向量的内积
数学向量内积
数学向量内积
在数学中，向量的内积（也称为点积或数量积）是两个向量之间的运算，用于计算它们之间的相似性和角度。
向量的内积可以使用如下公式计算：
对于二维向量：A = (a1, a2) 和B = (b1, b2)，它们的内积为A·B = (a1 * b1) + (a2 * b2)。
对于三维向量：A = (a1, a2, a3) 和B = (b1, b2, b3)，它们的内积为A·B = (a1 * b1) + (a2 * b2) + (a3 * b3)。
内积的计算方法是将两个向量对应位置的分量相乘，然后将结果相加。
内积的结果是一个标量（即数值），而不是一个向量。
如果内积的结
果为0，表示两个向量垂直（正交）；如果内积的结果大于0，表示两个向量夹角为锐角；如果内积的结果小于0，表示两个向量夹角为钝角。
内积在几何和物理学中有广泛的应用，例如计算向量的投影、计算向量的模长、判断向量是否平行等。
线性代数§向量的内积
一、向量内积的定义及性质
在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y 为两向量, 则它们的数量积为:
x ·y = | x || y | cos .
设向量x, y 的坐标表示式为 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 则
x ·y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . 由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念:
证明: 设有数1, 2, ···,r, 使得: 11 + 22 + ···+ rr = 0
由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,则有
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + ···+ iiTi + ···+ riTr = iT0 = 0,
设a1, a2, ···, ar 是向量空间V 的一组基. (1) 正交化
取 b1 = a1,
b2
a2
[b1 [b1
,a2 , b1
] ]
b1
,
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
,
··· ··· ··· ··· ··· ···
br
ar
x2 2x2
x3 x3
0 0
.
解之得
x1 = –x3, x2 = 0.
向量内积运算法则
向量内积运算法则向量内积是线性代数中的重要概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨向量内积的运算法则，包括定义、性质和应用。
1. 定义。
在二维空间中，我们可以将两个向量表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)。
\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\)。
这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)。
在三维空间中，向量的内积可以表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\)。
\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}\)。
这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)。
一般地，对于n维空间中的向量，其内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i\)。
2. 性质。
向量内积具有以下性质：交换律，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot\vec{a}\)。
分配律，\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)。
数乘结合律，\(k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a})\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b})\)。
这些性质使得向量内积在实际应用中具有很大的灵活性，可以方便地进行运算和推导。
线性代数§5.1向量的内积
称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .
例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角. 解: [x, y]=13+21+25+31=18,
|| x || 12 22 22 32 18,
|| y || 32 12 52 12 36,
由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,则有
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + ···+ iiTi + ···+ riTr = iT0 = 0,
2. 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量 组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质
定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关.
证明: 设有数1, 2, ···,r, 使得: 11 + 22 + ···+ rr = 0
解: 先正交化. 取
b1= a1=(1, 1, 1, 1),
b2
a2
[b1 ,a2 [b1 ,b1
] ]
b1
(1, 1,0,4)
114
(1,1,1,1) (0, 2, 1,3),
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
(3,5,1, 1) 8 (1,1,1,1) 14(0, 2, 1,3)
向量内积的解析-概述说明以及解释
向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。
在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。
向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。
也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。
向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。
这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。
2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。
这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。
3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。
这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。
4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。
这里，u 表示向量u的长度。
向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。
在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。
在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。
在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。
通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。
未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。
每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。
第一部分是引言部分。
在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。
向量的内积_正交矩阵
= α ′β = β ′α
α = ( α ,α ) = a1 2 + a 2 2 + + a n 2
3 、单位向量： 当 α
=1
时，称α为单位向量
*
将非零向量α单位化： 取向量 α ，
=
1
α
α
(α , β ) = 0 4 、正交： 如果向量α 与β 满足 称 α β
向量 与 正交。
，则
二、主要性质 向量内积的性质： 设 α, β , γ 均为 n 维向量， λ 为实数，则
所以， e1 , e2 , e3 , e4 是 R4 的一组标准正交基
设α1 , α 2 , , α n 是R n的一组基，
利用此组基求 Rn 的一组标准正交基的方法： 步骤一：将 α 1 ,α 2 ,,α n 正交化，得一正交基 施密特（ Schmidt ）正交化法：
( β1 ,α 2 ) 取 β 1 = α 1 , β 2 = α2 − ( β , β ) β1 , 1 1 ( β 1 ,α 3 ) ( β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 ( β1 , β1 ) ( β2, β2 )
即
αi = (αi , αi ) = 1
n维向量组α1 , α 2 , , α m 是R n的一组标准正交基
（1） m=n (α ,α ) = 0 （2）i j
= 1
(i ≠ j) (i = j)
【例】
证明向量组
e1 =
1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 1 1 − , e = , e = , e = 2 3 2 4 2 2 2 0 1 1 0 − 0 2 2 0
向量的内积
[ , ]
0
§4.1 向量的内积
定义4： 、 为任意两个向量，若内积 设
[ , ] 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交. ②
2 , 即 co s 0
.
§4.1 向量的内积
例1. 已知
称 [ , ] 为内积.
注：内积可用矩阵乘积表示为
[ , ] .
T
§4.1 向量的内积
内积的基本性质
1) 2) 3) [ , ] [ , ]; [ k , ] k [ , ]; [ , ] [ , ] [ , ]; [ , ] 0，当且仅当 0 时, [ , ] 0 .
T T
T
化成单位正交的向量组. 解：令 1 1 (1, 1, 1, 1)
2 2
[ 2 , 1 ] [ 1 , 1 ]
T
正交化
1 ( 2 , 2 , 2 , 2 )T
[ 3 , 2 ] [ 2 , 2 ]
3 3
[ 3 , 1 ] [ 1 , 1 ]
4)
§4.1 向量的内积
向量的长度
定义2
( x 1 , x 2 , , x n ) ,
T
[ , ]
x1 x 2 x n ,
2 2 2
称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
1) 2)
0， 0 0 ；
1
2 ( 1, 1, 1, 1)
T
§4.1 向量的内积
两个向量内积的定义
两个向量内积的定义
两个向量内积的定义：
两个非零向量A和B的内积（也称为点积）是数字的乘积，表示为A·B，它的值等于A和B的模乘积的余弦值的乘积，即：
A·B=|A|·|B|cos(θ)，其中|A|和|B|分别为A和B的模长，θ为A 和B在夹角的余弦值。
内积又称点积，它表示两个向量的余弦值的乘积，这是一种数学表示，它可以用来衡量两个向量之间的相似程度，可以比较其方向和大小。
如果两个向量具有相同的方向和大小，它们的内积就是它们各自的模长的平方；而如果二者具有相反的方向，它们的内积则为负值。
向量内积公式推导
向量内积公式推导一、向量内积的定义。
在平面直角坐标系中，设向量→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)。
向量→a与→b的内积（也叫点积、数量积）定义为→a·→b=→a→bcosθ，其中θ为→a与→b的夹角，→a 表示向量→a的模，→b表示向量→b的模。
1. 向量模的计算公式。
- 对于向量→a=(x_1,y_1)，其模→a=√(x_1)^2 + y_{1^2}；- 对于向量→b=(x_2,y_2)，其模→b=√(x_2)^2+y_{2^2}。
2. 根据向量坐标计算夹角余弦值。
- 设向量→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，根据向量减法→a-→b=(x_1-x_2,y_1 - y_2)。
- 根据余弦定理→a-→b^2=→a^2+→b^2-2→a→bcosθ。
- 计算→a-→b^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+y_1^2-2y_1y_2+y_2^2。
- 又→a^2=x_1^2+y_1^2，→b^2=x_2^2+y_2^2。
- 代入余弦定理可得cosθ=(→a·→b)/(→a→b)=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}√(x_2)^2+y_{2^2}}二、向量内积的坐标公式推导。
1. 从定义出发推导坐标公式。
- 已知→a·→b=→a→bcosθ。
- 设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，→a=√(x_1)^2+y_{1^2}，→b=√(x_2)^2+y_{2^2}。
- 我们将向量→a和→b的起点都移到原点O，设向量→a的终点为A(x_1,y_1)，向量→b的终点为B(x_2,y_2)。
- 则→OA=(x_1,y_1)，→OB=(x_2,y_2)。
- 根据向量减法→AB=→OB-→OA=(x_2-x_1,y_2-y_1)。
- 由→AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=x_2^2-2x_1x_2+x_1^2+y_2^2-2y_1y_2+y_1^2。
线性代数§向量的内积
不同基下内积转换公式推导
不同基下内积转换公式
设α, β是向量空间V中的两个向量，在两组不同的基{e1, e2, ..., en}和{f1, f2, ..., fn}下的坐标分别为(x1, x2, ..., xn) 和(y1, y2, ..., yn)，则α和β的内积可以表示为∑(xi*yi)，其中i从1到n求和。这个公式可以用的 情况。
分量表示法
定义
将向量表示为分量形式，通过分量间的运算计算内积。
公式
对于向量A = (a1, a2, ..., an)和B = (b1, b2, ..., bn)，其内 积为A·B = (a1, a2, ..., an) · (b1, b2, ..., bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
子空间划分和基选择策略
子空间划分
设W是数域P上的线性空间V的一个非空子集，若W对于V的加法和数乘也构成数域P上的线性空间， 则称W是V的一个线性子空间或子空间。子空间的划分可以根据不同的维度和基进行。
基选择策略
在线性空间中，基的选择对于内积运算具有重要影响。通常选择正交基作为内积运算的基础，因为正 交基具有良好的性质，如任意两个不同基向量的内积为零。
矩阵表示下内积计算简化方法
在矩阵表示下，两个向量的内 积可以通过矩阵乘法简化计算。
具体地，若A和B是两个向量， 则它们的内积可以表示为A^T * B，其中A^T是A的转置矩阵。
通过矩阵乘法，可以高效地计 算多个向量间的内积。
特征值与特征向量对内积影响分析
特征值和特征向量是线性变换的重要 性质，它们对向量的内积有重要影响。
夹角计算
通过内积可以计算两向量的夹角，即$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}$。
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学习行为 学习方法
继续探索
活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.3Ａ组（必做） 教材习题７.3Ｂ组（选做） 实践调查：试着编写一道关于向量 内积的问题并解答．
作业
运用知识
强化练习
1.已知a＝(5,−4)，b＝(2,3)，求a· b．
-2．
2.已知a＝(2, −3)，b＝(3, −4)，c＝( −1,3),求a· (b＋c)．
7．
自我反思
目标检测
平面向量内积的概念？
两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之
积叫做向量a与向量b的内积，记作a· b．
自我反思
目标检测
a x 2 ，即 y2 设a＝(x,y)，则 a a
a
(7.11)
x2 y 2
(7.12)
动脑思考
a b cos<a,b>＝ | a || b |
探索新知
由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时，
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 y2
2 2
第七章
平面向量
7.3 向量的内积
创设情境
兴趣导入
如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力， 朝着与水平线成 30 角的方向拉小车，使小车前进了100 m． 那么，这个人做了多少功？ 做功等于力与在力的方向上移动 的距离的乘积．力F是水平方向的力 与垂直方向的力的和，垂直方向上 没有产生位移，没有做功，水平方向 上产生的位移为s，即
． (7.13)
利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a⊥ b
a· b＝0，由公式(7.11)可知
a· b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0． 因此 a⊥b x1 x2＋ y1 y2＝0． (7.14)
巩固知识
例3 求下列向量的内积：
典型例题
（1） a＝ (2, −3), b＝(1,3)； （2） a＝ (2, −1), b＝(1,2)； （3） a＝ (4,2), b＝(−2, −3) ． 解 (1) a· b＝2×1＋(−3)×3＝−7； (2) a· b＝2×1＋(−1)×2＝0； (3) a· b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．
45． <a，b>＝
巩固知识
例5
典型例题
判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝(−2, 3), (2) a＝(0, −1), b＝(6, 4)； b＝(1, −2)．
Байду номын сангаас
解 (1) 因为a· b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a⊥ b． (2) 因为a· b＝0×1＋(−1)×(−2)＝2， 所以a与b不垂直．
解 a· b＝|a||b| cos <a，b> ＝3×2×cos 60°＝3．
巩固知识
典型例题
例2 已知|a|＝|b|＝ 2 ,a· b＝ 2 ,求<a,b>．
a b 2 2 ． 解 cos<a,b>＝ | a || b | 2 2 2
由于 所以 0≤<a,b>≤180°， <a,b>＝135 ．
a· b＝(x1 i＋y1j)·(x2 i＋y2j) ＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2＋ y1 y2. 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和， 即 a· b＝ x1 x2＋ y1 y2
3 10＝500 3． W＝｜F｜cos30° · ｜s｜＝100×2 ·
F O s
图7—21
动脑思考
探索新知
3 10＝500 3． W＝｜F｜cos30° · ｜s｜＝100×2 ·
这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由 两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与 向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
运用知识
强化练习
1. 已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夹角为60°，求a· b．
14．
2. 已知a· a＝9,求|a|.
3．
3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝30°，求(2a＋b)· b．
6 3 +9．
动脑思考
又| i |＝|j|＝1,所以
探索新知
设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i· j ＝0,
动脑思考
探索新知
可以验证，向量的内积满足下面的运算律： a· b＝b· a.
a b a b a b．
(a＋b)· c＝a· c＋b· c. 一般地，向量的 内积不满足结合律， 即 a· (b· c)≠(a· b)· c.
巩固知识
典型例题
例1
已知|a|＝3,|b|＝2, <a，b>＝60°，求a· b．
动脑思考
探索新知
由内积的定义可以得到下面几个重要结果：
当<a,b>＝0时，a· b＝|a||b|；当<a,b>= 180 时，a· b＝−|a||b|．
a b cos<a,b>＝| a || b | ．
当a＝b时，有<a，a>＝0，所以a· a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝ a a． 对非零向量a，b，有 a· b＝0 a b.
动脑思考
探索新知
A a O b B
如图，设有两个非零向量a， b，作 OA a，
OB b， 由射线OA与OB所形成的的角叫做向量
a与向量b的夹角，记作<a，b>．
两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b 的内积，记作a· b， 即 a· b＝|a||b|cos<a，b> 由内积的定义可知 a· 0＝0, 0· a＝0. (7.10)
巩固知识
例4
典型例题
已知a＝(−1,2)，b＝(−3,1)．求a· b, |a|,|b|, <a,b>．
解
a· b＝(−1)(−3)＋2×1＝5. |a|＝ a a (1)2 22 5． |b|＝ b b (3)2 12 10． cos<a，b>＝ 所以
a b 5 2 ． | a || b | 2 10 5