一个重要极限的证明策略
重要极限公式推导
重要极限公式推导在数学中，极限是一种重要的概念，它描述了函数在某一点附近的表现。
而重要极限公式则是用于求解各种极限问题的基本工具。
本文将以重要极限公式推导为主题，介绍其中一些常用的公式。
一、极限的定义在推导重要极限公式之前，首先需要了解极限的定义。
对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数L，那么我们说函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
二、重要极限公式推导1. 无穷小与无穷大的关系当x趋于无穷大时，我们常常会遇到无穷小与无穷大的关系。
其中一个重要的极限公式是：lim(x→∞) [1 + 1/x]^x = e这个公式表明当x趋于无穷大时，[1 + 1/x]^x的极限为自然常数e。
2. 自然对数的极限自然对数函数ln(x)与指数函数e^x是互逆函数，它们之间有着紧密的联系。
我们知道，ln(x)的导数为1/x，因此可以得到以下重要的极限公式：lim(x→0) (ln(1 + x))/x = 1这个公式表明当x趋于0时，(ln(1 + x))/x的极限为1，也即是ln(1 + x)与x之间的近似关系。
3. 正弦函数的极限正弦函数sin(x)是数学中的重要函数之一，它在极限计算中也有着重要的应用。
其中一个重要的极限公式是：lim(x→0) sin(x)/x = 1这个公式表明当x趋于0时，sin(x)/x的极限为1，也即是sin(x)与x之间的近似关系。
4. 指数函数的极限指数函数e^x在数学中起着重要的作用，而其极限也有一些重要的性质。
其中一个重要的极限公式是：lim(x→0) (e^x - 1)/x = 1这个公式表明当x趋于0时，(e^x - 1)/x的极限为1，也即是e^x 与1 + x之间的近似关系。
5. 对数函数的极限对数函数log(x)也是数学中的重要函数之一，它在极限计算中也有着重要的应用。
其中一个重要的极限公式是：lim(x→0) (log(1 + x))/x = 1这个公式表明当x趋于0时，(log(1 + x))/x的极限为1，也即是log(1 + x)与x之间的近似关系。
一个重要极限limn→∞n^k/an=0,（a〉1,k∈N）的多种证法
Many Testimonies of An Important Limitation of ＂limn→∞n^k/an=0,（a〉1,k∈N）＂作者： 胡其明
作者机构： 兴义民族师范学院,贵州兴义562400
出版物刊名： 兴义民族师范学院学报
页码： 102-103页
年卷期： 2010年 第1X期
主题词： 极限 “ε-N”语言 单调有界 海涅定理 洛必达法则 收敛级数 迫敛性 斯笃茨定理
摘要：在数列极限中，有一个使用频率较高的极限limn→∞n^k/an=0,（a〉1,k∈N），而在一般微积分的教材中又没有给出证明，仅有少数教材对该极限的特殊情
形“limn→∞n^k/an=0,（a〉1,k∈N）”进行了证明。
为了加深对该极限的理解和应用，这
篇文章用七种不同的方法对该极限进行了详细证明，体现了证明数列极限的灵活性和多样性。
通过对证明方法的归纳和总结，可以拓展证明数列极限的思路，起到举一反三的作用。
重要的求极限的方法总结
(x2 + 3x + 4) (x − 2)
lim
= lim
=0
x→2 (x + 2)(x − 2)
x→2
(x + 2)
经常碰到一些根式，可以用补充因子的方法处理：
√
√
√
√
√
√
√√
2x + 1 − 3
2x + 1 − 3 2x + 1 + 3 x − 2 + 2
2x + 1 − 9 x − 2 + 2 2 2
0
= lim ax =
x→∞
∞
0<a<1 a>1
（有张著名的“夹逼准则”的图片已经路人皆知，我就不拿出来了） 迫敛法的技巧性较高，变化也很丰富，我只展示几个：
证明：
n
1
an
=
k=1
√ n2
+k
→
1
再者：
1
1
1
n
n
1
√
≤√
≤ ⇒√
≤√
≤1
n2 + n
n2 + k n
n2 + n k=1 n2 + k
lim f (x) = A ⇔
x→∞
∀
|xn|
→
∞(n
→
∞)
⇒
lim
n→∞
f
(xn)
=
A
1 主部原则
即保留幂函数主部，也就是说x → ∞时，最高次幂为主部，x → 0时最低次幂为主部。 对于a, b = 0, n > ki, m > si有：
axn + lim
重要极限公式的推导
重要极限公式的推导引言在微积分中，极限是一个重要的概念。
它描述了函数在某一点附近的行为。
而极限公式则是用来计算极限的工具之一。
本文将以重要极限公式的推导为主题，逐步解释这些公式的来源和推导过程。
一、基本极限公式的推导1. 极限的定义在开始推导之前，我们先回顾一下极限的定义。
设函数f(x)在点a 的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，则称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
2. 基本极限公式的推导基本极限公式是一些常见函数的极限值，它们在数学计算中非常常用。
其中包括：- lim(x→a) x^n = a^n，其中n为任意实数；- lim(x→0) (sinx)/x = 1；- lim(x→0) (1 - cosx)/x = 0；- lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e，其中e为自然对数的底数。
这些基本极限公式的推导可以通过数学分析和极限的定义进行证明。
由于篇幅有限，本文无法一一展开详细推导过程，但可以通过数学课本或相关资料进行学习和理解。
二、常用极限公式的推导1. 复合函数的极限对于两个函数f(x)和g(x)，我们可以通过将它们进行复合来构造新的函数h(x) = f(g(x))。
那么，当x趋于某个特定值a时，h(x)的极限如何计算呢？设当x趋于a时，函数g(x)的极限为L，即lim(x→a) g(x) = L。
同时，当x趋于L时，函数f(x)的极限为M，即lim(x→L) f(x) = M。
那么，当x趋于a时，函数h(x)的极限为lim(x→a) h(x) = M。
这一推导过程体现了函数极限的传递性，即如果一个函数的极限存在，并且另一个函数将其作为自变量，则复合函数的极限仍然存在。
2. 无穷小量与无穷大量的极限在极限的计算中，经常会遇到无穷小量和无穷大量。
第一个重要极限的几种证明及其应用
第一个重要极限的几种证明及其应用
重要极限定理是一个基本而重要的数学概念，它有多种用法，通常用于证明等
式或不等式的结果的极限性质。
现在有几种证明重要极限的方法，特别是应用到生活娱乐中，从而使得我们的生活更加轻松愉快。
首先，有几种常见的证明重要极限的方法，例如基本极限定理、强化极限定理、限制定理等。
首先，基本限定理可以用来证明函数及其无穷序列的极限性质，可以用来求解罚款函数在极限条件下极限值，以及求解瞬态系统的动力学特性。
此外，强化极限定理是基本极限定理的一种更强的证明方法，它可以用来推导
更复杂的函数极限性质，并且可以用来分析一类复杂系统的全局性质，尤其是在复杂系统调控模型方面有着广泛的实际应用。
如果进一步地强化，就可以得出限制定理，它可以用来分析一类问题中的最优解，给复杂系统提供有效的全局解决方案。
最后，如何将这些重要极限定理应用到生活娱乐中呢？首先，在游戏领域，重
要极限定理可以用来计算游戏中的可行解，尤其是复杂的游戏，可以求解出最优的解决方案，使得游戏更加有趣。
另外，它也可以作为一种泛函分析方法，用于寻找图像处理、视频处理等任务中的最优结果。
总之，重要极限定理已经衍生出了多种用法，其应用于生活娱乐中，可以帮助人们更高效地解决问题，使得整个过程更加轻松愉快。
关于一个重要极限的两种证明方法
递 增有上界， 再根据单调有界定理 极限 ｌ ｉ ｍ ｆ ｌ ＋ １ 存在。 但实际 教学
中， 学 生往往感觉这样的证明 比较抽象 ． 过程不简洁 ． 难 以理解 。不少
， 盟
、
Ｏ ￣ １ ＋Ｏ ｒ ２ ］
㈩ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学 者对此进行 了研究。崔德旺Ｉ ３ ］ 等利用几何均值不等式给 出了存在性 的一种简洁证法 杨华 １ 从连续性和导数定 义的角度给 出了重要极限
ｎ
［ Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ］ Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ Ｐ ｅ ｒ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｅ ｅ ｏ ｆ ｉ ｍ ｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｎ ｌ ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ ｌ ｉ ｍ （ 】 １ ） ＝ ｅ ． Ｒ ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｗ ｏ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｉ ｅ ｓ ｊ ｎ ｃ ｏ ｍ ｂ ｉ ｎ ａ ｔ ｉ 。 ｎ ｗ ｉ ｔ ｈ ｍ ｏ Ｈ ｏ ｔ ｏ ｎ ｅ
ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ， ｔ ｗｏ ｃ ｏ ｎ ｃ ｉ ｓ ｅ ｐ ｒ ｏ ｏ ｆ ｉ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ．
【 Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ］ Ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ ； Ｐ ｒ ｏ ｏ ｆ ； Ｍ ｏ ｎ ｏ ｔ ｏ ｎ ｅ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｏ ｙ ｒ
ｎ
１
令 （ ４ ） 中 ａ ： ｎ 一 １ ， ｎ ＝ ｌ 。 ＝ ｎ ， 口 ： １ ， 则 （ Ｌ ） （ 芸 ）， 即
的证明方法。本文给出对极限ｌ ｆ ｌ ＋ １ 存在性的两种简洁证法。
１ 预 备知 识
引理 １ １ ５ 】 设实数 ＞ 一 １ ． 为正整数 ． 则有
一个重要极限多种证法的教学反思
一个重要极限多种证法的教学反思教学是一项富有挑战性的工作，尤其是对于数学这门学科而言。
在教授重要极限多种证法时，教师需要灵活运用各种教学方法和策略，以满足学生的学习需求。
在本文中，我将反思我在教授重要极限多种证法时的教学经验，并提出一些建议以促进更有效的教学和学习。
首先，在教学重要极限的概念时，我使用了直观的例子来帮助学生理解。
我通过展示图形、实际生活中的应用以及数值表格等方式向学生解释极限的概念。
这样做的目的是激发学生的兴趣，并帮助他们建立起对极限的直观感受。
然而，在反思中我发现，这种方法可能并不适用于所有学生，因为一些学生可能更喜欢抽象的方式来理解概念。
因此，在今后的教学中，我会尝试不同方法来满足不同学生的学习需求。
其次，在讲解重要极限多种证法时，我注重了清晰的逻辑结构和语言表达。
我将证法分解为步骤，并逐一解释每一步的原理和推理过程。
这种分步讲解的方式能够帮助学生理清证明的思路，并且使他们更容易跟上课堂的内容。
此外，我还使用了简洁明了的语言表达，避免使用过于复杂的数学符号和术语，使得学生能够更好地理解和吸收所学知识。
然而，在反思中我也意识到，有时候我可能过于注重理论证明，而忽视了实际应用。
重要极限多种证法在现实生活中有着广泛的应用，包括物理、工程、经济等领域。
因此，我认为将理论与实际应用相结合将会使学习过程更加有趣和有意义。
例如，我可以引入一些实际案例或者建模问题，让学生通过应用所学的证法来解决实际问题。
这样的教学方法不仅可以增强学生对知识的理解与记忆，还能激发他们的学习兴趣和创造力。
此外，我在反思中也发现自己缺乏及时的反馈和评估机制。
反馈和评估是教学中至关重要的环节，它可以帮助学生发现自己的错误和不足，并引导他们进行修正和改进。
因此，在今后的教学中，我将更加重视及时反馈和评估，例如通过小测验、作业批改和讨论等方式来与学生进行互动和交流。
这样不仅可以帮助学生提高学习效果，同时也可以让我及时了解到他们的学习情况，从而更好地调整和优化我的教学策略。
证明极限的几种方法
证明极限的几种方法极限是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，有多种方法可以用来证明极限的存在或计算极限的值。
本文将介绍几种常用的证明极限的方法。
一、数列极限的证明方法数列极限是极限的一种特殊情况，通常用来描述数列在无穷项处的趋势。
对于数列${a_n}$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_n-a|<\varepsilon$成立，则称数列${a_n}$的极限为$a$，记作$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=a$。
数列极限的证明方法主要有夹逼准则、单调有界准则等。
夹逼准则是证明数列极限存在的常用方法。
其思想是通过夹逼数列，找到一个已知的收敛数列，使得待证数列夹在这两个数列之间。
然后利用已知数列的极限，推导出待证数列的极限。
例如，要证明数列${\frac{1}{n}}$收敛于0，可以利用夹逼准则。
首先，我们知道对于任意正整数$n$，都有$0<\frac{1}{n}<\frac{1}{1}=1$。
又因为$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{1}=0$，所以根据夹逼准则，数列${\frac{1}{n}}$的极限存在且为0。
二、函数极限的证明方法函数极限是极限的一般情况，用来描述函数在某一点处的趋势。
对于函数$f(x)$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-a|<\varepsilon$成立，则称函数$f(x)$在点$a$处具有极限$a$，记作$\lim\limits_{x\to a} f(x)=a$。
函数极限的证明方法主要有$\varepsilon-\delta$准则、夹逼准则等。
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方法，在高等数学中是经常用到的，不能忽视， 况 型的不定式， 用洛必达法则 且， 对于某些 0 （ ∞ ） 0 ∞ 显得尤其简捷明快。 证法 6 利用泰勒公式[3]P134- 135 由展开式
3 5 n- 1 2n- 1 ） x +O sinx=x- x + x +…+（- 1 （x2n ） 3! 5! （2n- 1 ） ！ 其中 O （xn ） 表示当 x→0时， 它是一个较 xn 高价 （xn ）=0 的无穷小， 即lim O x →0 xn 所以 sinx=x+O （x2 ） 则有 +（2 ） （x2 ） ·O lim sinx =lim x O x =lim 1+x 2 x x x →0 x →0 x →0 x 2 （x ）=1+0=1 =1+lim x ·O x →0 x2 即 lim sinx =1 x →0 x 简评 泰勒公式是一个很重要的展开式， 它的 应用很广泛， 对于求某些不定式的极限问题， 应用 它比使用洛必达法则更为方便。
x →0
sinx =1， 即函数 sinx 收敛于 1， 对于这个极限的证 x x 明， 大都是通过作单位圆， 构造三角形及圆扇形求 其面积， 再应用数列极限存在的准则 （夹逼准则 ） 给 予证明的。 本文探索重要极限lim sinx =1 证法的多 x →0 x 样性， 以期有助于复习巩固所学知识， 从而培养学 生的思维能力。 证法 1 利用三角函数表[1]P27 由三角函数表可算出下列结果
Proof of the limits of an important strategy
Tang
(Wuhan
Mao-lin
commercial Seruice College, Wuhan 430058,China)
Abstract: Limit theory in mathematical analysi s is an important tool for research function is to learn advanced mathematics, one of the theoretical basis, while the limit function is commonly used in advanced mathematics to an important limit. In this paper, the integrated use of different knowledge, give proof of comparison, with a view to help review the consolidation of the knowledge, thereby enhancing the quality of teaching Keywords: Trigonometric Table; Geometry; The definition of derivative; Carvedilol will rule Tatsu; Mean Value Theorem; Taylor formula; Euler formula 在高等数学教材中都讲述了一个重要极限lim
把指数函数与三角函数沟通起来的一个重要公式， 这里用于求极限方法新颖独特。 上述各种证法发挥了解题的灵感， 促进所学知 识融会贯通， 这是对问题进行多角度观察， 联想与 思考的结果， 在教学中重视探索一题多解无疑是有 益的。
参考文献 ：
[1] 吉林工学院数学教研室 . 高等数学 [M]. 武汉： 华中理工大学， 1997 （4 ） . [2] 同济大学数学教研室 . 高等数学 [M]. 北京高等教育出版社， 2000 （1 ） . [3] 朱匀华. 微积分入门指导与思考方法[M]. 广东： 中山大学， 1987 （3 ） . [4] 格 · 列 · 伦兹， 等. 复变函数与运算微积初步[M]. 北京:人民教育 出版社， 1978 （5 ） .
表1 三角函数表
从表看出 , 当 x 无限变小到 0 时 , 函数 sinx 趋 x 即 lim sinx =1 于 1， x →0 x 简评 鉴于该极限的特殊性,考察三角函数表, 其思路自然， 易于掌握的优点,值得效法. 证法 2 利用几何图形[1]P26 作一单位圆 (如图 1 所示)， 设 ∠AOB=x (弧度 ), 对于 A' A 轴作半经 OC， ∠AOC=x， 连接 BC， 则 AB =x， BC =2x， BC=2sinx 所 以 sinx = BC ， 当 x→0 时， x BC A' BC→BC ，从而lim sinx = x →0 x
x →0
x
高等数学中常用到的一个重要极限。综合运用不同知识， 给予证法比较， 以期有助于复习巩固所学知识， 从而提高 教学质量。
关键词 ：三角函数表； 几何图形； 导数定义； 洛必达法则； 中值定理； 泰勒公式； 欧拉公式 中图分类号 ：O13 文献标识码 ：A 文章编号 ：1008-6587 （2009 ）02-015-02
x
x x
x
证法 7
利用欧拉公式[4]P23
ix -ix 由欧拉公式 sinx= e -e 2i 2xi 2xi ix -ix 则有 sinx = e -e = e -1xi = 1 ·e -1 xi 2xi 2xi · 2xi x e e 2xi lim e -1 =1×1=1 于是 lim sinx =lim 1 · xi 2xi x →0 x →0 e x →0 x sin x =1 即 lim x →0 x 简评 欧拉公式经常用到 ,它是在复数领域中
2009 年 3 月 第 28 卷 第 2 期
保山师专学报
Journal of Baoshan Teachers′ College
Mar., 2009 Vol．28 No．2
一个重要极限的证明策略
汤茂林
（武汉商业服务学院 基础课部， 湖北 武汉
摘
430058 ）
要 ：极限理论是数学分析中研究函数的重要工具， 是学好高等数学的理论基础之一， 而函数极限lim sinx =1 是
· · 16
保 山 师 专 学 报
第 28 卷
即 lim sinx =1 x →0 x 简评 构图法的使用,为证明极限问题开辟了 一条新的途径,从而使抽象的极限问题直观化具体 化 , 简单化 , 而且还能打破学科的界限 , 沟通数学知 识的纵横联系,促进学生创造思维形式和发展。 证法 3 利用导数定义[2]P99- 100 函数 sinx ， 当 x→0 时的极限等于函数 sinx 在 x x=0 处的导数。 由 导 数 的 定 义 知 lim sinx =lim sinx- sin0 = x →0 x →0 x x- 0 （sinx ） ' ｜x=0=cos0=1 即 lim sinx =1 x →0 x 简评 在导数理论的学习中,我们需要学会正 确和灵活地运用导数定义来论证问题， 由此， 必需 吃透导数的定义， 从实质上理解它， 此法用来求极 限较为简单和巧妙。 证法 4 利用拉格朗日中值定理[2]P163 选取函数 （ ） =sinx， 则（ ） 在[0， f x f x x]上满足拉格 朗日中值定理的条件， 且 f（ ' x ） =cosx， 因而在 （0， ） x 内至少存在一点 ξ 使得 sinx- sin0 =cosξ， x- 0 即 sinx =cosξ （0<ξ<x ） x 从而有 lim sinx =lim cosξ=1 x →0 ξ→0 x 即 lim sinx =1 x →0 x 简评 拉格朗日中值定理在理论上有很重要 的价值,如利用导数的符号来判别函数的单调性的 方法就是根据这个定理得到的,此外还可以利用它 来证明一些不等式， 这里利用它来求极限有一定的 技巧。 证法 5 利用洛必达法则[3]P123- 124 等式左边极限是 0 型的未定式，由洛必达法 0 则得 lim sinx =lim cosx =lim cosx=cos0=1 1 x →0 x →0 x →0 x 即 lim sinx =1 x →0 x 简评 用洛必达法则求极限问题,并不是对所 有题目都优越于其他方法， 然而作为一种求极限的
B O x
x sinx x
±π 9
±π 18
±π 36
± π 180 0.9999
… …
→0 →1
0.9798 0.9949 0.9987
lim BC =1 BC
x →0
C
图1 利用几何图形作单位圆
!
收稿日期 ：2009- 04- 11 作者简介 ：汤茂林 （1955-） ， 男， 湖北大冶人， 武汉商业服务学院， 副教授， 研究方向为数学教学与研究。