第十一章(理) 第四节 正态分布、线性回归 精品

3．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程 ＝bx＋a必过 ( )
A．点(2,2)
B．点(1.5,0)
C．点(1,2)
D．点(1.5,4)
解析： ∴线性回归方程必过(1.5,4)． 答案：D
4．若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为 ＝ 250＋4x，当施化肥量为50 kg时，预计小麦产量为 ________． 解析：把x＝50代入 ＝250＋4x可求得 ＝450(kg)． 答案：450 kg
1．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线 N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是 () A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
解析：当μ＝0，σ＝1时，正态曲线φ(x)＝
在x＝0
时取最大值
其中b＝
，a＝
，
其中x 、 y分别为{xi}、{yi}的 平均数 ．
(3)样本相关系数 把r＝
＝
叫做变量y与x之间的样本相关系数(简称相关系数)， 可以证明|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度 越大，|r|越 接近于0，相关程度 越小．
[思考探究] 相关关系与函数关系有什么异同点？ 提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种 非确定的关系． ②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关 系，也可能是伴随关系．
①函数关系：函数关系是一种 确定的 关系． ②相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一 定随机性 的两个变量之间的关系叫做相关关系． ③回归分析：对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析 的方法叫做回归分析．
(2)回归直线方程 对n个样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)，其回归直 线方程为 ＝bx＋a.
～N(0,1)．当
ξ～N (μ，σ2)时， P(a<ξ<b)＝F(b)－F(a)＝Φ( )
－Φ( )．
设随机变量ξ～N(3,22)，借助于标准正态分布表，求 (1)P(－2<ξ<7)； (2)若C的值使得P(ξ>C)≤P(ξ≤C)，试确定实数C的取值范围． [思路点拨]
[课堂笔记] (1)P(－2<ξ<7)＝Φ( )－Φ(
，故σ2＝1.由正态曲线的性质知，当μ一
定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高
瘦”，反之越“矮胖”． 答案：D
2．下列两个变量之间的关系哪个是相关关系 A．角度和它的余弦值 B．正方形的边长和它的面积 C．正n边形的边数和顶点角度之和 D．人的年龄和身高
()
解析：A、B、C中的两个变量都是函数关系，它们可以 用函数关系式来表示，D中的两个变量之间的关系是相 关关系． 答案：D
因此在这种情况下应走第二条路线．
(2)走第一条路线及时赶到的概率为
P(0<ξ≤65)≈Φ(
)＝Φ(1.5)＝0.933 2；
走第二条路线及时赶到的概率为
P(0<ξ≤65)≈Φ(
)＝Φ(1.25)＝0.894 4.
因此在这种情况下应走第一条路线.
1.求线性回归方程的步骤
(1)先把数据制成表，从表中计算出，
5．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Φ(x)＝P(ξ<x)，给 出下列结论： ①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|<2)＝2Φ (2)－1. 则正确结论的序号是________．
解析：依题意，Φ(0)＝1－Φ(－0)，∴Φ(0)＝ ，①正确； Φ(x)＝P(ξ<x)＝P(ξ>－x)＝1－Φ(－x)，②正确；P(|ξ|<2)＝ P(－2<ξ<2)＝Φ(2)－Φ(－2)＝Φ(2)－1＋Φ(2)＝2Φ(2)－1， ③正确． 答案：①②③
[思路点拨] 最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车 站的那条路线．
[课堂笔记] 设ξ为行车时间．
(1)走第一条路线，及时赶到火车站的概率为
P(0<ξ≤70)＝Φ(
)－Φ(
)
≈Φ(
)＝Φ(2)＝0.977 2，
走第二条路线及时赶到火车站的概率为
P(0<ξ≤70)≈Φ(
)＝Φ(2.5)＝0.993 8.
1.要熟记并理解：①P(x<x0)＝Φ(x0)；②Φ(x0)＝1－Φ(－x0)；
③F(x)＝Φ(
)这三个公式，在标准正态分布表中只给
出了x0≥0，即P(x<x0)＝Φ(x0)的情形，对于其他情形可借 助上述三个公式转化为x0≥0的情形．
2．要注意标准正态分布与一般正态分布的关系及其转化方
法，即若ξ～N(μ，σ2)，则η＝
某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有 两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通 拥挤，所需时间(单位：min)服从正态分布N(50,102)；第二 条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时 间服从正态分布N(60,42)．
(1)若只有70 min可用，问应走哪条路线？ (2)若只有65 min可用，又应走哪条路线？
)
＝Φ(2)－Φ(－2.5)＝Φ(2)－[1－Φ(2.5)]
＝0.977 2－(1－0.993 8)＝0.971 0.
(2)∵P(ξ>C)＝1－P(ξ≤C)，
P(ξ>C)≤P(ξ≤C)，
∴1－P(ξ≤C)≤P(ξ≤C)，
∴P(ξ≤C)≥
又∵P(ξ≤C)＝Φ( )，
∴Φ(
)≥ ＝Φ(0)，
∴
≥0，∴C≥3.
，
x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值； (2)计算回归系数a，b；
1.了解正态分布的意义及主要性质. 2.了解线性回归的方法和简单应用.
1．正态分布与标准正态分布 正态分布
图象及 表示方法
标准正态分布
正态分布
标准正态分布
f(x)＝
x∈(－∞，＋∞)，其中μ是总 解析式
体的 平均数 ，σ是总体的 标准差
f(x)＝ x∈(－∞，＋∞)， 其中μ＝0 ，σ＝1
正态分布
标准正态分布
①曲线在 x轴 上方，与x轴 不相交，以x轴 为渐近
x＝μ
线
x＝0
②曲线关于x＝直μ线
对 ②曲线关于x＝直0线
对
称
称
③曲线x<μ在
时位于 ③曲线x<在0
时位于最高
性 最高x>点μ
点x>0
质 ④当 当
④当
时，曲线上升，
时，曲线矮上胖升， 当
分散
时，曲线下瘦降高
时，曲线下降集中
2．线性回归 (1)变量间的相关关系