推理的思想例4 (2)
高中思想政治选择性必修第三册精品课件 第二单元 第六课 掌握演绎推理方法-第一框 推理与演绎推理概述
2.[2023·江苏扬州高二期末测评] 《淮南子·说山训》有云：“以小见大，见一叶落而知
岁之将暮。”唐庚《文录》引唐人诗：“山僧不解数甲子，一叶落知天下秋。”“一叶落
而知岁之将暮”“一叶落知天下秋”这些说法表明( D )
①推理的结果决定事物的发展过程 ②推理是否有效直接影响事物的性质 ③学会推理
有利于人们获得新知识 ④思考体现了“由此及彼”的思维过程
02 重难探究·能力素养全提升
议题一 理解推理的种类与意义
情境探究
情境 学校有足球、航模和电脑兴趣小组。 淘气、笑笑和奇思根据自己的爱好分别参 加了其中一组，他们三人都不在一个组。
探究 如果他们都说了真话，他们分别在哪个兴趣小组？这一结论是如何得出的？ ________________________________________________________________ 提示 奇思喜欢航模，所以在航模组；笑笑不喜欢足球，所以在电脑组；淘气不是电 脑组的，那就一定是在足球组。这一结论是通过推理得出的。
疑难突破
1.演绎推理保真性的两个条件
前提是真实的 如果前提虚假，由前提推出的结论就不能保证真实可靠
判断 如果推理结构不正确，也就是说，前提和结论的逻辑联系方式是错
推理结构正确 误的，那么，尽管前提真实，也不能保证推出正确的结论。正确的 演绎推理结构是找不出“反例”的
2.掌握演绎推理的意义
03 学以致用·随堂检测全达标
要点笔记 推理的意义主要体现在两个方面，一是知识的获取，二是实践的发展。推 理可以指导人们通过已知获取新知，并且反驳错误观念，推动知识系统化理论化。正 确的推理可以具有可预见性，为实践提供方向和理论指导。
2.推理及其类型
议题二 理解演绎推理的逻辑要义
11道经典逻辑推理题
11道经典的逻辑推理题(申请加精)猜帽子1有三顶红帽子和两顶蓝帽子。
将五顶中的三顶帽子分别戴在A、B、C三人头上。
这三人每人都只能看见其他两人头上的帽子，但看不见自己头上的帽子，并且也不知道剩余的两顶帽子的颜色。
问A:"你戴的是什么颜色的帽子?"A说:"不知道。
"问B:"你戴的是什么颜色的帽子?"B想了想之后，也说:"不知道。
"最后问C。
C回答说:"我知道我戴的帽子是什么颜色了。
"当然，C是在听了A、B的回答之后而作出推断的。
试问:C戴的是什么颜色的帽子?猜帽子2一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。
帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。
每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。
主持人先让大家看看别人头上戴的是什幺帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就拍手。
第一次关灯，没有声音。
于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。
一直到第三次关灯，才有劈劈啪啪打耳光的声音响起。
问有多少人戴着黑帽子?猜帽子3小明、小丰、小兰三位学生这学期在侦探推理竞赛中并列第一，但学校每年只会颁给一个人奖状，于是老师请他们放学后到办公室，决定谁拿这个奖状。
放学后，在办公室里老师让他们闭上眼，给他们每人戴了一顶帽子，再让他们挣开眼，然后说要看看他们的逻辑推理能力，并告诉他们帽子只有绿黄两种，请看到绿帽子的举手，谁先说出自己戴的帽子的颜色，就把奖状颁给谁。
三个人听后都举手了。
过了一会，小兰说：“我知道自己戴的是什么颜色的帽子了。
”请问小兰戴的是什么颜色的帽子?猜帽子4有3顶橙帽子，4顶青帽子，5顶紫帽子。
让10个人从矮到高站成一队，给他们每个人头上戴一顶帽子。
每个人都看不见自己戴的帽子颜色，只能看见站在前面比自己矮的人的帽子颜色。
所以最后一个人可以看见前面9个人头上帽子的颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。
现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。
做有深度的数学教学——关于数学抽象、逻辑推理、数学建模的教学案例分析
做有深度的数学教学摘要：深度数学教学应着意从数学抽象、逻辑推理、数学建模的角度展开.发展抽象能力，重在营造探究氛围，强调变式教学，关注数学交流，引导学生理解本质、活跃思维、语言“互译”；发展推理能力，要注重归纳通性、通法，把合情推理和演绎推理结合起来，引导学生“悟”数学；发展建模能力，要处理好建模过程与结果之间的关系，强化建模意识，发展学生的信息转化与化归能力.关键词：数学抽象；逻辑推理；数学建模；深度教学收稿日期：2020-03-15作者简介：苑建广（1973—），男，正高级教师，主要从事中学数学教育教学及试题研究.——关于数学抽象、逻辑推理、数学建模的教学案例分析苑建广数学思想是数学科学发生、发展的根本，是探索、研究数学的基础，是数学课程教学的精髓，是将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西.数学的基本思想主要指数学抽象思想、逻辑推理思想、数学建模思想.人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展；通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大效益，又反过来促进数学科学的发展.数学教师应对此有深刻的认识，切实落实这些内容的教学，做有深度地数学教学.深度教学关注知识的“前世”和“今生”，关注方法和技能的适用性，关注数学思想的感悟和思维品质的发展，关注数学活动经验的积累.为了实现这些目标，日常教学可着意从抽象、推理、建模的角度予以深度展开.本文结合笔者亲历的一些教学案例进行解读.蝉翼之论，权为抛砖.一、引导学生感悟数学抽象由数学抽象思想派生出分类思想、数形结合思想、变中有不变思想、符号表示思想、对称思想、对应思想等.就数学抽象的深度而言，大体上分为三个层次：第一层次，把握事物的本质，把繁杂的问题简单化、条理化，能够清晰地表达，我们称其为简约阶段；第二层次，去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物，我们称其为符号阶段；第三层次，通过假设和推理建立法则、模式或模型，并能够在一般意义上解释具体事物，我们称其为普适阶段.案例1：足球射门.如图1，从数学角度分析影响足球射门的因素是什么？P 图1通过分析可知，影响足球射门的关键因素是射点P 对球门AB 的张角（∠APB ）的大小，张角越大，越容易射门成功.而影响这个张角大小的因素又是什么呢？容易联想到圆周（心）角的相关知识，取AB 的中··43点O ，我们分类（层次）探究，作射线OP ，在OP 上取点P 1，P 2，P 3，容易判断∠AP 1B ＞∠AP 2B ＞∠AP 3B ，似乎射点P 离点O 越远，张角越小，射门越难成功.是这样吗？作出以AB 为直径的半圆O ，在半圆O 上取任意点，显然这些点到点O 的距离是相等的，且这些点对球门AB 的张角是相等的.但是，作出过点A ，B ，P 3的⊙O ′，在⊙O ′上取另一点P 4，又容易知道点P 3，P 4对球门AB 的张角是一样的，而这两个射点到点O 的距离不一定相等，但是到点O ′的距离却一定是相等的.由此，从数学的角度看，可以抽象出影响射门的因素是由射点P 与球门两端A ，B 所确定的弧（APB ）的度数所决定的，度数越大，则张角（∠APB ）越小，越不容易射门成功.案例2：糖水的甜淡.为什么一杯糖水越加水越淡，越加糖越甜？这促使我们思考，决定糖水甜淡度的关键因素是什么？是糖水的浓度（糖水中糖的质量所占的百分比）.设一杯糖水的质量为m 克，其中所溶解的糖的质量为n 克，这时糖水的浓度为P =n m ·100%.若往里面加入a 克糖（假设所加的糖能够全部溶解），则糖水的浓度变为P 1=n +a m +a·100%.利用“作差与0比”的方法：由m ＞n ，可知n +a m +a -n m =()mn +ma -()mn +na ()m +a m =()m -n a()m +a m＞0，即P 1＞P .则此时糖水变甜.因而一杯糖水中，越加糖越甜；若往里面加入b 克水，则糖水的浓度变为P 2=n m +b ·100%<n m·100%=P ，因而一杯糖水中，越加水越淡.这与生活经验也是相符的.【点评】抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象能力，才可能从感性认识中获得事物的本质特征，从而上升到理性认识.通过抽象，我们可以从对数学的感性认识能动地飞跃到理性认识，透过现象揭示本质.案例1中既有数学建模，又有数学抽象，是一个以问题解决为典型特征的深度思考的综合与实践过程，展现了数学抽象在几何直观上的内涵，利用图形描述和分析问题，使复杂的问题变得简单、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.由案例2可见，生活中的问题可以通过抽象成数学问题来解释或解决，从而体现数学源于生活，高于生活，反过来又服务和指导生活的应用价值，展现了数学抽象在符号意识上的内涵，运用符号表示数量关系和变化规律，借助符号进行运算和推理，实现了具体与抽象的和谐统一.一个代数、一个几何，均展现了明显的“弱抽象”特征，以“概念扩张式抽象”为表现形式，从原型（或已有概念）中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例，从而完成对问题的深入认识，得到一般结论.要正确认识数学的抽象性，一方面，认识抽象是数学的基本特征，认识数学抽象不同于其他学科之处，认识数学抽象在培养人的理性思维能力上所具有的特殊功能，从而消除对数学抽象的疏远，甚至畏惧心理，加强通过数学学习培养数学思维的自觉意识；另一方面，要认识数学抽象与现实世界的辩证关系，看到数学在抽象的外表下的丰富多彩和广泛应用.两个案例促使我们思考，数学抽象的教学可以从以下角度进行.第一，营造探究氛围，引导学生理解本质.建议采用“微探究”的教学形式，从局部着手，针对某些环节有侧重地探究，学生相对自主，开放程度小，不刻意追求探究过程的完整性，便于教学实施.第二，强调变式教学，引导学生活跃思维.重视知识、方法、能力并举，强调信息转化与综合应用，拓展思维空间，让数学思维更加生动.第三，关注数学交流，引导学生运用语言“互译”.数学解题就是信息转化与化归的过程，不断抽象数量关系与变化规律，运用数学符号表示，理解符号所代表的数量关系和意义，进行信息和语言间的“互译”，选择适当的数学公式、定理、法则，并能选择适当的方法解决数学问题.二、引导学生体验逻辑推理由数学推理思想派生出归纳思想、演绎思想、代换思想、逐步逼近思想、转化与化归思想、联想与类比思想、特殊与一般思想等.数学推理分为合情推理··44（或然性推理）和演绎推理（必然性推理）.人们往往通过直观来预测数学结果，然后通过证明来验证数学结果.教学中，教师可以有意识地设计一些教学过程来培养学生的这两种能力.案例3：函数解析式中的系数对图象形状和位置的影响作用分析.以二次函数y=ax2+bx+c为例.教材中通常采用从简单到一般的研究过程：先研究y=ax2图象的性质，再研究y=ax2+c图象的性质，之后研究y= a()x-h2+k图象的性质，最终把对y=ax2+bx+c图象性质的研究归结为y=a()x-h2+k.在每个研究层次中，又采用从特殊到一般的研究模式，对系数a，b，c 赋以具体数值，画出图象，观察特征，最后概括为“实际上，对于一般情形，有如下性质……”，归纳得出一般规律.学生总会感觉有一点不舒服：老师经常说特殊情形成立的结论是否能推广到一般情形，是需要证明的，不能简单地“想当然”.那么，能否在了解y= ax2+bx+c的图象是抛物线的基础上，把系数a，b，c 对图象形状和位置的影响作用进行一下推理分析呢？经过配方，容易知道y=ax2+bx+c=aæèöøx+b2a2+ 4ac-b24a，要想知道抛物线的开口方向，必然需要对a进行分类讨论.当a＞0时，y=ax2+bx+c=aæèöøx+b2a2+ 4ac-b24a≥4ac-b24a，y有最小值，抛物线必然有最低点，此时取x=-b2a，则y=4ac-b24a，即顶点是æèçöø÷-b2a，4ac-b24a，图象向上发展，抛物线开口向上.类似地，可推得a＜0时的情形.学生从中容易理解系数a对抛物线开口方向的影响，也容易理解抛物线的顶点坐标公式.如何推证抛物线的对称性，或如何说明抛物线的对称轴是x=-b2a呢？只需要说明当x=-b2a±t时，所对应的y值是相等的，难度不大，不再赘述.对于c对图象与纵轴交点位置的影响，可以通过点()0，c进行说明，也是非常容易的.对一次函数y=kx+b的图象为什么是一条直线，k对图象（直线）走向的影响，k对直线陡峭程度（斜率）的影响，以及k对反比例函数y=kx图象分布，k 对图象位置的影响，甚至任何函数图象平移的一般规律也可以进行类比研究.案例4：举反例.要说明一个命题是正确的，需要给出证明；要说明一个命题是错误的，找到一个反例，会让人更加信服.这也是深度数学教学所追求的.命题：周长和面积相等的两个三角形全等.我们都知道这是个假命题，如何举出让学生信服的反例呢？先作一个Rt△ABC，使∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm.再取线段MN=9cm，EF=15cm，在线段EF上取合适的点G（何为合适？为什么合适？留给读者思考），分别以点M，N为圆心，以EG，FG为半径作圆弧，两弧相交于点P（点P1，P2），调整点G的位置，可以得到更多的点P，点P所形成的轨迹是一个椭圆，连接PM，PN，则△PMN满足了周长是24cm （与Rt△ABC的周长相同）；作一条与MN平行的直线l，使MN与l之间的距离为489cm，设直线l与椭圆相交于点P，则△PMN的面积是24cm2（与Rt△ABC的面积相同），但显然△PMN与△ABC是不全等的.【点评】案例3中，完美地体现了合情推理与演绎推理的有序推进与深度融合，展示了思维的目的性、依据性和顺序性，实现了“数”的分析对“形”的预见，从最一般的角度认识了系数对函数图象的影响，有助于学生对数学问题本质的理解.案例4中的反例不仅能让学生深入体悟命题错误的原因，还了解了椭圆的作法，其中充满了数学推理与有目的的作图，可谓是一举多得.在教学中发展学生的逻辑推理能力可以从以下几个方面着手：第一，引导学生经历观察、实验、猜想、验证、推理与交流等过程，探究上要给足空间和时间，让学生主动“悟”数学；第二，设计动手操作和实践运用环节，把合情推理和演绎推理结合起来，通过合情推理预测结果，再利用演绎推理对所发现的结论或方法进行证明；第三，注重归纳通法，总结解··45题规律.采用一题多思、一题多解、一题多问、一题多变的方式来得到类型题的思考方式与方法.三、引导学生建立数学模型由数学建模思想派生出简化思想、量化思想、函数思想、方程思想、优化思想、随机思想、抽样统计思想等.数学建模多需要经历“明确问题—合理假设—搭建模型—求解模型—分析检验—模型解释”的过程.数学建模需要学生运用已有的数学知识、方法和理论进行思考，解决一些现实问题或数学问题，是一个学数学、做数学和用数学的过程，建模意识充盈其中.教师要引导学生运用数学思维观察、分析和表示各种事物或数学中的数量关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而运用数学模型来分析和解决问题.案例5：引导数学思考的模型.例1（2019年辽宁·沈阳卷）思维启迪：（1）如图2（1），A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点B的点C，连接BC，取BC的中点P（点P 可以直接到达点A），利用工具过点C作CD∥AB交AP 的延长线于点D，此时测得CD=200米，那么A，B之间的距离是.思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE＜AC，∠ACB=∠AED=90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE.①如图2（2），当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图2（3），当α=90°时，点D落在AB边上，试判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α=150°时，若BC=3，DE=1，试直接写出PC2的值.丁丁丁丁丁丁（1）EB CPAD（2）E ADPB C（3）图2题目的意图是让学生借助图2（1）这个模型进行思考，对应方法也是标准答案所给，此处不再赘述.三道小题均是特殊情形，比较简单.若条件逐渐弱化，则可以探究变化过程中的一般情形，这便是题目的构造特征，因此可以直接针对一般情形完成推证.这里的重点是抽象出题目中暗含的数学模型.模型1：如图3所示.C′ABCOPMNTKA′B′图3（1）基本图形：若△OAB∽△OA′B′，则△AOA′∽△BOB′.（2）基本图形之拓展.已知：△OAB∽△OA′B′，AC=BC，A′C′=B′C′，PA=PB′.结论：PC′PC=OA OB=OA′OB′，∠CPC′=180°-∠AOB.以上模型及其结论容易证明.规定：在△OAB绕点O旋转一定角度α（α=∠AOA′=∠BOB′），并放大（缩小）到△OA′B′的过程中，随之而变的是，△OAA′绕点O旋转一定角度β（β=∠AOB=∠A′OB′），并放大（缩小）到△OBB′，旋转角β称为△OAA′的公转角；这个过程中，线段AA′旋转到BB′，转过的角度∠AKB 称为线段AA′的自转角.可以证明：AA′的自转角等于△OAA′的公转角.模型中，PC，PC′的数量与位置关系转化为AA′与BB′的关系，即PC′∶PC=OA∶OB （或OA′∶OB′），∠CPC′=∠AKB′=180°-线段AA′的自转角（或△OAA′的公转角）=∠180°-∠AOB（或∠A′OB′）.··46为了更好地体会模型与具体题目之间的内在联系，可以借助几何画板等软件制作动态图形，使其中的点A 可以控制△OAB 的大小与位置，点C 可以控制△OAB 的形状，点C ′可以控制△OA ′B ′的大小与位置.将之应用到本例的解答中，调整模型中点C ′的位置，使A ′B ′呈水平位置.调整模型中点C 的位置，使∠AOB ＝90°，OA =OB ，再调整点A 的位置，使点A 落在OB ′上，如图4所示，此时的模型1与图2（3）整体构造无异，且图形已经完善好，只是字母不同罢了.借助模型1的处理思路，易知PC ∶PC ′=OB ∶OA =1，∠CPC ′=180°-∠AOB =90°.对于图2（3），则有PC ∶PE =1，PC ⊥PE .对于图2（2）和α=150°的情形，可以进行类似调整，容易得到结论.作为模型的三个特例，此例解题所需辅助线自然浮出水面，而且方法简洁、思路清新.P A ′B ′C ′A B C O图4EAB CD MN P 图5模型2：在图5中，有△DMB ∽△BNE .延长BM 到点A ，使MA =MB ；延长BN 到点C ，使NC =NB ；取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，PD ，PE ，DE.则有△DPE ∽△DMB ∽△BNE .模型2及其结论容易证明.为了体会模型与具体题目之间的内在联系，可以借助几何画板等软件制作动态图形，使其中的点D 可以控制△DMB 的形状，点A 可以控制△DMB 的大小与位置，点E 可以控制△BNE 的大小与位置.将之应用到此例的解答中.调整模型中点D 的位置，使∠DMB =90°，DM =MB ，再调整点E 的位置，使点N 落在BC 上，如图6所示，此时的模型与例1中图2（3）整体构造无异，且图形已经完善好，只是字母不同罢了.借助模型的处理思路，易知△DPE ∽△DMB ∽△BNE ，而△DMB 和△BNE 均为等腰直角三角形.对于图2（3），自然有△EPC 是等腰直角三角形.对于图2（2）和α=150°的情形，可以进行类似调整，容易得到结论.作为模型的特例，此例解题所需辅助线自然浮出水面.而且，方法比标准答案所提供的方法要简洁、清晰.图6案例6：思维路线图.数学的思考过程是有规律的，也是有目的、有顺序、有依据的，我们不妨把这种思考的过程（或说成是思维路线图）也称为一个数学（思维）模型.例2（2018年河北卷）图7是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道y =k x ()x ≥1交于点A ，且AB =1米（信息1）.运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置.忽略空气阻力，实验表明：点M ，A 的竖直距离h （米）与飞出时间t （秒）的平方成正比，且t =1时h =5（信息2）；点M ，A 的水平距离是vt 米（信息3）.图7（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设v =5（信息4）.用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及y =13时运动员与正下方滑道的竖直距离（信息5）；（3）若运动员甲、乙同时从点A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒.当甲距x 轴1.8米（信息6），且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时（信息7），直接写出t 的值及v 乙的范围.审题的过程就是信息（包括图形、图象、符号等数学语言）逐渐生长和丰满的过程.与原有解题形式不同，这里采用“边审题，边思考，边在图形（图象）上标注或书写解题过程”的方法，而不是将整个··47题审完后，再整体处理，可以节省大量时间.对于一些较难的问题，可以反复精细审题，打开思路.下面，我们展示解题过程中完整的思维路线图，如图8所示.图8【点评】案例5展示了数学抽象模型的重要价值.能够在复杂的数学信息（包括图形、图象、表格、符号等其他数学或自然语言）环境中迅速识别出基本数学（代数、几何、统计或概率）模型，并利用它打开思路，熟练掌握其在运用中的格式化语言，进行快速、有序地表达，是总结数学基本模型的重要目的和价值.案例6给出了2018年中考河北卷压轴题的思维路线图，各思维步骤紧密承接，凸显思维的顺序，具有普适性.在教学中发展学生的建模能力可以从以下几方面着手：第一，提高学生的主体意识，培养学生的探究能力和独立解决问题的能力；第二，处理好建模的过程与结果之间的关系，引领学生围绕某个问题自主学习与探究，体验相关的知识和方法的综合应用；第三，强化建模意识，发展学生的信息转化与化归能力，突出创新思考，积累建模方法.数学抽象、逻辑推理和数学建模是数学发展中最本质的三个数学思想.这三个核心的数学思想是数学课程的聚焦点，有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键，并在数学内容的教学中有机地去发展学生的数学素养，实现有深度的、高效的数学教学.参考文献：［1］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M ］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］苑建广.感悟初中数学之道［M ］.西安：陕西师范大学出版总社，2017.［3］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M ］.北京：北京师范大学出版社，2012.··48。
2016高考理科数学二轮复习与增分策略课件(全国通用)：专题四 数列 推理与证明 第4讲
)
解析 由{an}为等差数列，设公差为d，
a1＋a2＋„＋an n－1 则 bn＝ ＝a1＋ 2 d， n
又正项数列{cn}为等比数列，设公比为q，
n c 则 dn＝ c1· c2· „· cn＝ 1 q
n
n
n2 n 2
c1q
n 1 2
，故选 D.
答案 D
x2 y2 (2)若点 P0(x0，y0)在椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)外，过点 P0 作该 椭圆的两条切线，切点分别为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在 x0x y0y x2 y2 直线的方程为 a2 ＋ b2 ＝1.那么对于双曲线a2－b2＝1(a>0， b>0) ， 类 似 地 ， 可 以 得 到 切 点 弦 所 在 直 线 的 方 程 为 ____________________.
x0x y0y 答案 a2 － b2 ＝1
x0x y0y 这说明 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线 a2 － b2 ＝1 上， x0x y0y 故切点弦 P1P2 所在直线的方程为 a2 － b2 ＝1.
热点三 直接证明和间接证明 直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果， 而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证 明方法.
1 2 3 4
即集合AB表示如图所示的所有圆点 “ ”＋所有圆点“ ” ＋所有圆点“ ”，共45个. 故AB中元素的个数为45.故选C. 答案 C
1 2 3 4
2.(2014· 北京 ) 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，
依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数 学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙， 则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位 学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数 学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 )
小学数学二年级下册《数学广角——推理》的教学设计与反思
小学数学二年级下册《数学广角——推理》的教学设计与反思篇一第1课时教学内容：教材第109页例1及相关内容。
教学目标：1．通过观察、猜测等活动，让学生经历简单的推理过程，初步理解逻辑推理的含义，并获得一些简单推理的经验。
2．能借助连线、列表等方式梳理信息，学会简单的推理。
3．在简单推理的过程中，培养学生初步的观察、分析、推理和有条理地进行数学表达的能力，让学生学会有序地、全面地思考问题。
目标解析：学生在一年级下册教材中已经学习了一些图形和数的简单排列规律，本课的学习就是在学生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过操作、观察、实验、猜测体会逻辑推理的含义，学会推理的方法。
教学重点：初步理解逻辑推理的含义，并获得一些简单推理的经验。
教学难点：有条理地表达推理的过程。
教学准备：课件。
教学过程：一、游戏激趣，导入新课（一）学生游戏，猜物体验1．“随意”猜。
老师两手握拳，一上一下放好。
让学生猜一猜上面手中有什么礼物？下面手中有什么礼物？2．“犹豫”猜。
教师提示：礼物是橡皮和转笔刀。
让学生再次猜上面是什么？下面是什么？3．“确定”猜。
继续提示：下面不是橡皮。
（1）学生独自猜测。
（2）同桌交流猜测结果，并说说猜测的理由。
（二）教师小结，揭示课题【设计意图：根据学生的年龄特点，设计感兴趣的游戏活动，让学生在三个不同层次的猜物活动中，充分体验到推理在生活中的广泛运用。
唤起学生已有的生活经验，激发学生的学习兴趣。
】二、自主探究，领悟新知（一）动态演示，呈现问题教师利用课件动态呈现例1。
先出示“有语文、数学和道德与法制三本书，下面三人各拿一本”，再分别出示小红、小丽说的话，最后出示问题。
（二）理解题意，分析问题1．引导审题：从题目中我们知道了什么？要解决什么问题？2．独立思考：他们三人分别拿的是什么书？并用自己喜欢的方式记录解决这个问题的过程。
3．在四人小组内交流自己的想法。
（三）互动互议，精讲点拨1．全班交流。
预设1：阅读思考后直接得出结论。
【精选】人教版二年级下册数学第九单元《数学广角——推理》优秀教案
【精选】⼈教版⼆年级下册数学第九单元《数学⼴⾓——推理》优秀教案【精选】⼈教版⼆年级下册数学第九单元《数学⼴⾓——推理》优秀教案第1课时数学⼴⾓(1)教学导航【教学内容】教材第109页例1【教材分析】本册教材在第九单元“数学⼴⾓”中，安排了逻辑推理⽅法。
逻辑推理是进⼀步学习数学的基础，同时也是发展学⽣逻辑推理能⼒的良好素材。
【学情分析】⼀年级已经渗透了找规律、排列组合，本册渗透推理的数学思想⽅法，以后还要进⼀步学习复杂⼀点的排列组合、可能性(也就是概率)、运筹、等量代换等⾼等数学思想⽅法。
通过本单元学习可以让学⽣掌握⼀些简单的推理经验，能根据多个条件推导出结论。
【教学⽬标】1．经历简单推理的过程，初步获得⼀些简单推理的经验。
培养学⽣初步的观察、分析、推理能⼒。
2．进⾏简单地、有条理地思考，能有条理地、清晰地阐述⾃⼰的观点。
3．培养学⽣⼤胆猜想，积极思维的学习品质；体会数学思想⽅法在⽣活中的⽤途，激发学⽣学好数学的信⼼。
【教学重难点】感受简单推理的过程，初步获得⼀些简单推理的经验。
【教学准备】多媒体课件。
【教学流程】情境导⼊―→创设问题情境，引导探究。
↓↓探究新知―→学会简单的逻辑推理。
↓↓巩固应⽤―→运⽤推理解决问题。
↓↓课堂⼩结―→总结学到的知识和⽅法。
教学设计【情境导⼊】1．今天，我们来玩⼀个游戏。
(1)请两名学⽣上台，⼀名学⽣拿语⽂书，⼀名学⽣拿数学书，藏在背后。
教师说明：他们两⼈分别拿着语⽂书和数学书。
(2)让学⽣猜⼀猜各⾃拿的是什么书，指名说⼀说，产⽣予盾，从⽽使学⽣发现猜不准，缺少⼀个条件。
(3)给出⼀个条件，让其中⼀学⽣说：“我拿的不是数学书。
”再让学⽣猜⼀猜各⾃拿的是什么书，分组讨论。
(4)⼩组交流，猜出结论，让学⽣说说是怎么猜的。
(5)引导学⽣从两⽅⾯去推理：①“我拿的不是数学书”这句话中可推出此⼈拿的是语⽂书，那么另⼀⼈拿的就是数学书了。
②从“我拿的不是数学书”这名话中可推出另⼀⼈拿的是数学书，那么“我”拿的就是语⽂书了。
逻辑推理题常用的解法与解题思路
逻辑推理题常用的解法与解题思路逻辑推理题的解法和思路主要遵循逻辑的四大基本规律。
其中，同一律思路是指在同一思维过程中，同一个概念或同一个思想对象必须保持前后一致性，即保持确定性。
运用同一律思路来解题可以有效地推理出正确答案。
例如，某公安人员需要查清甲、乙、丙三人谁先进办公室。
三人口供如下：甲说丙是第二个进去，乙是第三个进去；乙说甲是第三个进去，丙是第一个进去；丙说甲是第一个进去，乙是第三个进去。
我们可以用同一律思路来分析这个问题。
首先，我们可以将口供列表处理，用1表示“是”，用0表示“非”。
如果甲是第一个进办公室，则依据丙的口供，甲是第一个进去，丙是第二个进去，乙是第三个进去。
但这个表与甲的口供仅对一半相矛盾。
如果甲不是第一个进办公室，则依据丙的口供，乙是第三个进去，进行列表处理。
这个表与“三人口供仅对一半”的条件相符。
因此，我们可以推断出，丙最先进入办公室。
另外，我们也可以不使用列表，而是直接用同一律思路推理。
根据甲的话，第一句是错的，第二句是对的。
因此，乙是第三个进去，丙不是第二个，自然是第一个。
这个结论与乙的话“半对半错”相符，即甲不是第三，丙是第一。
同时，这个结论也与丙的话“半对半错”相符，即甲不是第一，乙是第三。
在整个思维过程中，我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证，直到符合题目给定的条件为止。
综上所述，同一律思路是逻辑推理题解法中的一种重要思维规律，可以帮助我们有效地推理出正确答案。
有三个和尚，分别讲真话、假话和半真半假的话。
一位智者问左边的和尚：“你旁边的是哪一位？”和尚回答：“讲真话的。
”智者又问中间的和尚：“你是哪一位？”和尚答：“我是半真半假的。
”最后问右边的和尚：“你旁边是哪一位？”答：“讲假话的。
”根据他们的回答，智者分清了他们，你能分清吗？分析：我们运用不矛盾律思路来探讨这个问题。
不矛盾律的基本思路是，两件相互矛盾对立的事情，如果一件是不正确的，另一件就是正确的。
假设左边和尚讲的是真话，那么中间的和尚就是讲真话的，但这与他的回答“我是半真半假的”矛盾，所以左边和尚讲真话这一假设不正确。
三段论推理
三段论推理三段论推理是演绎推理中的一种简单推理判断。
它包含：一个一般性的原则(大前提) ，一个附属于前面大前提的特殊化陈述(小前提)，以及由此引申出的特殊化陈述符合一般性原则的结论。
下文将会进行详细的介绍。
三段论推理定义三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理。
它包含两个直言命题构成的前提，和一个直言命题构成的结论。
一个正确的三段论有且仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项，在前提中出现两次；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项。
三段论推理举例所有的偶蹄目动物都是脊椎动物，牛是偶蹄目动物；所以牛是脊椎动物。
上面的三段论推理，“偶蹄目动物”是连接大小前提的中项；“脊椎动物”是出现在大前提中又在结论中做谓项的“大项”；“牛” 是出现在小前提中又在结论中做主项的“小项”。
习惯上，用“P'表示“大项”，用“M”表示“中项”，用“ S'表示“小项”。
三段论推理省略式从思维过程来看，任何三段论都必须具有大、小前提和结论，缺少任何一部分就无法构成三段论推理。
但在具体的语言表述中，无论是说话还是写文章，常常把三段论中的某些部分省去不说。
省去不说的部分或是大前提，或是小前提，或是结论。
(1)省略大前提①你是经济学院的学生，你应当学好经济理论。
②改革是新事物，当然免不了要遇到前进中的困难。
例①省略了大前提“凡是经济学院的学生都应该学好经济理论” 。
例②省略了大前提：“凡是新事物都免不了遇到前进中的困难” 。
(2)省略小前提①企业都应该提高经济效益，国营企业也不例外。
②这部连续剧不是优秀作品，因为优秀作品是思想性与艺术性相结合的作品例①省略了小前提“国营企业也是企业”。
恢复其完整式是：“企业都应该提高经济效益，国营企业也是企业，所以,国营企业应该提高经济效益”。
例②省略的小前提是“这部连续剧不是思想性与艺术性相结合的作品”。
恢复其完整式是“优秀作品都是思想性与艺术性相结合的作品，这部连续剧不是思想性与艺术性相结合的作品，所以这部连续剧不是优秀作品”。
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个人备课及集体讨论
教学内容 数学思考（推理的思想） P102 例 4 个人完善
学情分析
推理的思想是六年级新增设的一个内容，学生初学有一定的难度，不要求学
生会写规范严谨的证明过程，但需要学生会用“说理”的方式证明结论。
三维目标
1、 经历观察、猜想等过程，在比较中体会推理过程的严谨性。
2、 经历根据已知信息，利用性质、定理，证明结论的过程，在交流、讨论过
程中，学会有理有据的表达，从而发展学生的推理能力。
3、 尝试利用获得的信息，推出新的结论，体验方法的多样化。
教学重点
学生能在教师的指导下有根据有步骤地进行语言表达式的推理。
教学难点
清晰的表达推理的过程。
教 法
五环式
学 法
自主 合作 探究
教学准备
课前预习
教学环节 教师教学行为 学生学习行为
一、明确信息、合情推理 1、 出示两条直线相交的样子，在这个图中你可以得到哪些信息？ ∠1 +∠2 = 180° ∠2+∠3 = 180° ∠3+∠4 = 180° ∠1+∠4= 180° ∠1=∠3 ∠2= ∠4 2、 你确定∠1=∠3吗？把你的想法清楚的表达出来，尽量让别人看得懂。 3、 展示学生算法。 4、 师指导学生说理。 因为∠1 +∠2 = 180° （平角） ∠2+∠3 = 180° ∠1+∠2 = ∠2+∠3 ∠1+∠2-∠2=∠2+∠3 -∠2 （等式的性质） 所以 ∠1=∠3 5、你能跟同桌有理有据的说一说： ∠2=∠4吗？ 二、根据信息、合情推理 1、 已知：∠2=45° ∠4=85°那么∠1= ( ) 2、仔细观察：你发现∠1、∠2 与∠4有什么关系？ 学生说。
学生在练习卡上完整
的写出来。
（1）量。
（2）指图说理。
学生推算。
∠4=∠1 +∠2
教学环节 教师教学行为 学生学习行为 个人完善
3、你能有理有据的推理∠4=∠1 +∠2吗？ 师：重点讲解两种方法。 4、观察其余的两个外角，你发现了什么？ 三、根据已有结论，合情推理 猜想：三角形外角和是多少度？ ∠4+∠5+∠6=（ ） 方法1：180°×3-- 180°=360° 方法2：∠4=∠1 +∠2 ∠5=∠2+∠3 ∠6=∠1 +∠3 ∠4+∠5+∠6=（∠1 +∠2+∠3 ）×2 ∠4+∠5+∠6=180°×2 = 360° 四、独立思考，完整推理 想一想：四边形的外角和是多少度呢？ 五、梳理方法，提升认识 师: 我们以角为例子，经过这么多的推理，这些结论我们是怎样推理出来的。 根据已知的信息—— 有理有据的推理—— 得出新的结论。 学生在练习卡上完整
的写出来。
∠3+∠4= 180°
∠1+∠2+∠3= 180°
∠3+∠4=∠1+∠2+
∠3
∠4=∠1+∠2
学生在练习卡上完整
的写出来。
请一学生指图有理有
据的推理。
学生口述，师板书。
板书设计
作业设计
必做题 P104 10
提高题: 推理四边形的外角和是多少度？
选做题
教学反思
目标达成情况
教学得失体会