同济大学期末考试试题

数学分析（上）期末试题 得分_________
姓名_________
1. 计算(每小题6分，共36分) 学号_________
(1)⎰++∞→x
x t t dt 1)
1(lim
(2)
dx xe x ⎰
--1
1
|
|
(3)
121lim ++∞→+++p p
p p n n n (4) 00,01)(2
='=--+=⎰x y t y x dt e y e x y y 求满足设 (5)
h
x f h x f x f h 2)
()3(lim
,1)(000
0--='→则
(6) ⎰dx x
x 2
cos cos ln 2 写出下列命题的分析表述(8分) (1) f '(x )在x 0的极限不是A . (2) {a n }是基本数列.
3 (8分)指出下列命题之间的关系：
(1) f (x )在点0x 局部有界；(2) f (x )在点0x 极限存在；
(3) f (x )在点0x 可导；(4) f (x )在点0x 连续；(5) f (x )在点0x 有定义.
4. (8分)讨论函数⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<=>--=⎰
cos 10,
20
,1)
1(2sin )(20
22
x tdt x x x e e x f x
x
x 的连续性, 若有间断点, 是哪种间断点? 给出函数的连续区间.
5. (12分)设x 1>0, x n +1=ln(1+x n )(n=1,2,⋅⋅⋅), 证明 ).(2~)(;0lim )(∞→=∞→n n
x ii x i n n n
6. (8分)设函数f (x ), g (x )在闭区间[a , b ]上连续, 证明存在ξ∈(a , b ),
使⎰⎰ξ
ξξ=ξa b dx x f g dx x g f )()()()(=ξ.
7. (8分)用闭区间套定理证明零点存在定理.
8. (10分)设D 1, D 2为曲线y = x 2与直线y=tx 围成的图形, 问当t 为何值时, D 1, D 2绕x 轴旋转所得旋转体体积之和达到最小值?
数学分析（上）期末试题 得分_________
姓名_________
2. 计算(每小题6分，共36分) 学号_________ (1) )
1ln(arctan lim 30x x
x x +-→
(2) ⎰
+)
1(2
x x dx (3) ,1
0 22
=⎪⎩⎪
⎨⎧==⎰t t u t
dx dy du e y e x 求设
(4) 设⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<+≥+=0
11011
)(x e x x
x f x
, 求⎰-2
)1(dx x f .
(5) 已知)(x f 连续,且满足方程⎰
⎰
-+=x
dx x f x x x dt t f 0
1
24)()(,试求)(x f 的
表达式.
(6) 求心形线)20( )cos 1(πθθ≤≤-=a r 的弧长 3 写出下列命题的分析表述(8分)
(1) f '(x )在x 0的极限不是A . (2) f '(x )在区间I 上一致连续..
4 (8分)指出下列命题之间的关系：
(1) f (x )在点0x 局部有界；(2) f (x )在点0x 极限存在；
(3) f (x )在点0x 可导；(4) f (x )在点0x 连续；(5) f (x )在点0x 有定义.
4. (10分)讨论函数⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<=>--=⎰
cos 10,
20
,1)
1(2sin )(2
22
x tdt x x x e e x f x x
x 的连续性, 若有间断点, 是哪种间断点? 给出函数的连续区间.
5 (12分)设2
01π
<
<x , x n +1=sin x n (n=1,2,⋅⋅⋅), 证明
).( 3~ )( ;0lim }{ )(2
∞→=∞
→n n
x ii x x i n n n n 收敛且
6 (8分)设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在ξ∈(a , b )上可微, 且 f (a )=0,
()0b
a
f x dx =⎰
.证明存在ξ∈(a , b ), 使()0f ξ'=.
7 (8分)用闭区间套定理证明零点存在定理.
8（8分）求抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围平面图形的面积
)0(>a .
《数学分析（中）》期终试卷（A 卷） 2004，7
一 选择填空 （每小题4分，共28分） 1. 函数⎩
⎨
⎧≤≤--<<=01 11
0 )(x x x x x f 的Fourier 级数在点x=2处收敛于
____________________________.
2. 若∑+∞
=1n n a 收敛，则级数∑+∞
=+1)1
(n n n a ______；级数∑+∞
=-1
)1(n n n a _____.
A 一定收敛
B 一定发散
C 不能确定
3. 设函数)(x f 在],[ππ-连续，则下列一定正确的是___________. A )(x f 的Fourier 级数点态收敛于)(x f .
B )(x f 的Fourier 级数平方收敛于)(x f .
C )(x f 的Fourier 级数一致收敛于)(x f .
D )(x f 的Fourier 级数在 ],[],[ππ-⊂d c 上可逐项积分并收敛于⎰d
c dx x f )(. 4. 集合n S R ⊂是紧集当且仅当________________________________. 5. 函数y x x f 2)(2+=在点(1,2)处沿方向______________的方向导
数取最大值, 最大值为__________________________. 6. n R 中点列}{n x 是基本点列当且仅当______________________ _________________________________________________________.
7. 空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0
36
2
22222z y x z y x 在点（1，1，2）处的切线方程为 _________________________________________________________________.
二 解答题（每小题10分，共60分） 1 求幂级数∑+∞
=--12
1
)
1(n n
n x n 的收敛域与和函数，并求级数∑+∞
=02
2
n n n 的
和。

2 设F 是可微函数，),(y x f z =是由0),(=--bz cy az cx F 所确定的隐函数，求 y
z b x z a
∂∂+∂∂。

3 确定函数∑+∞
=-=1
1
)1()(n x
n
n x f 的定义域及其在定义域上的连续性和可微性。

4 判断反常积分⎰+∞
02sin dx x x p )(R ∈p 的敛散性（包括发散、绝对
收敛与条件收敛）。

5 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0
0 0 )(2
22
22
2y x y x y x xy x f 在点（0，0）的连续性、
可偏导性和可微性。

6 求曲面122
2222=++c
z b y a x 在第一卦限的切平面，使得该切平面与
三个坐标平面围成的四面体体积最小。

三 证明(每题6分，共12分) 1 若函数
),(y x f 在点),(0b a P 连续且0),(>b a f ，则
),,(),( ,0 0δδP O y x ∈∀>∃ 有 0),(>y x f 。

2 若集合D 中存在数列{x n }，使得0)(lim ≠+∞
→n n n x u ，则级数∑+∞
=0
)
(n n n x u 在D 上非一致收敛。

补充题（10分）：设∑
-=+=1
0)(1)(n i n n
i
x f n x f , 其中f 为连续函数. 证明: )(x f n 在任何闭区间[a,b]上一致收敛。