相关分析

第七章相关分析

任何事物的存在都不是孤立的，而是相互联系、相互制约的。在医学领域中，身高与体重、体温与脉搏、年龄与血压等都存在一定的联系。说明客观事物相互间关系的密切程度并用适当的统计指标表示出来，这个过程就是相关分析。

值得注意，事物之间有相关，不一定是因果关系，也可能仅是伴随关系。但如果事物之间有因果关系，则两者必然相关。

由变量相依关系的特点，变量之间的依存关系可分为两大类型：

(1)确定性关系——函数关系，例如圆面积S=πr2, y=e x+x2等。

(2)确定性关系——相关关系，例如人的血压y与年龄x之间的关系等。

以往我们讨论过的许多数学学科，如分析几何、代数等都是研究变量之间确定性关系的，但非确定性关系在自然界和我们熟知的教育领域中大量存在，例如学习成绩与智力因素或与非智力因素之间，数学成绩与物理成绩之间，性别与学习成绩之间等，都存在某种相互联系，相互制约的依存关系，这种关系不是那种严格的函数关系，而是一种非确定性的关系。相关关系和函数关系也有联系：由于观察和测量中会产生误差，函数关系往往通过相关关系表现出来，变量间相关关系非常密切时，通常又呈现出某种函数关系趋势。

相关的种类

按不同的分类标准，相关关系有多种分类

1、简单相关和复相关

简单相关——两个变量之间的相关关系

按涉及变量的多少分

复相关——一个变量与两个及以上个变量之间的相关关系

2、线性相关和非线性相关

线性相关(直线相关)

按变量关系的表现形态，相关关系可分为

非线性相关(曲线相关)

3、正相关和负相关

按变量数值变化方向的总趋势，相关关系可分为正相关、负相关

正相关——两个变量变化方向的趋势相同(见教材P2，图1-2左)

负相关——两个变量变化方向的趋势相反(见教材P2，图1-2右)

4、完全相关、高度相关、低度相关和不相关

按两变量联系的紧密程度分，相关关系可分为完全相关、高度相关、低度相关和不相关(零相关)

相关分析的主要内容

研究两个或两个以上变量之间是否存在相关关系，如果存在相关关系，其相关的性质和程度如何，这个过程在统计学上称为相关分析，相关分析的主要内容包括：

1、确定变量之间有无相关关系存在，以及相关关系呈现的形态。

2、确定相关关系的密切程度。断送相关关系密切程度的主要方法是绘制散点图和计算相关系数。

3、对相关系数的显著性进行统计检验。

数据类型

注意品质相关要先学习卡方独立性检验。

积差相关用于计算连续且总体服从正态的两变量间的相关。

等级相关，指以等级次序表示的变量之间的相关。等级相关适用这样两种情况：①虽然是连续数据，但变量总体上不服从正态分布，②或者数据是顺序的。当然在这两种情况下都要求变量间是线性关系，并且在将数据代入公式之前，必须将原来的数据转化为连续编号的等级数据，这里的等级数据必须是从1到N排列，若有相同的数据，则平分共同应该占据的等级，如，平时所说的两个并列第一名，他们应该占据1，2名，所以它们的等级应是1.5,又如一个第一名，两个并列第二名，三个并列第三名，则它们对应的等级应该是1，2.5，2.5，5，5，5，这里2.5是2，3的平均，5是4，5，6的平均。我们将介绍斯皮尔曼等级相关、肯德尔W系数与肯德尔U系数三种计算等级相关的方法，前者用于只有两列变量的情况，后两者用于三列及三列以上变量的情况。

质量相关，指一列变量为等比或等距的测量数据，另一列变量是按性质划分的类别。主要介绍三类质量相关，点二列相关、二列相关、多系列相关。

SPSS 的相关分析是借助于Statistics 菜单的Correlate 选项完成的。

第一节 Bivariate 过程

7.1.1 主要功能

积差相关，是计算两个变量线性相关的一种方法，由英国统计学家皮尔逊提出，因此也称为皮尔逊(Pearson)相关。要使用积差相关必须同时具备如下几个条件：

①两个变量都是由测量获得的连续性数据，即等距或等比数据。

②两个变量的总体都呈正态分布，或接近正态分布，至少是单峰对称分布，当然样本并不一定要正态。

③必须是成对的数据，而且每对数据之间是相互独立的，即各自互不影响，本条件是难以检验的。

④两个变量之间呈线性关系。一般用描绘散点图的方式来观察，最好是先各自转化为Z 分数，单位会统一些。

若对(x 、y)作了n 次观测，得到n 对数据（x 1,y 1）……,( x n ,y n )。 则定义r 为：

∑∑∑∑∑======

=

-=-=--==

1

1

1

21

2

1

1

,1

)(,)(),

)((i i i i n

i i yy n

i i xx n

i i i xy

yy

xx xy y n y x n x ，y y L x x L y y x x ：L

L L L r 其中

由哥-席不等式易知 1||≤r

根据我们已具备的概率知识，当 1||=r 时，可以认为x 与y 依pr 为1存在完全的线性相关关系，||r 越小，x 与y 存在线性相关的程度越小，r=0 ，可以认为x 与y 不相关(不存在线性相关)，但不相关并不等于x 与y 相互独立，x 与y 之间可能存在其它形式的相关关系。在||r ≠0时，r ＞0,可认为x 与y 正相关，r ＞0,可认为x 与y 负相关。 积差相关系数的显著性检验

设ρ表示x 和y 的总体相关系数，当ρ=0时，称x 与y 不相关，利用样本相关系数r 可以检验H 0: ρ=0