ok2.2.2《 椭圆的几何性质》课件(新人教A版选修2-1)

b
a F2
A2 (a，0)
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0) F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
o c
B1 (0,-b)
思考后回答
根据前面所学有关知识 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4

当且仅当a b时, c 0, 这时两个焦点重 合,图形变为圆它的方程为x 2 y 2 a 2 . ,
标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的 关系
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
y o x
-a≤x≤a,
-b≤y≤b
关于x轴、y轴成轴对称图形；关于原 点成中心对称图形 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
O
x
图2.2 10
c = 1.20 a = 1.81 c = 0.66 a
c = 1.50 a = 1.81 c = 0.83 a
椭圆的离 心率可以形 象地理解为 , 在椭圆的长 轴长不变的 前提下, 两个 焦点离开中 心的程度. 这样规定会 给今后研究 圆锥曲线的 统一性等性 质带来方便 .
B2 A1
2
y2 1得： 2 b
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
b F1 a F2
A2
o c
B1
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 y 心对称。
25 16
2、确定焦点的位置和长轴的位置
练习1.
已知椭圆方程为6x2+y2=6
。短轴长是：
它的长轴长是： 2 6
焦距是：
2
30 6
。
2 5
焦点坐标是： (0, 5 )
外切矩形的面积等于：
.离心率等于： 。 (0, 。顶点坐标是： 6) (1, 0) 。
4 6
。
先独立思考，然后自由发言。
x2 y2 其标准方程是 1 1 6
(先独 立思考， 后小组 交流， 小组选 代表回 答）
图2.1 9
y
x2 y2 如图2.1 10, 椭圆 2 2 1 a b a b 0 的长半轴的长为 , a 半焦距为c.保持长半轴长 不 a 变, 改变椭圆的半焦距 , 可以 c 发现, c 越接近 a, 椭圆越扁平 . 这样, 利用c 和 a 这两个量, 可 以刻画椭圆的扁平程度 .
2 2 2 2 2 2 2 2
y
O
x
x2 y2 观察椭圆 2 2 1a b 0 a b 的形状, 你能从图上看出它的范围吗 ? 它具有怎样的对称性 ? 椭圆 上 哪 些 点 比较特殊 ?
看谁答的又对又全面
二、椭圆
x 1、范围： 2 1, a
简单的几何性质
思考后， -a≤x≤a, -b≤y≤b 知 自由回答
c 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 a c 称为椭圆的离心率, 用e表示, 即e . a 因为a c 0, 所以0 e 1.e 越接近于 , 1
则c越接近于a, 从面b a 2 c 2 越小,因 此椭圆越扁; 反之, e越接近于0, c越接近 于 0, 从而b 越接近于a, 这时椭圆就越接 近于圆.
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
4 离心率
思考 观察不同的椭圆图 2.1 9 , 我们发现, 椭圆的扁平程度不一 那么, 用什么量可以刻 , 画椭圆的扁平程度呢 ?
a 6 b 1 则c a b 5
2 2
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程： Q （1）经过点 P(3, 0) 、 (0, 2) ； 3 （2）长轴长等于 20 ,离心率等于 5 ． 解:（1）由题意， a 3 b 2,又∵长轴在 x
x2 y2 轴上，所以，椭圆的标准方程为 1 c 3 9 4 ． e 2 （2）由已知， a 20 ， a 5
B2
抢 答
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点 2 2 x y 2 1(a b 0) 2 a b
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
y
B2 (0,b)
A1
c e a
a2=b2+c2
同前
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
-a≤y≤a, -b≤x≤b
对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c 的关系
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
它的长轴长是：
焦距是：
10 。短轴长是： 8
6
。
3 离心率等于： 5
。
。
焦点坐标是： (3,0) 外切矩形的面积等于：
( 。顶点坐标是： 5,0) (0, 4) 。
80
。
要求： 1、请先独立思考，然后自由回答 (时间为1分钟) 2、从中找出解题规律
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标 2 2 x y 准方程 1 明确a、b
c e a
a2=b2+c2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
-a≤x≤a, - b≤y≤b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
-a≤y≤a,
同前
-b≤x≤b
2.1.2 椭圆的几何性质
学习目标
1.了解椭圆的范围、对称性 及对称轴，对称中心、离 心率、顶点的概念； 2.记住离心率的定义，范围 及作用。
复习：
1.椭圆的定义:
写完后，同桌 平面内与两定点F1、F2的距离之和为常数（大于 交换检查，不 |F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。 | PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 会写的可以看 |) 2.椭圆的标准方程是： 课本。这些知 x y 1(a b 0) 当焦点在X轴上时 识本节课要用， a b y x 1(a每个同学都必 b 0) 当焦点在Y轴上时 a b 3.椭圆中a,b,c的关系是: 须回忆清楚 2=b2+c2 a
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前
半轴长
离心率 a、b、c 的关系
c e a
a2=b2+c2
同前
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
c ∴ a 10 ， 6 ，∴ b2 102 62 64
2 2
，
y 2 x2 x y ． 1 1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64
标准方程 范围
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b -a≤x≤a, - b≤y≤b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称