考研数学极限必做题
2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析
2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析注：1）本篇试题选自2004年—2014年数学一、二、三的考研真题，共35题； 2）本篇真题题型：选择题，填空题，解答题； 3）本篇试题包括两部分，第一部分是精选极限真题解析，第二部分是补充极限真题解析(P9)；第一部分（精选“极限”真题解析）（共20题）一、选择题1、设lim ,0n n a a a →∞=≠且，则当n 充分大时有（ ）（A ）n a >||2a （B ）||||2n a a <(C) 1n a a n>-(D) 1n a a n<+答案：(A)，注：2014年数三（1） 解析：方法1：lim 0,lim 0,=2n n n n aa a a a ε→∞→∞=≠∴=>取，则当n 充分大时，3,,22n n n a a a a a a a εεε-<-<-<<<即，故（A ）正确。
方法2：lim n n a a →∞=N N n N ε+∴∀>∃∈∀>使，有||n a a ε-<即 ||||||.0,222n n a a a a a a a a a a εεε-<<+≠∴=<<+可取，则- 不论a >0或a <0，都有||2n a a >，选A2、设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 答案：(B)，注：2012年数二（3）解析：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim n n s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
考研数学二极限试题及答案
考研数学二极限试题及答案# 考研数学二极限试题及答案## 题目一：求极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答步骤：1. 首先，我们考虑极限的类型，这是一个0/0型的不定式。
2. 为了解决这个问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。
3. 应用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}\]4. 当 \(x \to 0\) 时，\(\cos x\) 趋向于 1。
5. 因此，极限的值为 1。
答案：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]## 题目二：函数极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}\)。
解答步骤：1. 观察极限表达式，这是一个无穷大的倒数。
2. 当 \(x\) 趋向于无穷大时，\(x^2\) 也趋向于无穷大。
3. 任何数除以一个趋向于无穷大的数，结果都趋向于 0。
答案：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\]## 题目三：复合函数的极限题目描述：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求极限 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)。
解答步骤：1. 直接将 \(x = 2\) 代入函数 \(f(x)\) 中。
2. 计算得到 \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2\)。
3. 简化得到 \(f(2) = 8 - 12 + 4\)。
4. 计算结果为 \(f(2) = 0\)。
答案：\[\lim_{x \to 2} f(x) = 0## 题目四：数列极限题目描述：考虑数列 \(a_n = \frac{1}{n}\)，求其极限。
考研数学高频考点必刷题
考研数学高频考点必刷题
1.未定式极限的计算、无穷小比较以及极限的局部逆问题(客观题和解答题必考)
2.判断函数的连续性及间断点的分类(一般考客观题)
3.导数定义及几何意义相关题目(客观题和解答题都可能考)
4.各类函数(包括复合函数、幂指函数、隐函数、参数方程、变上限函数)的求导(客观题和解答题都可能考)
5.利用7个中值定理(零点定理、介值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理、积分中值定理)证明等式或不等式(考证明题)
6.利用函数单调性和最值、中值定理证明函数或数值不等式(考证明题)
7.利用函数性态讨论方程的根的个数或曲线交点个数问题(考解答题)
8.判断函数的极值、拐点(客观题和解答题都可能考)
9.求曲线的渐近线或渐近线的条数(一般考客观题)
10.不定积分和原函数的概念的理解(一般考客观题)
11.不定积分的计算(一般考解答题)
12.定积分的计算和定积分性质的应用(客观题和解答题都可能考)
13.定积分的几何应用和物理应用的考查(一般考解答题，有时会和其他知识结合考综合题，物理应用仅数一、数二要求)
14.反常积分的计算和判断敛散性(一般考客观题)。
(完整版)考研极限试题(卷).doc
“考研数学”——做到更好，追求最好南工程考研数学辅导材料之一高等数学主编：杨降龙杨帆刘建新翁连贵吴业军序近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的原因希望通过读研来更好地实现自我。
这些年的统计数据表明：应届与往届的考生基本各占一半。
自 1989 年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲” ，该考试大纲除了在1996 年实施了一次重大的修补以外，从1997 年起一直沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。
因此要求考生能及时了解掌握当年数学考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解” ，“理解”，“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。
通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在80（按总分150 分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括各学科之间的综合）。
这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。
为了我院学生的考研需要，我们编写了这本辅导讲义。
该讲义共分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。
第一章函数极限与连续考试内容函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。
考研数学必做课后习题(同济)
高等数学课后习题解读总习题一：1是填空题，是考察与极限有关的一些概念，这个是很重要的，要掌握好。
而且几乎每章的总习题都设了填空题，均与这些章节的重要概念有关。
所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点，比如谁是谁的什么条件之类，务必要搞清楚。
2是无穷小的阶的比较3、4、5、6是与函数有关的题目，这个是学好高数的基础，但却不是高数侧重的内容，熟悉即可7用定义证明极限，较难，一般来说能理解极限的概念就可以了8典型题，求各种类型极限，重要，6个小题各代表一种类型，其实求极限的题目基本跳不出这六种框架了9典型题，选择合适的参数，使函数连续，用连续的定义即可10典型题，判断函数的间断点类型，按间断点的分类即可11较难的极限题，这里是要用到夹逼原理，此类题目技巧性强，体会一下即可12证明零点存在的问题，要用到连续函数介值定理，重要的证明题型之一，必需掌握13该题目给出了渐近线的定义以及求法，要作为一个知识点来掌握，重要综上，第一章总习题要着重掌握的是1、2、8、9、10、12、13题总习题二：1填空题，不多说了，重点2非常好的一道题目，考察了与导数有关的一些说法，其中的干扰项(B)(C)设置的比较巧妙，因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等，容易忽视另一个重要条件：函数必须要在该点连续，否则何来可导?而(B)(C)项的问题正是在于即使其中的极限存在，也不能保证函数在该点连续，因为根本就没出现f(a)，所以对f(x)在a 处的情况是不清楚的。
而对(A)项来说只能保证右导数存在。
只有(D)项是能确实的推出可导的3物理应用现在基本不要求了4按定义求导数，不难，应该掌握5常见题型，判断函数在间断点处的导数情况，按定义即可6典型题，讨论函数在间断点处的连续性和可导性，均按定义即可7求函数的导数，计算层面的考察，第二章学习的主要内容8求二阶导数，同上题9求高阶导数，需注意总结规律，难度稍大，体会思路即可10求隐函数的导数，重要，常考题型11求参数方程的导数，同样是常考题型12导数的几何应用，重要题型13、14、15不作要求综上，第二章总习题需重点掌握的题目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12第三章的习题都比较难，需要多总结和体会解题思路总习题三1零点个数的讨论问题，典型题，需掌握2又一道设置巧妙的题目，解决方法有很多，通过二阶导的符号来判断函数增量与导数、微分的大小关系，07年真题就有一道题目由此题改造而来，需重点体会3举反例，随便找个有跳跃点的函数即可4中值定理和极限的综合应用，重要题目，主要从中体会中值定理的妙处5零点问题，可用反证法结合罗尔定理，也可正面推证，确定出函数的单调区间即可，此题非典型题6、7、8中值定理典型题，要证明存在零点，可构造适当的辅助函数，再利用罗尔定理，此类题非常重要，要细心体会解答给出的方法9非常见题型，了解即可10罗必达法则应用，重要题型，重点掌握11不等式，一般可用导数推征，典型题12、13极值及最值问题，需要掌握，不过相对来说多元函数的这类问题更重要些14、15、16不作要求17非常重要的一道题目，设计的很好，需要注意题目条件中并未给出f''可导，故不能连用两次洛必达法则，只能用一次洛必达法则再用定义，这是此题的亮点18无穷小的阶的比较，一是可直接按定义，二是可将函数泰勒展开，都能得到结果，此题考察的是如何判断两个量的阶的大小，重要19对凹凸性定义的推广，用泰勒公式展开到二阶可较方便的解决，此题可看作泰勒公式应用的一个实例，重在体会其思想20确定合适的常数，使得函数为给定的无穷小量，典型题，且难度不大综上，第三章总习题需要重点掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20第四章没有什么可说的重点，能做多少是多少吧……积分的题目是做不完的。
第一章函数极限连续典型例题(考研数学)
第一章 函数、极限、连续典型例题1：函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界（ ）. A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 解析：有如下的两个重要结论：❶若()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界；❷若()f x 在开区间(,)a b 内连续，且极限lim ()x af x +→与lim ()x bf x -→存在，则()f x 在开区间(,)a b 内有界.当0,1,2x ≠时，()f x 连续，而1sin 3lim ()18x f x +→-=-，0sin 2lim ()4x f x -→=-，0sin 2lim ()4x f x +→=，1lim ()x f x →=∞，2lim ()x f x →=∞.所以()f x 在(1,0)-内有界，选（A ）.2：设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞，则必有（ ）.A ．n n a b <对任意n 成立B ．n n b c <对任意n 成立C ．lim n n n a c →∞不存在 D ．lim n n n b c →∞不存在解析：应选（D ）.由数列极限保号性的条件得A 、B 两项不是无条件成立的，故A 、B错误.C 项中的极限是“0⋅∞”的未定式，极限有可能是存在的，故C 项也错误.选D 项.3：设()f x 在0x =的某邻域内连续，0()lim 21cos x f x x→=-，则在0x =处()f x （ ）.A ．不可导B ．可导且(0)0f '≠C ．取得极大值D ．取得极小值 解析：应选（D ）.由0()lim21cos x f x x→=-可得，0x →时，1cos 0x -→，则()0f x →，而()f x 在点0x =的某邻域内连续，得(0)0f =.于是000()()(0)0()(0)2limlim lim 21cos 01cos 0x x x f x f x f x f x f x x x x x→→→---=⋅=⋅=----，而02limx x →=∞，因此0()(0)lim 00x f x f x →-=-，即'(0)0f =.（A ）（B ）均错误. 00()()(0)limlim 201cos 1cos x x f x f x f x x→→-==>--，由函数极限的局部保号性可得，(0,)U δ∃，(0,)x U δ∀∈，有()(0)01c o s f x f x->-，而1c o s 0x ->，得()(0)f x f >，因此()f x 在0x =处取得极小值.4：设lim ,n n a a →∞=且0,a ≠则当n 充分大时有（ ）.A. 2n a a >B. 2n a a <C. 1n a a n >-D. 1n a a n<+ 解析：应选（A ）.用排除法，令n a 为简单数列的通项. （1）令21n a n =+，则lim 1n n a →∞=，11n a n >+，排除（D ）.（2）令21n a n =-，则lim 1n n a →∞=，11n a n <-，排除（C ）.（3）令11n a n=--，则lim 1n n a →∞=-，1112n a n -=+>，排除（B ）.5：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,...).n n x x x n π+<<== （1）证明lim n n x →∞存在，并求该极限.（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证明（1） 由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=<，说明数列{}n x 单调减少且0n x >. 由单调有界准则知lim n n x →∞存在.记为A .递推公式两边取极限得sin A A =，解得0A =. （2）原式21sin lim()nxn n nx x →∞=，为“1∞”型极限.因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑210sin lim()t t t t→. 22011sin lim ln 0sin lim()t ttt t t t e t→→=.其中2223220000011sin 1sin sin cos 112lim ln lim (1)lim lim lim 336t t t t t t t t t t t t t t t t t t →→→→→---=-====-. 所以 2221111016sin sin lim()lim()lim()nnxxn n x n n x nnx x x x x xe+→∞→∞→-===.6：41lim(cos 22sin )xx x x x →+解：（方法1）14441ln(cos22sin )limln(cos22sin )0lim(cos 22sin )lim xx x x x x x x xx x x x x x ee→++→→+==而42042040sin 2sin 2lim )sin 2sin 21ln(lim )sin 22ln(cos lim x xx x x x x x x x x x x x x +-=+-=+→→→121612lim 2sin 2lim 33030=⋅=+-=→→x x x x x x x ，所以原式31e =. （方法2）44121)sin 2sin 21(lim )sin 22(cos lim x x x x x x x x x x +-=+→→31sin 2sin 2sin 2sin 212422)sin 2sin 21(lim e x x x x xx x x x x x =+-=+-⋅+-→.7：1402sin lim ||1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002sin 2sin 2lim lim 11111x xx x x x e x e x x x e e --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 1144002sin 2sin lim lim 01111x x x x x x e x e x x x e e ++→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 左右极限存在且相等，所以1402sin lim 1.1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭8：22411limsin x x x x x x→-∞++++=+ .解：分子分母同时除以x （注意x 趋于负无穷大），可得2222411411limlimsin sin x x x x x x x x x x x xx x x→-∞→-∞++++++++=++ 22222241111141lim lim 1sin sin 1x x x x x x x x x x x x x x x →-∞→-∞+++-+-++++===+-+-.9：求221()lim 1n n n x f x x x →∞⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦的间断点，并判别类型. 解：当||1x <时，20nx→，则()1f x x =--，当||1x =时，则()f x x =-， 当||1x >时，2nx→∞，则()1f x x =-，1,||1(), ||11, ||1x x f x x x x x --<⎧⎪∴=-=⎨⎪->⎩.分段点为1x =±(1)1,(10)2,(10)0f f f =--=-+= (1)1,(10)2,(10)0f f f -=--=-+=则1x =±都为跳跃间断点.10：设)(x f 在[0,1]]连续，(1)0f =，212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：（1）存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ξξ=； （2）)(x f 在[0,1]上最大值大于1.证明：（1）由212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭及)(x f 在[0,1]连续，得121=⎪⎭⎫⎝⎛f .令()()x f x x φ=-，111102222f φ⎛⎫⎛⎫=-=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)(1)110f φ=-=-<，由连续函数介值定理知存在1(,1)2ξ∈使()0φξ=，即()f ξξ=.（2）由于01211)(lim221>=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x f x ，由保号性定理知1111(,)(,)2222x δδ∀∈-+时，有()1f x >，故)(x f 在[0,1]上最大值大于1.。
考研数学二(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是( )．A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B解析：题设中给出数列单调、有界等条件，这自然想到利用命题1．1．4．1确定正确选项，也可以用反例排错法确定之．解一若{xn}单调，则{f(xn)}单调．又f(x)在(一∞，+∞)内有界，可见{f(xn)}单调有界，由命题1．1．4．1知{f(xn)}收敛．仅(B)入选．解二举反例排错法确定正确选项．若取f(x)=arctanx，{xn)={n}，则可排除(C)、(D)．若取f(x)=和xn=，则=0且f(xn)={f(xn)}不收敛，排除(A)．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续2．[2007年] 设函数f(x)在(0，+∞)内具有二阶导数，且f＂(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )．A．若u1＞u2，则{un}必收敛B．若u1＞u2，则{un}必发散C．若u1＜u2，则{un}必收敛D．若u1＜u2，则{un}必发散.正确答案：D解析：由于含有抽象函数，利用赋值法举反例判别．依据函数f(x)的性质可判断数列{un=f(n))的敛散性．举反例排除错误选项．设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f＂(x)＞0，u1＜u2，但{un)={n2}发散，排除(C)．设f(x)=1／x，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f＂(x)＞0，u1＞u2，但{un}={1／n)收敛，排除(B)．设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f＂(x)＞0，u1＞u2，但{un}={一lnx}发散，排除(A)．仅(D)入选．知识模块：函数、极限与连续3．[2004年]等于( )．A．∫12 ln2dxB．2∫12 lnx dxC．2∫12 ln(1+x)dxD．∫12 ln2(1+x)dx正确答案：B解析：将所给极限变形为其对应一函数在一区间上的积和式．分别使用式(1．1．4．1)或式(1．1．4．3)化为定积分，后者还必须作一代换才能化为四选项之一．=2∫12lnx dx (利用式(1．1．4．1))．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续4．[2010年]=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：将所给积和式可改写为下述两种形式：因而本题有下述两种解法．解一仅(D)入选．因解二记D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}，它是正方形区域，f(x，y)=，将D的长与宽n等分(见图1．1．4．1)，则D分成n2个小正方形，每个小正方形的面积为．于是σn可看成f(x，y)在D上的一个二重积分的积和式：仅(D)入选．知识模块：函数、极限与连续5．[2007年] 当x→0+时，与√x等价的无穷小量是( )．A．l—e√xB．lnC．一1D．1一cos√x正确答案：B解析：用等价无穷小量定义判别．为此可使用等价无穷小代换、洛必达法则求之．解一使用等价无穷小定义，用排错法确定正确选项．因当x→0+时，有1一e√x=一(e√x一1)～一√x，排除(A)；一1～√x／2，排除(C)；1一cos√x～(√x)2／2=x／2，排除(D)．因而仅(B)入选．解二仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续6．[2013年] 设cosx一1=xsina(x)，其中∣a(x)∣＜，当x→0时，a(x)是( )．A．比x高阶的无穷小量B．比x低阶的无穷小量C．比x低阶的无穷小量D．与x等价的无穷小量正确答案：C解析：因∣α(x)∣＜，故sinα(x)的反函数存在，且因sinα(x)=→0(x→0)，故α(x)为无穷小量，且x(x)=arcsin．于是所以α(x)与x是同阶但不等价的无穷小量．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续7．[2016年]设α1=x(cos√x一1)，α2=√xln(1+)，α3=一1，当x→0+时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是( )．A．α1，α2，α3B．α2，α3，α1C．α2，α1，α3D．α3，α2，α1正确答案：B解析：先分别求出α1，α2，α3关于x的无穷小量的阶数，再利用无穷小量阶的定义比较之．当x→0+时，α1=x(cos√x—1)=一x(1一cos√x)～一x α2=√xln(1+)～x1/2．x1/3=x5/6，α3=一1～,由无穷小量阶的定义易看出，从低阶到高阶的排列次序为α2，α3，α1．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续8．[2004年] 把x→0+时的无穷小量α=∫0x cost2dt，β=∫0x2 tan√tdt，γ=∫0√xsint3dt排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小量，则正确的排列次序是( )．A．α，β，γB．α，γ，βC．β，α，γD．β，γ，α正确答案：B解析：使用无穷小量的阶的定义求之，也可利用命题1．1．5．1(2)求之．解一分别求出α，β，γ关于x的阶数，然后再比较．由=1知，α是x的l阶无穷小量．由即β为x的3阶无穷小量．由即γ为x的2阶无穷小量，故正确的排列次序为α，γ，β．仅(B)入选．解二两两比较它们的阶的大小．因=0.因而β是α的高阶无穷小量．可排除(C)，(D)选项．同法可求得=∞，则β是γ的高阶无穷小量，排除(A)．=0，则γ是α的高阶无穷小量，因而仅(B)入选．解三利用命题1．1．5．1观察求之．仅(B)入选．因cost2为t→0时的零阶无穷小量，故α=∫0x cost2dt为(1+0)×1=1阶无穷小量，β为x的(1／2+1)×2=3阶无穷小量，γ为(3+1)×(1／2)=2阶无穷小量，故正确的排列次序为α，γ，β．知识模块：函数、极限与连续9．[2010年] 设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有( )．A．g(x)＜h(x)＜f(x)B．h(x)＜g(x)＜f(x)C．f(x)＜g(x)＜h(x)D．f(x)＜g(x)＜h(x)正确答案：C解析：x→+∞时，利用无穷大量阶的定义或利用命题1．1．5．3先比较无穷大量的阶，再判别选项．由x→+∞时，由命题1．1．5．3(2)知，无穷大量由低阶到高阶的排列顺序为ln10x，ex/10，因而有(ln10x／x)=0，于是当x充分大时有x＞ln10x，(ex/10／x)=+∞，因而当x充分大时，有ex/10＞x，故当x充分大时有f(x)=ln10x＜g(x)=x＜h(x)=ex/10．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续10．[2009年] 当x→0时f(x)=x—sinx与g(x)=x2ln(1－bx)为等价无穷小，则( )．A．a=1，b=一1／6B．a=1，b=1／6C．a=一1，b=－1／6D．a=1，b=1／6正确答案：A解析：用等价无穷小代换或洛必达法则求之．解一由题设有故必有1一a=0，即a=1．于是有一a3／(6b)=1，即b=一1／6，仅(A)入选．解二由题设有,因而存在，而(－3bx2)=0，故(1一a cosax)=0，即a=1．于是有,即b=一1／6．仅(A)入选．知识模块：函数、极限与连续填空题11．[2018年]x2[arctan(x+1)－arctanx]=___________．正确答案：函数y(t)=arctant在[x，x+1]上可导，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(x，x+1)，使得arctan(x+1)一arctanx=，ξ∈(x，x+1)，从而＜x2[arctan(x+1)一arctanx]＜不等式两边取极限可得：=1.故由夹逼准则知：x2[arctan(x+1)一arctanx]=1．涉及知识点：函数、极限与连续12．[2012年]=__________.正确答案：利用定积分定义求上述积和式的极限．=arctanx∣01 =arctanl 一arctan0=arctanl=π／4．涉及知识点：函数、极限与连续13．[2002年]=__________.正确答案：利用定积分的定义式(1．1．4．3)或式(1．1．4．2)计算．解一原式：解二原式涉及知识点：函数、极限与连续14．[2016年] 极限=___________.正确答案：积和式的极限可利用定积分定义式(1．1．4．3)求之．=∫01 sinxdx=一∫01 xdcosx=一[(xcosx)∣01 一∫01 cosx dx]=一cos1+∫01 d(sinx)=一cosl+sinl=sinl一cosl．涉及知识点：函数、极限与连续15．[2003年] 若x→0时，(1一ax2)1/4一1与xsinx是等价无穷小，则a=_________．正确答案：利用等价无穷代换及等价无穷小定义求之．当x→0时，利用命题1．1．3．1(8)得到(1一ax2)1/4一1～一ax2／4，xsinx～x2．于是，根据题设，有=l，故a=一4．涉及知识点：函数、极限与连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学极限题真题解析
考研数学极限题真题解析考研数学极限题真题解析在考研数学中，极限题是一个非常重要的考点。
掌握好极限的概念和解题技巧，对于提高数学成绩至关重要。
本篇文章将通过对几道考研数学极限题的真题解析，帮助考生更好地理解和掌握极限的相关知识。
一、题目一已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$，求$\lim_{n\to\infty}a_n$。
解析：首先，我们可以观察到数列${a_n}$是递推定义的，每一项都依赖于前一项。
我们可以尝试计算前几项的值，看是否能找到规律。
$a_1=1$，$a_2=\sqrt{1+2}=3$，$a_3=\sqrt{3+2}=\sqrt{5}$，$a_4=\sqrt{\sqrt{5}+2}=\sqrt[4]{5+2}$，依此类推。
我们可以发现，每一项都是前一项的平方根加上2的结果。
因此，我们可以猜测，当$n$趋近于无穷大时，数列${a_n}$的极限应该是一个常数。
设该极限为$L$，则有$L=\sqrt{L+2}$。
将方程两边平方，得到$L^2=L+2$。
移项整理，得到$L^2-L-2=0$。
解这个二次方程，我们得到$L=2$或$L=-1$。
但由于数列${a_n}$的每一项都是正数，所以$L$不能为负数。
因此，$\lim_{n\to\infty}a_n=2$。
二、题目二已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$\lim_{x\to2}f(x)$。
解析：这是一个极限的函数题。
我们可以尝试直接代入$x=2$，看看是否能够得到一个有意义的结果。
当$x=2$时，分子和分母都为0，无法直接计算。
但我们可以对函数进行化简，看是否能够消去这个不确定性。
将分子进行因式分解，得到$f(x)=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$。
我们可以看到，分子中的$(x-2)$与分母中的$(x-2)$可以相互约去。
化简后的函数为$f(x)=x+2$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考研数学极限必做题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】1 如果lim x →x 0x (x )存在，则下列极限一定存在的为(A) lim x →x 0[x (x )]x （B ）lim x →x 0|x (x )| （C ）lim x →x 0ln ?x (x ) （D ）lim x →x 0arcsin ?x (x )2 设x (x )在x =0处可导，x (0)=0，则lim x →0x 2x (x )−2x (x 3)x =（A ）−2x ′(0) （B −x ′(0) （C ）x ′(0) （D ）0 3.设x (x )，x (x )连续x →0时，x (x )和x (x )为同阶无穷小则x →0时，∫x (x −x )?x x0为 ∫xx (xx )?x 10的（A ）低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶无穷小4.设正数列{x x } 满足lim x →∞∫x x ?x x x=2 则lim x →∞x x =（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）12 5.x →1时函数x 2−1x −1?1x −1的极限为（A ）2 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在，但不为∞6.设x (x ) 在x =0的左右极限均存在则下列不成立的为 （A ）lim x →0+x (x ) = lim x →0−x (−x ) （B ） lim x →0x (x 2) =lim x →0+x (x )（C ）lim x →0x (|x |) = lim x →0+x (x ) （D ）lim x →0x (x 3) =lim x →0+x (x )6. 极限lim x →∞?sin ?1x −1(1+1x )x −(1+1x)=A ≠0的充要条件为（A ）x >1 （B ）x ≠1 （C ）x >0 （D ）和x 无关7..已知lim x →∞[x 21+x −xx −x ]=0，其中x ,x 为常数则x ,x 的值为（A ）x =l ，x =1 （B ）x =−1 ，x =1 （C ）x =1，x =−1 （D x =−1，x =−18. 当x →0 时下列四个无穷小量中比其他三个更高阶的无穷小为（A ）x 2 （B ）1−cos ?x （C ）√1−x 2−1 （D ）x −tan ?x9.已知x x +1=√x x x x ，x x +1=12(x x +x x ) ，x 1=x >0，x 1=x >0 （x <x ）则数列{x x }和{x x }(A) 均收敛同一值（B ）均收敛但不为同一值 （C ）均发散 （D ）无法判定敛散性 10. 设x >0,x ≠0，limx →∞[(x 2x +x x )1x−x 2]=x 则x ,x 为11. 若 lim x →x 0[x (x )+x (x )]存在，lim x →x 0[x (x )−x (x )]不存在，则正确的为（A ）lim x →x 0x (x )不一定存在 （B ）lim x →x 0x (x )不一定存在（C ）lim x →x 0[x 2(x )−x 2(x )] 必不存在 （D ）lim x →x 0x (x )不存在12. 下列函数中在[1,+∞)无界的为(A)x (x )=x 2sin ?1x 2 （B ）x (x )=sin x 2+2√x（C ）x (x )=x cos √x +x 2?−x （D ）x (x )=arctan ?1xx 213. 设x (x )连续lim x →0x (x )1−cos ?x =2且x →0时∫x (x )?x sin 2?x为x 的x 阶无穷小则x =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 14. 当x →0时下列四个无穷小中比其他三个高阶的为（A ）tan ?x −sin ?x （B ）(1−cos ?x )ln ?(1+x ) （C ）(1+sin ?x )x −1 （D ）∫arcsin ?x ?x x 215. 设[x ]表示不超过x 的最大整数，则x =x −[x ]是（A ）无界函数 （B ）单调函数 （C ）偶函数 （D ）周期函数16. 极限lim x →∞[x 2(x −x )(x +x )]x=（A ）1 （B ）? (C) ?x −x （D ）?x −x17. 函数x (x )=x 2−x x 2−1√1+1x 2的无穷间断点的个数为（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 18. 如果lim x →0[1x −(1x −x )?x ]=1，则a=（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 19. 函数x (x )=x −x 3sin ?xx的可去间断点的个数为 （A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）无穷多个 20. 当x →0+时，与√x 等价的无穷小量是 （A ） 1-?√x （B ） ln +1−x(C ） √1+x −1 （D ） 1−cos ?√x 21.设函数x (x )=?xx 1−1，则（A ） x =0,x =1都是x (x )的第一类间断点 （B ）x =0,x =1都是x (x )的第二类间断点（C ）x =0是x (x )的第一类间断点，x =1是x (x )的第二类间断点 （D ）x =0是x (x )的第二类间断点，x =1是x (x )的第一类间断点22 lim x →∞ln ?√(1+1x )(1+2x )…(1+xx )x等于(A ）∫ln 2?x ?x 21(B) 2∫ln ?x ?x 21 (C) 2∫ ln (1+x )?x 21(D) ∫ln 2?(1+x )?x 2123.若limx →0sin ?6x +xx (x )x =0，则limx →06+x (x )x 为（A ）0 （B ）6 （C ）36 （D ）∞ 24.对任意给定的x ∈（0，1），总存在正整数x ,当x ≥x 时，恒有“|x x −x |≤2x” 是数列收敛于x 的（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充要条件 25.设函数x (x )=limx →∞1+x1+x 2x，讨论函数x (x )的间断点，其结论为（A ） 不存在间断点 （B ）存在间断点x =0 （C ）存在间断点x =1 （D ）存在间断点x =−126. .lim x →∞[tan ?(x 4+2x )]x=27.x [sin ?ln ?(1+3x )−sin ?ln ?(1+1x )] =28. 已知lim x →∞3xx (x )=lim x →∞[4x (x )+5] 则lim x →∞xx (x )=29. 在[0,1]上函数x (x )=xx (1−x )x 的最大值记为x (x ) 则lim x →∞x (x ) =30. 设x 、x 、x >0则lim x →0[xx −x +(1−x )x −x ]−1x =31.lim x →+∞arcsin ?(√x 2+x −x ) =32. lim x →0∫(3sin ?x +x 2cos ?1x)?xx(1+cos ?x )∫ln ?(1+x )?xx0 =33.lim x →+∞(1+2x +3x )1x +sin ?x =34. x ~x （x →x ）则lim x →x(xx )x 2x 2−x 2=.lim x →0∫x sin ?(x 2−x 2)?xx 0(1−cos ?x )ln ?(1+2x 2) =35.lim x →0+(?x −1−x )1ln ?x =36.x (x )有连续的导数x (0)=0，x ′(0)=6，则limx →0∫x (x )?xx 3[∫x (x )?x 0]3=37.x (x )的周期x =3且x ′(−1)=1，则lim x →0xx (2−3x )−x (2) =38.lim x →∞2x x !x = 39.设x (x )在x =1连续且lim x →1x (x )+x x −3x −1 =−3，则x ′(1)=40.极限x =∫lim x →∞√2x +x 2x x2−2?x =41.lim x →0[1+tan ?x1+sin ?x ]1x 3=42.lim x →+∞(ln ?x )1x −1=43.x →0时x (x )=?x −1+xx1+xx 为x 的3阶无穷小则x = ， x = 44. 极限limx →−√2x 1√ =45.lim x →∞(1−122)(1−132)?(1−1x 2) =46.lim x →+∞(√x 6+x 56−√x 6−x 56) =47. x′′(x)存在x(0)=x′(0)=0，x′′(x)>0，x(x)为曲线x(x)在(x，x(x))处切线在x轴的截距则limx→0xx(x)=48. x>0，xx≠0，limx→+∞[x x ln?(1+xx)−x] =c (c≠0)则a= b=c=49.limx→∞sin?(√x2+1x) =50.已知x→0时x−(x+x cos?x)sin?x为x的5阶无穷小则x = ，x=lim x→0[ (1+x)1x?]1x=35.limx→+∞∫|sin?x|?xxx=36.x(x)可导对于?x∈(−∞,+∞)有|x(x)|≤x2则x′(0)=37.limx→∞∫x x1+x?x1=38.如果limx→∞(1+xx)xx=∫x?x?xx−∞则x=39.设x→1+时√3x2−2x−1ln?x与(x−1)x为同阶无穷小则x=40 .limx→+∞?x(1+1x)x2=41.limx→0ln?(sin2?x+?x)−xln?(x2+?2x)−2x=42. |x|<1时limx→∞(1+x)(1+x2)?(1+x2x)=43. 设极限limx→+∞[(x5+7x4+2)x−x]=x（x≠0）则x= x =44. limx→∞[x−x2ln?(1+1x)] =45. x=limx→0[ −1ln(1+x)] =46. 设x=x(x)由x2+xx+x2−x=0确定满足x(1)=−1的连续函数则limx→1(x−1)2x(x)+1=47 .设x 1,x 2…x x 为正数（x ≥2）则lim x →∞(x 1x +x 2x +⋯+x x x )1x =48. x (x )连续x →0时x (x )=∫(x 2+1−cos x )x (x )?x x 0为x 3的等价无穷小 则x (0)=49. x (x )连续 x (0)=0，x ′(0)≠0则limx →0∫x (x 2−x )?x x 2x 3∫x (xx )?x10 =50. x (x )=∫sin ?(xx )x?x xx 2则limx →0x (x )x 2=51. 极限lim x →∞x 2[ x 1x +1−x 1x] =52. 已知x (x )在x =x 可导x (x )>0 ，x ∈x ，x (x )=1，x ′(x )=2则极限lim x →∞[x (x +1x )x (x ) ]x=53. lim x →0(cot 2?x −1x 2)=54. limx →1lncos ?(x −1)1−sin ?x2x=55. 如果lim x →−∞(√x 2+x +1+xx +x )=0则x = x = 56. lim x →0(arcsin ?x x)11−cos ?x=57. 已知曲线x =x (x )在点（0,0）处切线经过点（1,2）则极限lim x →0[cos ?x +∫x (x )?x x0]1x 2 =58. 已知x (x )在x =0邻域内可导且lim x →0[sin ?xx 2+x (x )x]=2 则x (0)=x ′(0)= lim x →0xx (x )+? =59. limx →0√1+tan ?x −√1+sin ?xx ln ??(x +1)−x 2=60 lim x →1ln x ln (1−x )= 61. lim x →∞[12+322+523+⋯?+2x −12x] = 62. lim x →0[x x −(1x 2−x 2)ln (1+xx )] = （x ≠0）63 .limx→0?1x+1?1x−1arctan1x=64.设x(x)在[x,x]连续则limx→+∞∫x x x(x)?x1=65. x=limx→0arcsin?x−sin?xarctan?x−tan?x=66 . limx→0(x+3)x−3xx=67 .limx→+∞1x∫(1+x2)?x2?−x2?xx=68. limx→0?2−(x+1)2xx=69. limx→02√1+x sin?x−cos?x=70. limx→∞[(1+12x2)(1+22x2)+⋯+(1+x2x2)]1x=71. 设x x=1x2+1+2x2+22+…+xx2+x2则limx→+∞x x=72 .x=limx→0[ln?(1+?2x)ln?(1+?1x)+x[x]]存在求x及x的值.73.limx→+∞∫(1+x2)?x2?xxx?x2=74. limx→0[ 1ln?(1+x2)−1sin2?x] =75. limx→+∞(x+?x)1x =76. limx→1x−x x1−x+ln??x=77. limx→∞…(2x−1) (2x)=78. limx→∞1x√x(x−1)?(2x−1)x =79. 极限limx→0(1−√cos?x)(1−√cos?x3)…(1−√cos?xx)(1−cos?x)−=80. 设x(x)一阶连续可导且x(0)=0，x′(0)=1则下列极限limx→0[1+x(x)]1arcsin?x =81. 函数x(x)满足x(0)=0，x′(0)>0则极限limx→0+x x(x)=82. limx→+∞[x+√1+x2]2x =83. limx→+∞[ x2−arctan x ]1ln?x =84. limx→01−cos x√cos?2x√cos3x3x2=85. 函数x(x)=xln?|1−x|的第一类间断点的个数为86. limx→0(cot?x)2sin?x =87.limx→+∞?x−2xx arctan?xx+?x=88.limx→∞(√+√2+⋯+√) =89. limx→+∞x2[lnarctan(x+1)−lnarctan x] =90. limx→+∞x32(√x+2−2√x+1+√x) =91 设x≠0时limx→∞cos?x2cos?x4…cos?x2x=92极限x=limx→+∞1+2|x|1+xarctan?x =93. limx→0tan x+(1−cos?x)ln(1−2x)+(1−?x2)=94 x(x)=arcsin x在[0,x]上用拉格朗日中值定理且中值为x则limx→0xx=95 已知曲线x=x(x)与x=sin?x在(0,0)处相切则limx→∞[ 1+x(2x) ]x =96 limx→∞(1x2+x+1+2x2+x+2+⋯+xx2+x+x) =97 limx→+∞ (x1x+x1x+x1x3)x=98 极限limx→0(1+x)1x−?x=99.设x(x)在x=1处可导且在（1,x(1)）处的切线方程为x=x−1，求极限P =limx→0∫?x x(1+?x2−?x)?x x2x2ln?cos?x100.如果limx→+∞(x x+7x4+1)x−x=x（x>4，x≠0）求x,x及x的值。