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七年级上册角习题人教版复习进程

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人教版七年级数学上册第四章角复习题三(含答案) (42)

人教版七年级数学上册第四章角复习题三(含答案) (42)

人教版七年级数学上册第四章角复习题三（含答案)钟表上的时间为9点，这时时针和分针之间的夹角（小于平角）的度数是（）A．120°B．105°C．100°D．90°【答案】D【解析】【分析】由于钟表上的时间为9点，即时针指向9，分针指向12，这时时针和分针之间有3大格，根据钟面被分成12大格，每大格为30°即可得到它们的夹角．【详解】∵钟表上的时间为晚上9点，即时针指向9，分针指向12，∴这时时针和分针之间的夹角（小于平角）的度数=（12-9）×30°=90°．故选D．【点睛】本题考查了钟面角的问题：钟面被分成12大格，每大格为30°．12．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB ＋∠DOC的值（）A．小于180°或等于180°B．等于180°C．大于180°D．大于180°或等于180°【解析】【分析】因为两直角直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=∠AOD+∠DOC+∠DOB，再根据角的度数进行计算．【详解】∠AOB+∠DOC=∠AOD+∠DOB+∠DOC=∠AOD+∠DOC+∠DOB=90°+90°=180°．故选B．【点睛】每副三角板中，都有一个等腰三角板和一个直角三角板，根据角的度数可以进行计算，也可以画出一些特殊度数的角．13．小明从A地向南偏东m°（0＜m＜90）的方向行走到B地，然后向左转30°行走到C地，则下面表述中，正确的个数是（）①B可能在C的北偏西m°方向；②当m＜60时，B在C的北偏西(m＋30)°方向；③B不可能在C的南偏西m°方向；④当m＞60时，B在C的南偏西(150－m)°方向A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时；②当m=60°时；③当60°＜m＜90°时；分别画出图形，根据方位角的知识即可解决问题．【详解】分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时，如图1．∵0°＜m＜60°，∴30°＜m+30°＜90°，∴∠MCB= （m＋30）°，∴B在C的北偏西（m＋30）°方向，故②正确；∵m＋30＞m，∴B不可能在C的北偏西m°方向；∴①错误；②当m=60°时，如图2，m+30°=90°，∴∠MCB= 90°，∴B在C 的正西方向；③当60°＜m＜90°时，如图3．∵60°＜m＜90°，∴90°＜m+30°＜120°，∴∠BCN= 180°－（m+30°）=（150－m）°，∴B在C的南偏西（150－m）°方向，故④正确．当150－m= m时，解得：m=75°，∴当m=75°时，B在C的南偏西m°方向，故③错误．故选B．【点睛】本题考查了有关方向角的问题：在每点处画上东南西北，然后利用平行线的性质求角，解答本题的关键是分类讨论．14．时钟在2时40分时，时针与分针所夹的角的度数是（）A．180°B．170°C．160°D．150°【答案】C【解析】【分析】2点时，分针与时针相差两大格，即60°，根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，则40分钟后它们的夹角为40×6°-2×30°-40×0.5°．【详解】解：2点40分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数=40×6°-2×30°-40×0.5°=160°．故选C．【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．15．一条船沿北偏东50°方向航行到某地，然后沿原航线返回，返回时正确的航行方向是（）A．南偏西50°B．南偏东50°C．北偏西50°D．北偏东50°【答案】A【解析】【分析】根据方位角的概念画图即可．【详解】解：一条船沿北偏东50°方向航行到某地，然后沿原航线返回，返回时正确的航行方向是南偏西50°．故选：A．【点睛】此题主要考查了方向角的判断，解题的关键是正确画出图形．16．如果一个角的补角是150 ，那么这个角的余角是（）A．30°B．60°C．90°D．180°【答案】B【解析】【分析】本题根据互余和互补的概念计算即可．【详解】解：180°−150°＝30°，那么这个角的余角是90°−30°＝60°．故选B．【点睛】本题考查互余和互补的概念，和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角．17．轮船航行到A处时，观察到小岛B的方向是北偏西32°，那么同时从B处观测到轮船A的方向是（）A．南偏西32°B．东偏南32°C．南偏东58°D．南偏东32°【答案】D【解析】【分析】根据方向角的概念可得答案．【详解】解：轮船航行到A处时，观察到小岛B的方向是北偏西32°，那么同时从B 处观测到轮船A的方向是南偏东32°，故选D．【点睛】本题考查了方向角，利用了方向相对的关系．18．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB=（）A．150°B．180°C．90°D．135°【答案】B【解析】由图可知∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOC+∠BOD=∠COD，根据角之间的和差关系，即可求解．【详解】∠AOC+∠DOB，=∠AOB+∠BOC+∠DOB，=∠AOB+∠COD，=90°+90°，=180°．故选B．【点睛】本题考查了余角和补角的定义；找出∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠DOB是解题的关键．19．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使∠COD=100°，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是（）A．50°B．80°C．80°或150°D．50°或110°【答案】D【解析】【分析】分射线OC、OD在直线AB的两侧两种情况作出图形，在同一侧时，根据平角等于180°列式计算即可得解，在两侧时，先求出∠AOD，再根据邻补角的定义列式计算即可得解．如图，射线OC、OD在直线AB的同一侧时，∵∠COD=100°，∴∠BOD=180°-100°-∠AOC=180°-100°-30°=50°，射线OC、OD在直线AB的两侧时，∵∠COD=100°，∴∠AOD=100°-∠AOC=100°-30°=70°，∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-70°=110°，综上所述，∠BOD的度数50°或110°．故选D．【点睛】本题考查了余角和补角，难点在于考虑射线OC、OD在直线AB的两侧两种情况，作出图形更形象直观．20．已知∠AOB和∠DEF，如果移动∠DEF使得顶点O与顶点E重合，边ED与边OA叠合，边EF在∠AOB内部，那么∠AOB和∠DEF大小关系是（）A．∠AOB＞∠DEF B．∠AOB＜∠DEF C．∠AOB＝∠DEFD．不能确定【答案】A【解析】依据叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．【详解】如图，由叠合法可得，∠AOB＞∠DEF，故选：A．【点睛】本题主要考查了角的大小的比较，将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置即可．二、填空题。

第四章几何图形初步角的复习学案人教版数学七年级上册

第四章几何图形初步角的复习学案人教版数学七年级上册

几何初步—角1、角的概念：知识点1．角的表示方法：①用三个大写字母表示：∠AOB（顶点在中间）②用一个大写字母表示：∠O（用顶点表示，该顶点处只有一个角）③用一个希腊字母表示：∠α（用小弧圈在图中表示）④用数字表示：∠1（用小弧圈在图中表示）知识点2．角度制我们常用量角器量角．把一个平角等分，每一份就是的角．记作1°角的度量：知识点3．角的和差．观察下列图形，图中共有几个角？图中各角之间有怎样的和差关系？①∠AOB+∠BOC= ；②∠AOC∠AOB= ；③∠AOC∠BOC=________．知识点4．角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的平分线．类似的还有角的三等分线、四等分线等等．2、余角与补角1．余角与补角的概念（1）如果两个角的和等于（），我们就说这两个角，简称互余．即其中一个角是另一个角的．（2）如果两个角的和等于度( ），就说这两个角，简称互补．即其中一个角是另一个角的．2．余角与补角的性质如果两个角相等，那么它们的余角也；如果两个角相等，那么它们的补角也．简称：等（同）角的余角；等（同）角的补角．3、角在生活中的运用用表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的表示方向，表示方向的角叫做．方位角通常用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示．“北偏东45度”、“北偏西45度＂、“南偏东45度”、“南偏西45度”，分别称为“东北方向”、“西北方向”，“东南方向”、“西南方向”．课前小测：1．计算18°13′×5= .2．计算：90°﹣53°17′＝．3．在钟表上，1点30分时，时针与分针所成的角是（）．A．150°B．165°C．135°D．120°4．如果一个角为30°，用10倍的放大镜观察，这个角应是（）．A．30°B．300°C．60°D．不能确定5．（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角．例1．如图，∠AOD＝84°，∠AOB＝18°，OB平分∠AOC，则∠COD的度数是（）A．48°B．42°C．36°D．33°1.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD等于（）．A．20° B．40° C．50°D．80°2．如图，∠AOB＝84°，∠BOC＝24°，OD平分∠AOC，则∠AOD＝________°．3．用三角板不能拼出的角度是（）．A．15°B．75°C．105°D．125°例2．如图，∠AOC=90°，OB⊥OD，则图中共有多少对互为余角请写出来．写出与∠BOC相等的角．1．如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（）．A．∠1=∠3B．∠1=180°∠3C．∠1=90°+∠3 D．以上都不对2．将一副三角板如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为度. 3．下列判断正确的是（）．A．一个角的余角大于这个角B．一个角的补角大于这个角C．一个角的余角不小于它的补角D．一个角的补角与它的余角的差等于90度4．一个角的余角比它的补角的13还少20°，求这个角的度数．5．已知：∠AOB=∠COD=90゜．（1）如图1，∠BOC=20°，则∠AOD= ；（指小于平角的角，下同）（2）如图2，∠BOC=60°，则∠AOD= ；（3）若∠BOC=100°，则∠AOD= ；（4）如图3，当∠AOB的位置固定不动，∠COD绕角顶点O任意旋转，设∠BOC=n°，则∠AOD的度数是多少（用含n的式子表示），说明你的理由．例3．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠COD的度数．1．如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD=3：7，（1）求∠DOE的度数；（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．2．如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如图1，若∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，求∠EOF的度数？（2）如图2，若∠AOB＝α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB＝13∠COB，∠COF＝23∠COA，且∠AOB＝α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）例4．如图，若∠1=30°，则OA表示的方向为A．南偏东30° B．东偏南30° C．南偏东60° D．北偏东30°1．已知点O在点A的南偏东30°方向，那么，点A应在点O的（）．A．南偏东30°方向B．北偏东30°方向C．北偏西30°方向D．北偏西60°方向2．如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正东方向．已知射线OB的方向是南偏东m°，射线OC的方向是北偏东n°，且m°的角与n°的角互余（1）①若m=60，则射线OC的方向是；②请直接写出图中所有与BOE互余的角及与BOE互补的角．（2）若射线OA是∠BON的角平分线，求∠AOC的度数（用含有m的式子表示）例5．请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题：（1）求∠2的大小；（2）∠1与∠3有何关系？（3）∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系？1．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在F处，折痕为BC．（1）∠FBC∠ABC（填“＞”、“=”、“＜”）；（2）如果BE是∠FBD的平分线，那么BE与BC有怎样的位置关系？为什么？（3）在（2）的条件下，将BE沿BF折叠使其落在∠FBC的内部，交CF于点M，若BM平分∠FBC，求∠FBE的度数．例6．（1）如图①，过平角AOB的顶点O画射线OC，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC 的平分线．射线OD与OE之间有什么特殊的位置关系？（2）如图②，∠AOB是直角，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线．∠DOE的度数是多少？为什么？（3）∠AOB是直角，OC是∠AOB外的一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线．∠DOE的度数是多少？为什么？1．已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，则∠AOC=___度．2．如图所示，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线．（1）求∠DOE的度数；（2）若只将射线OC的位置改变，其他条件不变，那么∠DOE的度数会改变吗？3．已知：如图，OB、OC分别为定角∠AOD内部的两条动射线（1）当OB、OC运动到如图1的位置时，∠AOC+∠BOD=100°，∠AOB+∠COD=40°，求∠AOD的度数；（2）在（1）的条件下（图2），射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，当∠COB绕着点O旋转时，下列结论：∠MON的度数是否发生变化．若不变，求出该值；例7．如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB 与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．1．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒.（1）当t=秒时，OM平分∠AOC？如图2，此时∠NOC﹣∠AOM=°；（2）继续旋转三角板MON，如图3，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系？并说明理由；（3）若在三角板MON开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止，（自行画图分析）①当t=秒时，OM平分∠AOC？②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．。

人教版七年级数学上册第四章角复习试题六(含答案) (10)

人教版七年级数学上册第四章角复习试题六(含答案) (10)

人教版七年级数学上册第四章角复习试题六（含答案)如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；（2）当t为何值时，∠COD=90°；（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）t=8min时，射线OC与OD重合；（2）当t=2min或t=14min时，射线OC⊥OD；（3）存在，详见解析.【解析】【分析】（1）当OC与OD重合时，根据角度关系可知∠AOC=∠AOB+∠BOD，利用题中射线的旋转速度，由角度=时间×旋转速度，列出方程，求解即可得到射线OC与OD重合时的时间t；（2）当∠COD=90°时，可分为两种情况，当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°；当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，列出对应的方程，求解即可；（3）分三种情况来考虑，当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD；当OC为角平分线时：∠AOC-120°=12∠BOD；当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，列方程求解即可.【详解】解：（1）由题意得，20t=5t+120°，解得t=8，即当t=8分钟时，射线OC与OD重合；（2）当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°，则可得5t+120°=20t+90°，解得t=2分钟；当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，则可得20t-90°-120°=5t，解得t=14分钟；故当t=2或14分钟时，∠COD=90°；（3）存在.当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD，则可得120°-20t=5t，解得t=4.8分钟；当OC为角平分线时：∠AOC-120°=12∠BOD，则可得20t-120°=12×5t，解得t=487分钟；当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，则可得20t -120°=2×5t，解得t=12分钟.故当t=4.8或487或12分钟时，射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线.【点睛】本题由角的边的旋转考查了角的和差运算，注意运动的不确定性所带来的多可能性.92．如图1是一副三角尺拼成的图案：（所涉及角度均小于或等于180度）（1）则∠EBC的度数为度；（2）将图1中的三角尺ABC绕点B旋转α度（0°＜α＜90°）能否使∠EBC=2∠ABD？若能，则求出α的值；若不能，说明理由．（图2、图3供参考）【答案】（1）150；（2）逆时针旋转α=50°或顺时针旋转α=70°【解析】试题分析：（1）∠EBC是由一个直角和一个60°的角组成的；（2）分不同方向旋转，求得α，等量关系为∠EBC=2∠ABD，应用α表示出这个等量关系．进而求解．试题解析：（1）∠EBC=∠ABC+∠EBD=60°+90°=150°．（2）①逆时针旋转：90+60-α=2αα=50②顺时针旋转：当0°＜α≤30°时，90+60+α=2α，α=150°，不符题意，舍去；当30°＜α＜90°时，360-90-60-α=2αα=70°所以综上所述，逆时针旋转α=50°或顺时针旋转α=70°93．如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD=14∠EOC，∠COD=15°，求：①∠EOC的大小；②∠AOD的大小【答案】①∠EOC=60°；②∠AOD=90°.【解析】【分析】∠根据∠COD=14∠EOC，可得∠EOC=4∠COD；∠根据角的和差，可得∠EOD的大小，根据角平分线的性质，可得答案．【详解】解：∠由∠COD=14∠EOC，得∠EOC=4∠COD=4×15°=60°；∠由角的和差，得∠EOD=∠EOC-∠COD=60°-15°=45°．由角平分线的性质，得∠AOD=2∠EOD=2×45°=90°．【点睛】本题考查角平分线的定义，数形结合正确计算是本题的解题关键．94．已知一个角的余角是这个角的补角的14，求这个角的度数．【答案】60°【解析】试题分析：设这个角的度数是x°，根据余角是这个角的补角的14，即可列出方程，求得x的值．设这个角为x°90-x=14（180-x）解得x=60即这个角为60°【点睛】本题考查了余角和补角的定义，正确列出方程，解方程是关键．95．已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOB 的度数为_______ .【答案】1200．【解析】试题分析：根据角平分线的性质得出∠AOD=12∠AOB,又因∠COB=2∠AOC，可得∠AOC =13∠AOB，所以∠COD=∠AOD-∠AOC=12∠AOB-13∠AOB=16∠AOB，即可得出答案．试题解析：∠∠COB=2∠AOC∠∠AOC =13∠AOB∠OD平分∠AOB∠∠AOD=12∠AOB∠∠COD=∠AOD-∠AOC=12∠AOB-13∠AOB=16∠AOB∠∠COD=200∠16∠AOB=200∠∠AOB=1200考点：角的和差倍分．96．按要求用尺规作图：（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论.）已知：直线AB及AB上一点P．求作：直线PQ⊥AB于点P．【答案】作图详见解析.【解析】试题分析：以点P为圆心，任意长为半径画圆，交直线AB于点C、D，再作线段CD的垂直平分线PQ即可．试题解析：如图，直线PQ即为所求．考点：作图——基本作图．97．已知△ABC中，△A=50°．（1）如图①，△ABC、△ACB的角平分线交于点O，则△BOC= °．（2）如图②，△ABC、△ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则△BO2C= °．（3）如图③，△ABC、△ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1（内部有n﹣1个点），求△BO n﹣1C（用n的代数式表示）．（4）如图③，已知△ABC、△ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n，若△BO n﹣1C=60°，求n的值．﹣1【答案】(1)、115°；(2)、；(3)、﹣×130°；(4)、n=13．【解析】试题分析：(1)、∠ABC中，已知∠A即可得到∠ABC与∠ACB的和，而BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，即可求得∠OBC与∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理即可求解；(2)、先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O2BC+∠O2CB，即可求出∠BO2C；(3)、先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠O n﹣1BC+∠O n﹣1CB，即可求出∠BO n﹣1C．(4)、依据(3)的结论即可求出n 的值．试题解析：(1)、∠∠ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线．∠∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，∠∠OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=115° (2)、∠点O2是∠ABC 与∠ACB的三等分线的交点，∠∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=（）°，∠∠BO2C=180°﹣（）°=（）°．(3)、∠点O n﹣1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，∠∠O n﹣1BC+∠O n﹣1CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°，∠∠BOn﹣1C=180°﹣×130°；(4)、∠∠BO n﹣1C=60°，∠180°﹣×130°=60°，解得n=13．考点：三角形内角和定理．98．如图，直线AB、CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1＝50°，求∠COB、∠BOF的度数．【答案】∠COB＝40°，∠BOF＝100°．【解析】因为OE∠CD，所以∠DOE＝90°．又因为∠1＝50°，所以∠AOD＝∠COB＝40°．因为OD平分∠AOF，所以∠AOF＝2∠AOD＝80°，所以∠BOF＝180°－∠AOF ＝100°．99．已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．【答案】60°【解析】试题分析：设这个角为x°，然后表示出它的补角和余角，根据它的补角是它的余角的4倍，列出方程，然后解方程即可．试题解析：设这个角为x°，这个角的补角是：180°-x°，这个角的余角是：90°-x°，由题可得：180-x=4(90-x)180-x=360-4x3x=180x=60答;这个角的度数60°．考点：1．互余2．互补3．一元一次方程的应用．100．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．（1）写出∠BOE的对顶角和邻补角．（2）若∠AOC：∠AOE=2：1，∠EOD=90°，则∠BOC为多少度？【答案】（1）∠BOE的对顶角为∠AOF，∠BOE的邻补角为∠AOE或∠BOF；（2）120°．【解析】试题分析：（1）利用对顶角、邻补角的定义直接回答即可；（2）利用互为邻补角的两个角的和等于180°求出∠COE=90°，由于∠AOC:∠AOE=2:1，得出∠AOE=13∠COE=30°，那么∠AOD=∠AOE+∠EOD=120°,然后根据对顶角相等求出∠BOC=∠AOD=120°.试题解析：（1）∠BOE的对顶角为∠AOF，∠BOE的邻补角为∠AOE或∠BOF；（2）∵∠EOD=90°，∴∠COE=180°﹣∠EOD=90°，∵∠AOC：∠AOE=2：1，∴∠AOE=13∠COE=30°，∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=30°+90°=120°，∴∠BOC=∠AOD=120°．考点：对顶角、邻补角.。

七年级数学上册人教版期末复习角的计算专题导学案及配套作业(解析版)

七年级数学上册人教版期末复习角的计算专题导学案及配套作业(解析版)

期末复习角的计算专题（解析版）第一部分 教学案类型一 方程思想1．（2012秋•高淳区期末）已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α．思路引领：根据互为补角的和等于180°，然后根据题意列出关于α、β的二元一次方程组，求解即可．解：根据题意得{α+β=180°①α−12β=30°②， ①﹣②得，32β＝150°，解得β＝100°，把β＝100°代入①得，α+100°＝80°，解得α＝80°．总结提升：本题考查了互为补角的和等于180°的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2021秋•潜江期末）如图，已知∠BOC ＝2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD ＝20°，求∠AOB 的度数．思路引领：此题可以设∠AOC ＝x ，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算．解：设∠AOC ＝x ，则∠BOC ＝2x ．∴∠AOB ＝3x ．又OD 平分∠AOB ，∴∠AOD ＝1.5x ．∴∠COD ＝∠AOD ﹣∠AOC ＝1.5x ﹣x ＝20°．∴x ＝40°∴∠AOB ＝120°．总结提升：本题考查了角平分线的定义及角的计算，设出适当的未知数，运用方程求出角的度数是解决此类问题的一般方法．3．如图，A 、O 、B 三点在一条直线上，∠AOC ＝2∠COD ，OE 平分∠BOD ，∠COE ＝77°，求∠COD的度数．思路引领：设∠COD＝x，则∠AOC＝2x，根据∠COE＝77°，表示出∠DOE的度数，然后根据∠AOB＝180°，列方程，求出x的值即可．解：设∠COD＝x，则∠AOC＝2x，∵∠COE＝77°，OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝77°﹣x，∴2x+x+2（77°﹣x）＝180°，解得：x＝26°．即∠COD＝26°．总结提升：本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．4．如图，已知∠AOB内有两条射线OC，OD，∠AOD＝2∠BOD，∠AOC=13∠COB，∠COD＝70°．求∠AOC的度数．思路引领：设∠BOD＝x°，则∠AOD＝2x°，∠AOC＝（2x﹣70）°，∠COB＝（x+70）°，根据∠AOC=13∠COB，即可列方程求得∠BOD的度数，进而求得∠AOC的度数．解：设∠BOD＝x°，则∠AOD＝2x°，∠AOC＝（2x﹣70）°，∠COB＝（x+70）°，∵∠AOC=13∠COB，∴2x﹣70=13（x+70），解得：x＝56，则∠AOC＝2×56°﹣70°＝42°．总结提升：本题考查了角度的计算，理解图中角度之间的关系，转化为方程问题是关键．5．（2019秋•东西湖区期末）如图，∠AOC与∠BOC互余，OD平分∠BOC，∠EOC＝4∠AOE．（1）若∠AOD＝70°，求∠AOE的度数；（2）若∠DOE＝63°，求∠EOC的度数．思路引领：（1）根据互余得到∠AOB ，再根据角平分线的定义表示出∠BOC ，可求∠AOC ，再根据∠EOC ＝4∠AOE ，且∠EOC +∠AOE ＝∠AOC 列方程求解即可；（2）设∠COD ＝∠BOD ＝x °，则∠EOC ＝63°﹣x °，∠AOE =63°−x°4，由∠AOE +∠EOC +∠COB ＝90°列方程求出x 的值，再求解即可．解：（1）∵∠AOC 与∠BOC 互余，∴∠AOC +∠BOC ＝90°，∴∠AOB ＝90°，又∵∠AOD ＝70°，∴∠BOD ＝20°，∵OD 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠BOD ＝40°，∴∠AOC ＝50°，又∵∠EOC ＝4∠AOE ，且∠EOC +∠AOE ＝∠AOC ，∴4∠AOE +∠AOE ＝50°，∴∠AOE ＝10°；（2）设∠COD ＝∠BOD ＝x °，则∠EOC ＝63°﹣x °，∠AOE =63°−x°4， 由∠AOE +∠EOC +∠COB ＝90°可得63°−x°4−63°﹣x °+2x °＝90°，解得x ＝15，∴∠EOC ＝63°﹣x °＝63°﹣15°＝48°．总结提升：本题考查了余角和补角，角平分线的定义，准确识图是解题的关键． 类型二 分类讨论思想6．已知∠AOB ＝70°，∠COB ＝40°，则∠AOC 的度数是 ．思路引领：分OC 在∠AOB 内和OC 在∠AOB 外两种情况考虑，依此画出图形，根据角与角之间结合∠AOB 、∠BOC 的度数，即可求出∠AOC 的度数．解：当OC 在∠AOB 内时，如图1所示．∵∠AOB ＝70°，∠BOC ＝40°，∴∠AOC ＝∠AOB ﹣∠BOC ＝30°；当OC在∠AOB外时，如图2所示．∵∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°．故答案为：30°或110°．总结提升：本题考查了角的计算，分OC在∠AOB内和OC在∠AOB外两种情况考虑是解题的关键．7．如图，∠AOB＝120°，∠AOC＝70°，过点O作射线OD，使∠BOD＝3∠BOC．求∠AOD的度数．思路引领：分两种情况，表示出∠AOD，即可求解．解：（1）∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，∴∠BOC＝120°﹣70°＝50°，∵∠BOD＝3∠BOC，∴∠BOD＝150°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°；（2）∵∠AOD＝360°﹣∠BOD﹣∠AOB，∴∠AOD＝360°﹣120°﹣150°＝90°．答：∠AOD的度数是30°或90°．总结提升：本题考查角的计算，关键是要分两种情况，准确表示出有关的角．类型三单角平分线8．（2022秋•萧山区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝50°，设∠BOE＝n．（1）若射线OE在∠BOC的内部（如图1），①若n＝43°，求∠COD的度数；②当∠AOD＝3∠COE时，求∠COD的度数．（2）若射线OE恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求n的值．思路引领：（1）①先求出∠BOC，再求出∠COE，即可求出得出∠COD的大小；②根据题意可知2∠COE+50°＝120°据此即可求出∠COE的大小，进而求出∠COD的大小；（2）OE平分∠BOC时，需要分类讨论，并根据角平分线的定义解答即可．解：（1）①∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，由n＝43°，可得∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝17°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣17°＝33°；②∵∠AOD＝3∠COE，∠AOD+∠COD＝120°，∠DOE＝50°，∴3∠COE+50°﹣∠COE＝120解得∠COE＝35°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣35°＝15°；（2）当OE平分∠BOC时，如图所示：∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∴∠BOE=12∠BOC=30°．即n＝30°；当OE平分∠AOC时，如图所示：∠BOE＝2∠BOC＝120°，即n＝120°；当OE平分∠BOD时，如图所示：∠BOE＝∠DOE＝50°，即n＝50°；当OE平分∠COD时，∠BOE＝∠EOC+∠BOC＝50°+60°＝110°，即n＝110°；OE平分∠AOD是不成立．所以n＝30°、50°、110°或120°．总结提升：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．9．（2021秋•未央区校级期末）如图，已知∠AOB＝150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝60°．若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=12∠BOD，求∠DOE的度数．思路引领：根据∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可．解：∵∠AOB＝150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=12∠AOB＝75°，∵∠BOC＝60°，∠COD=12∠BOD，∴∠BOD＝40°，∠COD＝20°，∴∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB＝75°﹣40°＝35°．总结提升：本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义，灵活应用角的和差关系是解题的关键．10．（1）如图1，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC 内，∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝70°，求∠COE的度数．（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．①请你数一数，图中有个小于平角的角；②求出∠BOD的度数；③请通过计算说明OE是否平分∠BOC．思路引领：（1）先设∠BOE＝x，根据∠BOE=12∠EOC，得出∠COE＝2x，再根据角平分线的定义，得出∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，最后根据∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，列出方程70°﹣x+70°+2x＝180°，求得x的值即可；（2）①根据图形即可得出小于平角的角；②根据∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，得出∠AOD＝25°，最后根据∠BOD＝180°﹣∠AOD进行计算即可；③先根据∠AOC＝50°，得出∠BOC＝180°﹣50°＝130°，再根据∠DOE＝90°，求得∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，进而得出∠BOE=12∠BOC，即可得出结论．解：（1）如图1，设∠BOE＝x，∵∠BOE=12∠EOC，∴∠COE＝2x，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，∵∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，∴70°﹣x+70°+2x＝180°，解得x＝40°，∴∠EOC＝80°；（2）①由图可得，图中有9个小于平角的角，故答案为：9；②如图2，∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∴∠AOD＝25°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣25°＝155°；③如图2，∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，∵∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，∴∠BOE=12∠BOC，∴OE平分∠BOC．总结提升：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．11．（2018秋•兴业县期末）如图，已知OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠BOE=1 3∠EOC，∠AOC＝170°．（1）若知∠AOB＝70°，求∠EOC的度数；（2）若知∠DOE＝70°，求∠EOC的度数．思路引领：（1）可以设∠BOE为x°，根据条件列方程解决，求出∠BOE，进而求出∠EOC的度数；（2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a，根据条件列方程解决，求出∠BOE．解：∵∠AOC＝170°，∠AOB＝70°，∴∠BOC＝100°，设∠BOE＝x，则∠ECO＝3x，∴∠BOC＝∠BOE+∠EOC＝x+3x＝100°，∴x＝25°，∴∠EOC＝75°；（2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a，∵∠DOE＝70°，OD平分∠AOB，∴∠AOD﹣∠BOD＝70°﹣a，∴∠AOC＝2∠AOD+∠BOE+∠EOC＝2（70°﹣a）+a+3a＝170°，∴a＝15°，∴∠EOC＝3a＝45°．总结提升：考查了根据角平分线的性质和已知条件列方程求解，难度适中，方程思想是解决问题的基本思考方法．类型四双角平分线12．（2019秋•岳阳楼区校级期末）如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON 分别平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数．（2）若去掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数．（3）若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系．思路引领：（1）先利用角平分线的性质得到∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，再利用∠MON＝∠COM+∠CON计算；（2）根据角平分线的性质解答即可；（3）先利用角平分线的性质得到∠CON=12∠AOC，∠COM=12∠BOC，再利用∠MON＝∠COM﹣∠CON计算，即可解答．解：（1）∵∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12×80°=40°，∠NOC=12∠BOC=12×40°=20°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；（2）如图1，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°；（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，所以∠MON＝∠COM﹣∠CON=12∠AOC−12∠BOC=12（∠AOC﹣∠BOC）=12∠AOB=12×120°＝60°，∠MON=12∠AOB．总结提升：此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．13．（2017秋•梁子湖区期末）如图，已知OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，求∠AOE的度数．思路引领：设∠EOD＝∠DOC＝x°，求出∠AOB＝∠COB＝100°﹣2x°，根据∠AOD ＝110°得出方程，求出x的值，即可求出答案．解：∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∴设∠EOD＝∠DOC＝x°，∠AOB＝∠COB，∵∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，∴∠AOB＝∠BOC＝100°﹣2x°，∴∠COD+∠COB+∠AOB＝110°，∴x+100﹣2x+100﹣2x＝110，解得x＝30，即∠EOD＝∠DOC＝30°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°+30°＝140°．总结提升：本题考查了角平分线性质和角的有关计算的应用，关键是能根据题意得出方程．14．（2020秋•和平区期末）如图：∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射线OM、ON，分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝84°，则∠AOB为（）A．28°B．30°C．32°D．38°思路引领：首先设出未知数，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出∠AOB的度数．解：设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，∵射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD，∴∠BOM=12∠AOB＝x°，∠CON=12∠COD＝2x°，又∵∠MON＝84°，∴x+3x+2x＝84，x＝14，∴∠AOB＝14°×2＝28°．故选：A．总结提升：本题主要考查了角平分线的定义和角的计算，解题时要能根据图形找出等量关系列出方程，求出角的度数．类型五整体思想15．如图，∠AOC与∠BOC互补，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，试说明∠COE与∠COF具有怎样的数量关系．思路引领：根据角平分线的性质，可得∠FOC=12∠AOC，∠COE=12∠COB，根据角的和差，可得答案．解：∠COF与∠COE互余，理由如下：由OF平分∠AOC，OE平分∠BOC，得∠FOC=12∠AOC，∠COE=12∠COB．由角的和差，得∠COF+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×180°＝90°，故∠COF与∠COE互余．总结提升：本题考查了余角和补角，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．16．（2019秋•天峨县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE＝90°，OM平分∠AOD，ON平分∠DOE．（1）若∠MOE＝27°，求∠AOC的度数；（2）当∠BOD＝x°（0＜x＜90）时，求∠MON的度数．思路引领：（1）根据余角性质得到∠MOE＝27°，∠AOM＝90°﹣27°＝63°，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD＝x°，求得∠AOD＝180°﹣x°，∠DOE ＝90°﹣x°，根据角平分线的定义即可得到结论．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∴∠MOE＝27°，∴∠AOM＝90°﹣27°＝63°，∵OM平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠AOM＝126°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝54°；（2）∵∠BOD＝x°，∴∠AOC＝∠BOD＝x°，∴∠AOD＝180°﹣x°，∵∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠DOE＝90°﹣x°，∵ON平分∠DOE，OM平分∠AOD，∴∠DOM=12∠AOD＝90°−12x°，∠DON=12∠DOE＝45°−12x°，∴∠MON＝∠DOM﹣∠DON＝45°．总结提升：此题主要考查了角平分线的性质以及垂线定义和邻补角的定义，正确表示出∠AOD的度数是解题关键．17．如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF、OE平分∠AOC，OF 平分∠DOB（1）若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数（3）从（1）、（2）的结果，你能看出什么规律吗？思路引领：（1）（2）通过角的和差关系角平分线的性质，得到∠EOF与已知角∠AOB、∠AOC的关系，代入求值；（3）根据（1）（2）的结论，得出规律．解：（1）∵∠EOF＝∠EOC+∠DOC+∠FOD=12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12∠AOB+12∠COD∵∠AOB＝160°，∠DOC＝40°∴∠EOF＝80°+20°＝100°．（2），∵∠EOF＝∠EOC+∠DOC+∠FOD=12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12∠AOB+12∠COD∵∠AOB＝α，∠COD＝β，∴∠EOF=12α+12β=12(α+β)．（3）若∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF，OE平分∠AOC，OF平分∠DOB，那么∠EOF=12(∠AOB+∠COD)．总结提升：本题考查了角平分线的性质及角的和差关系．通过和差关系角平分线的性质得到∠EOF=12(∠AOB+∠COD)是解决本题的关键．类型六射线的转动19．（2021秋•盱眙县期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC=12∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB的度数为，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为；（用含n的代数式表示）（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？思路引领：（1）根据“友好线”定义即可作出判断；（2）根据“友好线”定义即可求解；（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可．解：（1）∵OB 是∠BOC 的平分线， ∴∠BOD ＝∠COD ， ∵∠COA =12∠BOC ， ∴∠BOD =12∠AOD ，∴射线OD 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”． 故答案为：是．（2）∵射线OM 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”，∠AOB 的度数为n ， ∴∠BOM =13∠AOB =13n ， ∵ON 平分∠AOB ， ∴∠BON =12∠AOB =12n ，∴∠MON ＝∠BON ﹣∠BOM =12n −13n =16n ． 故答案为：16n ．（3）设运动时间为x （x ≤36）秒时，射线OA 、OB 、OC 中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．当射线OB 是射线OA 在∠AOC 内的一条“友好线”时，则∠AOB =12∠COB ， 所以3x =12（180﹣5x ﹣3x ）， 解得x =907（符合题意）， 即运动时间为907秒时，射线OB 是射线OA 的“友好线”．当射线OB 是射线OC 在∠AOC 内的一条“友好线”时，则∠COB =12∠AOB ， 所以180﹣5x ﹣3x =12×3x ， 解得x =36019（符合题意）， 即运动时间为36019秒时，射线OB 是射线OC 的“友好线”．当射线OC 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”时，则∠COB =12∠AOC ， 所以3x +5x ﹣180=12（180﹣5x ）， 解得x =1807（符合题意）， 即运动时间为1807秒时，射线OC 是射线OB 的“友好线”．当射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”时，则∠AOC =12∠COB ，所以180﹣5x =12（5x +3x ﹣180）， 解得x ＝30（符合题意），即运动时间为30秒时，射线OC 是射线OA 的“友好线”． 综上所述，当运动时间为907或36019或1807或30秒时，符合题意要求．总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．20．已知，OC 是∠AOB 内部的一条射线，且∠AOC =13∠AOB ．（1）如图1所示，若∠AOB ＝120°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数；（2）如图2所示，∠AOB ＝x °，射线OP 、射线OQ 分别从OC 、OB 出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O 顺时针旋转，OP 和OQ 分别只在∠AOC 和∠BOC 内部旋转；①当运动t 秒时，请分别写出∠AOP 和∠COQ 的度数（用x 、t 表示）；∠AOP 和∠COQ 的数量关系如何？②若∠AOB ＝150°，当t 为何值时，OP ⊥OQ ？（3）如图3所示，∠AOB 是直角，从O 点出发引射线OD ，且∠AOD ﹣∠BOD ＝∠COD ，请直接写出∠COD 与∠AOB 的度数之比．思路引领：（1）先根据已知得：∠AOC ＝40°，再由角平分线的定义和角的和差可得结论；（2）①直接根据速度和时间表示：∠COP ＝t ×1＝t °，∠BOQ ＝t ×2＝2t °，最后由角的和与差表示结论，从而由结论可得∠AOP 和∠COQ 的数量关系；②由图可知：当∠COQ +∠COP ＝90°时，OP ⊥OQ ，根据∠COQ +∠COP ＝90°列等式可得结论；（3）先计算∠AOC 的度数，由已知等式可得：∠AOC ＝∠BOD ，所以得∠COD ＝30°，可得最后的比的关系．解：（1）如图1，∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOM =12∠AOB =12×120°＝60°，∵∠AOC =13∠AOB =13×120°＝40°， ∵ON 平分∠AOC ，∴∠AON =12∠AOC ＝20°，∴∠MON ＝∠AOM ﹣∠AON ＝60°﹣20°＝40°；（2）①∵∠AOC =13∠AOB =13x°， 由题意得：∠COP ＝t ×1＝t °， ∠BOQ ＝t ×2＝2t °，∴∠AOP ＝∠AOC ﹣∠COP ＝（13x −t ）°，∠COQ ＝∠BOC ﹣∠BOQ ＝（23x −2t ）°，∴∠COQ ＝2∠AOP ，②当∠COQ +∠COP ＝90°时，OP ⊥OQ ， 即（23x ﹣2t ）+t ＝90，把x ＝150代入得：23×150﹣2t +t ＝90，t ＝10，∴当t ＝10秒时，OP ⊥OQ ；（3）如图3，∵∠AOB ＝90°，∠AOC =13∠AOB ， ∴∠AOC ＝30°，∵∠AOD ﹣∠BOD ＝∠COD ， ∴∠AOC +∠COD ﹣∠BOD ＝∠COD ， ∴∠AOC ＝∠BOD ＝30°，∴∠COD ＝90°﹣30°﹣30°＝30°， ∴∠COD ：∠AOB ＝30°：90°＝1：3．总结提升：本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义、垂直的定义以及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想． 一．选择题1．（2019秋•青山区期末）如图，∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，OM ，ON 分别平分∠AOB ，∠COB ，OH 平分∠AOC ，下列结论：①∠MON ＝∠HOC ；②2∠MOH ＝∠AOH ﹣∠BOH ；③2∠MON ＝∠AOC +∠BOH ；④2∠NOH ＝∠COH +∠BOH ．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路引领：本题考查了角度的计算问题，根据角平分线和角的和差进行计算便可得出结论．解：①∵OM ，ON 分别平分∠AOB ，∠COB ， ∴∠BOM =12∠AOB ，∠BON =12∠BOC ，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON =12（∠AOB +∠BOC ）=12(α+β)， ∵OH 平分∠AOC ，∴∠HOC =12∠AOC =12（∠AOB +∠BOC ）=12(α+β)， ∴∠MON ＝∠HOC ， 故①正确；②∵2∠MOH ＝2（∠AOH ﹣∠AOM ）＝2（12∠AOC −12∠AOB ）＝∠AOC ﹣∠AOB ＝α+β﹣α＝β，∠AOH ﹣∠BOH =12∠AOC ﹣（∠COH ﹣∠BOC ）=12∠AOC −12∠AOC +∠BOC ＝∠BOC ＝β，∴2∠MOH ＝∠AOH ﹣∠BOH ， 故②正确；③∵2∠MON ＝2（∠BOM +∠BON ）＝2×12（∠AOB +∠BOC ）＝α+β，∠AOC +∠BOH ＝（∠AOB +∠AOC ）+（∠COH ﹣∠BOC ）＝α+β+12α+12β−β=32α+12β， ∴2∠MON ≠∠AOC +∠BOH ， 故③错误；④∵2∠NOH ＝2（∠COH ﹣∠CON ）＝2（12α+12β−12β）＝α，∠COH +∠BOH ＝∠COH +∠COH ﹣∠BOC ＝2∠COH ﹣∠BOC =2×(12α+12β)−β=α，∴2∠NOH ＝∠COH +∠BOH ， 故④正确；∴正确的答案有3个．故选：C ．总结提升：本题始终运用角的和差与角的平分线进行角度的切换是解决本题的一个技巧，本题关系复杂，计算时要细心，不能弄错角与角的关系． 二．填空题2．（2021秋•江岸区期末）如图，射线OB 、OC 为锐角∠AOD 的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD 的度数为 ．思路引领：设∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD 的度数为x ，由∠AOB +∠BOC +∠COD +∠AOC +∠AOD +∠BOD ＝200°求出x ，进而求解． 解：∵OB 、OC 为锐角∠AOD 的三等分线， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD 的度数为x ，∴∠AOB +∠BOC +∠COD +∠AOC +∠AOD +∠BOD ＝x +x +x +2x +3x +2x ＝10x ＝200°， ∴x ＝20°，∴∠AOD ＝∠AOB +∠BOC +∠COD ＝3x ＝60°， 故答案为：60°．总结提升：本题考查角的计算，解题关键是根据图象列出所有锐角和为200°． 三．解答题（共16小题）3．（2010秋•南长区期末）一个角的补角比这个角的三倍多10度，求这个角的余角． 思路引领：利用题中“一个角的补角＝这个角的三倍+10度”作为相等关系列方程求解即可．解：设这个角为x 度，根据题意得： 180°﹣x ＝3x +10°， x ＝42.5°，所以这个角的余角为90°﹣42.5°＝47.5°．总结提升：主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的找出角之间的数量关系，从而计算出结果．4．（2019秋•宜州区期末）已知一个角的余角比这个角的补角的12小12°，如果设这个角为x 度，请求出这个角的余角和补角的度数．思路引领：互补即两角的和为180°，互余的两角和为90°，设这个角为∠A，则这个角余角为90°﹣∠A，这个角的补角为180°﹣∠A，然后列方程求解即可．解：根据题意得：90﹣x=12（180﹣x）﹣12，解得：x＝24，90﹣x＝90﹣24＝66°，180﹣x＝180﹣24＝156°，答：这个角的余角为66°，补角为156°．总结提升：本题主要考查的是余角和补角的定义，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．5．（2021春•奎文区期中）下面是小明参加七年级数学期中考试解的一道题．题目：在同一平面内，若∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画出图形．因为∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°，所以∠AOC＝50°．若你是老师，你会给小明判满分吗？若会，请说明理由；若不会，请你指出小明的错误，并给出正确的解答．思路引领：分OC在∠AOB的外部和OC在∠AOB的内部两种情况，画出图形，用角的和差即可得答案．解：不会给小明判满分，小明解答不全面，还有另一种情况，正确解答如下：当OC在∠AOB的外部时，如图1，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+20°＝90°；当OC在∠AOB的内部时，如图2，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°，综上所述，∠AOC的度数为90°或50°．总结提升：本题考查了角的计算、分类讨论等知识；根据题意得出OC在∠AOB的外部和OC在∠AOB的内部两种情况是解题的关键．6．（2020秋•苏州期末）补全下面的解题过程：如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC＝2∠BOC，且∠BOC＝40°，求∠COD的度数．解：∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝80°．∴∠AOB＝∠AOC+∠＝120°．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=12∠＝60°．∴∠COD＝∠﹣∠AOD＝20°．思路引领：根据题目的已知条件先求出∠AOC，进而求出∠AOB，再根据角平分线的定义求出∠AOD即可解答．解：∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝80°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=12∠AOB＝60°，∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝20°，故答案为：80，BOC，120，AOB，60，AOC．总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键．7．（2021秋•石景山区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OP平分∠AOB．反向延长射线OA至C．（1）依题意画出图形，直接写出∠BOC的度数是°．（2）完成下列证明过程：证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=12∠．（角平分线的定义）∵∠AOB＝120°，∴∠AOP＝°．∵∠BOC＝°．∴∠AOP＝∠BOC．（）思路引领：（1）补全图形，利用平角的定义即可求得∠BOC＝60°；（2）由角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOB＝60°，从而可求得∠AOP＝∠BOC．（1）解：如图，∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝60°，故答案为：60；（2）证明：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=12∠AOB（角平分线的定义）．∵∠AOB＝120°，∴∠AOP＝60°．∵∠BOC＝60°．∴∠AOP＝∠BOC（等量代换）．故答案为：AOB；角平分线的定义；60；60；等量代换．总结提升：本题主要考查角的计算，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．8．（2022秋•长丰县期末）如图，已知∠AOD＝90°，∠BOE＝90°，OC平分∠BOD，∠COD＝30°，求∠AOE的度数．思路引领：根据角平分线的定义可得∠BOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，再根据角的和差关系可得∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝30°，进而得出∠AOE的度数．解：∵OC平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，∵∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝30°，∵∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝120°．总结提升：此题综合考查角平分线及角的和差关系，注意数形结合，便于解决问题．9．（2018秋•开州区期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝38°，求∠COD的度数．思路引领：由角平分线的定义，角的和差计算得∠COD的度数为19°．解：如图所示：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOC＝38°，∴∠BOC＝2×38°＝76°∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC∴∠AOB＝76°+38°＝114°∵OD平分∠AOB∴∠AOD=12∠AOB=12×114°＝57°，又∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∴∠COD＝57°﹣38°＝19°．总结提升：本题综合考查了角平分线的定义，角的和差等相关知识点，重点掌握角的计算．10．（2021秋•滨江区期末）如图，OC⊥AB于点O，∠COD=14∠BOD，OE平分∠BOD．（1）求∠COE和∠AOE的度数．（2）过点O作射线OF，若OF⊥OE，求∠BOF的度数．思路引领：（1）由垂线的定义结合∠COD=14∠BOD可求解∩BOD＝120°，再根据角平分线的定义可求解∠BOE的度数，进而可求解∠COE，∠AOE的度数；（2）可分两种情况：当OF在直线AB上方时，当OF在直线AB下方时，分解计算可求解．解：（1）∵OC⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝90°，∵∠COD=14∠BOD，∴∠COD=13∠BOC＝30°，∴∠BOD＝120°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°；（2）如图，当OF在直线AB上方时，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∵∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝60°+90°＝150°；当OF在直线AB下方时，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∵∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，故∠BOF的度数为150°或30°．总结提升：本题主要考查垂线，角平分线的定义，角的计算，分类讨论是解题的关键．11．将分别含有30°和45°的三角板如图放置，且30°和45°角的顶点重合在一起，OM 平分∠AOC，ON平分∠DOC．（1）画出几何图形，并求出∠MON的大小；（2）若将30°角的三角板换成一个任意角的纸三角板，其他条件不变，则（1）中的结论是否变化？说明理由．思路引领：由图可得角之间的关系：∠COM=12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B），∠CON=12∠COD=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD），∠MON=12∠COD−12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B），由此解答即可．解：（1）根据题意可作图如下：根据图中所示：∠COM=12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B）；∠CON=12∠COD=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）；∠MON=12∠COD−12∠AOC，=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B），=12（30°+∠A0B+45°）−12（30°+∠A0B），=12×75°−12×30°，＝22.5°；故答案为：∠MON＝22.5°．（2）将30°角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论不变化．证明：由（1）可知∠MON=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B）=12∠AOD=12×45°＝22.5°，故：将30°角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论不变化．总结提升：本题考查了角的计算，此题很复杂，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，对同学们的作图、分析、计算能力有较高要求．在计算分析的过程中注意动手操作，在计算中消去共同的未知量．12．（2019秋•高新区期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）图中有个小于平角的角；（2）求出∠BOD的度数；（3）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．思路引领：（1）按起始边分别是：OA，OD，OC，OE终边向右旋转得到角的顺序，即可写出所有小于平角的角；（2）根据OD是∠AOC的度数，即可求得∠AOD的度数，利用∠AOD与∠BOD是临补角，即可求解；（3）分别求得∠COE与∠EOB的度数，即可判断．解：（1）小于平角的角有：∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB共有9个．故答案是：9；（2）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD=12∠AOC=12×48°＝24°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣24°＝156°；（3）∵∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝90°﹣24°＝66°，∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣24°﹣90°＝66°，∴∠COE＝∠BOE，∴OE平分∠BOC．总结提升：本题考查了角平分线的定义，以及互补、互余的计算，正确确定（1）中数角的个数的顺序是难点．13．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝60°，∠BOC＝20°，求∠AOD 的度数．思路引领：根据角平分线的定义得到∠MOB=12∠AOB，∠NOC=12∠COD，由于∠NOC+∠BOC+∠MOB＝∠MON，则∠NOC+∠MOB＝40°，然后利用∠AOD＝∠COD+∠BOC+∠MOB进行计算．解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠MOB=12∠AOB，∠NOC=12∠COD，∵∠NOC+∠BOC+∠MOB＝∠MON，即∠NOC+20°+∠MOB＝60°，∴∠NOC+∠MOB＝40°，∴∠AOD＝∠COD+∠BOC+∠MOB＝2（∠NOC+∠MOB）+∠BOC＝2×40°+20°＝100°．总结提升：本题考查了角度的计算：学会计算角的和、差、倍、分．也考查了角平分线的定义．14．（2017秋•荔湾区期末）已知，∠AOD＝160°，OB、OM、ON是∠AOD内的射线（1）如图1，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，则∠MON ＝ 80 °（2）如图2，OC 是∠AOD 内的射线，若∠BOC ＝20°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，当射线OB 在∠AOC 内时，求∠MON 的大小；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠AOB ＝2t °时，∠AOM ：∠DON ＝2：3，求t 的值． 思路引领：（1）根据角平分线的定义求出∠BOM 和∠BON ，然后根据∠MON ＝∠BOM +∠BON 代入数据进行计算即可得解；（2）设∠AOB ＝x ，表示出∠BOD ＝160°﹣x ，根据角平分线的定义表示出∠COM 和∠BON ，然后根据∠MON ＝∠COM +∠BON ﹣∠BOC 列式计算即可得解；（3）由∠AOB ＝2t °，∠BOC ＝20°，则∠AOM =12∠AOC ＝t °+10°，∠DON =12∠BOD ＝80°﹣t °，列式计算即可．解：（1）∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，∴∠BOM =12∠AOB ，∠BON =12∠BOD ，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON =12（∠AOB +∠BOD ），∵∠AOD ＝∠AOB +∠BOD ＝160°，∴∠MON =12×160°＝80°；故答案为：80；（2）设∠AOB ＝x ，则∠BOD ＝160°﹣x ，∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，∴∠COM =12∠AOC =12（x +20°），∠BON =12∠BOD =12（160°﹣x ），∴∠MON ＝∠COM +∠BON ﹣∠BOC =12（x +20°）+12（160°﹣x ）﹣20°＝70°；（3）由∠AOB ＝2t °，∠BOC ＝20°，则∠AOC ＝2t °+20°，∠BOD ＝160°﹣2t °， ∴∠AOM =12∠AOC ＝t °+10°，∠DON =12∠BOD ＝80°﹣t °，∵∠AOM ：∠DON ＝2：3，∴t+1080−t =23， 解得：t ＝26．总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．15．（2017秋•兴隆台区期末）如图，OC、OD为∠AOB内部的两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）若∠AOB＝90°，∠MON＝70°，求∠COD的度数；（2）若∠AOB＝α，∠M0N＝β，求∠COD的度数（用含有α、β的式子表示）．思路引领：由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD可知∠AOC＝2∠AOM，∠BOD＝2∠BON．（1）将∠AOB＝90°，∠MON＝70°代入可得∠AOM+∠BON＝20°，那么∠AOC+∠BOD＝40°，∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝50°；（2）将∠AOB＝α，∠MON＝β代入可得∠AOM+∠BON＝α﹣β，那么∠AOC+∠BOD＝2（α﹣β），∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝2β﹣α．解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC＝2∠AOM，∠BOD＝2∠BON．（1）∵∠AOB＝90°，∠MON＝70°，∴∠AOM+∠BON＝∠AOB﹣∠MON＝20°，∴∠AOC+∠BOD＝2∠AOM+2∠＝2（∠AOM+∠BON）＝40°，∴∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝90°﹣40°＝50°；（2）∵∠AOB＝α，∠MON＝β，∴∠AOM+∠BON＝∠AOB﹣∠MON＝α﹣β，∴∠AOC+∠BOD＝2∠AOM+2∠BON＝2（∠AOM+∠BON）＝2（α﹣β）＝2α﹣2β，∴∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝α﹣（2α﹣2β）＝2β﹣α．总结提升：本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想．16．（2020秋•徐州期末）如图，AB与OC交于点O，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝60°，求∠AOE的度数；（2）∠COD与∠EOC存在怎样的数量关系？请说明理由．思路引领：（1）先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义解答；（2）根据角平分线的定义表示出∠COD与∠EOC，然后整理即可得解．解：（1）∵∠BOC＝60°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠AOC=12×120°＝60°；（2）∠COD+∠EOC＝90°．理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COD=12∠BOC，∠EOC=12∠AOC，∴∠COD+∠EOC=12（∠BOC+∠AOC）=12×180°＝90°．总结提升：本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．17．射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图（1），∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC=12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD=12∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．（1）如图（2），∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是α6；（用含α的代数式表示）（2）如图（3），若∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针转动，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针转动，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②当t的值为多少时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？思路引领：（1）根据伴随线定义即可求解；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．解：（1）如图（2），∠AOB ＝120°，射线OM 是射线OA 的伴随线，则∠AOM ＝40°，若∠AOB 的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是∠AOB 的平分线，则∠NOC 的度数是α6． 故答案为：40，α6； （2）射线OD 与OA 重合时，t =1805=36，①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则180﹣5t ﹣3t ＝20，∴t ＝20；若在相遇之后，则5t +3t ﹣180＝20，∴t ＝25；所以，综上所述，当t ＝20或25时，∠COD 的度数是20°．②相遇之前：（i ）如图1，OC 是OA 的伴随线时，则∠AOC =12∠COD ，即 3t =12（180﹣5t ﹣3t ），∴t =907；（ii ）如图2，。

人教版七年级数学上册第四章角复习题二(含答案) (1)

人教版七年级数学上册第四章角复习题二(含答案) (1)

人教版七年级数学上册第四章角复习题二（含答案)一、单选题1．如图：A ．、O 、B 在一条直线上,且∠AOC=∠EOD=90︒,则图中互余的角共有( )对.A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】 根据互余的定义“若两角之和为90︒，则称这两个角互为余角，简称互余”判断即可.【详解】如图，90AOC EOD ∠=∠=︒18090BOC AOC ∴∠=︒-∠=︒129023903490AOC EOD BOC ∠+∠=∠=︒⎧⎪∴∠+∠=∠=︒⎨⎪∠+∠=∠=︒⎩1324∠=∠⎧∴⎨∠=∠⎩1490∴∠+∠=︒综上，互余的角共有4对故答案为：C.【点睛】本题考查了角互余的定义，熟记定义是解题关键.2．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝α，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC＝（）A．540°﹣5αB．540°﹣6αC．30°D．40°【答案】B【解析】【分析】首先设∠DOF＝2x，∠AOD＝3x，然后表示∠FOE和∠BOE，再根据平角定义列方程，然后可得答案．【详解】设∠DOF＝2x，∠AOD＝3x，∵∠DOE＝α，∴∠FOE＝α﹣2x，∵射线OE平分∠BOF，∴∠BOE＝∠EOF＝α﹣2x，则：3x+α+α﹣2x＝180°，解得：x＝180°﹣2α，∴∠AOD＝3×（180°﹣2α）＝540°﹣6α，∴∠BOC＝540°﹣6α，故选：B．【点睛】此题主要考查了邻补角和对顶角，关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题．3．将一副三角板按不同位置放置，其中1∠与2∠互补的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据三角板的角度和补角的定义进行判断.【详解】A.根据三角板的角度可得∠1=90°+45°=135°，∠2=30°+45°=75°，∠1+∠2=210°，所以∠1和∠2不互补，A 选项不符合题意；B.由图可知∠1=∠2且大于90°，所以∠1+∠2＞180°，所以∠1和∠2不互补，B 选项不符合题意；C.如图，易得∠1=180°-∠3-60°=120°-∠3，∠2=∠4+45°，∴∠1+∠2=165°+∠4-∠3又∵∠3+∠5=90°=∠4+∠5∴∠3=∠4∴∠1+∠2=165°∴∠1和∠2不互补，C 选项不符合题意；D.∠1=180°-45°=135°，∠2=45°，∠1+∠2=180°，∴∠1和∠2互补，D 选项符合题意；故选D.【点睛】本题考查补角的定义，根据三角板的特殊角度及摆放位置得出∠1和∠2的角度关系是解题的关键.4．如果A ∠的余角等于25度，则A ∠=（ ）A ．65B ．75C ．155D ．205【答案】A【解析】【分析】 根据互余两角的和等于90°求出一个角的余角的度数．【详解】A ∠=90°−25°＝65°．故选：A ．【点睛】本题考查了余角的定义：互余两角的和等于90°．5．如图，30α∠=︒，则射线OP 表示( ).A ．北偏东30B ．北偏西30C ．北偏东60︒D ．北偏西60︒【答案】C【解析】【分析】 直接求得OP 与正北方向的夹角即可判断．【详解】解：如图所示：190903060α∠=︒-∠=︒-︒=︒，则射线OP 表示的方向是：北偏东60︒．故选：C ．【点睛】本题考查了方向角的定义，正确理解定义是解决本题的关键．6．一艘轮船行驶到小岛A 处，同时测得灯塔B 、C 分别在它的北偏东30°和东南方向，则∠BAC=（ ）A ．75°B ．95°C ．115°D ．105°【答案】D【解析】【分析】先根据方向角的定义画出图形，再利用数形结合即可解答．【详解】解：如图所示：∵点B在A的北偏东30°，点C在A的东南方向，∴∠1=30°，∠3=45°，∠=︒-︒=︒，∴2903060∴∠BAC=∠2+∠3=60°+45°=105°；故选择：D.【点睛】本题考查的是方向角的概念，根据方向角的表示方法画出图形，利用数形结合进行求解是解答此题的关键．7．小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1m）若小艇C在游船的正南方2km 处，则下列关于小艇A，B的位置描述，正确的是（）．A．小艇A在游船的北偏东60︒，且距游船3km B．游船在小艇A的北偏东60︒，且距游船3kmC．小艇B在游船的北偏西30，且距游船2km D．小艇B在游船的北偏西60︒，且距游船2km【答案】D【解析】【分析】利用方向角的表示方法对各选项进行判断．【详解】小艇A在游船的北偏东30，且距游船3km；游船在小艇A的南偏西30，且距游船3km；小艇B在游船的北偏西60︒，且距游船2km；小艇B在游船的北偏西60︒，且距游船2km．故选：D．【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解方向角的表示方法是解题关键．8．如果一个角的余角是30°，那么这个角的补角的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】D【解析】【分析】先根据余角的定义求出该角，然后在根据补角定义即可解答．【详解】解：由题意，得：原来这个角为90°-30°=60°又由补角的定义可得：80°-60°=120°则这个角的补角的度数是120°【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义，理解基本概念是解答本题的关键．9．如图，由A点测量B点方向，得到（）A．B点在A点北偏西30°的方向上B．B点在A点南偏东30°的方向上C．B点在A点南偏东60°的方向上D．B点在A点北偏西60°的方向上【答案】C【解析】【分析】根据方向角的大小不变，方向正好相反，可得答案．【详解】解：∵A在B店的北偏西60°，∴B点在A点南偏东60°的方向上，故选：C．【点睛】本题考查了方向角，利用方向角的大小不变，方向正好相反是解题关键．10．如图，∠AOC为直角，OC是∠BOD的平分线，且∠AOB＝38°，则∠AOD的度数是（）A．52°B．90°C．104°D．142°【答案】D【解析】【分析】根据互余的概念求出∠BOC的度数，根据角平分线的定义求出∠COD的度数即可得到答案．【详解】解：∵∠AOC为直角，∠AOB＝38°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣38°＝52°，又OC平分∠BOD，∴∠COD＝∠BOC＝52°，∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°＋52°＝142°．故选：D．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，正确运用几何语言表示角平分线的定义是解题的关键．。

人教版七年级数学上册《角的比较与运用习题训练》教学设计

人教版七年级数学上册《角的比较与运用习题训练》教学设计

角的比较与运用习题训练教学设计一、教材分析本节课是人教版七年级(上册)第四章第三节的内容。

在此之前，学生已经学习了直线、线段、射线的概念及相关性质及角的基本概念、角的度量等知识。

为本节课的教学做了知识和思维上的准备，同时本节课的内容也是学生进一步学习平面几何图形的基础。

二、学情分析七年级学生还以形象思维能力为主教学中充分利用学生已有的认知基础，以独立思考与合作交流相结合的方式，培养“观察、比较、探索、发现”的能力，将图形语言，文字语言，符号语言，结合起来使学生抽象思维能力得到发展。

三、学习目标1. 理解角的大小、和差、角平分线的意义及数量关系．2. 熟练解决有关角的计算问题,感受学习过程中的数学思想．四、教学重难点分析重点：角的大小比较和差关系，角平分线的概念的运用。

难点：计算方法的灵活选择，数学思想方法的培养。

五、教学过程（一）复习回顾：1、角的比较方法有两种：叠合法和度量法2、角的和、差：∠AOB ＝ ________＋ _______∠BOC ＝ ________－ _______（2） (3)3 、角的平分线 ．一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。

符号语言:如图 OB 平分∠AOC ，等——∠AOB ＝∠BOC ；倍——∠AOC ＝2∠AOB ＝2∠BOC ；分——∠AOB ＝∠BOC ＝12∠AOC .（二）知识点训练基础训练1．在∠AOB 的内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存在( )A ．∠AOB>∠AOCB ．∠BOC>∠AOCC ．∠AOC ＝∠BOCD ．AOC<∠BOC2．借助一副三角尺，你能画出下列哪个度数的角( )A ．65°B ．75°C ．85°D ．95°3 将一个长方形按照图中的方法折叠一角，折痕是EF，如果∠AFE＝40°，则∠DFA′＝____．（3）（4）4．如图，直线AMB，∠AMC＝52°48′，∠BMD＝74°30′，则∠CMD＝．5．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC 是∠AOB的平分线的是( )A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOC＋∠BOC＝∠AOBC．∠AOB＝2∠AOCD．∠BOC＝ 1/2 ∠AOB设计意图：1-5小题角的和差及角平分线的定义的运用与理解，巩固基础知识。

人教版数学七年上册 4.3角的复习课件(共31张PPT)


=720+(36÷60)0
(4)
=720+0.60
(5)
=72.60
(6)
(2)37014/24//=370+14/+24// =370+14/+(24÷60)/ =370+14/+0.4/ =370+14.4/ =370+(14.4÷60)0 =370+0.240=37.240
比题型一二比：角看度谁的反加应、快减: 、乘、除法运算
1.计算: (1)48°35′+17°45′ =66°20′ (2)15°20′×5 =76°40′ (3)48°18′－17°45′ =30°33′
(4)21031/27//×3 (5) 63021/39//÷3
(6)10606/25//÷5
▪ 解（4）原式=(21×3)0(31×3)/(27×3)//
▪
=63093/81//
▪
=63094/21//
▪
=64034/21//
(5) 63021/39//÷3 解:原式=(63÷3)0(21÷3)/(39÷3)//
=2107/13//
练习题组
（1）23°31′25″＋42°37′56″；
（2）42°31′56″－23°37′25″；
（3）23°31′25″×3；
小结与归纳
1 度、分、秒都是60进制，逢60进1； 2 加减法要将度与度、分与分、秒与秒分别加减， 3 分秒相加逢60要进位，相减时要借1当作60； 4 （借1°作60′；借1′作60″）
3 乘法运算度分秒同时分别乘；
4 除法先从度开始除，除不尽转化为分，再 5 除不尽转化为秒，直到精确到要求的位数为止；

人教版七年级数学上册第四章角复习题二(含答案) (26)

人教版七年级数学上册第四章角复习题二（含答案) 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOD ∠，76AOC ∠=︒，OF OD ⊥．求EOF ∠的度数．【答案】52︒．【解析】【分析】根据对顶角的性质可得∠BOD=∠AOC=76°，然后根据角平分线的定义即可求出∠EOD ，再根据垂直的定义和互余的定义即可求出EOF ∠．【详解】解：∠∠AOC 与∠BOD 是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=76°∠OE 平分∠BOD ，∴∠EOD=∠BOD=12×76°=38° ∠OF ∠OD ，∴∠DOF=90°∠∠FOE+∠EOD=90°∠∠FOE=90°-∠EOD=90°-38°=52°．【点睛】此题考查的是角的和与差，掌握对顶角的性质、垂直的定义和角平分线的定义是解决此题的关键．52．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=38°，求∠COD的度数．【答案】19°【解析】【分析】根据题意，两角和和角平分线定义很容易求解.【详解】解：∠∠BOC=2∠AOC，∠AOC=38°∠∠BOC=2×38°=76°∠∠AOB=∠BOC+∠AOC=76°+38°=114°∠OD平分∠AOB∠∠AOD=12∠AOB=12×114°=57°∠∠COD=∠AOD﹣∠AOC=57°-38°=19°．【点睛】本题考查了两角和的计算，及角平分线的定义，认准角之间的关系是解题关键.53．如图，已知∠AOB＝150º，∠AOC＝40º，OE是∠AOB内部的一条射线，OF平分∠AOE，且OF在OC的右侧．(1)若∠EOB＝10º，求∠COF的度数；(2)若∠COF＝20º，求∠EOB的度数；(3)若∠COF＝nº，求∠EOB的度数(用含n的式子表示)．【答案】（1）∠COF＝30°；（2）∠EOB＝30°；（3）∠EOB＝70°－2n°【解析】【分析】（1）先求出∠AOE，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠COF=∠AOF-∠AOC代入数据计算即可得解；（2）先求出∠AOF，再根据角平分线的定义求出∠AOE，然后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE代入数据计算即可得解；（3）先表示出∠AOF，再根据角平分线的定义表示出∠AOE，然后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE代入计算即可得解．【详解】（1）∵∠AOB=150°，∠EOB=10°，∴∠AOE=∠AOB-∠EOB=150°-10°=140°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=12∠AOE=12×140°=70°，∴∠COF=∠AOF-∠AOC=70°-40°=30°；（2）∵∠AOC=40°，∠COF=20°，∴∠AOF=∠AOC+∠COF=40°+20°=60°，∵OF 平分∠AOE ，∴∠AOE=2∠AOF=2×60°=120°，∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=150°-120°=30°；（3）∵∠AOC=40°，∠COF=n °，∴∠AOF=∠AOC+∠COF=40°+n °，∵OF 平分∠AOE ，∴∠AOE=2∠AOF=2（40°+n °）=80°+2n °，∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=150°-（80°+2n °）=70°-2n °．【点睛】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．54．如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠AOB ，∠EOC=2825︒'.(1)求∠AOD 的度数；(2)判断∠AOD 与∠COB 的大小关系，并说明理由.【答案】(1) 6135'AOD ∠=︒；(2)AOD COB ∠=∠，理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据两直线相交可得∠AOB=∠COD=180°，由OE 平分∠AOB ，知∠AOE=∠BOE=90°，于是∠AOD=180°-∠AOE-∠COE 计算即可；（2）因为∠COB 与∠AOD 是对顶角所以相等．【详解】（1）直线,AB CD 相交于点O ，180COD AOB ∴∠=∠=︒， OE 平分AOB ∠，1902AOE AOB ∴∠=∠=︒， 180902825'AOD COD AOE COE ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒6135'=；（2）∠AOD=∠COB ，∵∠BOC 与∠AOD 是对顶角，∴∠BOC=∠AOD ．【点睛】本题考查了对顶角的性质、度分秒的换算以及角平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．55．如图，A 地和B 地都是海上观测站，B 地在A 地正东方向，且A 、B 两地相距2海里． 从A 地发现它的北偏东60°方向有一艘船C ，同时，从B 地发现船C 在它的北偏东30°方向．（1）在图中画出船C 所在的位置；（要求用直尺与量角器作图，保留作图痕迹）（2）已知三角形的内角和等于180°，求∠ACB 的度数．（3）此时船C与B地相距______海里．（只需写出结果，不需说明理由）【答案】（1）见解析；（2）∠ACB=30°；（2）2．【解析】【分析】（1）根据方向角的概念，分别过A、B作射线，两条射线的交点即为船C 的位置；（2）首先求出∠CAB和∠ABC的度数，再根据三角形内角和是180°求出∠ACB的度数；（3）由（2）中得出∠ACB=30°可知△ABC为等腰三角形，所以BC=AB．【详解】（1）如图所示，C点即为船C所在的位置；（2）在△ABC中，∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°+30°=120°∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°∴∠ACB=180°-30°-120°=30°（3）∵∠ACB=∠CAB=30°∴△ABC 为等腰三角形∴BC=AB=2海里所以船C 与B 地相距2海里，故答案为：2．【点睛】本题考查了方位角问题，熟练掌握方位角的定义与角度的和差计算是解题的关键．56．已知150AOB ∠=︒，OC 为AOB ∠内部的一条射线，60BOC ∠=︒.（1）如图1，若OE 平分AOB ∠，OD 为BOC ∠内部的一条射线，12COD BOD ∠=∠，求DOE ∠的度数；（2）如图2，若射线OE 绕着O 点从OA 开始以每秒15︒的速度顺时针旋转至OB 结束、OF 绕着O 点从OB 开始以每秒5︒的速度逆时针旋转至OA 结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为t 秒，当EOC FOC ∠=∠时，求t 的值；（3）若射线OM 绕着O 点从OA 开始以每秒15︒的速度逆时针旋转至OB 结束，在旋转过程中，ON 平分AOM ∠，试问2BON BOM ∠-∠在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及t 相应所在的时间段.（本题中的角均为大于0︒且小于180︒的角）【答案】（1）35︒；（2）t 的值为3或7.5；（3）当02t ≤≤或412t ≤≤时，2BON BOM ∠-∠为定值，此时补全的图形见解析．【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠BOE 的度数，再根据角的倍差求出BOD ∠的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出AOC ∠的度数和t 的最大值，从而可知停止运动时，OF 在OC 的右侧，因此，分OE 在OC 左侧和右侧两种情况，再根据EOC FOC ∠=∠列出等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于0︒且小于180︒的角，则需分OM 与OB 在一条直线上、ON 与OB 在一条直线上、OM 与OA 在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t 的取值范围，并求出各范围内BON ∠和BOM ∠的度数，即可得出答案．【详解】（1）OE 平分AOB ∠，150AOB ∠=︒7512AO OE B B ∠∴=∠=︒ 160,2BOC COD BOD ∠=︒∠=∠2403BOD BOC ∴∠=∠=︒ 754035BOE BO DOE D ∴∠-∠=︒-︒=∠=︒；（2）15060,A C O BO B ∠=︒∠=︒90AOC AOB BOC ∠∴∠-=∠=︒由题意知，当OE 转到OB 时，两条射线均停止运动 此时150101515AOB t ︒==∠=︒︒（秒） 则OF 停止转动时，55060BOF t ∠=︒=︒<︒即OF 从开始旋转至停止运动，始终在OC 的右侧因此，分以下2种情况：①当OE 在OC 左侧时，9015605EOC AOC AOE t FOC BOC BOF t ∠=∠-∠=︒-︒⎧⎨∠=∠-∠=︒-︒⎩则由EOC FOC ∠=∠得9015605t t ︒-︒=︒-︒，解得3t =②当OE 在OC 右侧时，1590605EOC AOE AOC t FOC BOC BOF t ∠=∠-∠=︒-︒⎧⎨∠=∠-∠=︒-︒⎩则由EOC FOC ∠=∠得1590605t t ︒-︒=︒-︒，解得7.5t =综上，t 的值为3或7.5；（3）射线OM 从开始转动至OB 结束时，转动时间为3601501415t ︒-︒==︒（秒） 由题意，分OM 与OB 在一条直线上（180150215t ︒-︒==︒）、ON 与OB 在一条直线上（2(180150)415t ⨯︒-︒==︒）、OM 与OA 在一条直线上（1801215t ︒==︒）三个临界位置①当02t ≤≤时，如图1所示 此时，1151501502215015t BON AOB AON AOM BOM AOB AOM t︒⎧∠=∠+∠=︒+∠=︒+⎪⎨⎪∠=∠+∠=︒+︒⎩则1522(150)(15015)1502t BON BOM t ︒∠-∠=⨯︒+-︒+︒=︒为定值 ②当24t <<时，如图2所示 此时，11515015022360()360(15015)21015t BON AOB AON AOM BOM AOB AOM t t︒⎧∠=∠+∠=︒+∠=︒+⎪⎨⎪∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒-︒⎩ 则1522(150)(21015)90302t BON BOM t t ︒∠-∠=⨯︒+-︒-︒=︒+︒不为定值 ③当412t ≤≤时，如图3所示 此时，1515360()360(150)21022360()360(15015)21015t t BON AOB AON BOM AOB AOM t t︒︒⎧∠=︒-∠+∠=︒-︒+=︒-⎪⎨⎪∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒-︒⎩ 则1522(210)(21015)2102t BON BOM t ︒∠-∠=⨯︒--︒-︒=︒为定值 ④当1214t <<时，如图4所示 此时，1360151515030222360()360(15015)21015t t BON AOB AOM BOM AOB AOM t t︒-︒︒⎧∠=∠-∠=︒-=-︒⎪⎨⎪∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒-︒⎩ 则1522(30)(21015)302702t BON BOM t t ︒∠-∠=⨯-︒-︒-︒=︒-︒不为定值 综上，当02t ≤≤或412t ≤≤时，2BON BOM ∠-∠为定值．【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（3），正确找出三个临界位置是解题关键．57．如图， 已知∠AOB=∠EOF=90°，OM 平分∠AOE ，ON 平分∠BOF ．（1）求证∠AOE=∠BOF（2）求∠MON的度数；【答案】（1）见解析；（2）90°.【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOF；（2）由OM平分∠AOE，ON平分∠BOF，可得∠AOM=∠EOM=∠BON=∠FON，进而得出∠MON=∠AOB=90°.【详解】（1）∵∠AOB=∠EOF=90°，∴∠AOB-∠BOE=∠EOF-∠BOE，∴∠AOE=∠BOF.（2）∵OM平分∠AOE，ON平分∠BOF．∴∠BON=∠FON，∠AOM=∠EOM，由（1）得：∠AOE=∠BOF，∴∠AOM=∠EOM=∠BON=∠FON，∴∠MON=∠EOM+∠BOE+∠BON=∠AOM+∠EOM+∠BOE=∠AOB =90°.【点睛】考查同角的余角相等，等式的性质、角平分线的意义，根据图形直观得出各个角的和或差，是解决问题的前提，等量代换在得出结论的过程中，起到至关重要的作用．58．如图，已知O 为直线AB 上一点，过点O 向直线AB 上方引三条射线OC 、OD 、OE ，且OC 平分AOD ∠，231∠=∠．（1）若118∠=°，求COE ∠的度数；（2）若70COE ∠=°，求2∠的度数；【答案】（1）72°；（2）60°．【解析】【分析】（1）依据∠1=18°，∠2=3∠1，可得∠2=54°，进而得出∠AOD 的度数，再根据OC 平分∠AOD ，可得∠3=54°，进而得到∠COE 的度数；（2）根据角平分线的定义和平角的定义，借助于图形得到：x °+∠2+2（70°-x °）=180°，则∠2=40°+x °，进而得到40°+x °=3x °，则易求∠2的度数．【详解】解：（1）∵118∠=°，231∠=∠，∴254∠=°，∠180AOD ∠=°－12180∠-∠=°－18°－54°=108°，∠OC 平分AOD ∠，∴354∠=°， ∠COE=∠1＋∠3=18°＋54°=72°（2）设∠1=x °，∵OC 平分AOD ∠，COE ∠=∠1＋∠3=70°，∠∠3=∠4=70°－x °，又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，∠x °＋∠2＋2（70°－x °）=180°，∠∠2=40°＋x °∠231∠=∠，∴ 40°＋x °=3x °，解得x =20，∠231∠=∠=3×20°=60°，即∠2的度数为60°．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义．本题隐含的知识点为：这4个角组成一个平角．应设出和所求角有关的较小的量为未知数．59．如图所示，AB 为一条直线，OC 是AOD ∠的平分线，OE 在BOD ∠内，:2:5DOE BOD ∠∠=，80COE ∠=︒，求EOB ∠的度数.【答案】60°【解析】【分析】由OC 是AOD ∠的平分线及:2:5DOE BOD ∠∠=设未知数后，根据80COE ∠=︒、180AOC COD DOB ∠+∠+∠=︒列出方程组，解方程组即可.【详解】解：∵OC 是AOD ∠的平分线∴设∠AOC=∠COD=x∵:2:5DOE BOD ∠∠=∴设=2y,5DOE BOD y ∠∠=∴3BOE y ∠=∵80COE ∠=︒,=2COE COD DOE x y ∠∠+∠=+∴x+2y 80=∵180AOC COD DOB ∠+∠+∠=︒,∴x+x+5y 180=∴x+y=80x+x+5y 180⎧⎨=⎩解得：x=40y 20⎧⎨=⎩∴=60EOB ︒∠【点睛】本题考查了角平分线的定义,即从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，掌握角平分线及角的和差关系是解题的关键.60．如图，已知COB 2BOD ∠∠=，OA 平分COD ∠，且BOD 42∠=︒，求AOB ∠的度数.【答案】21°.【解析】【分析】先通过条件算出∠COB,进而求出∠COD,由平分得∠AOD,用∠AOD 减去∠BOD 即可得出∠AOB 的度数.【详解】∵∠BOD=42°,∠COB=2∠BOD,∴∠COB=84°,∵OA 平分∠COD,∴∠AOD=()11(8442)6322COB BOD +=︒+︒=︒∠∠, ∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=63°-42°=21°.【点睛】本题考查角度的计算,关键在于理解题意,由图中得到信息.。

人教版七年级数学上册第四章角复习试题一(含答案) (17)

人教版七年级数学上册第四章角复习试题一（含答案) 已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且这两个角的差是30°，则这两个角的度数分别是___________度．【答案】75°、105°【解析】【分析】由两角的两边互相垂直可得出两角相等或互补，然后再根据这两个角的差是30°可知，该这个角互补，从而可求得这两个角的度数．【详解】解：∵一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，∴这两个角相等或互补．又∵这两个角的差是30°，∴这两个角互补．设一个角为x，则另一个角为x+30°，根据题意可知：x+x+30°=180°．解得：x=75°，x+30°=75°+30°=105°．故答案为：75°、105°．【点睛】本题主要考查的是垂线的定义，根据题意得到这两个角相等或互补是解题的关键．62．已知一个角的补角是它余角的3倍，则这个角的度数为_____．【答案】45°【解析】【分析】根据互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°用这个角表示出它的余角与补角，然后列方程求解即可．【详解】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，补角为180°﹣α，根据题意得，180°-α＝3（90°-α），解得α＝45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了余角与补角，能分别用这个角表示出它的余角与补角是解题的关键．63．如图，圆的四条半径分别是,,,O A B在同一条OA OB OC OD，其中点,,直线上，90,∠=︒3AOD∠=∠那么圆被四条半径分成的四个扇形AOC BOC①②③④的面积的比是____________．【答案】3:1:2:2【解析】【分析】先求出各角的度数，再得出其比值即可．【详解】∵点O，A，B在同一条直线上，∠AOD＝90︒，∴∠BOD＝90︒，∵∠AOC＝3∠BOC，∴∠BOC＝14×180︒＝45︒，∠AOC＝3×45︒＝135︒，∴S扇形AOC：S扇形BOC：S扇形BOD：S扇形AOD＝135:45:90:90＝3:1:2:2．故答案为：3:1:2:2．【点睛】本题考查的是角的计算，熟知两角互补的性质是解答此题的关键．64．3627'3︒⨯=____________（结果用“︒”表示）．【答案】109.35︒【解析】【分析】根据角度的运算法则即可求解．【详解】3627'3︒⨯=36.453109.35︒⨯=︒故答案为：109.35︒．【点睛】此题主要考查角度的运算，解题的关键是熟知角度的换算方法．三、解答题65．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板MON的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）求∠CON的度数；（2）如图2是将图1中的三角板绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周的情况，在旋转的过程中，第t秒时，三条射线OA、OC、OM构成两个相等的角，求此时的t值（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3（使ON在∠AOC的外部），图4（使ON在∠AOC的内部）请分别探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）150°；（2）t为4，16，10或22秒；（3）ON在∠AOC的外部时，∠NOC -∠AOM=30°；ON在∠AOC的内部时，∠AOM-∠NOC=30°，理由见解析【解析】【分析】（1）根据角的和差即可得到结论；（2）在图2中，分四种情况讨论：①当∠COM为60°时，②当∠AOM为60°时，③当OM可平分∠AOC时，④当OM反向延长线平分∠AOC时，根据角的和差即可得到结论；（3）ON在∠AOC的外部时和当ON在∠AOC内部时，分别根据角的和差即可得到结论．【详解】(1)已知∠AOC=60°，MO⊥ON，∴∠AON=90°，∴∠CON=∠AON+∠AOC=150°；(2)∵∠AOC=60°，①当∠COM为60°时，旋转前∠COM为120°，故三角板MON逆时针旋转了60°，旋转了60=415秒；②当∠AOM为60°时，旋转前∠AOM为180°，OM不与OC重合，故三角板MON逆时针旋转了240°，旋转了240=16秒；15③当OM可平分∠AOC时，∠MOB=180°-30°=150°，故三角板MON逆时针旋转了150°，旋转了15015=10秒； ④当OM 反向延长线平分∠AOC 时，18030150COM AOM ∠=︒-︒=︒=∠''，故三角板MON 逆时针旋转了180150︒+︒=330°，旋转了33015=22秒， 综上t 为：4，16，10或22秒；(3) ∵∠MON=90°，∠AOC=60°，当旋转到如图，ON 在∠AOC 的外部时，∴∠AOM=60°+∠COM ，∠NOC=90°+∠COM ，∴∠NOC -∠AOM=30°；当旋转到如图，ON 在∠AOC 的内部时，∴∠AOM=90°-∠AON ，∠NOC=60°-∠AON ，∴∠AOM-∠NOC=30°．【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．66．如图，已知50AOB ∠=︒，OD 是COB ∠的平分线．（1）如图1，当AOB ∠与COB ∠互补时，求COD ∠的度数；（2）如图2，当AOB ∠与COB ∠互余时，求COD ∠的度数．【答案】(1)65°；(2)20°【解析】【分析】(1)根据∠AOB 与∠COB 互补，可得∠COB 的度数，根据角平分线定义可得结论；(2)根据∠AOB 与∠COB 互余，可得∠COB 的度数，根据角平分线定义可得结论．【详解】(1)∵∠AOB 与∠COB 互补，∴∠COB=180°-∠AOB=180°-50°=130°，∵OD 是∠COB 的平分线∴∠COD=12∠COB=12×130°=65°； (2)∵∠AOB 与∠COB 互余，∴∠COB=90°-∠AOB=90°-50°=40°，∵OD 是∠COB 的平分线，∴∠COD=12∠COB=12×40°=20°． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解角的平分线的定义以及余角补角的定义是解决本题的关键．67．（1）计算：()23121834⎛⎫⨯-+÷- ⎪⎝⎭（2）计算：()2117'42''1628''4︒-︒⨯【答案】(1)0；（2）21856'''︒【解析】【分析】(1)先乘方再乘除，除法运算转化成乘法运算，最后计算加减即可；(2)先计算括号内的，再进行乘法运算即可．【详解】 (1)()23121834⎛⎫⨯-+÷- ⎪⎝⎭ 181894⎛⎫=⨯-+÷ ⎪⎝⎭22=-+0=；(2)()2117'42''1628''4︒-︒⨯517'14''4=︒⨯2068'56''=︒218'56''=︒．【点睛】本题考查了有理数的混合运算和角度的混合运算，注意度分秒的换算．68．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分AOC ∠，OF CD ⊥于点O ．（1）若6830BOF ∠=︒'，求AOE ∠的度数；（2）若:1:4AOD AOE ∠∠=，求BOF ∠的度数．【答案】（1）7915︒'；（2）70︒【解析】【分析】（1）先求出∠BOC 的度数，再求出∠AOC 的度数，根据OE 平分AOC ∠即可求出∠AOE 的度数；（2）设AOD x ∠=︒，则4AOE COE x ∠=∠︒＝，根据180AOD AOE COE ∠+∠+∠=︒列出方程即可求出x ，从而求出∠BOF 即可．【详解】解：（1）∵OF CD ⊥，∴90COF ∠=︒，∴9068302130BOC COF BOF ∠=∠-∠=︒-︒'=︒'，∴180180213015830AOC BOC ∠=︒-∠=︒-︒'=︒'，∵OE 平分AOC ∠， ∴1115830791522AOE AOC ∠=∠=⨯︒'=︒'． （2）设AOD x ∠=︒，则4AOE COE x ∠=∠︒＝，∵180AOD AOE COE ∠+∠+∠=︒，∴44180x x x ++=，解得20x ，∴20AOD ∠=︒，20BOC AOD ∠=∠=︒，∴9070BOF BOC ∠=︒-∠=︒．【点睛】本题考查了垂直、角平分线的定义以及角度的运算问题，解题的关键是理解角平分线的定义并熟练掌握角度的运算．69．如图，已知射线OB 平分∠AOC ，∠AOC 的余角比∠BOC 小42°．（1）求∠AOB 的度数：（2）过点O 作射线OD ，使得∠AOC ＝4∠AOD ，请你求出∠COD 的度数（3）在（2）的条件下，画∠AOD 的角平分线OE ，则∠BOE ＝ ．【答案】（1）44°；（2）66°或110°；（3）33°或55°【解析】【分析】（1）设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，根据∠AOC的余角比∠BOC小42°列方程求解即可；（2）分两种情况：①当射线OD在∠AOC内部，②当射线OD在∠AOC 外部，分别求出∠COD的度数即可；（3）根据（2）的结论以及角平分线的定义解答即可．【详解】解：（1）由射线OB平分∠AOC可得∠AOC =2∠BOC，∠AOB=∠BOC，设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，依题意列方程90°﹣2x＝x﹣42°，解得：x＝44°，即∠AOB＝44°．（2）由（1）得，∠AOC＝88°，∠当射线OD在∠AOC内部时，如图，∵∠AOC＝4∠AOD，∴∠AOD＝22°，∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝66°；∠当射线OD在∠AOC外部时，如图，由①可知∠AOD ＝22°，则∠COD ＝∠AOC +∠AOD ＝110°；故∠COD 的度数为66°或110°；（3）∵OE 平分∠AOD ，∴∠AOE ＝1112AOD ∠=︒， 当射线OD 在∠AOC 内部时，如图，∴∠BOE ＝∠AOB ﹣∠AOE ＝44°﹣11°＝33°；当射线OD 在∠AOC 外部时，如图，∴∠BOE ＝∠AOB +∠AOE ＝44°+11°＝55°．综上所述，∠BOE 度数为33°或55°．故答案为：33°或55°【点睛】本题考查了角度的和差运算，角平分线的定义以及余角的定义等知识，解答本题的关键是掌握基本概念以及运用分类讨论的思想求解．70．如图，90,60AOB COD AOC ∠=∠=︒∠=︒，射线ON 以10度/秒的速度从OD 出发绕点O 顺时针转动到OA 时停止，同时射线OM 以25度/秒的速度从OA 出发绕点O 逆时针转动到OD 时停止，设转动时间为t 秒．(1)当OM ON 、重合时，求t 的值；(2)当ON 平分BOD ∠时，试通过计算说明OM 平分AOD ∠；(3)当t 为何值时，MON ∠与AOD ∠互补？【答案】（1）307t =；（2）见解析；（3）247t =或367t = 【解析】【分析】 （1）根据题意10,25150DON t AOM t AOD ∠=∠=∠=︒， ,当OM ON 、重合时，+DON AOM AOD ∠∠=∠，计算即可；（2）根据题意可得=60BOD AOC ∠∠=︒，由ON 平分BOD ∠可计算出3t =，故25375AOM ∠=⨯=︒,即可说明OM 平分AOD ∠；（3）根据题意可得30MON ∠=︒分两种情况说明，当OM ON 、重合之前和OM ON 、重合之后分别计算即可．【详解】由题意：10,25DON t AOM t ∠=∠=()190,60COD AOC ∠=∠=150AOD COD AOC ∴∠=∠+∠=当,ON OM 重合时，DON AOM AOD ∠+∠=∠1025150t t ∴+= 解得：307t = ()290AOB COD ∠=∠=90AOC BOC BOD BOC ∴∠+∠=∠+∠=60BOD AOC ∴∠=∠= ON 平分BOD ∠1302DON BOD ∴∠=∠= ∠30103t =÷= ∠1253752AOM AOD ∠=⨯==∠ OM ∴平分AOD ∠()3150,180AOD AOD MON ∠=∠+∠=30MON ∴∠=当OM 与ON 重合前150DON MON AOM ∠+∠+∠=103025150t t ++=解得：247t = 当OM 与ON 重合后150DON AOM MON ∠+∠-∠=102530150t t +-= 解得：367t =∴当247t =或367t =时，MON ∠与AOD ∠互补 【点睛】本题考查的是角的综合题，一元一次方程的解法，旋转的性质，有一定的难度，分情况讨论是难点．。

人教版七年级数学上册第四章角复习题四(含答案) (90)

人教版七年级数学上册第四章角复习题四（含答案)已知两个分别含有30°，45°角的一副直角三角板.(1)如图1叠放在一起若OC恰好平分∠AOB，则∠AOD= 度；若∠AOC=40°，则∠BOD= 度；(2)如图2叠放在一起，∠AOD=4∠BOC，试计算∠AOC的度数.【答案】（1）135，40；（2）∠AOC的度数为110°．【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义求出∠AOC，再根据∠AOD=∠AOC+∠COD 代入数据进行计算即可得解；②由已知可求得∠BOC，再根据∠BOD=∠COD-∠BOC代入数据进行计算即可得解；（2）由已知可求得∠BOD，再根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD代入数据进行计算即可得解．【详解】（1）①∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOC=12∠AOB=45°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=45°+90°=135°；②由已知∠BOC=90°-∠40°=50°，∴∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-50°=40°，故答案为135，40（2）∵∠AOD=4∠BOC，∴∠AOB-∠BOD=4（∠COD-∠BOD），即90°-∠BOD=4（-30°∠BOD），解得：∠BOD=10°，∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+30°-10°=110°即∠AOC的度数为110°．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．92．将一三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起.(1)如图1，若∠BOD=35°，则∠AOC=______°；若∠AOC=135°，则∠BOD=_____°；(2)如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=_____°；(3)猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图1说明理由；(4)三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O 按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD(0°＜∠AOD＜90°)等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．【答案】（1）145°，45°；（2）40°；（3）∠AOC 与∠BOD 互补，理由详见解析；（4）∠AOD 角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°.【解析】【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；（2）根据∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD计算可得；（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；（4）分别利用OD∠AB、CD∠OB、CD∠AB、OC∠AB分别求出即可．【详解】解：（1）若∠BOD=35°，∠∠AOB=∠COD=90°，∠∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD=90°+90°﹣35°=145°，若∠AOC=135°，则∠BOD=∠AOB+∠COD﹣∠AOC=90°+90°﹣135°=45°；（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD=40°；（3）∠AOC 与∠BOD 互补．∠∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．∠∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，∠∠AOC+∠BOD=180°，即∠AOC 与∠BOD 互补．（4）OD∠AB 时，∠AOD=30°，CD∠OB 时，∠AOD=45°，CD∠AB 时，∠AOD=75°，OC∠AB 时，∠AOD=60°，即∠AOD 角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°；故答案为（1）145°，45°；（2）40°．【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．93．填空，完成下列说理过程如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．求∠DOE的度数．解：因为OD是∠AOC的平分线，所以∠COD=12∠AOC．因为OE是∠BOC 的平分线，所以=12∠BOC．所以∠DOE=∠COD+∠COE=12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB= °．【答案】见解析.【解析】【分析】根据已知条件和角平分线的性质：一个角的平分线把这个角分成两个大小相同的角，据此逐项填空即可．【详解】解：因为OD是∠AOC的平分线，（已知）所以∠COD=12∠AOC．（角平分线定义）因为OE是∠BOC 的平分线，所以∠COE=12∠BOC．所以∠DOE=∠COD+∠COE=12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB=90°．故答案为已知；角平分线定义；∠COE；90．【点睛】此题主要考查了角的计算，以及角平分线的含义和求法，要熟练掌握．94．如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．（1）若∠AOC=20°，∠AOB=110°，则∠BOC= °，∠DOE= °；（2）若∠AOC=m°，∠AOB=n°（n＞m），则∠BOC= °，∠DOE= °；（3）猜想：∠DOE与∠BOC有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）90，45；（2）（n﹣m），12（n﹣m）；（3）∠DOE=12∠BOC．【解析】【分析】(1) 依据∠AOC=20°, ∠AOB=110°, 可得∠BOC=110° -20°=90°; 再根据OD、OE分别平分∠AOB, ∠AOC, 即可得到∠DOE的度数;(2) 依据∠AOC= m°, ∠AOB= n°,可得∠BOC= n°- m°= (n°- m°); 再根据OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC, 可得∠AOD= 12n°, LAOE= 12m°,进而得出∠DOE的度数;(3) 依据OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC, 即可得出∠AOD=12∠AOB,∠AOE=12∠AOC, 进而得到∠DOE=∠AOD-∠AOE=12(∠AOB-∠AOC) =12∠BOC.【详解】解：（1）∵∠AOC=20°，∠AOB=110°，∴∠BOC=110°﹣20°=90°；∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，∴∠AOD=55°，∠AOE=10°，∴∠DOE=55°﹣10°=45°；故答案为90，45；（2）∵∠AOC=m°，∠AOB=n°，∴∠BOC=n°﹣m°=（n﹣m）°；∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，∴∠AOD=n°，∠AOE=m°，∴∠DOE=∠AOD﹣∠AOE=（n﹣m）°；故答案为（n﹣m），（n﹣m）；（3）∠DOE=∠BOC．证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，∴∠AOD=∠AOB，∠AOE=∠AOC，∴∠DOE=∠AOD﹣∠AOE=（∠AOB﹣∠AOC）=∠BOC．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理和角的运算.95．如图，OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，∠COD=76°，求∠BOD的度数．【答案】114°【解析】【分析】根据角平分线的性质即可求出答案．【详解】∵OC 是∠AOD 的角平分线∴76,COD AOC ∠=∠=∵OB 是∠AOC 的角平分线， ∴138,2BOC AOC ∠=∠= ∴114.BOD COD BOC ∠=∠+∠=【点睛】考查角平分线的定义，根据角平分线的定义得出所求角与已知角的关系是解决问题的关键.96．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，求∠COB 和∠AOC 的度数．【答案】∠COB=30°，∠AOC=120°【解析】【分析】先根据角平分线，求得BOE ∠的度数，再根据角的和差关系，求得BOF ∠的度数，最后根据角平分线，求得BOC ∠、AOC ∠的度数．【详解】AOB 90∠=，OE 平分AOB ∠ ，BOE 45∠∴= ，又EOF 60∠= ，FOB 604515∠∴=-= ， OF 平分BOC ∠ ，COB 21530∠∴=⨯= ，AOC BOC AOB 3090120∠∠∠∴=+=+=.【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键.注意：也可以根据AOC ∠的度数是EOF ∠度数的2倍进行求解．97．已知一个角的补角比这个角的余角的5倍大15°，求这个角的度数.（结果用度、分、秒表示）【答案】07115'【解析】【分析】设这个角为x 度,根据余角与补角的定义得出补角的度数为(180﹣x )，根据题中的等量关系列出方程求解即可.【详解】设这个角为x 度，则它的补角的度数为(180﹣x ),余角的度数为90﹣x ． 由题意，得()18059015x x -=-+，解之得071.257115x =︒'=,故这个角为07115'．【点睛】本题主要考查了余角、补角的定义以及一元一次方程的应用,解题的关键是能准确地从题中找出各个量之间的数量关系,注意掌握互为余角的两角的和为90°,互为补角的两角的和为180°.98．已知如图，AO⊥BC，DO⊥OE.（1）不添加其他条件情况下，请尽可能多地写出图中有关角的等量关系（至少3个）；（2）如果∠COE =350，求∠BOD的度数.【答案】（1）∠COE=∠AOD，∠AOE=∠BOD，∠AOB=∠DOE；（2）∠BOD=550【解析】【分析】（1）已知AO⊥BC，DO⊥OE，就是已知∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，利用同角或等角的余角相等，从而得到相等的角．（2）由（1）知，∠AOD=∠EOC，故可求解．【详解】（1）∵AO⊥BC，DO⊥OE，∴∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∠AOD+∠AOE=90°，∠AOE+∠COE=90°，∴∠DOA=∠EOC，∠DOB=∠AOE，∠AOB=∠AOC，∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠DOE；（2）∵AO⊥BC，DO⊥OE∴∠BOD=1800-∠COE =900-350=550【点睛】考查角之间的关系,解题关键是运用了同角或等角的余角相等．99．已知一个角的补角比这个角的余角的4倍大15°,求这个角的度数。

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图3
D
C
B
A
O
1、如图3，∠AOD=80°,∠AOB=30°,OB 是∠AOC 的平分线， 则∠AOC 的度数是多少？∠COD 的度数是多少？
2. 已知如图，AO ⊥BC ，DO ⊥OE,如果∠COE=35°，求∠AOD 的度数。

3.如图，∠AOB=90º，∠AOC=30º，且OM 平分∠BOC ， ON 平分∠AOC ， 求∠MON 的度数．
4.如图1所示，直线AB 、CD 相交于点O ，
作∠DOE=∠BOD ，OF 平分∠AOE ，若∠AOC=20°， 则∠EOF 是多少度？
5.如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，
∠EOC=700
，则∠BOD 的度数
E
B O C
A D
6.如图。

已知∠BOC = 2∠AOB ，OD 平分∠AOC ，
∠BOD = 14°，求∠AOB 的度数．
7.如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠BOC ＝800
，OE 是∠BOC 的角平分线， OF 是OE 的反向延长线，
（1）求∠2、∠3的度数； （2）说 明OF 平分∠AOD 。

8.如图，已知∠AOB 是直角，∠BOC ＝600
, OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC. 求∠EOF 的度数
O
D C
B
A
O
231
B
A
D
C
E
F
8、如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD平分∠COE，求∠COB的度数。

.两个角的度数之比为7：3，它们的差为36°，求这两个角
D
E
B
7.如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.
一个角的余角比它的补角的少40°,求这个角的度数.
12.互为余角的两个角的比1：2是，则这两个角分别是多少？
.如果一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角．
4.3.3余角和补角（2）同步练习
1．如图1，点A 在O 的北偏东 °，点B 在O 的 °， 点C
D 在O 的 °.
2．如图2所示，下列说法中错误的是（ ）
A ．OA 的方向是北偏东40︒
B ．OB 的方向是北偏西15︒
C ．OC 的方向是南偏西30︒
D ．OD 的方向是正东南方向
3．书店、学校、食堂在平面上分别用点A 、B 、C 来表示，书店在学校的北偏西30︒，食堂在学校的南偏东15︒，则平面图上的ABC ∠应该是（ ） A ．65︒ B ．35︒ C ．165︒ D ．135︒
4．甲从A 点出发向北偏东70°方向走50m 至点B,乙从A 出发向南偏西15°方向走80m 至点C,则∠BAC 的度数是( )
A.85°
B.160°
C.125°
D.105°
5．在海上，灯塔位于一艘轮船的北偏东40°方向，那么这艘轮船位于这个灯塔的（ ） A ．北偏东50°方向 B ．南偏西50°方向 C ．南偏西40°方向 D ．北偏东40°方向
6．A 看B 的方向是北偏东50︒，则B 看A 的方向是 .
7．某物体A 先在小明的西南方向，后来A 绕小明逆时针旋转了140°，则这时A 在小明的 ._______________ 8．在图中,确定A 、B 、C 、D 的位置: （1）A 在O 的正北方向,距O 点2cm;
（2）B 在O 的北偏东60°方向,距O 点3cm; （3）C 为O 的东南方向,距O 点1.5cm;
（4）D 为O 的南偏西40°方向,距O 点2cm.
9.如图所示,A 、B 东北方向,B 艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上, 请你试着在图中确定这个不明物体的位置.
图1 图2 南
西东北A
B
10.灯塔A在灯塔B的南偏西60°，A、B两灯塔相距20海里。

现有一轮船C在灯塔B的正
北方向，在灯塔A的北偏东30°方向。

试画图确定轮船C的位置。

（画图时每10海里用1厘米长的线段表示）
11.小王在校运动场的A点向东北方向走40米到B点，再从B点向西走40米到C点.C点在
A点的北偏西多少度？。

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