第十一章(理) 第四节 正态分布、线性回归
线性回归分析的基本原理
线性回归分析的基本原理线性回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
它通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，并利用这条直线进行预测和推断。
本文将介绍线性回归分析的基本原理，包括模型假设、参数估计、模型评估等内容。
一、模型假设线性回归分析的基本假设是：自变量和因变量之间存在线性关系，并且误差项服从正态分布。
具体来说，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示模型的参数，ε表示误差项。
线性回归模型假设误差项ε服从均值为0、方差为σ^2的正态分布。
二、参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来估计模型的参数。
具体来说，最小二乘法的目标是最小化残差平方和：min Σ(Yi - (β0 + β1Xi))^2通过对残差平方和进行求导，可以得到参数的估计值：β1 = Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ) / Σ(Xi - X̄)^2β0 = Ȳ - β1X̄其中，Xi和Yi分别表示观测值的自变量和因变量，X̄和Ȳ分别表示自变量和因变量的均值。
三、模型评估线性回归模型的拟合程度可以通过多个指标进行评估，包括决定系数（R^2）、标准误差（SE）和F统计量等。
决定系数是用来衡量模型解释变量变异性的比例，其取值范围为0到1。
决定系数越接近1，说明模型对观测值的解释能力越强。
标准误差是用来衡量模型预测值与观测值之间的平均误差。
标准误差越小，说明模型的预测精度越高。
F统计量是用来检验模型的显著性。
F统计量的计算公式为：F = (SSR / k) / (SSE / (n - k - 1))其中，SSR表示回归平方和，SSE表示残差平方和，k表示模型的自由度，n表示观测值的个数。
F统计量的值越大，说明模型的显著性越高。
四、模型应用线性回归分析可以用于预测和推断。
通过拟合一条直线，可以根据自变量的取值来预测因变量的值。
正态分布与线性回归
一次试题中事件 A 发生的概率；p＋q＝1，k＝1,2,3，…)，则称 ξ 服从 几何分布，记作 g(k，p)＝qk－1p.
第74讲 │ 要点探究
要点探究
► 探究点1 离散型随机变量的分布列及其应用
例 1 已知某离散型随机变量 ξ 的分布列如下：
A＝A1 B 1＋ A 1B1＋A1B1＋A2B2，故所求的概率为
P(A)＝P(A1 B 1)＋P( A 1B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)
第74讲 │ 要点探究
＝P(A1)P( B 1)＋P( A 1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.
[点评] (1)二项分布是一类重要的分布，要熟练掌握．在写分布列时， 首先要判断随机变量是否满足二项分布的条件．(2)在进行概率计算时， 要注意排列、组合等知识在等可能事件中的应用，要注意互斥事件、相 互独立事件、独立重复试验的概率的应用．
第74讲 │ 要点探究
某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%，现从 一批产品中任意连续取出 2 件．
3．课时安排：本单元共安排了4讲及一个单元能力训练卷， 每讲建议1课时完成，单元能力训练卷建议1课时完成，大约共 需5课时．
第74讲 │ 离散型随机变量的分布列
第74讲 离散型随机变量的分布 列
第74讲 │ 编读互动
编读互动
离散型随机变量及其分布列是高考必考的一个知识点，常常作为 解答题的一问出现．本讲主要复习离散型随机变量及其分布列的计算， 复习时，要抓住离散型随机变量的概率分布的两个本质特征：pi≥0(i ＝1,2，…，n)，p1＋p2＋…＋pn＝1，这是确定分布列中参数值的依据．求 离散型随机变量的分布列时，首先要根据具体情况确定随机变量 ξ 的 取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出 ξ 取各个值的概率．掌 握几个典型的分布列：几何分布、二项分布等．
高考数学理一轮复习 X1-4正态分布、线性回归精品课件
备选例题1 设随机变量ξ服从正态分布：ξ～ N(1,4)，试求：
(1)P(0＜ξ≤2)； (2)求常数C，使P(ξ≤C)＝32·P(ξ＞C)．
参考数据：Φ(0)＝0.5，Φ(1)＝0.8413，Φ(2) ＝0.9772，Φ(0.5)＝0.6915，Φ(1.88)＝ 0.9697，Φ(3)＝0.9987.
2．小概率事件是指事件发生的概率很小的事， 通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可 能发生的．
3．统计中假设检验的基本思想：根据小概率 事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和 从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的 统计假设作出判断，是拒绝假设，还是接受 假设．
4．利用线性回归方程，可由一个变量的值预 测或控制另一个变量的值．借助计算器，特 别是含统计的计算器，能简化手工的计算， 迅速得出正确结果．
(函数Φ(x0)实际上是正态总体N(0,1)的累积分
布函数)，即Φ(x0)＝
．
(5)两个重要公式：ⅰ.Φ(－x)＝1Φ(x)
－
；
Φ(a)
ⅱ.P(a＜ξ＜b)＝Φ(b)－
． 小于
(6)对于任一正态分布总体N(μ，σ2)来说，取
值 x的概率为F(x)＝Φ(
)．
(7)假设检验的基本思想
ⅰ.提出统计假设，如假设随机变量服从正态 分布等；
5．“回归”和“相关”含义是不同的：如果 两个变量中的一个变量是人为可以控制、非 随机的，另一变量的变化是随机的且随着控 制变量的变化而变化，则这两变量间的关系 就称为回归关系；若两个变量都是随机的， 则称它们之间的关系为相关关系，在本教材 中，两者不加区别．
方法规律·归纳
题型 一
正态分布的基本运算
思维 提示
①P(x＜x0)＝Φ(x0)； ②Φ(x0)＝1－Φ(－x0)；
正态分布完整ppt课件
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
《正态分布》ppt课件
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
正态分布 线性回归
正态分布与线性回归1 已知连续型随机变量ζ的概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=)2(0)20(1)0(0)(x x kx x x f ，且f(x) ≥0，求常数k 的值，并计算概率P(1.5≤ξ<2.5)。
分析:凡是计算连续型随机变量ξ的密度函数f(x)中的参数、概率P(a ≤ξ≤b)都需要通过求面积来转化而求得。
若f(x) ≥0且在[a ，b]上为线性，那么P(a ≤ξ≤b)的值等于以b-a 为高，f(a)与f(b)为上、下底的直角梯形的面积，即1()[()()]()2P a b f a f b b a ξ≤≤=+-。
解: ∵1()(0)(02)(2)P P P P εξξξ=-∞<<+∞=-∞<<+≤≤+<<+∞0(02)0P ξ=+≤≤+1[(0)(2)](20)(0)(2)222f f f f k =+-=+=+∴21-=k ；∴1(1.5 2.5)(1.52)(2 2.5)(1.52)16P P P P ξξξξ≤<=≤≤+<<=≤≤=。
2 设),(~2σμN X ，且总体密度曲线的函数表达式为：412221)(+--=x x ex f π，x ∈R 。
（1）求μ，σ；（2）求)2|1(|<-x P 及)22121(+<<-x P 的值。
分析：根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出μ和σ。
利用一般正态总体),(2σμN 与标准正态总体N （0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决。
解：（1）由于222)2(2)1(41222121)(--+--⋅==x x x eex f ππ，根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，2=σ，故X ～N （1，2）。
（2）)2121()2|1(|+<<-=<-x P x P2121(12)(12)()()22(1)(1)2(1)120.84131F F 1+-1--=+--=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-=⨯- 6826.0=。
统计学课件 第十一章 一元线性回归
相关系数的显著性检验
(例题分析)
各相关系数检验的统计量
作者：张占贞 作者：张占贞
青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
§11.2
一元线性回归
11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4
一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
变量间的关系
作者：张占贞 作者：张占贞
青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
函数关系
是一一对应的确定关系 2. 设有两个变量 x 和 y ，变量 y y 随变量 x 一起变化，并完 全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 3. 各观测点落在一条线上
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
相关系数的经验解释
|r|≥0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5≤|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3≤|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度 极弱，可视为不相关 5. 上述解释必须建立在对相关系数的显著性 进行检验的基础之上
3. 根据显著性水平α＝0.05，查t分布表得tα/2(n-2)=2.069 由于 | t|=7.5344>tα/2(25-2)=2.069 ， 拒绝 H0 ， 不良贷 款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系
线性回归中的正态分布
线性回归中的正态分布统计方法一般都有其适用的条件，或者说是必须满足的统计假设。
使用线性回归需要满足线性、独立性、正态性、方差齐性、自变量间不存在多重共线、因变量为连续变量。
不考虑前提条件地生搬硬套，也不对模型进行诊断，只能是“Garbage in，garbage out”。
今天谈谈线性回归的正态性检验的方法论。
首先要弄清楚线性回归模型中正态分布的概念。
有人在进行线性回归模型的正态性检验时，直接将对因变量进行检验，这实际上是对线性回归正态性检验的误解。
001。
当自变量为分类变量、因变量为连续变量时，也是可以采用线性回归的。
只是在更多的时候，这种类型的分析我们更关注的是组间差异比较而不是线性回归预测，通常采用方差分析或者t检验，尤其是自变量只有1个对的时候。
模型假定不同的组来自同一个总体中的抽样，各组（严格说应该是各个单元格）的残差服从同一个正态分布，不同组的残差均服从同一个均数为0标准差为σ2的正态分布。
在实际考察的时候我们往往直接考察固定的自变量值（不同的组）对应的因变量值是否呈正态分布。
比如4个随机分组的方差分析，想要考察的分组变量即为自变量，该自变量有4个水平，可以被赋值为1、2、3、4，此时的分类自变量每个水平都有多个相同的取值，可以分别考察自变量等于1、2、3、4时对应的因变量是否满足正态分布，只有1个因素考察因变量残差与直接考察因变量是一致的。
当然我们也可以采用了线性回归进行分析，为了消除赋值带来的误差，多分类的自变量在线性回归模型中需要设置成哑变量，结果同方差分析是一致的。
今天我们重点讨论的是第二种情况：当自变量为连续变量时。
此时自变量每个“水平”的取值往往只有有限几个甚至只有1个，其对应的因变量观测值也只有几个甚至1个，毕竟每个自变量一次抽样只能对应一个因变量值，很显然这么小的样本量没法直接像自变量为分类变量那样考察每个“水平”的因变量值是否正态。
而且连续性变量取值往往较多，即使我们的样本量足够大，自变量的每一个固定值有多个取值，这种考察正态性的工作量也会变的很大。
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第十一章（理） 第四节 正态分布、线性回归
1.111222
则有 ( )
A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：μ反映正态分布的平均水平，x ＝μ是正态曲线的对称轴，由图知μ1＜μ2，σ 反映正态分布的离散程度，σ越大，曲线越“矮胖”，表明越分散，σ越小，曲线越 “高瘦”，表明越集中，由图知σ1＜σ2. 答案：A
2．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)＝ ( ) A.15 B.14
C.13
D.12
解析：根据正态分布的知识可知此正态分布图象的对称轴为x ＝3，而P (ξ<3)表示对 称轴左边图象的面积，对称轴左右两边图象面积相等，整个图象的面积为1. 答案：D
3．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝ ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：由题意得随机变量ξ相应的正态密度曲线关于直线x ＝2对称，又P (ξ>c ＋1) ＝P (ξ<c －1)，因此(c ＋1)＋(c －1)2＝2，c ＝2.
答案：B
4．设随机变量ξ服从标准正态分布N (0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P (|ξ|<1.96)＝( ) A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.975 解析：P (|ξ|<1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96) ＝1－2Φ(－1.96)＝0.950. 答案：C
5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝ ( ) A ．0.16 B ．0.32
C ．0.68
D ．0.84
解析：根据正态分布曲线的对称性，得P (ξ≤0)＝1－P (ξ≤4)＝1－0.84＝0.16. 答案：A
6.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ＝a ＋bx 中，回归系数b ( ) A ．可以小于0 B ．大于0 C ．能等于0 D ．只能小于0
解析：因为b ＝0时，r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b 能大于0也能小于0. 答案：A
7．以下是两个变量x 和y 的一组数据：
则这两个变量间的回归直线方程为 ( ) A.y ^＝x 2 B.y ^
＝x C.y ^＝9x －15 D.y ^
＝15x －9 解析：根据数据可得x ＝4.5，y ＝25.5， ∑i ＝1
n x 2i ＝204，∑i ＝1
n
x i y i ＝1 296.
b ＝
1
22
1
n
i
i
i n
i
i x y
nx y x
nx ==--∑∑＝1 296－8×4.5×25.5204－8×4.52
＝9，
a ＝y －
b x ＝25.5－9×4.5＝－15. ∴y ^
＝9x －15. 答案：C
8．已知回归直线方程y ^
＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 的增长速度之比约为________． 解析：x 与y 的增长速度之比即为回归直线方程的斜率的倒数14.4＝1044＝522.
答案：5
22
9．某肉食鸡养殖小区某种病的发病鸡只数呈上升趋势，统计近4个月这种病的新发病
鸡只数的线性回归分析如下表所示：
该养殖小区这种病的新发病鸡总只数约为________．
解析：由上表可得：y ^
＝94.7x ＋1 924.7，当x 分别取9,10，11,12时，得估计值分别 为：2 777,2 871.7,2 966.4,3 061.1，则总只数约为2 777＋2 871.7＋2 966.4＋3 061.1≈11 676. 答案：11 676
10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的 生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：
(1)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ^
＝bx ＋a ；
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的回归 直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)∑i ＝1
4
x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
x —
＝3＋4＋5＋6
4＝4.5， y —
＝
2.5＋3＋4＋4.5
4
＝3.5，
∑i ＝1
4x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，
b ＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81
＝0.7，
a ＝y —
－b x —
＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 故回归直线方程为y ^
＝0.7x ＋0.35.
(2)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，
故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)．。