第二章机械振动理论基础共126页文档
机械振动基础
固有频率及固有周期
n
def
k m
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
Tn
def
2
n
2
m k
固有周期
例 图示的直升机桨叶 经实验测出其质量为m， 质心C距铰中心O距离 为l。现给予桨叶初始 扰动，使其微幅摆动， 用秒表测得多次摆动 循环所用的时间，除 以循环次数获得近似 的固有周期，试求桨 叶绕垂直铰O 的转动惯量。
def
e nt e n ( t Td )
n Td
2 1
2
2
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
e. 自由振动中含有的阻尼信息提供了由实验确 定系统阻尼的可能性。通常，可根据实测的 自由振动，通过计算振幅对数衰减率来确定 系统的阻尼比。
Vmax
1 mg( R r ) 2 , m 2
Tref
3 m( R r ) 2 2 m 4
Vmax n T ref
2g 3( R r )
2.3 粘性阻尼系统的自由振动
k (u+ s) cu k m c
s
k m f (t )
c u u
b
m O mg f (t )
c
这种性质称为等时性。
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
c. 阻尼固有频率和阻尼固有周期是阻尼系统自 由振动的重要参数。当阻尼比很小时，它们 与系统的固有频率、固有周期差别很小，甚 至可忽略。 d. 为了描述振幅衰减的快慢，引入振幅对数衰 减率。它定义为经过一个自然周期相邻两个 振幅之比的自然对数
ln
单自由度系统在外激励作用下振动的微分方程
机械振动(电子课文)
简谐运动在弹簧下端挂一个小球，拉一下小球，它就以原来的平衡位置为中心上下做往复运动。
物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。
振动现象在自然界中是广泛存在的．研究振动要从最简单、最基本的振动着手，这种振动叫做简谐运动。
弹簧振子把一个有孔的小球安在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平杆上，可以在杆上滑动，小球和水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略不计。
这样的系统称为弹簧振子，其中的小球常称为振子。
振子在振动过程中，所受的重力和支持力平衡，对振子的运动没有影响．使振子发生振动的只有弹簧的弹力，这个力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反，总指向平衡位置，它的作用是使振子能返回平衡位置，所以叫做回复力．根据胡克定律，在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子的回复力F跟振子偏离平衡位置的位移x成正比，即式中的k是比例常数，也就是弹簧的劲度，负号表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反．简谐运动的条件物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的机械振动，图中表示了简谐运动的几个实例．振幅、周期和频率描述简谐运动的物理量有振幅、周期和频率．振幅振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅．用A表示.振幅是表示振动强弱的物理量．周期做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期．用T表示.频率单位时间内完成的全振动的次数，叫做振动的频率．用f表示.周期和频率都是表示振动快慢的物理量．周期越短，频率越大，表示振动越快．它们的关系是在国际单位制中，周期的单位是秒，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz．1 Hz = 1 s-1．1s内完成n次全振动，频率就是n，单位是Hz．简谐运动的频率由振动系统本身的性质所决定．如弹簧振子的频率由弹簧的劲度和振子的质量所决定，与振幅的大小无关，因此又称为振动系统的固有频率．单摆单摆如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆．单摆是实际摆的理想化的物理模型．在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力．当摆球运动到任一点P时,其中l为摆长，x为摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与位移x的方向相反．由于m、g、l都有一定的数值，mg/l可以用一个常数表示，上式可以写成可见，在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动．单摆振动的周期性单摆的周期跟哪些因素有关呢？我们用实验研究这个问题．大量实验表明，单摆的周期跟单摆的振幅没有关系; 跟摆球的质量没有关系;跟摆长有关系, 摆长越长，周期越大.荷兰物理学家惠更斯（1629—1695）研究了单摆的振动，发现单摆做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，并且确定了如下的单摆周期的公式：摆在实际中有很多应用，利用摆的等时性发明了带摆的计时器，摆的周期可以通过改变摆长来调节，计时很方便．另外,单摆的周期和摆长容易用实验准确地测定出来，所以可利用单摆准确地测定各地的重力加速度．简谐运动的图象做简谐运动的物体,它的运动情况也可以用图象直观地表示出来．把沙流形成的图象画在纸上,就是振动图象. 以横轴OO’表示时间，以纵轴表示位移, 则振动图象表示了振动质点的位移随时间变化的规律,可以看出所有简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线．利用振动图象,可以知道振动物体的振幅和周期,可以求出任意时刻振动质点对平衡位置的位移.记录振动的方法在实际中有很多应用．医院里的心电图仪，监测地震的地震仪等，都是用这种方法记录振动情况的．简谐运动的能量阻尼振动简谐运动的能量弹簧振子和单摆在振动过程中动能和势能不断地发生转化．在平衡位置时，动能最大，势能最小；在位移最大时，势能最大，动能为零．在任意时刻动能和势能的总和，就是振动系统的总机械能．弹簧振子和单摆是在弹力或重力的作用下发生振动的，如果不考虑摩擦和空气阻力，只有弹力或重力做功，那么振动系统的机械能守恒．振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大．对简谐运动来说，一旦供给振动系统以一定的能量，使它开始振动，由于机械能守恒，它就以一定的振幅永不停息地振动下去．简谐运动是一种理想化的振动．阻尼振动实际的振动系统不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到阻尼的作用．系统克服阻尼的作用做功，系统的机械能就要损耗．系统的机械能随着时间逐渐减少，振动的振幅也逐渐减小，待到机械能耗尽之时，振动就停下来了．这种振幅逐渐减小的振动，叫做阻尼振动．该图是阻尼振动的振动图象．振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，振动停下来也越快．阻尼过大时，系统将不能发生振动．阻尼越小，振幅减小得越慢．受迫振动共振受迫振动阻尼振动最终要停下来，那么怎样才能得到持续的周期性振动呢？最简单的办法是用周期性的外力作用于振动系统，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，使系统持续地振动下去．这种周期性的外力叫做驱动力，物体在外界驱动力作用下的振动叫做受迫振动．跳板在人走过时发生的振动，机器底座在机器运转时发生的振动，都是受迫振动的实例．受迫振动的频率跟什么有关呢？我们用如图所示的装置研究这个问题．匀速地转动把手时，把手给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动．这个驱动力的周期跟把手转动的周期是相同的．用不同的转速匀速地转动把手．可以看到，振子做受迫振动的周期总等于驱动力的周期．实验表明，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系．共振虽然物体做受迫振动的频率跟物体的固有频率无关，但是不同的受迫振动的频率，随着它接近物体的固有频率的程度不同，振动的情况也大为不同．我们来观察下面的实验在一根张紧的绳上挂几个摆，其中A、B、C的摆长相等,摆的频率决定于摆长.当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动．这个驱动力的频率等于A摆的频率．实验表明：固有频率跟驱动力频率相等的B摆和C摆，振幅最大；固有频率跟驱动力频率相差最大的D摆，振幅最小．图中所示的曲线表示受迫振动的振幅A与驱动力的频率f的关系．可以看出：驱动力的频率f等于振动物体的固有频率f’时，振幅最大；驱动力的频率f跟固有频率f’相差越大，振幅越小．驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振．共振的应用和防止共振现象有许多应用．把一些不同长度的钢片装在同一个支架上，可用来制成测量发动机转速的转速计．使转速计与开动着的机器紧密接触，机器的振动引起转速计的轻微振动，这时固有频率与机器转速一致的那个钢片发生共振，有显著的振幅．从刻度上读出这个钢片的固有频率，就可以知道机器的转速．共振筛是利用共振现象制成的．把筛子用四根弹簧支起来，在筛架上安装一个偏心轮，就成了共振筛．偏心轮在发动机的带动下发生转动时，适当调节偏心轮的转速，可以使筛子受到的驱动力的频率接近筛子的固有频率，这时筛子发生共振，有显著的振幅，提高了筛除杂物的效率．在某些情况下，共振也可能造成损害．军队或火车过桥时，整齐的步伐或车轮对铁轨接头处的撞击会对桥梁产生周期性的驱动力，如果驱动力的频率接近桥梁的固有频率，就可能使桥梁的振幅显著增大，以致使桥梁发生断裂．因此，部队过桥要用便步，以免产生周期性的驱动力．火车过桥要慢开，使驱动力的频率远小于桥梁的固有频率．轮船航行时，如果所受波浪冲击力的频率接近轮船左右摇摆的固有频率，可能使轮船倾覆．这时可以改变轮船的航向和速度，使波浪冲击力的频率远离轮船摇摆的固有频率．机器运转时，零部件的运动（如活塞的运动、轮的转动）会产生周期性的驱动力，如果驱动力的频率接近机器本身或支持物的固有频率，就会发生共振，使机器或支持物受到损坏．这时要采取措施，如调节机器的转速，使驱动力的频率与机器或支持物的固有频率不一致．同样，厂房建筑物的固有频率也不能处在机器所能引起的振动频率范围之内．总之，在需要利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率；在需要防止共振时，应使驱动力的频率与振动物体的固有频率不同，而且相差越大越好．。
大学物理-机械振动
机械振动也会影响交通工具的舒适 度，如火车、汽车等在行驶过程中 产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影 响，提高结构的稳定性和安全性。
感谢您的观看
THANKS
机械振动理论的发展可以追溯到 古代，如中国的编钟和古代乐器 的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人 们对机械振动的认识不断深入， 应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动 在新能源、新材料、航空航天等 领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动在科研中的应用
振动谱分析
01
通过对物质在不同频率下的振动响应进行分析，可以研究物质
的分子结构和性质。
振动控制
02
通过控制机械振动的参数，实现对机械系统性能的优化和控制，
如振动减震、振动隔离等。
振动实验
03
利用振动实验来研究机械系统的动态特性和响应，如振动台实
验、共振实验等。
05
机械振动的实验与测量
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等 参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去 噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、 频谱图等，以便观察和分析。
1机械振动学基础2017
©版权归华东交通大学载运工具与装备教育部重点实验室所有 2017
振动问题的研究
机电工程 学院
√ห้องสมุดไป่ตู้励
（输入）
? √ 系统
响应 （输出）
第二类：已知激励和响应，求系统
第一个逆问题
系统识别，系统辨识
求系统，主要是指获得对于系统的物理参数（如质量、刚度和 阻尼系数等）和系统关于振动的固有特性（如固有频率、主振 型等）的认识
以估计物理参数为任务的叫做物理参数辨识，以估计系统振动 固有特性为任务的叫做模态参数辨识或者试验模态分析
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振动问题的研究
机电工程 学院
? √ √ 激励
（输入）
系统
响应 （输出）
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振动的合成
机电工程 学院
• 两个相同频率的简谐振动的合成仍然是简谐振动，并 且保持原来的频率。
• 频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动。频 率比为有理数时，合成为周期振动；频率比为无理数 时合成为非周期振动
• 频率很接近的两个简谐振动的合成会出现“拍”的现 象
周期和非周期振动
简谐运动 最简单、最基本的振动.
简谐运动
合成 分解
复杂振动
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简谐振动
机电工程 学院
l0 k
A
x0 F 0
m
x
o
A
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简谐振动 Fm
ox
机电工程 学院
x
F kx ma x Asin(t )
第二节 机械振动基础
第二节机械振动基础一.振动的分类1.按振动产生的原因分为：自由振动、强迫振动、自激振动（1）自由振动是系统受初始干扰或原有外激励力取消后产生的振动（2）强迫振动是系统在外激励力作用下产生的振动（3）自激振动是在没有周期外力作用下.由系统内部激发及反馈的相互作用而产生的稳定的周期振动2.按结构参数的特性分为：线性振动、非线性振动（1）线性振动是系统内的恢复力、阻尼力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度成线性关系的一类振动，可用常系数线性微分方程来描述（2）非线性振动式系统内上述参数有一组以上不成线性关系时的振动，此时微分方程中将出现非线性项。
3.按系统的自己度数分为：单自由度系统振动、多自由度系统振动、连续体振动（1）单自由度系统振动是指只用一个独立坐标或能确定的系统振动（2）多自由度系统振动是需要多个独立坐标才能确定的系统振动（3）连续体振动即无限多自由度系统的振动，一般也称弹性体振动，需用偏微分方程来描述自由度数是完全描述系统的一切部位在任何顺时的位置所需要的独立坐标的个数4.按振动的规律分为：简谐振动、周期振动、瞬态振动、随机振动(1)简谐振动是振动量为时间的正弦或余弦函数的一类周期振动(2)周期振动是指振动量可表示为时间的周期函数的一大类振动，可用谐波分析法将其展开成一系列简谐振动的叠加。
(3)瞬态振动是指振动量为时间的非周期函数，通常只在一定时间内存在。
(4)随机振动是指振动量为时间的非确定性函数的一大类振动，只能用概率统计的方法进行研究。
5按振动位移的特征分为：直线振动、圆振动（1）直线振动的特征是振动体上质点的运动轨迹是直线，包括振动体上质点只沿轴线方向振动的纵向振动和振动体上做垂直于轴方向振动的横向振动（又称弯曲振动）（2）圆振动的特征是振动上质点的运动轨迹为圆弧线，对轴线而言，振动体上的质点只作绕轴线的振动，也称角振动或扭转振动。
二、振动的表示方法1.机械振动的一般表示方法机械振动是一种特殊形式的运动。
机械振动学总结全
若用复数来表示，则有 机械振动学总结机 械 振 动 学 基 础第二节机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从 运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间 t 变化的规律。
用函数关系式来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数 T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数1来表示，则这一个运动时周期运动。
其中 T 的最小值叫做振动的周期，f 二1定义为振动的频率。
T简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动.■, ... ■ ?. I .. ■；-.物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，「和■■称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度 •’称为简谐振动的角频率 简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间 t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前 加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这 是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图 P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率⑷z = Ae j(心z = Acos( t ) jAsin( t '-)用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数e j t 对时间求导一次相当于在其前乘以j ■，而每乘一次j ，相当于有初相角-2二•周期振动满足以下条件: 1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在;2）在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中b n三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成 1. 俩个同频率的简谐振动x 2 二 A 2sin( t 2) , x 2 二 A 2sin( 2t 2)它们的合成运动也是该频率的简谐振动2. 俩个不同频率振动的合成若「1—2，则合成运动为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线第三节构成机械运动的基本元素构成机械振动的基本元素有惯性、 恢复性和阻尼。
《机械振动基础》第二章
已知 A = ( aij ) n× n , Aij 为 aij的代数余子式 , 则
A11 A adjA = 12 ⋮ A1n
A21 A22 ⋮ A2 n
⋯ ⋯ ⋯
An1 An 2 ⋮ Ann
预备知识－线性代数与矩阵理论 预备知识－
【矩阵乘积的逆】 矩阵乘积的逆】
d 21 k2 (d11 − d 21 )
F2 = 0
k 2 + k3 d11 = k1k2 + k1k3 + k2 k3
k3d 21
m2
k2 (d11 − d 21 ) − k3d 21 = 0
k2 d 21 = k1k2 + k1k3 + k2 k3
2.2:建立系统运动微分方程的方法 2.2:建立系统运动微分方程的方法
ɺɺ ɺ ɺ ɺ mu1 = −k1u1 + k2 (u2 − u1 ) − c1u1 + c2 (u2 − u1 ) + f1 (t ) 1 ɺɺ ɺ ɺ ɺ m2u2 = −k2 (u2 − u1 ) − k3u2 − c2 (u2 − u1 ) − c3u2 + f2 (t )
方程之间存在耦合 方程之间存在耦合
ɺɺ Mu + Ku = f ɺɺ Ku = −Mu + f ɺɺ u = D(−Mu + f )
ɺɺ u = −DMu + Df
EI
A M 0 cos t
l
EI
l u2
m
u1
(1)利用Castigliano第二定理计算刚架端点的柔度系数得到柔 (1)利用Castigliano第二定理计算刚架端点的柔度系数得到柔 利用Castigliano第二定理 度矩阵D 度矩阵D Castigliano定理 定理： Castigliano 定理 ： 系统的势能对力的偏导数等于此力的作用点 沿力的方向的位移。 沿力的方向的位移。 (2)计算外力矩作用下刚架端部的动位移 (2)计算外力矩作用下刚架端部的动位移
机械振动
合成振动
用旋转矢量法可求得合成振动方程
合成初相 与计时起始时刻有关 与计时起 分振动初相差 始时刻无关，但它对合成振幅 属相长还是相消合成起决定作用
幻灯片 29
续18
分振动 合振动
其中，合振幅
；
若 则
为合振幅可能达到的最大值 若 则
若 则
为合振幅可能达到的最小值 若 则
若
为其它值，则
处于
与
之间
幻灯片 30
幻灯片 16
弹簧串并联问题
（1）弹簧的串联
k1 k2 O 设振子的位移为x ,
而
F等效 F1 F2 F
x x
所以
x
F k等效
F F k1 k2
k1伸长为l1 ,
k2伸长为l2 ,则
即：
1 k 等效
1 1 k1 k2
x l1 l2
幻灯片 17
（2）弹簧的并联 k2 k1 O
若 且
则
幻灯片 8
旋转矢量法
简谐振动方程
x = A cos (w t﹢j ) 旋转矢量 A
以匀角速 逆时针转动
M(t ) M(t )M(t )
循环往复 M 0 M ((T 0 )) 周期 T 初相 初相 j X
wt wt M ( t ) wt wt wT t 时刻的
(w t﹢j )
ww tw tt wt A
w
则该系统的固有角频率为 振动周期为
T 2p
w
2p
k1 k2 m m k1 k2
幻灯片 20
弹性系数分别为k的轻弹簧，下端质量为m的物体，
该系统的振动周期 T1，若将此弹簧截去一半，下 端挂一质量高m/2，求振动周期 T2