导数

2．函数f(x)的导函数 fx＋Δx－fx liΔm x→0 Δx 称函数f ′(x)＝_______________________ 为f(x)的导函数．
二、导数的运算 1．基本初等函数的导数公式
2.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ (2)[f(x)·g(x)]′＝
fx f ′＝ (3) gx
解得 b＝0，a＝－3 或 1.
(2)∵曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线， ∴关于 x 的方程 f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0 有两个不相等 的实数根， ∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即 4a2＋4a＋1>0， 1 ∴a≠－2.
答案：B
4．若函数f(x)＝2x＋ln x且f′(a)＝0，则2aln 2a＝( A ．1 C．－ln 2
x
)
B．－1 D．ln 2
1 1 1 a a 解析： f ′(x)＝2 ln 2＋x， 由 f′(a)＝2 ln 2＋a＝0， 得 2 ln 2＝－a， 则 a· 2a· ln 2＝－1，即 2aln 2a＝－1.
再求解．
3．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，
b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解析：f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
f0＝b＝0， (1)由题意得 f ′0＝－aa＋2＝－3，
第十节
最新考纲展示
导数的概念及其运算
2.理解导数的几何意义． 3.能根
1．了解导数概念的实际背景．
1 据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝ x 的导数． 4.能利用常见的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算
法则求简单函数的导数． 5．能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复合函数)的导数．
导数的几何意义(师生共研) 例2
A ．2
(1)点P0(x0，y0)是曲线y＝3ln x＋x＋k(k∈R)图象上一个定点，
) B．－2
过点P0的切线方程为4x－y－1＝0，则实数k的值为(
C．－1
D．－4
)
(2)(2014年广州模拟 ) 已知曲线 C ： f(x)＝ x3 －ax ＋a，若过曲线 C 外 一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为( 27 A. 8 B．－2
规律方法 (1)准确求切线l的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲
线与切线l的位置关系转化为函数 g(x)＝x－1－f(x)在区间(0，＋∞)上大 于0恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的
应用．
(2)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存 在)时，切线方程为x＝x0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，


)
1 B．(log2x)′＝xln 2 D．(os x)′＝－2sin x
1 1 1 解析： x＋x′＝x′＋x′＝1－x2；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝
(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
答案：B
导数的运算(自主探究)
cos x 例 1 (1)函数 y＝ ex 的导数是________； (2)函数 y＝3xex－2x＋e 的导数是________； (3)已知 f(x)＝x(2 015＋ln x)，f ′(x0)＝2 016，则 x0＝________.
解析 cos x′ex－cos xex′ sin x＋cos x cos x (1)y ′＝ ex ′＝ ＝－ . ex ex2
1 1．某汽车的路程函数是 s(t)＝2t3－2gt2(g＝10 m/s2)，则当 t＝2 s 时， 汽车的加速度是( A．14 m/s2 C．10 m/s2 ) B．4 m/s2 D．－4 m/s2
解析：由题意知，汽车的速度函数为v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，则v′(t)＝
12t－g，故当t＝2 s时，汽车的加速度是v′(2)＝12×2－10＝14 m/s2.
答案 (1)A (2)A
规律方法
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现
在以下几个方面： (1)已知切点 A(x0， f(x0))求斜率 k， 即求该点处的导数值 k＝f ′(x0)． (2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1))，即解方程 f ′(x1)＝k. (3)已知切线过某点 M(x1，f(x1))(不是切点)求切点，设出切点 A(x0， f(x0))，利用 k＝ fx1－fx0 ＝f ′(x0)求解． x1－x0
f ′(x)±g′(x) f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
． ．
′xgx－fxg′x (g(x)≠0)． [gx]2
3．复合函数的导数 设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在 y′u·u′x 点x处可导，且f ′(x)＝ f′(u)·v′(x) ，即y′x＝ .
1－ln 1 ∴f′(1)＝ 1 ＝1，即切线 l 的斜率 k＝1. 由 l 过点(1,0)，得 l 的方程为 y＝x－1.
(2)证明：令 g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 l 的下 方等价于 g(x)>0(∀x>0，x≠1)． x2－1＋ln x g(x)满足 g(1)＝0，且 g′(x)＝1－f′(x)＝ . x2 当 0<x<1 时，x2－1<0，ln x<0， ∴g′(x)<0，故 g(x)在(0,1)上单调递减； 当 x>1 时，x2－1>0，ln x>0，∴g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递 增． 所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线 C 在直线 l 的下方．
C．2 27 D．－ 8
解析
3 (1)y′＝x＋1，
令其等于 4 得 x＝1，代入直线方程得 y＝3， 即切点坐标为(1,3)，代入曲线方程得 3＝1＋k，得 k＝2.故选 A. (2)设切点坐标为(t，t3－at＋a)．由题意知，f 切线的斜率为 k＝f ′(t)＝3t2－a，① ′(x)＝3x2－a，
1． (2014 年滨州一模)已知 f ′(x)是函数 f(x)的导函数， 如果 f ′(x) 是二次函数，f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1， 3)，那么曲线 y ＝f(x)上任一点处的切线的倾斜角 α 的取值范围是( π A. 0，3 π 2π C. 2， 3
sin x＋cos x x x 答案 (1)－ (2)(ln 3 ＋ 1)· (3e) － 2 ln 2 (3)1 x e
规律方法 (1)在解答过程中常见的错误有： ①商的求导中，符号判定错误． ②不能正确运用求导公式和求导法则． (2)求函数的导数应注意： ①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量． ②根式形式，先化为分数指数幂，再求导． ③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可 换元处理．
一、导数的概念 1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 (1)定义： 称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 liΔm x→ 0 fx0＋Δx－fx0 ＝liΔm x→0 Δx
Δy Δx为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0) fx0＋Δx－fx0 Δy ＝liΔm ＝liΔm . x→0 Δx x→0 Δx

)
π π B. 3，2 π D. 3，π


解析：即 f ′(x)≥
3，
即曲线 y＝f(x)在任意一点处的切线斜率不小于 3，故其倾斜角的范 π π 围是 3，2 .

答案：B
2．(2014 年杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y＝x3 和 y＝ax2 15 ＋ 4 x－9 都相切，则 a 等于( 25 A．－1 或－64 7 25 C．－4或－64 )
是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
4．求过点P的曲线的切线方程的步骤为：
第一步，设出切点坐标P ′(x1，f(x1))； 第二步，写出过 P ′(x1 ，f(x1)) 的切线方程为 y－f(x1) ＝f ′(x1)(x－
x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f y0)的切线方程． 5．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′ ＝nxn－1中n≠0且n∈Q，(cos x)′＝－sin x. 6．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax－1. 7．导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个 可导函数的情形，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． ′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，

(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3· ex ＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)· (3e)x－2xln 2. (3)f ′(x)＝2 015＋ln x＋1，又 f′(x0)＝2 016，∴ln x0＝0，x0＝1.
答案：A
导数运算与导数几何意义的应用(师生共研)
例3 ln x (2013 年高考北京卷)设 l 为曲线 C： y＝ x 在点(1,0)处的切线．
(1)求 l 的方程； (2)求证：除切点(1,0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方．