初一数学上册角的计算
2024年湘教版七年级数学上册 4.3.2 第1课时 角的度量与计算(课件)
4. 时钟 4 点 15 分时，时针和分针所成的角为_3_7_._5_°.
5. 计算下列各题： (1) 153°39′＋25°40′38″； (2) 90°－37°24′38″. 解：(1) 153°39′＋25°40′38″
＝178°79′38″ ＝179°19′38″. (2) 90°－37°24′38″
③ 50°40′33″＝50.43°；
④ 50°40′30″＝50.675°.
A．①和②
B．①和③
C．②和③
D．②和④
2. 填空： （1）0.65°= 39 ′； （2）32.43°= 32 ° 25 ′ 48 ″； （3）120°38′54″ ≈ 120.65 °； （4）108°40′24″ =__1_0_8_.6_7__ °.
第4章 图形的认识
4.3 角
4.3.2 角的度量与计算
第1课时 角的度量与计算
教学目标
1. 掌握角的度量单位及换算，并能进行角的度数的 计算.
2. 掌握直角、平角、周角的度数，会计算钟表上的 角度问题.
重点：度、分、秒的换算及角的计算. 难点：角的度数的计算.
你知道如何衡量一个角的大小？
1 角的分类
= 37°41'40".
练一练
2. 计算：(1) 20°26′ + 35°54′； 解：(1) 20°26′ + 35°54′ = 55°80′ = 56°20′.
(2) 90° - 43°18′ = 89°60′ - 43°18′ = 46°42′.
(2) 90° - 43°18′.
例4 小红早晨 8：30 出发，中午 12：30 到家，则小 红出发时时针和分针的夹角为 75° ，到家时时针和 分针的夹角为 165° .
(白沙中学)七年级数学上册4.3.2《角的度量与计算》公开课课件
= 48°+25′+(48÷60)′ = 48°+25′+0.8′ = 48°+25.8′ = 48°+(25.8÷60)° = 48°+0.43° = 48.43°
【解析】实质是将秒、分逐级转化为度； 即秒化为分，再将分化为度。
简记：（秒÷60+分）÷60+度
7
第7页，共18页。
1.直接画出的有： 30°、45°、60°、90°；
2.通过和或差画出的有：
45°-30°=15°；
45°+30°=75°；
45°+60°=105°；
借助一副三角板，可以画出的角有15°、
30°、45°、60°、75°、90°、105°、
120°、135°、150°、165°、180°的角
60°+60°=120°； ，共12个，这些角都能被15整除。
（2）112.27°= °112′ ″ 16 12 解：（1）34.5°=34°+0.5°
=34°+0.5×60′ =34°+30′
=34°30′ （2）112.27°=112°+0.27×60′
=112°+16.2′
=112°+16′+0.2×60″
=112°16′12″
6
第6页，共18页。
例2 用度表示 48°25′48″.
2.（2013·中考）如图，O为直线AB上一点,
1
C
COB ，2则6∠310＝' _______．
A
OB
【解析】 ∠1＝180°-26°30´=153°30′
【答案】 153°30′
新人教版七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)
新人教版七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)专题训练角的计算类型1 利用角度的和、差关系要求求解的角与已知角之间有和、差关系，可以利用角度和、差来计算。
1.如图，已知 $\angle AOC=\angle BOD=75°$，$\angle BOC=30°$，求 $\angle AOD$ 的度数。
解：因为 $\angle AOC=75°$，$\angle BOC=30°$，所以$\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC=75°-30°=45°$。
又因为$\angle BOD=75°$，所以 $\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD=45°+75°=120°$。
2.将一副三角板的两个顶点重叠放在一起（两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°）。
1) 如图1所示，在此种情形下，当 $\angle DAC=4\angle BAD$ 时，求 $\angle CAE$ 的度数。
2) 如图2所示，在此种情形下，当 $\angle ACE=3\angle BCD$ 时，求 $\angle ACD$ 的度数。
解：(1) 因为 $\angle BAD+\angle DAC=90°$，$\angle DAC=4\angle BAD$，所以 $5\angle BAD=90°$，即 $\angle BAD=18°$。
所以 $\angle DAC=4\times18°=72°$。
因为 $\angle DAE=90°$，所以 $\angle CAE=\angle DAE-\angle DAC=18°$。
2) 因为 $\angle BCE=\angle DCE-\angle BCD=60°-\angle BCD$，$\angle ACE=3\angle BCD$，所以 $\angle ACB=\angle ACE+\angle BCE=3\angle BCD+60°-\angle BCD=90°$。
2024新人编版七年级数学上册《第六章6.3.2角的比较与计算》教学课件
示的图形，已知∠CEF=50º，则∠AED的度数是
（ C）
A.40°
B.50 °
C.65 ° D.76 °
课堂小结
1.角的比较：①度量法
②叠合法
2.角的和差
课堂小结
3.角的平分线:
射线OC是∠AOB的角平分线或OC
平分∠AOB，
1
记作：① ∠AOC=∠BOC= ∠AOB
2
②∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
③EF边落在∠ABC的外部,∠DEF大于∠ABC,记做∠DEF>∠ABC.
探究新知
思考： 我们已经学过哪几类角？
三角板上的各个角分别属于哪类角？
角的分类
锐角
0 α 90
直角
α 90
钝角
90 α 180
平角
α 180
周角
α 360
直角可以用Rt∠
表示，画图时常在
直角的顶点处加上
“ ”来表示这个角
是直角．
探究新知
例1 根据右图解下列问题：
A
B
(1)比较∠AOB， ∠AOC，
∠AOD， ∠AOE的大小；
∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE
O
C
D
E
探究新知
例1 根据右图解下列问题：
A
B
(2)找出图中的直角、锐角和钝角.
直角:∠AOC、∠BOD、∠COE；
锐角:∠AOB、∠BOC、∠COD、
类似地,∠AOC-∠AOB= ∠BOC .
探究新知
学生活动三 【一起探究】 探究三角板中的角
你知道下面这些角是怎样用三角板画出来的吗？
探究新知
15°
七年级数学上册第4章小专题(十三)角的计算(人教版)
小专题（十三）角的计算类型1 角平分线的有关计算（整体思想）【例】（教材P140习题T9变式）如图，已知AOB ∠内部有三条射线OE OC OF OE ，，，平分∠BOC ,OF 平分AOC ∠.（1）若3060AOC BOC ︒︒∠=∠=，，则EOF ∠=__________；（2）若=AOC BOC αβ∠=∠，，则EOF ∠=__________；（3）若AOB θ∠=，你能猜想出EOF ∠与θ的关系吗？请说明理由.【变式1】若EOF γ∠=，求AOB ∠的度数.【变式2】若射线OC 在AOB ∠的外部如图所示位置，且=AOB θ∠，OE 平分BOC ∠，OF 平分∠AOC ，则上述（3）中的结论还成立吗？请说明理由.方法指导如图，当射线OC 在AOB ∠的内部或外部，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠时，总有1=2EOF AOB ∠∠.【拓展变式】若射线OC 在AOB ∠的外部如图所示位置，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠，则EOF AOB ∠∠与的数量关系是__________.变式训练1.如图，已知AOB ∠内部有顺次的四条射线： OE OC OD OF OE ，，，平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠.（1）若16040AOB COD ︒︒∠=∠=，，则EOF ∠的度数为______；（2）若AOB COD αβ∠=∠=，，求EOF ∠的度数；（3）从（1）、（2）的结果，你能看出什么规律吗？类型2 直接计算2.如图，点A O E ，，在同一直线上，40AOB ︒∠=,2846BOD ︒'∠=，OD 平分COE ∠，求∠COB 的度数.3.已知40AOB ︒∠=，OD 是BOC ∠的平分线.（1）如图1，当AOB BOC ∠∠与互补时，求COD ∠的度数；（2）如图2，当AOB BOC ∠∠与互余时，求COD ∠的度数.类型3 方程思想4.一个角的补角加上10︒后等于这个角的余角的3倍，求这个角.5.如图，AOB COB COD ∠∠∠，，的度数之比是2：1：3，且140AOC DOB ︒∠+∠=，求AOD ∠的度数.6.如图，已知12AOB BOC ∠=∠，3COD AOD AOB ∠=∠=∠,求AOB COD ∠∠和的度数.类型4 分类讨论思想7.已知：如图，OC 是AOB ∠的平分线.（1）当60AOB ︒∠=时，求AOC ∠的度数；（2）在（1）的条件下，90EOC ︒∠=，请在图中补全图形，并求AOE ∠的度数；（3）当AOB α∠=时，90EOC ︒∠=，直接写出AOE ∠的度数.（用含α的式子表示）类型5 角的运动问题8.已知，点O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠.（1）如图1.①若60AOC ︒∠=，则DOE ∠的度数为__________；②若AOC α∠=，则DOE ∠的度数为_____________（用含α的式子表示）；（2）将图1中的DOC ∠绕点O 顺时针旋转至图2的位置，试探究DOE ∠和AOC ∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.参考答案【例】解：（1）45︒（2）2αβ+（3）12EOF θ∠=,理由；因为OE 平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠，所以11,22EOC BOC COF AOC ∠=∠∠=∠.所以11111()22222EOF EOC COF BOC AOC BOC AOC AOB θ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠=.【变式1】解：因为OE 平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠，所以12EOC BOC ∠=∠，12COF AOC ∠=∠.所以1122EOF EOC COF BOC AOC ∠=∠+∠=∠+∠11()22BOC AOC AOB =∠+∠=∠.因为EOF γ∠=，所以2AOB γ∠=. 【变式2】解：12EOF θ∠=成立.理由：因为OE 平分BOC ∠，OF 平分∠AOC ，所以1122EOC BOC COF AOC ∠=∠∠=∠，.所以EOF COF EOC ∠=∠-∠1122AOC BOC =∠-∠1()2AOC BOC =∠-∠11.22AOB θ=∠= 【拓展变式】11802EOF AOB ︒∠=-∠ 变式训练1.解：（1）100︒（2）因为OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠，所以12COE AOC ∠=∠，12DOF BOD ∠=∠.所以12EOF COE COD DOF AOC COD ∠=∠+∠+∠=∠+∠1111111()2222222BOD AOC COD BOD COD AOB COD αβ+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=+1()2αβ=+.（3）若AOB ∠内部有顺次的四条射线：,,,,OE OC OD OF OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠，则1()2EOF AOB COD ∠=∠+∠.2.解：因为2846EOD ︒'∠=，OD 平分COE ∠，所以2=228465732COE EOD ︒'︒'∠=∠⨯=.又因为40AOB ︒∠=，所以1801804057328228COB AOB COE ︒︒︒︒'︒'∠=∠-∠=-=--.3.解：（1）因为AOB BOC ∠∠与互补，所以180AOB BOC ︒∠+∠=.因为40AOB ︒∠=，所以18040140BOC ︒︒︒∠=-=.因为OD 是BOC ∠的平分线，所以1702COD BOC ︒∠=∠=.（2）因为AOB BOC ∠∠与互余，所以90AOB BOC ︒∠+∠=.因为=40AOB ︒∠，所以=904050BOC ︒︒︒∠-=.因为OD 是BOC ∠的平分线，所以1252COD BOC ︒∠=∠=. 4.解：这个角为40︒.5.解：设COB x ︒∠=，则2,3AOB x COD x ︒︒∠=∠=.根据题意,得23140x x x x +++=.解得20x =.所以236620120AOD x x x x ︒︒︒︒︒︒∠=++==⨯=.6.解：设AOB x ︒∠=，则33COD AOD AOB x ︒∠=∠=∠=.因为12AOB BOC =∠，所以2BOC x ︒∠=.因为360BOC COD AOD AOB ︒∠+∠+∠+∠=，所以233360x x x x +++=.解得40x =.所以40120AOB COD ︒︒∠=∠=，.7.解：（1）因为OC 是AOB ∠的平分线，所以12AOC AOB ∠=∠.因为60AOB ︒∠=，所以30AOC ︒∠=，（2）如图1，9030120AOE EOC AOC ︒︒︒∠=∠+∠=+=；如图2，903060.AOE EOC AOC ︒︒︒∠=∠-∠=-=（3）902α︒+或902α︒-.8.解：（1）①30︒②12α（2）12DOE AOC ∠=∠，理由如下：因为180BOC AOC ︒∠=-∠.OE 平分BOC ∠，所以1118022COE BOC AOC ︒∠=∠=-∠（）1902AOC ︒=-∠.所以1190909022DOE COE AOC AOC ︒︒︒∠==--∠=∠∠-（）.。
6.3.2.2角的运算课件 人教版数学七年级上册
2
2
跟踪训练
如图，O 是直线AB上一点，OC是∠AOB 的 平分线，∠COD=31°28'.求∠AOD 的度数.
解：因为O 是直线AB上一点，
所以∠AOB=180°.
因为OC是∠AOB 的平分线，
所以∠AOC=∠BOC= 1∠AOB= 2
因为∠COD=31°28'，
1×180°=90°. 2
所以∠AOD=90°-31°28'=58°32'.
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB 是多少度？
解：因为 ∠COD=30°，OD 平分∠COE， 所以 ∠COE=2∠COD=60°，
E
DC
B
所以 ∠AOC=∠AOE－∠COE =140°－60°= 80°. O
A
又因为 OB 平分∠AOC，
所以∠AOB= 1 ∠AOC= 1 ×80°= 40°.
或∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，
所以射线OB是∠AOC的平分线.
C B
O
A
反之也成立：
因为射线OB是∠AOC的平分线.
所以∠AOB=∠BOC= 1∠AOC， 2
或∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，
题讲解
例1. 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？ E
说明：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度 数化成分
跟踪训练
1.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度? 要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份? 解：360°÷8=45°.
360°÷15°=24. 答：把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是45度；
初一数学上册：角度的运算要点+练习
分析：角度与一个数相除，要从度、分、秒依次相除，每次相除所得余数必须化为更小的度量单位，并注意题中要求的精确度，进行四舍五入.
解：49°28′52″4
= 12°＋88′52″÷4（49°÷4 = 12°余1°加到28′52″上为88′52″，以下依次计算.）
= 12°22′＋52″÷4
=86°22′72″－67°36′50″
=85°82′72″－67°36′50″
=（85－67）°（82－36）′（72－50）″
=18°46′22″.
三、利用乘法分配律进行乘法运算
把一个角度扩大几倍（一个角度乘以一个正整数），可借助乘法分配律的思想，把这个数分别与角度的度、分、秒单位上的数相乘，再把分、秒单位下满60的数向上一位进一.
用竖式计算多位数的加法时，首先要把数位对齐，满十向上一位进一.与多位数的加法类似，在角度的加法运算中，我们可以把度与度、分与分、秒与秒单位上的数分别相加，然后先把满60秒的进为一分，再把满60分的进为一度.
【例1】计算：48°39′40″＋67°41′35″.
解：先算秒和秒相加；
40″＋35″= 75″= 1′15″；
再算分和分相加；
39′＋41′= 80′=1°20′，加上进位的一分为1°21′；
最后算度和度相加；
48°＋67°= 115°，再加上进位的度为116°.
所以，48°39′40″＋67°41′35″= 116°21′15″.
二、仿照多位数的减法进行减法运算
进行角度的减法运算也与多位数的减法有很多相同的地方，即把同单位的数相减，不够减时，应仿照计算多位数减法的方法先向上一级单位“借一”，把被减数的角度化为分、秒单位上的数都大于作为减数的角度的相应单位上的数，然后再减.
七年级数学人教版(上册)小专题(十五)角度的计算
(2)当转动至图 3 位置时，CM 平分∠ACE，CN 平分∠BCD，求
∠MCN 的度数．
解：(2)因为 CM 平分∠ACE，CN 平分∠BCD，
1
1
所以∠MCE＝∠ACM＝2∠ACE，∠NCD＝∠BCN＝2∠BCD.
所以∠MCN＝∠MCE＋∠ECB＋∠BCN
1
1
＝2∠ACE＋∠ECB＋2∠BCD
即∠AOM－∠NOC＝30°.
(3)将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 10°的速度沿逆时针方向旋 转一周，在旋转的过程中，若直线 ON 恰好平分∠AOC，则此时三 角板绕点 O 旋转的时间是 6或24 秒．
1
1
∠AOC)＝2∠AOB＝2θ.
【拓展】 若∠EOF＝γ，求∠AOB 的度数．
解：因为 OE 平分∠BOC，OF 平分∠AOC，
1
1
所以∠EOC＝2∠BOC，∠COF＝2∠AOC.
1
1
1
所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝2∠BOC＋2∠AOC＝2(∠BOC
1 ＋∠AOC)＝2∠AOB.
因为∠EOF＝γ，所以∠AOB＝2γ.
1 所以∠AOC＝2∠AOB. 因为∠AOB＝60°， 所以∠AOC＝30°.
(2)在(1)的条件下，若∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求 ∠AOE 的度数．
解：(2)如图 1，∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°； 如图 2，∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°. 所以∠AOE 的度数为 120°或 60°.
因为∠NOM＝90°，
1
1
所以∠NOM＝2∠DOB＋∠COD＋2∠AOC＝90°，
1
1
即2×4x＋3x＋2×2x＝90.
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余角补角
一、填空
1．∠α的补角是137°，则 ∠α=__________，∠α的余角是__________； 65°15′的角的余角是_________；35°59′的角的补角等于__________。
2．（1）一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的余角为_________°. （2）一个角的补角比这个角的余角大______________。
C
3．如图，O 是直线AB 上的一点。
（1）若∠AOC =32°48′56″，则∠BOC=____°____′____″ （2）若∠BOC =5
3∠AOB ，则∠AOC=________°.
4．两条直线相交得到的四个角中，其中一个角是45°，则其余三个角分别是__________，
___________，__________。
5．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是∠∠2=_____°，∠3=______°
6．如图4，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 的内部，ON 是∠BOC 的平分线，若∠AOC=80°，则∠MON=__________° 7．下列说法正确的是 （ ）
（A ） 两个互补的角中必有一个是钝角； （B ）一个角的补角一定比这个角大； （B ） 互补的两个角中，至少有一个角大于或等于直角； （C ） （D ）相等的角是对顶角
8．如图，直线AB 、CD 相交于O ，因为∠1+∠3=180°，
∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2，其推理根据是（ ）（A ）同角的余角相等 （B ）等角的余角相等 （C ）同角的补角相等 （D ）等角的补角相等
8．如果∠1与∠2互为补角，∠1 〉∠2，那么∠2的余角等于 （ ）
（A ）2
1（∠1+∠2） （B ）2
1∠1 （C ）2
1（∠1-∠2） （D ）∠1-∠2
A
B
O
E
9．三条直线相交于一点，则组成小于180°的对顶角的对数一共有（ ） （A ）三对 （B ）四对 （C ）五对 （D ）六对 10．∠1与∠2互余，∠2 与∠3互补，∠1 = 63°，求∠3。
11．一个角的余角与这个角的补角的和比平角的4
3多1°，求这个角。
12．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，∠BOC —∠BOD =20°，
求∠BOE 的度数。
13. 如图，已知∠BOC =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =29°，求∠AOB 的度数。
14．如图，OB 平分∠AOC ，且∠2 : ∠3 : ∠4 = 1:3:4，求∠1、∠2、∠3、∠4。
C E
B
A
D
O
C
B
A
D
O
3
D
C
B
A
2
1
4 O。