太多，学生记不住，老师们又将之进一步概括成为“奇变偶不变，符号看象限”。

实践表明，教学效果总不尽如人意。

什么原因呢？我认为，主要原因在于这样的教学没有抓住“诱导公式”的核心。

“其实，x＝cos t和y＝sin t是单位圆的自然的动态（解析）描述。

由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述。

”[i]诱导公式本质上是圆的旋转对称性和轴对称性的解析表述，它是三角函数的一条性质——对称性。

围绕“对称性”这一核心展开教学，就可以实现诱导公式教学的以简驭繁。

例如，学生在问题如果任意角α的终边与任意角β的终边关于原点对称，那么它们有什么关系？它们的三角函数又有什么关系？的引导下，可以容易地得到：β＝2kπ+π+α。

由于α的终边、β的终边与单位圆的交点关于原点对称，因此sinβ＝sin(2kπ+π+α)＝sin(π+α)＝－sinα。

类似的，在问题如果α的终边与β的终边关于x轴对称，它们有什么关系？它们的三角函数又有什么关系？关于y轴、或关于直线y=x、或关于直线y=－x对称呢？的引导下，可以容易地得到其他诱导公式。

总之，三角函数诱导公式教学的三个要点是：依据——三角函数的定义；思想方法——变换（旋转、对称）；工具——单位圆。

3.把引导学生提出问题作为重要教学内容虽然老师们已经意识到，课堂教学中必须注意教师主导取向的讲授式与学生自主取向的活动式的结合，而且注意使用“问题引导学习”的教学，但学生只有回答老师提问的机会而没有提出问题的机会的做法仍需要进一步改进。

教师要给学生以提问的示范，目的是使学生“看过问题三百个，不会解题也会问”。

要把引导学生提问，使学生在独立思考后提出有质量的数学问题作为学生活动的重要内容。

那种“构建模型我来干，你要做的就是算”的做法，挤压了学生独立思考的空间，剥夺了学生实质性思考的机会。

如何实现“让学生提问”呢？我认为，如果注意“先行组织者”的使用，在研究方法上多加指导，给学生提供类比的对象和方法，就能使学生自己提问。

例5 如何判定两个平面平行——通过类比提出问题。

指导思想：类比两条直线平行的判定，提出两个平面平行的判定的猜想，再给出证明。

问题1 前面我们已经得到了一些判定两个平面平行的方法，请你回顾已有的两个平面平行的判定定理，你能说说得到这些判定定理的思想方法吗？——定义法（由于两个平面上的点是无穷的，因此“没有公共点”不容易说清楚，不好用）；——化归为直线与平面平行（由平面α内的两条相交直线与平面β平行得到α∥β，实际上利用了“两条相交直线确定一个平面”，应用了化未知为已知的思想，降维的方法）。

先行组织者：从前面学习直线、平面位置关系的判定可知，判定方法不唯一。

你有没有想过别的判定方法？在研究问题时，类比、推广、特殊化等是获得研究成果的常用方法。

问题2 类比两条直线相互平行的判定，能否得到一些猜想？学生可能得到：类比“同一平面内，直线a，b同时平行于直线c，则a∥b”，猜想“如果平面α，β同时平行于平面γ，则α∥β”。