探究直线与抛物线的交点问题教学设计
探究性学习抛物线焦点弦教学设计
探究性学习抛物线焦点弦探究性学习是一种以发展探究思维为目标，以学科的核心知识为内容，以探究发现为主的学习方式。
在中学数学教学中，引导学生开展探究性学习，对我们每一个数学教师来说，是一个谁也不可回避的新课题。
本节以现行高中新教材P.61的“例3：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于A、B，求线段AB的长”的教学过程设计为例，谈一谈如何在例题教学中引导学生开展探究性学习，现将教学过程的设计介绍如下：1 分步推进，引导学生探究多解本节课一开始，教师就让学生认真阅读例3，并思考如何解决以下3个问题：①求出直线AB的方程。
②求出交点A、B的坐标。
③如何求线段AB的长？计算AB长是否一定要具体计算A、B的坐标？由于创设了一题多解的情境，对于问题③，学生中出现了3种解题思路：思路1 ：先求交点坐标，然后直接运用两点间的距离公式求线段AB的长。
思路2 ：根据抛物线定义，把线段AF与BF转化为线段AA/和BB/（图见教材P61上的图，也是下文提到的“题图”）。
思路3：利用圆锥曲线的弦长公式。
那么，哪种解法最好呢？教师请学生用三种解法分别解之，并加以比较。
经过演算，大家一致认为，思路1虽然想起来很顺，但运算量较大；思路2从焦点弦的特殊性入手，是数形结合思想的典型应用，是解本题的最佳解法；思路3利用两根之和与两根之积的整体关系进行处理，避免了求交点坐标，也不失为一种好方法。
以上过程通过创设问题情境，激发了学生的探究欲望，使他们主动地参与到课堂教学中，做学习的主人，并自主整和了知识结构，对3种解题方法有了一定的认识。
2 辨析深化，探究解法的选择标准在完成了上述任务的基础上，教师接着提出了下列问题：问题1：斜率为1的直线经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线相交于A、B两点，且线段AB=8，求p的值.问题1是例3的逆向问题，由于有了例3的解题体验，学生们不约而同地选择了思路2的解法，得p=2。
直线与抛物线的位置关系说课稿
直线与抛物线的位置关系说课稿标题：直线与抛物线的位置关系一、教学目标1.理解直线与抛物线的基本概念和性质。
2.掌握判断直线与抛物线位置关系的方法。
3.能够运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。
二、教学内容1.直线与抛物线的定义和性质。
2.判断直线与抛物线位置关系的方法。
3.实际应用案例。
三、教学方法1.讲解法：通过讲解直线与抛物线的定义和性质，让学生对基础知识有清晰的认识。
2.讨论法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，提高学生的思维能力和解题技巧。
3.案例分析法：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用。
四、教学过程1.导入新课：通过展示一些与直线和抛物线相关的图片或问题，引导学生思考直线与抛物线的位置关系。
2.讲解基础知识：介绍直线与抛物线的定义和性质，包括直线的方程、抛物线的方程、直线与抛物线的交点等。
3.讨论判断方法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，包括利用直线和抛物线的方程求解交点、利用图像观察等方法。
4.案例分析：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用，包括求最值、解方程等问题。
5.课堂练习：布置一些与直线与抛物线位置关系相关的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
6.总结归纳：对本节课所学内容进行总结归纳，强调重点和难点，帮助学生加深对知识的理解和记忆。
五、教学评价1.对学生的课堂表现进行评价，包括参与度、思维活跃度等方面。
2.对学生的作业完成情况进行检查，了解学生对知识的掌握情况。
3.通过考试或测验的方式，对学生的学习成果进行评估。
直线与抛物线的交点问题-教师版
直线与抛物线的交点问题一、抛物线与坐标轴的交点1．抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于A 、B （A 在B 左边），且4AB =，求A 、B 的坐标．【答案】可得对称轴1x =-，因为4AB =，所以()30A -，，()10B ， 2．抛物线226y x x m =++与x 轴交于A 、B ，且2AB =，求m 的值． 【答案】可得对称轴32x =-，因为2AB =，所以A 、B 点的坐标是502⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入可得1302m -+=，所以52m = 3．已知抛物线277y kx x =--的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．【答案】依题意得492800k k ⎧∆=+⎨≠⎩≥，解得74k -≥且0k ≠ 一、直线与抛物线的交点4．直线23y x =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求AB 的长．【答案】联立223y x y x =+⎧⎨=⎩，可得2230x x --=，所以()11A -，，()39B ，AB 5．已知直线l ：23y x =-与抛物线C ：215322y x x =++． （1）求证：抛物线C 与直线l 无交点．（2）若与直线l 平行的直线与抛物线C 只有一个公共点P ，求P 点的坐标．【答案】（1）联立21532223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-⎩，可得2111022x x ++=，100∆=-＜ 所以抛物线C 与直线l 无交点（2）设与直线l 平行的直线解析式为：23y x k =-+联立21532223y x x y x k⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，210k ∆=-因为与抛物线C 只有一个公共点∴2100k -=，5k =代入得211022x x ++= ∴1x =-∴()10P -，6．已知抛物线2y x h =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OC AB =．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线2y x b =+被抛物线截得线段长为230，求b 的值．【答案】 解：（1）如图由题意，OA OB =， OC AB =，12OA OB h ∴==-， ∴点B 坐标1(2h -，0)， 把点B 坐标代入2y x h =+得到，2104h h =+，解得4h =-或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为24y x =-．（2）设直线2y x b =+与抛物线24y x =-的交点为1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ． 由242y x y x b⎧=-⎨=+⎩消去y 得到2240x x b ---=， 122x x ∴+=，124x x b =--，由此可得1242y y b +=+，21216y y b =-， 22121212()()4420x x x x x x b ∴-=+-=+， 同理可得()()()2222121212()4424161680y y y y y y b b b -=+-=+--=+， 230EF =，4201680120b b ∴+++=，1b ∴=．。
抛物线与直线交点问题经典讲义教案设计
（1）求抛物线得解析式、
（2）若直线 （k≠0）与抛物线交于点A（ ，m）与B（4，n），求直线得解析式、方法Leabharlann 结：1、抛物线与x轴相交：
抛物线 得图象与x轴相交
2、抛物线与x轴得交点得个数
（1）有两个交点△>0抛物线与x轴相交
并求直线l得解析式
方法总结：
例4：已知：抛物线
（1）当c=-3时，求出抛物线与x轴得交点坐标
（2）当-2<x<1时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c得取值范围
方法总结：线段与抛物线得交点，要结合直线与抛物线交点与函数得图象综合分析
练习：
1、抛物线 与直线y=2x交点得横坐标均为整数，且m<2,
求满足要求得m得整数值
抛物线 得图象与平行于x轴得直线相交
新得一元二次方程
2、抛物线与平行于x轴得直线得交点得个数
（1）有两个交点△>0抛物线与直线相交
（2）有一个交点△=0抛物线与直线相切
（3）没有交点△<0抛物线与直线相离
三：抛物线与直线得交点问题
例3：若抛物线 与直线y=x+m只有一个交点，求m得值
练习：
已知:抛物线 过点A作直线l与抛物线有且只有一个交点，
（3）在（2）得条件下，过点C作直线 ∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧得部分沿直线 翻折，二次函数图象得其余部分保持不变，得到一个新得图象，记为G．请您结合图象回答：当直线 与图象G只有一个公共点时，b得取值范围．
2、（2013丰台一模23）二次函数 得图象如图所示，其顶点坐标为M(1,-4)．
（4）求二次函数得解析式；
高中数学同步学案 直线与抛物线的位置关系
第二课时 直线与抛物线的位置关系[读教材·填要点]直线与抛物线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m,抛物线：y 2＝2px(p ＞0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0,(1)若a≠0,当Δ＞0时,直线与抛物线相交,有两个交点； 当Δ＝0时,直线与抛物线相切,有一个交点； 当Δ＜0时,直线与抛物线相离,无公共点．(2)若a ＝0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．[小问题·大思维]若直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线与抛物线有什么样的位置关系？提示：直线与抛物线相切时,只有一个公共点,反过来,当只有一个公共点时,直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．直线与抛物线的位置关系若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点,试求实数a 的取值集合．[自主解答] 因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点,所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax有唯一一组实数解．消去y,得[(a ＋1)x －1]2＝ax, 整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0.①(1)当a ＋1＝0,即a ＝－1时,方程①是关于x 的一元一次方程,解得x ＝－1,这时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0,即a≠－1时,方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a(5a ＋4)＝0, 解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，当a ＝－45时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5.y ＝－2.综上,实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.若将“曲线C ：y 2＝ax 恰有一个公共点”改为“抛物线C ：y 2＝ax(a≠0)相交”,如何求解？解：列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax a≠0，消去x 并化简,得(a ＋1)y 2－ay －a ＝0.(*)①当a ＋1＝0即a ＝－1时：方程(*)化为y ＋1＝0, ∴y ＝－1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，故直线与抛物线相交．②当a ＋1≠0即a≠－1时, 由Δ＝(－a)2＋4a(a ＋1)≥0,得 5a 2＋4a≥0,结合a≠0, 解得a≤－45或a>0.综上所述,实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45∪(0,＋∞)．直线与抛物线的位置关系有三种,即相交、相切、相离,这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断．当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交,此时只有一个交点．1.如图,直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A. (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0,(*)因为直线l 与抛物线C 相切, 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1,故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2,代入x 2＝4y,得y ＝1, 故点A(2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切,所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离． 即r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.弦长、中点弦问题已知顶点在原点,焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15,求此抛物线方程．[自主解答] 设抛物线方程为：x 2＝ay(a≠0),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0.消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0, ∵直线与抛物线有两个交点,∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0,即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x 1＋x 2＝a 2,x 1x 2＝a 2,y 1－y 2＝12(x 1－x 2),弦长为|AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝54x 1－x 22＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝145a 2－8a .∵|AB|＝15,∴145a 2－8a ＝15,即a 2－8a －48＝0,解得a ＝－4或a ＝12, ∴所求抛物线方程为：x 2＝－4y 或x 2＝12y.(1)研究直线与抛物线的弦长问题,通常不求弦的端点坐标,而是直接利用弦长公式|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|,另外要注意斜率不存在的情况,当弦过焦点时可利用焦点弦公式求解．(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题,处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率．2．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB,若弦恰被Q 平分,求AB 所在直线方程． 解：设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②x 1＋x 2＝8， ③y 1＋y 2＝2， ④k ＝y 1－y 2x 1－x 2,⑤ ①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 将④代入,得y 1－y 2＝4(x 1－x 2),4＝y 1－y 2x 1－x 2.∴k ＝4.经验证,此时直线与抛物线相交．∴所求弦AB 所在直线方程为y －1＝4(x －4), 即4x －y －15＝0.抛物线中的定点、定值问题A,B 是抛物线y 2＝2px(p>0)上的两点,并满足OA ⊥OB,求证：(1)A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别都是一个定值； (2)直线AB 经过一个定点．[自主解答] (1)因为AB 斜率不为0,设直线AB 方程为my ＝x ＋b,由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x ＋b ，y 2＝2px ，消去x,得y 2－2pmy ＋2pb ＝0.由Δ＝(－2pm)2－8pb>0,又∵y 1＋y 2＝2pm,y 1y 2＝2pb,OA ⊥OB, ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.∴y 21·y 224p2＋y 1·y 2＝0.∴b 2＋2pb ＝0.∴b ＋2p ＝0.∴b ＝－2p. ∴y 1y 2＝－4p 2,x 1·x 2＝b 2＝4p 2.所以A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别是4p 2和－4p 2；(2)直线AB 的方程为my ＝x －2p, 所以AB 过定点(2p,0)．直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题,如果该定值是个待求的未知量,则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值,然后证明该定值即为所求．3．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A,B,求证：y A ·y B ＝－p 2. 证明：①斜率不存在时y 1＝p,y 2＝－p, ∴y 1y 2＝－p 2.②斜率存在时,⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x 得,y ＝k·y 22p －kp2,∴y 1·y 2＝－kp 2k 2p ＝－p 2.解题高手 多解题 条条大路通罗马,换一个思路试一试抛物线y 2＝x 上,存在P,Q 两点,并且P,Q 关于直线y －1＝k(x －1)对称,求k 的取值范围． [解] 法一：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧y 1－y 2＝－1k x 1－x 2，y 1＋y 22－1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－1，∴y 1＋y 2＝－k.∴－k 2－1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 222－1＝k 2[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2－2]． ∴－k －2＝k[k 2－2y 1(－k －y 1)－2]． ∴2ky 21＋2k 2y 1＋k 3－k ＋2＝0. ∴Δ＝4k 4－8k(k 3－k ＋2)>0. ∴k(－k 3＋2k －4)>0. ∴k(k 3－2k ＋4)<0. ∴k(k ＋2)(k 2－2k ＋2)<0. ∴k ∈(－2,0)．法二：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),且PQ 的中点M(x 0,y 0), 由题意可知直线y －1＝k(x －1)的斜率存在,且k≠0. 不妨设直线PQ 的方程为x ＋ky ＋m ＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋m ＝0，y 2＝x ，得y 2＋ky ＋m ＝0. ∴y 1＋y 2＝－k. 即y 0＝－k 2,x 0＝12－1k.又∵中点M(x 0,y 0)在抛物线的内部, ∴y 20<x 0,∴k 3－2k ＋4k<0,即k ＋2k 2－2k ＋2k<0,∴k ∈(－2,0)．1．若直线y ＝2x ＋p 2与抛物线x 2＝2py(p>0)相交于A,B 两点,则|AB|等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12p解析：将直线方程代入抛物线方程, 可得x 2－4px －p 2＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝4p,∴y 1＋y 2＝9p. ∵直线过抛物线的焦点,∴|AB|＝y 1＋y 2＋p ＝10p. 答案：B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线,与抛物线y 2＝8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：不妨设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 由直线AB 斜率为－2,且过点(1,0)得直线AB 方程为y ＝－2(x －1), 代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x, 整理得x 2－4x ＋1＝0, ∴x 1＋x 2＝4,x 1x 2＝1, ∴|AB|＝1＋k2|x 1－x 2|＝5[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝215.答案：B3．过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：斜率不存在时,直线x ＝0符合题意,斜率存在时,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0, k ＝0时,符合题意, k≠0时,由Δ＝0得k ＝12.答案：C4．已知△OAB 为等腰直角三角形,其中|OA|＝|OB|,若A,B 两点在抛物线y ＝14x 2上,则△OAB 的周长是________．解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 2<0<x 1,由|OA|＝|OB|及抛物线的对称性知AB ⊥y 轴,y 1＝x 1,又y 1＝14x 21,所以x 1＝y 1＝4,故|OA|＝|OB|＝42,|AB|＝8,△OAB 的周长为8＋8 2.答案：8＋8 25．已知抛物线y 2＝2px(p ＞0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2,即x ＝y ＋p 2,将其代入得：y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2,所以y 2－2py －p 2＝0,所以y 1＋y 22＝p ＝2,所以抛物线的方程为y 2＝4x,准线方程为x ＝－1.答案：x ＝－16．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A,B 两点,若线段AB 中点的横坐标等于2,求弦AB 的长． 解：将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得： k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，4k ＋82－16k 2>0⇒k>－1且k≠0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0.解得k ＝2或k ＝－1(舍去)． 由弦长公式得： |AB|＝1＋k 2·64k ＋64k2＝5×1924＝215.一、选择题1．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则y 1y 2x 1x 2的值为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：取特殊位置,当AB ⊥x 轴时,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p . ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 答案：B2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：准线x ＝－2,Q(－2,0),设l ：y ＝k(x ＋2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时,x ＝0,即交点为(0,0), 当k≠0时,Δ≥0,－1≤k＜0或0＜k≤1. 综上,k 的取值范围是[－1,1]． 答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2,－1),则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b ax ，x ＝－p2，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－bp 2a ，x ＝－p2.由题得知⎩⎪⎨⎪⎧－bp2a＝－1，－p2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，p ＝4.又知p 2＋a ＝4,故a ＝2,b ＝1,c ＝a 2＋b 2＝5,∴焦距2c ＝2 5. 答案：B4．设定点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 的距离为d 1,P 到抛物线准线l 的距离为d 2,则d 1＋d 2取最小值时,P 点的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1,2)C ．(2,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－12解析：连接PF,则d 1＋d 2＝|PM|＋|PF|≥|MF|,知d 1＋d 2的最小值为|MF|,当且仅当M,P,F 三点共线时,等号成立,而直线MF 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎪⎫x －12,与y 2＝2x 联立可得x ＝2,y ＝2.答案：C 二、填空题5．已知抛物线y 2＝4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则y 21＋y 22的最小值是________．解析：显然x 1>0,x 2>0.又y 21＝4x 1,y 22＝4x 2,所以y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥8x 1x 2,当且仅当x 1＝x 2＝4时取等号,所以y 21＋y 21的最小值为32.答案：326．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作斜率为45°的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的长为8,则p ＝________.解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由条件可知直线AB 的方程为y ＝x －p 2,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－px ＋p24＝2px.即x 2－3px ＋p24＝0,又|AB|＝8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝8. ∴x 1＋x 2＝8－p. 即3p ＝8－p,∴p ＝2. 答案：27．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A,B 两点,过A,B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0,得x ＝1或9,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP|＝10,|BQ|＝2或|BQ|＝10,|AP|＝2,所以|PQ|＝8,所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.答案：488．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A,B 满足AF ―→＝3FB ―→,则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：依题意,设直线AB 的方程是x ＝my ＋1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(my ＋1),即y 2－4my －4＝0,所以y 1＋y 2＝4m,y 1y 2＝－ 4. 又AF ―→＝3FB ―→,AF ―→＝(1－x 1,－y 1),FB ―→＝(x 2－1,y 2),于是有－y 1＝3y 2,y 22＝43, (y 1＋y 2)2＝4y 22＝163, 弦AB 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝y 21＋y 228＋1 ＝y 1＋y 22－2y 1y 28＋1＝163＋88＋1＝83. 答案：83三、解答题9．已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k(x ＋1)相交于A,B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时,求k 的值．解：(1)证明：易知k≠0,联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝－x ，y ＝k x ＋1，消去x,得ky 2＋y －k ＝0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝－1k,y 1·y 2＝－1. 因为y 21＝－x 1,y 22＝－x 2,所以(y 1·y 2)2＝x 1·x 2,所以x 1·x 2＝1,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即OA ―→·OB ―→＝0,所以OA ⊥OB.(2)设直线l 与x 轴的交点为N,则N 的坐标为(－1,0),所以S △AOB ＝12|ON|·|y 1－y 2| ＝12×|ON|×y 1＋y 22－4y 1·y 2 ＝12×1× 1k2＋4＝10,解得k 2＝136,所以k ＝±16. 10.如图,过抛物线y 2＝x 上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC 交抛物线于B,C 两点,求证：直线BC 的斜率是定值．证明：设AB 的斜率为k,则AC 的斜率为－k.故直线AB 的方程是y －2＝k(x －4),与y 2＝x 联立得,y －2＝k(y 2－4),即ky 2－y －4k ＋2＝0.∵y ＝2是此方程的一解,∴2y B ＝－4k ＋2k ,y B ＝1－2k k, x B ＝y 2B ＝1－4k ＋4k 2k 2. ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k＋4k 2k 2，1－2k k . ∵k AC ＝－k,以－k 代替k 代入B 点坐标得点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋4k＋4k 2k 2，1＋2k －k , ∴k BC ＝－1＋2k k －1－2k k 1＋4k ＋4k 2k 2－1－4k ＋4k 2k 2＝－14为定值．。
人教版初三数学上册抛物线与直线交点问题
四、归纳小结
知识归纳1：抛物线与直线的公共点
知识归纳2：抛物线与线段、射线的公共点(若有公共点)
界点法—定界点，求极值，由形到数来解决.
交点法—求交点，定范围，由数到形来解决.
五、布置作业
如图1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角系中两点,其中m为常数,且m＞0,以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,把矩形ABCD沿x轴折叠并平移至矩形A1B1BD1,作射线OA,若抛物线y=ax2+bx(a＞0)过点A1．(2)当m为某定值时,抛物线与四边形ABCD有公共点,
(2)若点C(5,0),以线段AC为对角线作矩形ABCD,将矩形ABCD沿x轴翻折并向左平移得到矩形A1B1BD1,①则点A1的坐标为
②过点O、A1的抛物线与直线AC的交点有几个？
二、探究二：
如图1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角系中两点,其中m为常数,且m＞0,以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,把矩形ABCD沿x轴折叠并平移至矩形A1B1BD1,连线段OA,若抛物线y=ax2+bx(a＞0)过点A1．
设抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过点M作MN⊥y轴,垂足为N,此时线段MN的最大值为10.②试探究a的取值范围.
板书设计
抛物线与直线交点问题
…界点法—界点，求极值，由形到数来解决.
交点法—求交点，定范围，由数到形来解决.
………
教学反思
教学设计
课题
抛物线与直线交点问题
课型
复习
教学内容
抛物线与直线交点问题
第课时
教学目标
（含三维、重难点）
1、理解抛物线与直线交点问题的解答方法，理解数形的相互转化。
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
一．教学目标
1. 掌握抛物线的定义
2. 了解抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法
3. 掌握抛物线与直线位置关系，间接联系条件概率
二．教学准备
1. 白板，粉笔
2. 激励故事/简答题
3. 图片和例题
三．教学步骤
（一）引入
1. 播放激励性故事，引起学生对直线与抛物线的兴趣。
2. 设置简答问题，让学生思考直线与抛物线的关系，启发学生思维。
（二）快速拓展
1. 定义抛物线，并介绍抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法等。
2. 出示图片，解释抛物线与直线的位置关系：直线交抛物线两次，有两个不同的焦点；抛物线有唯一的轴对称性，其实现此轴为中轴线；两个焦点到中轴线的距离相等，为直线的焦点距。
（三）深度应用
1. 针对存在的问题，出示例题，通过研究解答，进一步深入探讨抛物线与直线位置关系的内容。
2. 邀请学生回答问题，让学生认识到解决问题的过程，加深对位置关系的理解。
（四）归纳总结
1. 回顾本节课学习内容，并总结抛物线与直线之间位置关系。
2. 介绍抛物线与条件概率的间接联系，强化对本节内容的理解加深认识。
四．教学反思
本节课学习内容比较复杂，时间较紧张，未能充分挖掘学生的潜力，希望能给学生更多的思考空间，让学生能更好的理解抛物线与条件概率的联系。
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解直线与抛物线的概念及其性质；2. 掌握直线与抛物线的交点求法；3. 能够判断直线与抛物线的位置关系。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，求解直线与抛物线的交点；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
情感态度价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心；2. 培养学生的团队合作精神；3. 让学生感受数学在生活中的应用。
二、教学重难点：重点：直线与抛物线的概念及其性质，直线与抛物线的交点求法。
难点：判断直线与抛物线的位置关系，解决实际问题。
三、教学准备：教师准备：教学课件、例题、练习题、黑板。
学生准备：笔记本、笔、数学书。
四、教学过程：1. 导入：引导学生回顾直线和抛物线的基本概念和性质。
2. 新课讲解：讲解直线与抛物线的交点求法，举例说明。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用直线与抛物线的位置关系解决问题。
4. 课堂练习：学生独立完成练习题，教师解答疑问。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用。
五、课后作业：1. 完成练习题：要求学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 研究性问题：鼓励学生探索直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如：优化路线、最大/最小值问题等。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和思路，培养团队合作精神。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生课后练习的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括思考问题的深度、团队合作能力等。
七、教学反思：教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，分析学生的反馈，调整教学方法和策略，以提高教学效果。
关注学生的学习进度和需求，针对性地进行辅导。
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小组讨论提纲：（1）本题的关键词；直线如何画？会两个问题的区别如果不画图容易丢解，再
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个向上平移6??kxyn单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象的取有公共点时，Gn 值范围．课题探究直线与抛物线的交点问题例题中对函数图象的分析示意图1.形数方程组的解的问题函数图象的
板书交点问题设计解题策略：明确动直线与抛物线；1. 动手操作，确定临界时刻——形；用数解形，求出临界时刻——数
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