高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质
高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质
一、正弦函数的图象与性质
1、正弦函数图象的作法：
（1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状；
（2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。
注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。
2、正弦函数的性质
（1）定义域为，值域为；
（2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。函数
的最小正周期是；
（3）奇偶性：奇函数；
（4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。
3、周期函数
函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。
4、关于函数的图象和性质
（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；
（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；
（3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。
5、正弦型图象的变换方法
（1）先平移后伸缩
的图象
的图象
的图象
的图象
的图象。
（2）先伸缩后平移
的图象
的图象
的图象
的图象
的图象。
二、余弦函数、正切函数的图象与性质
1、余弦函数的图象和性质
（1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。
（2）余弦函数的性质可类比正弦函数的性质得到。
2、正切函数与正、余弦函数的比较
（1）正切函数的定义域不是全体实数，这与正、余弦函数的定义域为全体实数有着较大的差别；
（2）正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；
（3）正、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断的点；而正切函数在定义域上不连续，它有无数条渐近线（垂直于x轴的直
线），其图象被这些渐近线分割开来；
（4）正、余弦函数的图象既是中心对称图形（对称中心分别为
），又是轴对称图形（对称轴分别为
）；而正切函数的图象只是中心对称图形，其对称中心为；
（5）正、余弦函数既有单调递增区间，又有单调递减区间；而正
切函数只有单调递增区间，即正切函数，在每一个区间上都是单调递增函数。
三、已知三角函数值求角
已知角的一个三角函数值求角，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定。
例1：已知sin(q+p)>0，cos(q-p)>0，则下列不等关系中必定成立的是______。
A. tan<>
B. tan>cot
C. sin<>
D. sin>cos
分析：由正弦、余弦函数图象可以确定出的取值范围，进而可
求。求出的范围后，也可以根据正弦、余弦、正切、余切函数图象的特点比较大小。
解答：由已知得 -sin q>0且 -cos q>0，即sin q<>和cos q<>同时成立，
则2k p+p q<>k p+，kÎZ，于是k p+k p+，kÎZ，此时必有tan<>，
-1<><>，即tan<>，所以答案为A。
例2：求下列函数的最小正周期。
（1）；
（2）；
（3）。
分析：利用函数周期性的定义和最小正周期的概念来解题。
，的最小正周期是；的最小正周期是。
解答：（1）
，最小正周期。
（2）
，最小正周期。
（3）
，最小正周期。
例3：求函数
的值域。
分析：解此题的关键是统一函数的名，然后利用换元法将其视为
二次函数求解。在做题时，有时会出现形如y=a sin2x+b cos x+c型的函数，其实质同本例的情况一样，特点是式中同时含有sin x与cos x，且其中一个是二次，另一个是一次，处理方法是先应用sin2x+cos2x=1对原式进行变形，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，将其转化成二次函数来求解。即设，先化为二次函数，再求其在闭区间上的最值。
解答：原式化为
。
令，则
，由二次函数图象可知，当时，；当时，
。
故所求函数的值域为。
例4：试判断下列各函数的奇偶性。
（1）（2）
分析：函数具有奇偶性，则其定义域在数轴上关于原点对称，所以判定函数的奇偶性时，应首先判断函数的定义域是否关于原点对称。在解答这道题时，也可以先化简再判断奇偶性，但在化简的过程中需要注意等价性，否则就可能会出错。
解答：⑴定义域为，k∈Z，
且有
，
所以函数为偶函数。
⑵定义域为R，且有
，所以函数是奇函数。
例5：已知函数=A sin(w x+j)+k (其中A>0，w>0，0j<>p)一个周期的图象上有最高点(，3)和最低点(，-5)，则=。
分析：根据已知所给的点的信息可列出两个方程，再由正弦型函数的图象特点，结合图象变换的规律可求解出各个变量的值。题目中给出的最高点与最低点确定了振幅A与竖直方向的平移量k，这是本题的突破口。求的一般方法是找到一个已知点，然后将其坐标代入即可。但当已知点不是最高点或最低点时，要特别注意应由该点所在区间的单调性来确定的取值。
解答：由已知可得k=-1，A=4，函数的最小正周期T有=，则T=p，
=p，w=2，并有2´+j=，解得j =，所以
=4sin(2x+)-1。
例6：如何变换的图象可得到函数的图象？
分析：应先通过诱导公式将其转化为同名三角函数。无论哪种变
换都是针对字母而言的。例如将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是，而不是，把
的图象的横坐标缩小为原来的，得到的函数图象的解析式是而不是。
解答：
，
在中以代替，有
。
根据题意，有，得。
所以将的图象向左平移个单位长度可得到函数
的图象。
例7：（1）直线（a为常数）与正切曲线
相交的相邻两点间的距离是。
（2）设函数，若对任意，都有
成立，则的最小值是。
（3）为了使函数在区间上至少出现50次最大值，则的最小值是。
分析：对于一些没有直接指出三角函数最小正周期的问题，解题的关键是正确理解题意，通过运用数形结合的方法，准确找出隐含的最小正周期的个数，将问题化归为我们熟悉的正弦函数、余弦函数及正切函数的最小正周期问题加以解决。因此，正确理解题意，进行等价转化是解题的关键。
函数
、
的最小正周期公式是，函数
的最小正周期公式。结合图形进行分析，对正确理解题意有着至关重要的作用。
解答：（1）由正切曲线的图象可知，直线（a为常数）与正切曲线
相交的相邻两点间的距离恰好就是函数的最小正周期，为。
（2）由正弦曲线的图象可知，、分别是函数的最小值、最大值，的最小值就是相邻两点间
最小值、最大值横坐标之间的距离，等于函数的个周期，故
的最小值。
（3）∵函数在区间上至少出现50次最大值，∴在区间上至少含有个周期。∴，得，故的最小值是。
例8：求函数
的值域并指出它的单调递增区间。
分析：根据三角函数的周期性可知只需对自变量区间[0，2p]上的函数性质加以研究即可，再由反三角函数的性质可知应按自变量Î[0，]，[，p]，[p，]，[，2p]四种不同的情形来求解。本题综合考查了三角函数与反三角函数的定义域、值域、单调性问题。值得注意的是虽然，，但两个式子中自变量的取值范围却不同。
解答：
，所以，是以2p为周期的周期函数。
若，则，
若，则，
；
若，则，，
；
若，则，
。
函数
的图象如图所示，所以函数的值域是，它在上严格单调递增，在
上严格单调递减。
高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质
高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质 一、正弦函数的图象与性质 1、正弦函数图象的作法： （1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状； （2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。 注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。 2、正弦函数的性质 （1）定义域为，值域为； （2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。函数 的最小正周期是； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。 3、周期函数 函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。 4、关于函数的图象和性质 （1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；
（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期； （3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。 5、正弦型图象的变换方法 （1）先平移后伸缩 的图象 的图象 的图象 的图象 的图象。 （2）先伸缩后平移 的图象 的图象 的图象 的图象 的图象。 二、余弦函数、正切函数的图象与性质 1、余弦函数的图象和性质 （1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。
正切 余切图像的性质 反三角函数
正切、余切函数图象和性质反三角函数 [知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图 象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函
数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: 上单减 ，奇函数 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.
三角函数图像及其性质
【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ）， y＝A cos（ωx＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函数、 余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和 最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x 通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是，
递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该 图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别 开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的 第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x 取0、、π、、2π来求相应的x 值及对应
正弦余弦正切函数的图象与性质
讲解新课：正弦、余弦函数的图象 （1）函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线 第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角 6 , 0π ， 3π ，2 π ,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象． 根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象. 把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象. （2）余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线 根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移 2 π 单位即得余弦函数y=cosx 的图象. （3） 用五 点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) ( 2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 讲解范例： 例1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx 探究 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？ y=cosx y=sinx π 2π 3π 4π 5π 6π-π -2π-3π -4π-5π -6π-6π -5π -4π -3π -2π -π 6π5π 4π 3π 2π π -1 1 y x -11 o x y
2021年人教版高一数学必修一第5单元 三角函数(讲解和习题)
2021年人教版高一数学必修一第5单元三角函数（讲解和习题） 基础知识讲解 一．运用诱导公式化简求值 【基础知识】 利用诱导公式化简求值的思路 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得． 二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R k∈Z 值域[﹣1，1][﹣1，1]R 单调性递增区间：递增区间：递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ+，2kπ+） （k∈Z）（2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） （kπ﹣，kπ+） （k∈Z） 最值x＝2kπ+（k∈Z）时，y max ＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， y min＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，y max ＝1； x＝2kπ+π（k∈Z）时， y min＝﹣1 无最值 奇偶性奇函数偶函数奇函数 对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（kπ+，0） （k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0） （k∈Z） 无对称轴 周期2π2ππ 三．同角三角函数间的基本关系 【基础知识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
第四讲 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(解析版)
第四讲 正弦、余弦和正切函数的图像与性质 知识提要 1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2 ， －1)，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π 2 ， 0)，(2π，1)． 2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图象 定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π 2＋k π， k ∈Z } 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 [-π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增； [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减 [-π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增； [2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减 (-π2＋k π，π 2＋k π) (k ∈Z )上递增 最值 x ＝π 2 ＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝－π 2 ＋2k π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π 2 ＋k π，0) (k ∈Z ) (k π 2 ，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π 2 ＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z ) 周期 2π 2π π ※ 学习评价 1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (3)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． ( × )
正弦函数余弦函数的图象与性质
正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 最值 对称轴 对称中心 例1、已知函数()2sin(2)3f x x π =+， （1）函数周期为 （2）求该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值； （3）写出该函数的对称轴、对称中心； （4）求该函数的单调区间； （5）若[ ,)6x ππ∈，求此时函数的值域。 变式1：求函数2sin(2)6y x π=-+ 的单调区间。 例2、求下列函数值域： （1）2cos 2sin 2y x x =+- （2）sin 2sin 1 x y x -= -
变式2：求使得函数2cos sin ,[,]44 y x x x ππ=-∈- 取得最大值和最小值时的x 的值，并求出函数的最大值和最小值。 周期函数 定义：任给定义域内一个值，()()f x T f x +=恒成立。 常见结论： （1）若()()f x a f x +=-恒成立，则T = ； （2）若1()() f x a f x +=±恒成立，则T = ； （3）若()()f x a f x b +=+恒成立，则T = ； （4）若()f x 的图象有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则函数()f x 为周期函数，周期T = 例3、已知偶函数f (x )对∀x ∈R ，都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝2x ，则f (2 013)＝ 练习1：f (x )是R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( ) A ．1 B ．4 C ．3 D ．2 练习2：设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大 值是1，最小值是0；④当x ∈[3,4]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________． 练习3：已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 8(x ＋1)，则f (－2 013)＋f (2 014)的值为________． 1.给出下面的3个命题：(1)函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期是π2 .(2)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π2在区间⎣⎡⎭⎫π，3π2上单调递增．(3)x ＝5π4 是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π2的图象的一条对称轴．其中正确命题的个数是 2.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为常数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π3对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π4>f ⎝⎛⎭ ⎫π6，则函数f (x )的单调区间是
完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结
完整版)最全三角函数的图像与性质知识 点总结 三角函数的图像与性质 一、正弦函数、余弦函数的图像与性质 正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是闭区间[-1,1]。正弦函数在2kπ-π≤x≤2kπ和2kπ+π≤x≤2(k+1)π这两个区间内递增，在其余区间内递减；余弦函数在 2kπ≤x≤2kπ+π和2kπ+π≤x≤2(k+1)π这两个区间内递减，在其余区间内递增。正弦函数是奇函数，对称中心为(kπ,0)(k∈Z)，最大值为1，最小值为-1；余弦函数是偶函数，对称中心为(kπ+,0)(k∈Z)，对称轴为x=kπ，最大值为1，最小值为-1.它们的最小正周期均为2π。 二、正切函数的图像与性质
正切函数的定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为实数集R。在kπ-π/2 三角函数的定义与性质 三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。本 文将从三角函数的定义、基本性质以及一些常见的应用方面进行探讨。 一、三角函数的定义 三角函数是指以角度为自变量，以正弦、余弦、正切等函数为主体的一类函数。在直角三角形中，我们可以定义正弦、余弦、正切三个基本三角函数。 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即 sinθ = 对边/斜边。 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边。 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值，即 tanθ = 对边/邻边。 二、三角函数的基本性质 1. 周期性：三角函数都具有周期性，即对于任意角度θ，sin(θ+2π) = sinθ， cos(θ+2π) = cosθ，tan(θ+π) = tanθ。这意味着三角函数的值在每个周期内重复出现。 2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。这意味着正弦函数关于原点对称，余弦函数关于y轴对称，正切函数关于原点对称。 3. 互余关系：正弦函数和余弦函数具有互余关系，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。这意味着正弦函数和余弦函数的图像是相互关于直线y = x的镜像。 4. 三角恒等式：三角函数之间还存在一系列的恒等式，如sin²θ + cos²θ = 1，1 + tan²θ = sec²θ等。这些恒等式在解三角方程、化简三角式等问题中起到重要作用。 普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B] 第一章 基本初等函数（II ） 1.3.3余弦函数、正切函数的图像和性质 教学目标： 1、理解并掌握作余弦函数和正切函数图象的方法． 2、理解并掌握余弦函数、正切函数 教学重点：掌握余弦函数和正切函数图象作法和性质 教学过程 一、复习引入： 正弦函数的图像和性质 二、讲解新课： 1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）： 为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识． 2、余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π ,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 现在把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx ，x ∈R 的图象， 3、正切函数x y tan =的图象： 我们可选择⎪⎭ ⎫ ⎝⎛- 2,2ππ的区间作出它的图象 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ 2的图象，称“正切曲线” 4、余弦函数的性质： （1）、定义域： 余弦函数的定义域是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， （2）、值域 余弦函数的值域是［－1，1］ y ＝cos x ，x ∈R ①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1（3）、周期性 余弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π （4）、奇偶性 y ＝cos x 为偶函数 余弦曲线关于y 轴对称 （5）、单调性 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1 5、正切函数的性质： (1)．定义域：⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠ z k k x x ,2|ππ， (2)．值域：R (3)．观察：当x 从小于()z k k ∈+ 2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()z k k ∈+ππ 2，ππ k x +−→−2时，-∞−→−x tan (4)．周期性：π=T (5)．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数 (6)．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++- ππππ2,2内，函数单调递增6、例子： 例1 求使y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么例2求y ＝x cos 的定义域 例3求函数y ＝－cos x 的单调区间 例4 求y ＝3cos x 的周期 例5 判断cos(－ 523π)－cos(－417π)大于0还是小于0例6 求函数y ＝2cos 1 cos 3++x x 的值域 小结：本节课我们学习了余弦函数和正切函数图象作法和性质 高中数学选修1知识点总结 高中数学选修1主要包括以下几个知识点：函数的概念与性质、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及其图像与性质、解三角形、圆的方程、平面向量、数数列与数学归纳法、概率与统计。下面将对这些知识点逐一进行总结。 一、函数的概念与性质 函数是自变量与因变量之间的一种特殊关系，记作y=f(x)。函 数有自变量、因变量、定义域、值域、奇偶性、单调性等性质。函数图像是由函数的各个定义域内的点的坐标构成的曲线。 二、指数函数 指数函数是以底数为常数a（a>0且a≠1），自变量x为指数 的函数，记作y=a^x。指数函数的图像有一定的特点，随着自 变量的增大，函数值也随之增大；当指数为负时，函数值逐渐趋近于0。 三、对数函数 对数函数是指数函数的反函数，记作y=log_a(x)(a>0且a≠1)。 对数函数的性质是，自变量x的范围是正数，函数值是实数；对数函数的图像有一定的特点，随着自变量的增大，函数值逐渐趋近于正无穷大。 四、幂函数 幂函数是自变量为幂指数的函数，记作y=x^a(a为常数，x为 自变量)。幂函数的性质是，当幂指数为正时，函数是递增函数；当幂指数为负时，函数是递减函数；当幂指数为整数时， 函数可以是奇函数或偶函数。 五、三角函数及其图像与性质 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，记作sinx、cosx、tanx。三角函数的图像周期性重复，其中正弦函数和余弦函数的图像为正弦曲线；正切函数的图像有渐近线。三角函数有一定的性质，如周期性、对称性等。 六、解三角形 解三角形是根据三角形的已知条件，利用三角函数的性质，求得三角形的各个角度和边长。常用的解三角形的方法有正弦定理、余弦定理、正切定理等。 七、圆的方程 圆的方程是描述圆的几何性质的方程。常见的圆的方程有标准方程、一般方程等。圆的方程由圆心坐标和半径确定。 八、平面向量 平面向量是带有方向的线段，常用向量标记为a。平面向量有加法、减法、数量积、向量积等运算。平面向量还有坐标表示和向量的投影性质。 九、数列与数学归纳法 数列是按一定规律排列的一列数。常见的数列有等差数列和等比数列。数学归纳法是数学证明中常用的一种证明方法，常用于证明数列中的性质。 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745〔rad 〕 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p 〔x,y 〕, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的根本关系： 〔1〕平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 〔2〕商数关系：ααcos sin =tan α〔z k k ∈+≠,2 ππ α〕 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫ -= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2π αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫ +=- ⎪⎝⎭ ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y + O — — + x y O — + + — + y O — + + — 正弦，余弦，正切函数的图像与性质 正弦函数、余弦函数的性质: 函数 y= sin x y = cos x 图象 -1 上” 1 rS-irZ -1 定义域 — — 值域 奇偶性 — — 周期性 最小正周期： ___________ 最小正周期： __________ 单调性 在 在 上单调递增；在 _________ 上单调递增；在 ______________________________________ 上单 调递减 ___________________ 上单调递减 最值 在 ______________________________ 时? y max =1;在 在__________________ 时? y max= 1 ； 在 ________________________________ 时,y min =—1 时，y min = - 1 y= tan x ...... 一兀 ...... ... .......... ... 典例一：1.函数y=sin (计x), xC —5,兀的单倜增区间是 2. 求下列函数的单调增区间. x (1)y= 1 —sin 2； -, 1,… (2)y= log 2(cos 2x). 典例二：1.函数y = {tan x — 1的定义域是 2 .函数y= M 2cos x+ 1的定义域是 . 3 .求函数f(x)=lg sin x+Y 16 — x 2 的定义域. 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 最小正周期为 在开区间 内递增 2.已知函数 f(x)=sin 号一2xj(xC R ). (1)求f(x)的单调减区间； (2)经过怎样的图象变换使 f(x)的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可). 式为 (). 2.下列函数中，图象的一部分如下图所示的是 ( ) A . y=sin(+6) B. y=sinRx —6」 习题练习 1 .欲使函数y=Asin co)(A>0, «>0)在闭区间［0,1］上至少出现50个最小值，则 ④的最小值是 一，， 兀 兀 兀…一，,一 2 .函数 y=2sin(2x+3)(_6 一．正弦、余弦、正切函数图象和性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x （一） 三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性 奇函数：y ＝sinx ，y ＝tanx ； 偶函数：y ＝cosx. （2） 型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g （x ）＝ （x ∈R ） g （x ）为偶函数 由此得 ； 同理， 为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数 ； 为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期 y ＝sinx ，y ＝cosx 的周期为 ； y ＝tanx ，y ＝cotx 的周期为 . （ⅱ） 型三角函数的周期 的周期为 ； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 （ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为； （ⅱ）的最小正周期为； （ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性 （1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. 第16课 诱导公式、正弦曲线、余弦、正切的图像和性质 教学目标 （1）知识与技能目标 1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ ±±,2 的正弦、余弦、正切的诱导公式。 2、能画出sin y x =,cos y x =,tan y x = 的图像，了解三角函数的周期性. 3、理解正弦函数、余弦函数在区间[]0,2π的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等）.理解正切函数在区间,22ππ⎛⎫ - ⎪⎝ ⎭内的单调性. （2）过程与能力目标 了解诱导公式的公式的应用；会从三角函数图像中观察函数的性质； （3）情感与态度目标 培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质． 教学重点 掌握诱导公式的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式;正弦曲线、余 弦、正切的图像和性质 教学难点 运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明;正弦曲线、余弦、正切的图像和性质的应用 考点分析 高考诱导公式一般在选择题、填空题及解答题作为简单基础知识点考察；解答题常常会考查三角函数的图像和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图像变换、对称轴、对称中心。 课前热身 (1)3tan =_____________4π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 7sin ______________2πθ⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ (2)写出sin y x =的值域、单调区间、周期、对称轴、对称区间。 知识点梳理 1）三角函数的诱导公式的记忆 ()()()()sin 2sin cos 2cos tan 2tan k k k k πααπααπαα+=+=+=∈Z ， ()()()sin sin cos cos tan tan πααπααπαα+=-+=-+=， ()()()sin sin cos cos tan tan αα αα αα-=--=-=-， 数学必修1-5常用公式与结论 必修1： 一、集合1、含义与表示：〔1〕集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 〔2〕集合的分类；有限集，无限集〔3〕集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ⊆ 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集， 记作A ≠ ⊂B 集合相等：若：,A B B A ⊆⊆,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：∉ 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为A B 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集， 记为U C A 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (–x)=–f (x) ，偶函数 <=> f (–x)= f (x)〔注意定义域〕 2、性质：〔1〕奇函数的图象关于原点成中心对称图形； 〔2〕偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； 〔3〕如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 〔4〕如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ①f ( x 1 )< f ( x 2 )<=> f ( x 1 )– f ( x 2 )< 0 <=> f ( x )是增函数 ②f ( x 1 )> f ( x 2 )<=> f ( x 1 )– f ( x 2 )> 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数y = ax 2 +bx + c 〔0a ≠〕的性质 1、顶点坐标公式：⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大〔小〕值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则： 〔1〕a m •a n = a m + n ，〔2〕n m n m a a a -=÷，〔3〕( a m ) n = a m n 〔4〕( a b ) n = a n •b n 〔5〕 n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛〔6〕a 0 = 1 ( a ≠0)〔7〕n n a a 1=- 〔8〕m n m n a a =〔9〕m n m n a a 1=- 2、根式的性质 〔1 〕n a =. 〔2〕当n a =； 当n ,0 ||,0 a a a a a ≥⎧==⎨ -<⎩.三角函数的定义与性质
1.3.2余弦函数、正切函数的图像和性质
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16 诱导公式、正弦曲线、余弦、正切的图像和性质
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