理解数学理解学生理解教学(章建跃)
18.理解数学是教好数学的前提_章建跃
理解数学是教好数学的前提章建跃（人民教育出版社 １０００８１） 随着课改的不断深入，人们越来越清楚地认识到，回归数学教育的本来面目，着眼于学生的长期利益，发挥数学的内在力量，挖掘数学内容所蕴含的价值观资源，以提高数学素养、发展思维能力、培育理性精神为核心，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考，成为善于认识问题、解决问题的人才，这是数学教育发展的大势所趋．为此，数学教师必须在理解数学、理解学生、理解教学上狠下功夫．我认为，这“三个理解”是教师专业化发展的基石，是数学教学质量的根本保证，也是广大数学教师在教改大潮中“以不变应万变”的法宝．数学教育理论界在研究教学问题时有一个潜在假设：凡数学教师，对所教的知识都是了如指掌的，都已具备“理解数学”的能力．因此理论界更热衷于对“如何教”的讨论，在数学教师专业发展方面，认为数学学科教学知识更加关键．然而，大量课堂观察表明，数学教学质量低下的原因，追本溯源，主要来自于教师的数学理解不到位．教师在数学的内容知识、实质性结构知识等方面的欠缺，导致他们对知识的发生发展过程、重点、难点和关键等不甚了了，从而就抓不住内容的核心，不能设置有利于学生理解知识的教学主线，也很难在教学中提出具有启发性和挑战性的问题，对学生数学学习指导的针对性、有效性也就大打折扣．我认为，这种现状与师范教育的课程设置不当、培养过程与中学教学实际脱节等有直接关系．因此，改进师范教育课程体系和培养模式是当务之急．如何改进呢？徐章韬博士的《面向教学的数学知识———基于数学发生发展的视角》（科学出版社，２０１３年９月版）给出了一个比较全面的回答．例如，书中提出，以具体课例为载体，从数学知识的发生发展过程角度分析面向教学的数学知识，可以避免（职前职后）教师培训中的空泛议论，极大地增强培训课程的实效性；从内蕴于数学知识中的认识视角、思想与方法等角度全面解析数学课程内容，由此生发教育上的见解并付之于数学教育的实践，这是发展面向教学的数学知识的一种值得尝试的路径；等等．这里我想就本书构建的“面向教学的数学知识的模型”谈几点认识．首先，这一模型强调了数学知识与教学知识的并列关系，表明这两方面的素养对于一名合格教师的同等重要性．进一步地，数学知识具有根基性的地位，它能解决自身的可教性问题，“有关学科知识的教学法存在于学科知识和学科之中”．这表明“理解数学”是首要的，是实现数学育人的根基．面向教学的数学知识模型由数学知识组块和学科教学知识组块组成．前一组块含内容知识、实质性结构知识和句法性知识，后一组块含内容与学生的知识、内容与教学的知识、内容与课程的知识．在数学知识组块中，教师拥有扎实的数学双基是关键，否则他就没有教学话语权．很难想象一个对所教知识似懂非懂的人能引导学生的数学思考．因此，当前被某些“教育家”制造出来的起源于“教师水平差，所以让学生自己学”的教改典型，实在是违反常规，非常搞笑．我们知道，数学是思维的科学，对学生数学思维火花的敏感性首先来源于教师的数学素养．教师想引导学生的数学思考，其前提是他自己知道怎么想；教师想让学生学会发现，首先他自己要成为发现者．其次，教学的目的是使学生从“学会”而逐步达到“会学”，这就需要教师拥有“实质性结构知识”，这实际上就是“数学知识的教学表达”方面的知识，这是数学教师区别于其他群体（乃至数学１６２０１５年 第５４卷 第１期 数学通报家）的重要特征之一．我们常常看到，优秀数学教师用一个“信手拈来”的比喻就解释了一个难懂的数学原理，从而使学生领会了知识的精髓，这就是他们“实质性结构知识”丰富的表现．因此，本模型指明了数学教师专业化发展的一个可操作性方向———理解数学知识的本质，积累数学知识的教学表达经验．再看“句法性知识”，对于这种“学术形态的数学知识”，我的理解是它涉及了数学的“元知识”，同时也包含了关于数学哲学、数学思想史等方面的知识．这方面的知识水平高，表明教师对数学理论体系的构建方式有深刻了解，具有用高观点解释初等数学的能力．例如，对于“数系扩充的基本思想、过程及其结构体系”的理解、定性平面几何的逻辑起点及发展出的知识体系、平行性在定量平面几何中扮演的角色等．从我的教师培训经验看，数学教师在这方面的知识缺陷很大，有的老师甚至近似于零，而造成这种状况的原因主要应归咎于师范教育的缺失．学科教学知识组块，显然与“理解学生”、“理解教学”相对应．首先，关于“内容与学生的知识”，说白了就是教师应知道学生到底是“怎么学”的．这方面的知识，在本书的模型中强调了“培养学生的数学思考”、“矫正学生的学习错误”的方法，这是至关重要的．显然，学生有自己理解数学知识的角度和方式，这是由他们的认知基础决定的．教师在“内容与学生的知识”上的水平高低决定了他的教学行为的有效性，因为学习毕竟是学生自己的事情，教学必须以学生的认知基础为出发点，为学生的学服务．但是，我们又必须注意到，这种“内容与学生的知识”必须具体化，否则是不能产生实效的．例如大家都知道“从错误中学习”的重要性，但大量老师为什么又总是采取“题型示范＋模仿训练”的教学而尽力让学生避免犯错呢？归根到底还是他们缺失“内容与学生的知识”，以至于不知道该如何培养学生的数学思考，不知道该如何对学生的学习错误对症下药，于是只能采取“我讲你听”、“我示范你模仿”的注入式教学．所以，从学生中学习，增强“理解学生”的能力（对于每一个核心内容，知道学生是如何学习的），这是教师专业化发展的主要路径之一．关于“内容与教学的知识”，可能是教师的知识结构中最多的知识，但也可能是最模糊而杂乱的知识，这样的知识的可利用性不强．例如，我们常常看到，教学中选用的素材适切性不强，教学过程的安排不能体现学生抽象数学概念、应用概念进行推理以及用所学知识解决问题的需要，教师不能及时捕捉到课堂生成而促进学生的数学理解，不能恰时恰点地提出具有挑战性的问题推动学生的数学思考，不能通过启发性提示语帮助学生提炼、升华自己的观点等，这些都是“教的知识”欠缺的表现．显然，“内容与教学的知识”越丰富、越具结构性，那么教师的教学机智就越强，教学质量也就越有保障．关于“内容与课程的知识”是对当前“脱离教材搞教学”现象的一记警钟．有些教师认为，课程的知识离教学太远，而教材内容和要求又不足以应付升学考试，更有甚者，有的老师在没有认真研读教材的情况下就轻浮地否定教材．我认为，造成这种现状的深层次原因是这些教师缺乏“内容与课程的知识”，他们不懂得作为课程知识物化形式的“课标”对学校的数学教育到底意味着什么，教材对教学又意味着什么，对“课标”规定的“内容和要求”不清楚，对教材的结构体系、素材选择、呈现方式缺乏必要的了解，甚至他们并不懂得如何理解教材．例如，对于“有理数一章的结构体系是什么？”“引入一种新的数要完成哪些事情？”“定义关于新数的运算应遵循什么原则？”“教材是如何讲解运算法则的合理性的？”“教材中的某句话为什么不能改为别的说法？”（如“要使‘随着前一乘数逐次递减１，积逐次递减３’的规律在引入负数后仍然成立，那么（－１）×３＝ ”为什么不能改为“请你利用‘随着前一乘数逐次递减１，积逐次递减３’的规律填空：（－１）×３＝ ”）等问题，许多老师没有认真思考过，甚至茫然无知．其结果必然使教学成为一笔糊涂帐，使学生学会“数学地思维”则更是奢谈．最后，从本书的论述中可以发现，“面向教学的数学知识模型”中的六部分知识是一个相互融合的整体，但“厚实的数学学科知识”居于核心主干地位．例如，只有教师具有充分的数学实质性结构知识，才能有效地引导学生“用数学的眼光看世界”，否则只能是“外行看热闹”；教学方法是否恰当，首先表现在是否符合教学内容的特点上；而２６数学通报 ２０１５年 第５４卷 第１期对教学内容及其蕴含的数学思想方法的把握程度会直接影响对学生认知的分析；探寻数学知识发生发展过程的自然脉络，对数学家发现数学规律的过程进行“复盘”，并从中寻找指导这种发现的宏观思想，能给教师设置自然的、水到渠成的、直击数学本质的教学过程提供方向；等等．所以，“面向教学的数学知识”不仅给数学教师的专业化发展、提高教学水平和教学能力指明了路径，而且也给出了师范生培养和教师职后培训的一种课程体系，应引起我国数学教育界的重视．（上接第６０页）续表序号特殊状态点次序解数解的步骤数列８Ｏ→Ａ→…Ｄ→…→［Ｃ…Ｅ］８ １２，１４，１６，１８；１６，１８，２０，２２９Ｏ→Ｄ→…Ａ→…→［Ｃ…Ｅ］３ １５，１７，１９１０Ｏ→Ｄ→…Ｂ→…→［Ｃ…Ｅ］４ １２，１６；１７，２１１１Ｏ→Ａ→…Ｂ→…Ｃ→…→［Ｄ…Ｅ］２４ １０，１２，１６，１７，１５，１７；１２，１４，１８，１９，１７，１９；１４，１６，２０，２１，１９，２１；１６，１８，２２，２３，２１，２３；１２Ｏ→Ａ→…Ｂ→…Ｄ→…→［Ｃ…Ｅ］１６ １３，１５，１７，１９；１５，１７，１９，１９；１７，１９，２１，２３；１９，２１，２３，２３１３Ｏ→Ａ→…Ｃ→…Ｂ→…→［Ｄ…Ｅ］６ １４，１７，２１；１６，１９，２３１４Ｏ→Ａ→…Ｄ→…Ｂ→…→［Ｃ…Ｅ］１０ １４，１８，１９，２３；１６，２０；１８，２２；２０，２４１５Ｏ→Ｄ→…Ａ→…Ｂ→…→［Ｃ…Ｅ］１８ １３，１５，１９，２０，１８，２０；１５，１７，２１，２２，２０，２２；１７，１９，２３，２４，２２，２４１６Ｏ→Ｄ→…Ｂ→…Ａ→…→［Ｃ…Ｅ］６ １６，１８，２０；２０，２２，２４最后对全部解列表中的每一类解的数量进行累加，可得到本文示例问题的全部解有１２１个．对全部解，按照解的步骤数分类统计，可得：表３ 本文示例问题全部解的按步骤数分类统计步骤数７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５解个数１ ０ １ ３ ２ ７ ５ ９ ７步骤数１６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ ２４解个数１４ １２ １１ １３ ９ ８ ７ ８ ４从表３可知，本分油问题有１个７步操作的最优解，有４个２４步操作的最长解．５ 总结（１）本文提出了一种新的三桶分油问题求解方法———完整状态转移图法．它不同于普通的图解法，它比后者功能更强大，可以求解三桶分油问题的全部解及各种特殊要求的解；在形状上，它比后者更直观，更易于找出分油问题的最优解．（２）完整状态转移图法使三桶分油问题得到了拓展，能够对解提出各种特殊要求，如最优解、最长解、经过某一油量状态的最优解或全部解、经过某一倒油操作的最优解或全部解、符合指定倒油次数的全部解，等等．（３）根据图解法的几何坐标状态图，能够很轻松地绘制出完整状态转移图．从而使得功能强大的完整状态转移图法易于使用．参考文献１ 刘强．轻巧夺冠优化训练．三年级数学（上）（北师大版）［Ｍ］．北京：北京教育出版社，２０１２，８２ ｈａｉｚｈｕｔｉａｎｄｉ．经典趣味数学题—分油问题的一般性求解．ｈｔ－ｔｐ：／／ｂｌｏｇ．ｓｉｎａ．ｃｏｍ．ｃｎ／ｓ／ｂｌｏｇ＿６９ｅ７６ｅａ７０１００ｋｘｋｗ．ｈｔｍｌ３ 常保田．由分油问题想到的［Ｊ］．晋中师范高等专科学校学报，１９９７，１４ 分油问题＿百度文库．ｈｔｔｐ：／／ｗｅｎｋｕ．ｂａｉｄｕ．ｃｏｍ／ｖｉｅｗ／ｄ６３０６８ｆｃ７００ａｂｂ６８ａ９８２ｆｂ３６．ｈｔｍｌ５ 赵翌，韦健．关于分油问题的数学模型［Ｊ］．桂林师范高等专科学校学报，２００４，４３６２０１５年 第５４卷 第１期 数学通报。
对新课标下“理解数学、理解学生、理解教学”的理解-精选教育文档
对新课标下“理解数学、理解学生、理解教学”的理解“理解数学、理解学生、理解教学是课改的三大基石”，是张建跃老师在文章《中学数学课改的十个论题》中提出的重要理念。
下面笔者结合数学课程标准（2011年版）（以下简称课程标准）谈谈自己的理解。
一、理解数学理解数学是进行课堂教学的前提，教师只有理解数学，才能准确地确定教学目标。
理解数学就是要“了解数学知识的背景，准确的把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义，深刻领悟内容所反映的思想方法，把握知识之间的多元联系；能挖掘数学知识所蕴涵的科学方法、理性精神和价值观资源与技术，善于区分核心知识和非核心知识，准确把握每块知识产生的背景，在教材中的地位、前后的联系、后续学习的必要性，其中蕴涵的数学思想方法有哪些，这些数学思想方法在学习其它知识时，是否可以利用、类比、推广等。
有些教师没有很好地理解课标，随意地拔高，或降低教学目标，这样会给学生加重学习的负担，造成学习的困难，或者没有达到教学要求，掌握必备的知识或技能。
例如，课标中要求：“通过实例体会反证法的含义”，并没有要求理解或掌握反证法，这里教师在制定目标时要把握好这个“度”。
又如，数学分类思想是初中阶段的一种重要的数学思想，从开始的渗透到理解再到应用，应逐步提高要求，使学生能确定分类的标准，进行分类讨论。
因此，只有理解课标，理解教材，理解数学，才能准确地确定教学目标。
二、理解学生课程标准中明确：学生是学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。
学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
认真听讲，积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的主要方式。
学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等方式。
学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己实践，学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。
理解数学理解学生理解教学(章建跃)
学生带着问题看书：向量的加法法则的关键词是什么？你如何理解？
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汇报对定义和三角形法则、平行四边形法则的理解，其中特别要注意对“关键词”的理解，要求用自己的语言描述。
如果向量a，b共线，如何作a+b？与有理数加法运算有什么关系？
向量a，b不共线，作出a+b，要求说明作法。
加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路——解题的灵活性来源于概念的实质性联系，技巧是不可靠的。
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应追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。
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例4 向量加法运算及几何意义的教学设计
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先行组织者：类比数及其运算，引进一个量就要研究运算，引进一种运算就要研究运算律。
人民教育出版社 章建跃
理解数学理解学生理解教学
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一、课改中形成的基本共识
核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本——教育中的“科学发展观”
教学目标——全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展——数学育人。
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教学要求——个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础
以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小，只要考察它们的差），再由“利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质”：
性质1，2，3……——证明——例题——练习、习题
“高立意低起点”的教学设计
数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小可以统一化归为比较它们的差与0的大小）；
章建跃核心概念、思想方法的理解与教学
中学数学核心概念、思想方 法的理解和教学设计
五、概念教学的核心
• 概念教学的核心是概括：将凝结在数学 概念中的数学家的思维打开，以典型丰 富的实例为载体，引导学生展开观察、 分析各事例的属性、抽象概括共同本质 属性，归纳得出数学概念。
理论依据
• 概括是人们掌握概念的直接前提； • 概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深 度、创造程度等思维品质的基础； • 概括是科学研究的关键机制； • 学习和应用知识的过程也是概括的过程； • 数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能 力的训练是数学能力训练的基础； • 概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力 的基础。
• 验证：2=1+1（错），4=1+3（错）， 6=3+3（对），8=3+5（对），10=3+7（ 对），12=5+7，14=3+11…… • 提出猜想：任何一个不小于6的偶数都等 于两个奇质数的和。
• 单元目标——中观目标，用于计划需要 几周或几个月的时间学习的单元，是课 程目标的具体化。例如，“理解函数的 概念”就是一个单元目标，因为函数的 概念包含了函数的定义、图像、性质等 众多内容。从这个单元目标到课堂教学 目标，还需要教师的工作。
• 教学目标——微观目标，即课堂教学目标。专 注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计 划日常教学中发挥作用。 例如，“理解函数 的概念”这一单元目标要具体化为： • 理解函数的定义和三种表示法，能用函数的概 念作简单判断（是不是函数）。 • 能分析简单实际问题中的函数关系。 • 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围 ，并会求出函数值。 • 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变 量之间的关系。 • 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况 进行初步讨论。
落实“三个理解”，实现“三会”目标——学习《5.2图形的运动》课堂有感
落实“三个理解”，实现“三会”目标—学习《5.2图形的运动》课堂有感何胜鑫【摘要】章建跃教授提出课堂教学要关注“三个理解”，即理解数学、理解学生、理解教学，旨在解决“教什么”“怎么教”“为什么这样教”的问题。
在“三个理解”理论指导下的课堂教学，要求执教者追溯知识源头，重塑数学知识的产生过程，体现数学文明的探索历程，让学生感悟数学与现实世界的紧密联系。
教师要努力做到知其然，知其所以然，知其所以必然，从而揭开数学神秘的面纱，激发学生学习的内驱力。
【关键词】三个理解；初中数学教学；现实世界“三个理解”是有效进行课堂教学的根本保证，是教师专业化发展的基石。
落实“三个理解”，要清楚数学知识从哪里来，到哪里去。
数学教学是还原和重现数学知识的产生的过程，一切课堂教学行为都是为了知识的生长。
史宁中教授说过：“数学学习的最终目标，是让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是建模。
”教师只有落实“三个理解”，才能实现“三会”目标。
落实“三个理解”体现在课堂教学的每一个环节，比如创设情境导入新课环节，可以创设体现数学知识产生发展需要、数学与生活联系的情境，使学生感悟数学知识产生的必然性；设计学生活动开展研究环节，可以采取问题引导学习的方式，让学生带着问题开展探索活动，将学生学习方式的转变落在实处。
要注重学生参与，让学生有主动学习的机会，教师可适时进行预设性提问，让学生的思维得到发展。
当学生“心求通而未得，口欲言而未能”的时候，教师相机诱导，通过有目的性、针对性的追问方式，进行点拨指引，让学生“开其意”“达其辞”，从而推动学生理解数学。
笔者有幸观摩了周海东老师执教的《5.2 图形的运动》一课，周老师教学设计的每一环节都很精致、精准、精深，真正落实了“三个理解”。
下面笔者结合这节课，谈谈自己的学习感受与思考，不当之处敬请指正。
基于“四个理解”的观点看对勾函数教学
基于“四个理解”的观点看对勾函数教学摘要：本文以“四个理解”为导向研究对勾函数的教学，希望教师形成教学一般观念，实现教师的教和学生的学相统一，提升学生核心素养，从而落实立德树人的根本任务。
关键词：四个理解；对勾函数；核心素养面对当下有些教师在“理解教学”上不到位，“理解学生”上不深入，教学“无灵魂”，技术“不钻研”的现象。
章建跃先生提出“四个理解”是落实核心素养的关键，理解数学，理解学生，理解教学，理解技术是提高数学教学质量和效益的决定性因素[1]。
因此，作为一名教师，应秉承“教书育人”的教育观念，把学生当作有思想的人，在深入理解数学的基础上教会学生学会构建数学知识的整体框架。
本文以“探究对勾函数的图象与性质”为例。
一、理解数学，把握对勾函数内涵理解数学首先应明白数学对象是如何定义的，而后才能把握数学内容的本质以及所蕴含的思想方法。
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲线，是形如的函数。
若将对勾函数分为与两个函数看待的话，其实就是正比例函数与反比例函数的“合成”。
因此，对勾函数的研究必定与正比例函数、反比例函数有着密不可分的联系。
而教材中并没有直接展现对勾函数的教学内容，而是设定了“探究与发现”这一栏目，即探究函数的图象与性质，将对勾函数的学习归入“数学建模与数学探究活动”中，其实也意味着提醒教师要注重学生探究发现的过程，形成研究函数的一般框架。
但从联系生活的角度看，在生产生活中都存在着对勾函数的“身影”。
因此，我们要理解对勾函数研究的必要性，学会从定义出发把握对勾函数内容的本质，探索并理解研究对勾函数所蕴含的思想方法。
二、理解学生，明确现有的知识储备理解学生，首先应把学生当作有活力有思想的个体。
在了解学生个性品质发展的同时要理解学生思维发展规律，把握学生的认知特点。
其次，应关注学生现有的知识储备，寻找搭建“知”与“不知”最近发展区的桥梁。
从而实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同发展”的课程理念。
“三个理解”视角下的初中数学优化教学设计与思考——以“三角形的边”为例
教学感悟２０２３年１１月下半月㊀㊀㊀三个理解 视角下的初中数学优化教学设计与思考以 三角形的边 为例◉江苏省如皋市实验初中㊀马卫华㊀㊀摘要:以 三角形的边 一课的教学设计为例,提出 三个理解 视角下的初中数学教学,应当站在理解数学㊁理解教学㊁理解学生的视角,以 单元整体教学 为指引,以数学基本活动为途径,以实现数学核心素养培养目标为宗旨展开优化教学设计．关键词:三个理解;三角形的边;数学核心素养㊀㊀章建跃博士指出:高水平的教学设计是建立在 三个理解 上的． 在数学教学中,教师如果能从 理解数学 理解教学 理解学生 的角度着手,挖掘数学知识中所凝结的思维活动方式与价值观资源,基于对数学教学目标㊁方式㊁规律㊁特征等的理解制定教学目标,基于对学生心理特点㊁学习支撑因素等方面的理解设计教学过程,就能让数学教学更好地为学生的学服务,从而让学生更好地理解数学本质,发展数学思维,提升数学素养．现基于 三个理解 的角度对 三角形的边 一课的优化教学设计谈一些自己的思考与观点．１三个理解 视角下 三角形的边 的具体教学设想１．１从理解数学 的角度分析本课的教学内容理解数学是开展教与学的前提,如果不能真正理解数学,数学教学则只能是 无本之木 [１]．理解数学就是深入研究学生的 学 ,就本课而言,需要研究 三角形的边 涉及的数学知识背景,需要厘清 三角形的边 这一部分知识对 三角形 整章知识体系的作用与价值,需要明晰本节课应体现哪些数学方法㊁落实哪些核心素养等．教材中呈现了一个思考栏目和一个探究栏目,即思考如何将三角形按边㊁角元素进行分类,在画三角形的实践活动中猜想并验证三角形的三边关系．研究涉及数学知识发展的背景,对于思考栏目,需要有序分类(从边㊁角元素出发进行归类)三角形知识基础;对于探究栏目,需要先猜想与判定 能否构成三角形 ,再运用数学原理及不等变形说理论证 三边关系 ．在教学 三角形三边关系 时,可从 两边之和 与 第三边 的大小比较中提出构成三角形的问题,此处可以设计分类讨论的教学活动,即创造性地整合教材中的例１,从等腰三角形的特殊性展开分类讨论．教学中,还可以借助具体实例逐渐推广三角形三边关系的一般性,以渗透从特殊到一般的研究方法．在 能否构成三角形 的探究活动中可以水到渠成地培养直观想象素养和抽象素养;在运用已知的数学原理证明三边关系的活动中可以自然而然地培养推理素养．１．２从理解学生 的角度分析本课的具体学情学生是教学活动的主体,因此深入研究学生㊁理解学生是必不可少的环节之一．分析学情并了解学生的认知基础,明确学生学习的困难,从而使后续问题情境的设计更贴合学生的具体实际,且能降低学生学习过程中的困难．此时的学生已经可以灵活辨析三角形的概念,并对三角形的边角元素㊁三角形的分类㊁两点间线段最短㊁不等关系等知识认识深刻,也具备了在实验中发现问题㊁提出问题㊁解决问题的学习经验,但应用已知数学原理论证数学命题却是摆在学生面前最现实的困难．基于以上思考,笔者确立如下教学目标:①在经历三角形三边关系的探索过程中理解性质并学会判断是否能构成三角形;②在体会三角形三边关系的论证过程中,理解并学会自主证明．教学难点:通过 能否构成三角形 的数学体验活动来证明三边关系．㊀１．３从理解教学 的角度分析本课的教学设计理解教学首先需落实教师的主导地位和学生的主体地位,并在分析学情和教学内容的基础上设计教学活动,搭建学生 学 的桥梁,让学生在积极思考㊁深入探索㊁深度合作中习得知识,培养思维,发展素养[２]．基于上述理解,笔者设计了如下教学活动:活动１:整合栏目,思维预热．问题１㊀小学阶段我们已经与三角形有过亲密接触,那你们认识的三角形是什么样的呢?从自己的理６８２０２３年１１月下半月㊀教学感悟㊀㊀㊀㊀解去说一说．问题２㊀从 三角形的角 出发,可以将三角形分成几类?从 三角形的边 出发又能分成几类呢?说明:活动１中的问题让学生在列举三角形种类的基础上,回顾一些本节课所需的基础知识,并调动学生原有知识经验,在经历 有序分类 的过程中体验如何按边㊁角分类．活动２:创设情境,温故知新．问题３㊀试着用自己的话描述 什么是三角形 ,并分别说一说图１所示的①②③是否是三角形?图１说明:针对学生对 三角形 概念理解不完善的情形来设计问题,让学生在观察和辨析中获得对三角形的深刻认识．同时,这一环节的设计也为后续实验活动的展开提供了知识与经验上的支撑．活动３:探索猜想,推理论证．问题４㊀现有３厘米㊁５厘米㊁８厘米㊁９厘米４根小棒,从中选择３根进行拼三角形的实验,并将结果填入表１．观察表１中生成的数据,你能发现什么?其中存在什么数量关系?为什么能构成三角形?表１能拼成三角形不能拼成三角形哪３根小棒?你发现了什么?哪３根小棒?你发现了什么?㊀㊀说明:通过选小棒拼三角形的操作实验,学生获得了切实的实验感悟,并在对数据的分析中发现 能否构成三角形 的奥秘,为后续 三角形三边关系 的提炼提供经验支持．问题５㊀从选择的３根小棒中继续选取２根,对于这２根小棒,从中选取１根并将其剪成两段,再与另外１根小棒一起完成拼三角形的实验,你能拼出三角形吗?追问:若选取的这２根小棒的长度相同,能拼出一个三角形吗问题６㊀通过问题５中的实验,你能发现三角形三边间的数量关系吗你会证明这个关系吗?追问:三角形的两边之差与第三边也同样存在某种数量关系吗?说明:在问题５的剪拼活动中,学生收获了两种不同的实验结果,随之也渗透了分类思想．教师适时的追问引领了 两根小棒之和等于第三根是否可以构成三角形 的探索,让活动探索得以完善．问题６则将教材中的探究栏目推到台前,让学生在深入探索中自然发展演绎推理能力和抽象思维能力．２ 三个理解 视角下的优化教学设计的实施建议２．１以单元整体教学为指引单元整体教学更有利于知识网络的构建,其整体性特征可以让学生整体把握一个知识体系中所涉及的数学概念关系,从而实现较高层次的知识建构．因此, 三个理解 视角下的数学教学设计需以 单元整体教学 为指引全方位解读教材,如此才能在教学中聚焦数学本质．２．２以数学基本活动为途径数学教学中探究活动始终贯穿其中,这样不仅可以激起学生的学习兴趣,还可以让学生经历概念探究的过程,更能渗透思想方法和落实核心素养．在本节课的教学设计中,通过创设情境引导学生进行思考交流,通过 做数学 的活动引领学生在亲身经历中达成对数学知识的理解性建构,更加深对知识本质㊁数学思想等的感悟．２．３以数学核心素养为目标教学目标是实施教学活动的起点与归宿,恰当的教学目标是教与学活动顺利开展的重要前提．在数学教学中,渗透思想方法,落实数学核心素养具有十分重要的意义．本节课中,教师基于 三个理解 的角度,以核心素养的落实为目标,站在学生发展的角度,从几何命题活动和落实素养这两条主线展开教学,用核心素养统领整个教学活动,努力增强学生的课堂学习活力,让学生的直观想象㊁数学抽象㊁逻辑推理等素养得以落实．３结论总之, 三个理解 视角下的初中数学教学,应当站在理解数学㊁理解教学㊁理解学生的视角,以 单元整体教学 为指引,以数学基本活动为途径,以实现数学核心素养培养目标为宗旨[３]．因此,我们需要重新审视数学课堂,增强学生的课堂学习活力,落实课改理念,构建 三个理解 视角下的优质数学课堂．参考文献:[１]凌英渡．理解数学,理解学生钻研教材,优化设计[J]．数学学习与研究,２０１１(６):７．[２]徐淮源．基于教材理解下的高中数学概念教学设计 以 三角函数的周期性 为例[J]．教育研究与评论(中学教育教学),２０１０(２):７３Ｇ７８．[３]夏炳文．强化 三个理解 打造活力课堂 以一节试卷讲评课为例[J]．中国数学教育,２０１６(１０):４２Ｇ４４,５６．Z７８。
“四个理解”指导下的教学设计新思路——以“位似”教学设计为例
一、素养立意，深化内容解析
对课堂教学具有定向作用的课时目标的设计要有 可操作性和可检测性. 设置课时目标的基础是对内容 的准确理解，进而做出体现内容本质的教学解析. 为 此要探寻内容解析的新思路，包括内容的结构，地位 和作用，内容的本质，蕴涵的数学思想和方法，育人 价值，等等.
内容解析是在知识图谱的指导下，围绕当前内 容，从数学上进行微观分析. 内容解析的基本格式 是：（1） 在“教学内容及其解析”前面添加课时知识 结构图，统领内容解析的叙述；（2） 以知识点的形式 列出教学内容；（3） 阐述当前内容在整个中学数学， 在本章、本节中的地位作用，在揭示概念内涵的基础 上，说明概念的核心，阐释知识内容所蕴涵的数学思 想方法，最后阐明本节课的教学重点.
中国数学教育·初中版 2019 年第 9 期 （总第 201 期）
“四个理解”指导下的教学设计新思路
——以“位似”教学设计为例
王华鹏 （浙江省台州市黄岩区教育局教研室）
摘 要：理解数学、理解学生、理解技术、理解教学是应对互联网时代教育变革的根本保证，基 于“四个理解”的教学设计在知识图谱的指导下，以课时结构图揭示知识的逻辑关联，以测评为依据 优化学习进程，以问题链引导学生的思维，为不同的学生提供最佳的发展路径，从而实现线上教育与 线下教育的优势互补 .
关键词：互联网 + 教育；四个理解；教学设计
尽管“互联网 + 教育”还处于探索阶段，但发展 趋势已经非常明显，人机共教的时代即将到来，传统 的课堂模式和教学方式都需要重新定义、重新思考. 章建跃博士提出的“四个理解”，即理解数学、理解学 生、理解技术、理解教学，是提高教师专业化发展水 平、提高数学教学质量、应对互联网时代教育变革的 根本保证.
笔者有幸参加了章建跃博士领衔的“中小学数学 在线学习资源的研究与开发”课题研究，课题组围绕 “目标导向的精准教学”对教学设计进行了新的思考， 提出的教学设计框架包括内容和内容解析、目标和目 标解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、教 学过程设计、目标检测设计和分层作业设计七个方 面，并对每个方面做了具体、规范的要求，使之比已 有的教学设计案例更加完整、准确、简洁、实用，更 有利于实现线上与线下教育的优势互补. 现以人教版 《义务教育教科书·数学》 九年级下册“27.3 位似 （2）” 一课为例，对教学设计的撰写谈一点心得体会.
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（3）过分关注“题型”及对应的技巧—— 技巧，雕虫小技也，不足道也；技巧无 法穷尽，教技巧的结果可能是“讲过练 过的不一定会，没讲没练的一定不会” ；等。
理解数学理解学生理解教学
人民教育出版社 章建跃 zha• 核心：以学生的全面、和谐与可持续发 展为本——教育中的“科学发展观” • 教学目标——全面关注学生的认知、能 力和理性精神，以学生最近发展区为定 向，促进学生全面、和谐、可持续发 展——数学育人。
• 教改只能成功不能失败，因为人才的成 长没有重复机会，教育要绝对避免“折 腾”。 • 教改必须“大胆创新，谨慎实践”。 • 当前，与教育的本质相悖的“功利化” 现象还占据主导地位，需要我们共同努 力，为教育的理想而奋斗。
二、当前存在的主要问题
• 数学教学“不自然”，强加于人，对学 生数学学习兴趣与内部动机都有不利影 响； • 缺乏问题意识，对学生的创新精神和实 践能力培养不利； • 重结果轻过程，“掐头去尾烧中段” ， 关注知识背景和应用不够，导致学习过 程不完整；
• 重解题技能、技巧轻普适性思考方 法的概括，方法论层次的内容渗透 不够，机械模仿多独立思考少，数 学思维层次不高； • 讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、 理性精神不够，对学生整体数学素 养的提高不利。
三、提高“理解数学”的水平
• 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 • 理解数学概念的几个方面： • 从表面到本质—把握概念的深层结构上 的进步； • 从抽象到具体—对抽象概念的形象描述， 解读概念关键词，更多的典型、精彩的 例子；
教学过程
• 先行组织者：解方程要以等式的基本性 质为依据；解决不等式的问题要以不等 式的基本性质为依据。 • 请叙述等式的基本性质。 • 你能说说讨论等式的基本性质的思想方 法吗？ • 类似的，你能猜想一下不等式的基本性 质吗？
• 阅读教科书，看看还有哪些性质没有想 到？ • 根据“基本事实”证明自己的猜想。 • 你能总结一下等式的基本性质和不等式 的基本性质蕴含的数学思想方法吗？
例2不等式基本性质“立意”比较
• 以往做法：数轴上点的顺序定义数的大 小关系，再到“基本事实”（考察两个 实数的大小，只要考察它们的差），再 由“利用比较实数大小的方法，可以推 出下列不等式的性质”： • 性质1，2，3„„——证明——例题—— 练习、习题
“高立意低起点”的教学设计
• 数轴上点的顺序定义数的大小关系，再 到“基本事实”（考察两个实数的大小 可以统一化归为比较它们的差与0的大 小）； • 从“数及其运算”的高度出发，以“运 算中的不变性、规律性就是性质”为思 想指导，以等式的基本性质为起点，通 过类比等式的基本性质，得到不等式基 本性质的猜想；
• 回到从“基本事实”到“基本性质”的 推理过程，给出证明； • 引导学生用不同语言表述“基本性质”； • 从实例中概括基本不等式的作用——明 确概括出思想方法。 • 核心：将等式与不等式纳入数及其运算 的系统中，成为用运算律推导出的“性 质”。 • 既要讲逻辑，更要讲思想，加快学生领 悟思想的进程。
例4 向量加法运算及几何意义的教学设计 • 先行组织者：类比数及其运算，引进一 个量就要研究运算，引进一种运算就要 研究运算律。 • 位移、力的合成、速度的合成等物理原 理的回顾。 • 学生带着问题看书：向量的加法法则的 关键词是什么？你如何理解？
• 汇报对定义和三角形法则、平行四边形 法则的理解，其中特别要注意对“关键 词”的理解，要求用自己的语言描述。 • 向量a，b不共线，作出a+b，要求说明作 法。 • 如果向量a，b共线，如何作a+b？与有理 数加法运算有什么关系？ • 从三角形法则我们有 AB BC AC ，变 形有 AB BC AC 0，你怎么看变形？ • 平行四边形法则的代数意义是什么？
三角函数概念的“精致”
• • • • • 函数值的符号问题； 终边与坐标轴重合时的三角函数值； 终边相同的角的同名三角函数值； 与锐角三角函数的比较：因袭与扩张； 从“形”的角度看三角函数——三角函数 线，联系的观点； • 终边上任意一点的坐标表示的三角函数；
• 把实数轴想象为一条柔软的细线，原点 固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴 逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针 缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一 个实数（点）t 被缠绕到单位圆上的点 P（cost，sint）．
例6 两个平面平行的判定问题
• 指导思想：类比两条直线平行的判定， 提出两个平面平行的判定的猜想，再给 出证明。 • 问题1 回顾已经得到的两个平面平行的 判定定理，你能说说得到这些判定定理 的思想方法吗？——定义法（原始，不 容易说清楚），化归为线面平行（用已 知想未知，与平面三公理联系等）。
如何改变？
• 要强调知识及其蕴含的思想方法教学的 重要性——无知者无能； • 要使学生养成不断回到概念去、从基本 概念出发思考问题、解决问题的习惯； • 解题训练应针对概念的理解和应用，而 不是让学生“对题型，套技巧”；
• 加强概念的联系性，从概念的联系中寻 找解决问题的新思路——解题的灵活性 来源于概念的实质性联系，技巧是不可 靠的。 • 应追求解决问题的“根本大法”——基 本概念所蕴含的思想方法，强调思想指 导下的操作。
五、提高概念的教学水平
• 概念教学中存在的问题：概念教学走过 场，常常采用“一个定义，三项注意” 的方式，在概念的背景、引入上着墨不 够，没有给学生提供充分的概括本质特 征的机会，认为让学生多做几道题目更 实惠． • 有些老师不知如何教概念．
教概念的意义
• 李邦河院士：数学根本上是玩概念的， 不是玩技巧．技巧不足道也！ • 以解题教学代替概念教学的做法严重偏 离了数学的正轨，必须纠正．否则，学 生在数学上耗费大量时间、精力，结果 可能是对数学的内容、方法和意义知之 甚少，“数学育人”终将落空．
概念教学的核心
• 概念教学的核心是概括：将凝结在数学 概念中的数学家的思维打开，以典型丰 富的实例为载体，引导学生展开观察、 分析各事例的属性、抽象概括共同本质 属性，归纳得出数学概念。
概念教学的基本环节
• 典型丰富的具体例证——属性的分析、 比较、综合； • 概括共同本质特征得到概念的本质属性； • 下定义（准确的数学语言描述）；
• 从孤立到系统—对概念之间的关系、联 系的认识，有层次性、立体化的认识； 等。 • 提高解读概念所反映的数学思想方法的 能力是教师专业化发展的抓手 。 • 教师培训的当务之急是提高理解数学的 水平，提高数学概念的教学理解水平， 观念只有落实在具体内容中才能发挥力 量。
例1 几个数学概念的理解
• 如何理解诱导公式？ • 推导等差数列前n项求和公式的思想方法 是什么？ • 如何理解“两个变量的线性相关”？
• 问题4 你能说明上述定义符合函数定义 的要求吗？ • 设计意图：让学生用函数的三要素说明 定义的合理性，以此进一步明确三角函 数的对应法则、定义域和值域。 • 例1用定义分别求自变量π/2，π，－ π/3 所对应的正弦函数值和余弦函数值。 • 设计意图：让学生熟悉定义，从中概括 出用定义解题的步骤。 • 例2 角α的终边过P(1/2， － 3 /2)，求它 的三角函数值。
• 问题3 上述表达式比较复杂，你能设法 将它化简吗？ • 设计意图：为“单位圆法”作铺垫。学 生答出“取点P(x，y)使x2+y2=1”后追问 “为什么可以这样做？” • 教师讲授：类比上述做法，设任意角α的 终边与单位圆交点为P(x，y) ，定义正弦 函数为y=sinα，余弦函数为x=cosα。 • 设计意图：“定义”是一种“规定”； 把精力放在定义合理性的理解上。
• 教学要求——个性差异与统一要求的辩证 统一，但以个性差异为出发点和基础 • 教学设计——不仅从内容的教学需要预设 提问、讲授、训练等，而且特别强调课堂 “生成”，预设能引发学生独立思考、自 主探究的“开放性问题”，乃至强调“看 过问题三百个，不会解题也会问” • 教学方法——讲授、问答、训练的综合， 不再是单一的讲授或活动，是教师主导取 向的讲授式和学生自主取向的活动式的融 合，强调“启发式讲授”的重要性
• 课堂小结： （1）问题的提出——自然、水到渠成，思 想高度——函数模型； （2）研究的思想方法——与锐角三角函数 的因袭与扩张的关系，化归为最简单也 是最本质的模型，数形结合； （3）归纳概括概念的内涵，明确自变量、 对应法则、因变量； （4）用概念作判断的步骤、注意事项等。
六、什么才是“抓基础”
四、课堂教学的高立意与低起点
• 立意不高是普遍问题，许多教师的“匠 气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥 漫着“功利”，缺少思想、精神的追求， 严重影响数学育人。
• 数学的“育人”功能如何体现？——挖 掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学 中将知识教学与价值观影响融为一体。 • 关键：提高思想性。 • “技术”：加强“先行组织者”的使用。
• 概念的辨析——以实例（正例、反例） 为载体分析关键词的含义； • 用概念作判断的具体事例——形成用概 念作判断的具体步骤； • 概念的“精致”——建立与相关概念的 联系。
例3 三角函数定义的教学过程设计
• 复习 请回答下列问题： • 前面学了任意角，你能说说任意角概念 与平面几何中的角的概念有什么不同吗？ • 引进象限角概念有什么好处？在度量角 的大小时，弧度制与角度制有什么区别？ • 我们是怎样简化弧度制的度量单位的？ • 设计意图：从为学习三角函数概念服务 的角度复习；关注的是思想方法。
• 学习方式——接受与探究的融合，强调学 生学习主动性、积极性，独立思考和合作 学习的结合 • 教学过程——知识发生发展过程（自然、 水到渠成）为载体的学生认知过程，以学 生为主体的数学活动过程，强调学生数学 思维的展开、深度参与（教学的有效性）