两个重要极限的证明
两个重要极限的证明
两个重要的极限1．证明：0sin lim 1x x x→= 证明：如图（a ）作单位圆。
当0<x<2π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。
即111sin 222x x <<tgx ，sinx<x<tgx 。
除以sinx ，得到11sin cos x x x<< 或sin 1cos x x x >>。
（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。
故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。
由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x=。
函数f(x)=sin x x的图象如图（b ）所示。
2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11(1)n n n b a n b b a++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。
（1） 令a=1+11n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。
由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n+为递增数列。
再令a=1，b=1+12n代入（1）。
由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。
不等式两端平方后有214(1)2n n >+，它对一切自然数n 成立。
联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。
于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n→∞+是存在的。
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式首先，我们来介绍极限保号公式。
设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。
现在我们来证明极限保号公式：假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。
如果limx→af(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。
证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<ε。
现在我们取ε=M，那么存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<M。
这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，=，f(x)-L+L，≤，f(x)-L，+，L，<M+，L。
我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，≤M+，L，但是我们已经知道，在点a的一些邻域内存在保号常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。
所以有，L，≤M。
这就是极限保号公式的证明。
接下来我们来介绍夹逼准则。
设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。
如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。
证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ1，那么有，g(x)-L，<ε。
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
第二章 5 两个重要极限和利用等价无穷小求极限
1
例2. 求 解
e ⋅1 ⋅ e ⋅1 = 1
−1
第二章
利用等价无穷小量 §2.7 利用等价无穷小量 代换求极限
lim lim 定理1 定理 设 x → x α ( x) = x → x α1 ( x) = 0, 且 α ( x) ~ α1 ( x),
0 0
则 lim α ( x) f ( x) = lim α1 ( x) f ( x)
x4
解: 因为当 x → 0 时， e − 1 ~
x4
x4 ,
x ϕ x 若当 → x0时， (x) →0, 则当 → x0时 sin ϕ ( x) ~ ϕ ( x), tan ϕ ( x) ~ ϕ ( x),
tan ϕ ( x) ~ sin ϕ ( x), arcsin ϕ ( x) ~ ϕ ( x) ϕ 2 ( x) (1 − cos ϕ ( x)) ~ ,
1 sin x 1 − cos x = lim ⋅ ⋅ 2 x →0 cos x x x
1 sin x 1 − cos x = lim ⋅ lim ⋅ lim x →0 cos x x →0 x x →0 x 2
由上面几个例题可知下面几个等价的无穷小量 由上面几个例题可知下面几个等价的无穷小量. 等价的无穷小量 趋于0时 当x 趋于 时
1 x
2 + e sin x 2 + e sin x = lim = 1 lim− 4 + 4 − x→0 1+ e x x x→0− 1+ ex x
1 x 1 x
原式 = 1
e −1 3. 求 lim x→0 1− cos( x 1− cos x )
(x →∞)
高等数学第3章第4节两个重要的极限
§４ 两个重要的极限一、证明0sin lim 1x xx→=证 如图：由OAC OAB OAB S S S ∆∆<<扇形可导出如下不等式（20π<<x ）．除以，得到x x x cos 1sin 1<<，由此得 )1(sin cos xxx x <<在（１）式中用代替时，（１）式不变，故（１）式当02<<-x π时也成立，从而它对一切满足不等式20π<<x 的 都成立．由1cos lim 0=→x x及函数极限的迫敛性，即得1sin lim 0=→xx x ． 函数xxy sin =的图象如下所示例１．求sin limx xx ππ→-.例２．求201cos lim x xx →-.注：利用归结原则，可求数列极限。
如求1sin1limlim sin 1n n n n nn→∞→∞=，直接利用0sin lim 1x x x →=是不严格的；但已知0sin lim1x x x →=，故取,(1,2,)n x n n π== ，则0()n x n →→∞，从而由归结原则1sinlim ()lim01n n n n f x n →∞→∞==. 例３．求0lim x tgxx→.二、证明e xxx =+∞→)11(lim 或. e =+→ααα10)1(lim 证 所求证的极限等价于同时成立以下两个极限e xx x =++∞→)11(lim （2）e xx x =+-∞→)11(lim （3）先利用数列极限e nn n =+∞→)11(lim证明（2）式成立．为此，作定义在上),1[+∞的两个阶梯函数如下：nn x f )111()(++=，，1)11()(++=n nx g，，易见f 增（第二章§3习题4）且有上界,g 减（第二章§3习题9）且有下界．故据上节习题2，)(lim x f x +∞→与)(lim x g x +∞→皆存在．于是，由归结原则（取}{}{n x n =）得到e n xf nn x =++=∞→+∞→)111(lim )(lim e nx g n n x =+=+∞→+∞→1)11(lim )(lim 另一方面，当时有nx n 1111111+<+<++以及1)11()11()111(++<+<++n x n nx n，即有)()11()(x g xx f x<+<，),1[+∞∈x ．从而根据迫敛性，定理（2）式得证． 现证（3）式．为此作代换y x-=，则y y x y y x )111()11()11(-+=-=+-，且当-∞→x 时+∞→y ，从而有e y y x yy y y x x =-+=-=++∞→-+∞→-∞→)111(lim )11(lim )11(lim 以后还常用到e 的另一种极限形式：e =+→αα1)1(lim（4）事实上，令x1=α，则0→⇔∞→αx ，所以e xxx =+=+→∞→ααα10)1(lim )11(lim例１．求()10lim 12xx x →+.例２．求()10lim 1xx x →-.例３．求211lim(1)nn n n →∞+-.作业：p58. 1(2), (5), (8), (9), (10) ， 2(1), (3), (5), (6), 3.。
2-3节两个重要极限
222 xxx222
xx 22
22
11
1122
111llliiimm 222xxx00
1 。
ssiinn222 xx 22
xx 22
22
22xx00
xx 22
22
2
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例53． 求lim x0
1 cos x x2
。
解解：：解解：l：imlliimm1 x0xx00
11coccsooxss x 2xx22
xx
11lliimmssiinn
222ssisniinn222xxx
limlliimm
xxx000
lim sin x lim 1 1 。 x0 x x0 cos x
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例例22． 求lim sin kx (k0)。 x0 x
解解解：：：lilmimssininkkxxkklliimm ssiinn kx
x
3
2
x2 3
3
lim1 x
x
3
2
2
e3.
解法2
1 1 x lim1 1 x
原式
lim
x
1
x 2 x
x lim1
x 2
x
x
x x
其中
lim1
第一章：1.9两个重要极限
0 (" "型, 三统一) 0
必须是一个与分子 方框处完全相同的 无穷小
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例1. 求
tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
2 x
lim(1 3x) lim (1 3x) e6 . x 0 x 0
2 x
1 3x
6
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例8. 求
x2 x 3 5 lim 1 5 lim 解: x lim x x 3 x 3 x x 3 5x x3 x3 5 5 5 5 lim 13 lim 1 /x x e . e x x 3 x x 2 x 2 1 1 x2 x x 另解: lim lim lim x 1 3 x x x 3 3 x 1 x
第九节
第一章
两个重要极限
一、第一个重要极限 二、 第二个重要极限
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本节教学目的
掌握重要极限 它求极限 难点 掌握重要极限 用它求极限 ，并能熟练运用 ，并能熟练运
重点
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一、 第一个重要极限
必须是一个无穷小
sin lim 1 x x0 ( x)
考研数学：两个重要极限
通过比较
xn , xn 1 的展开式，得到除前两项外， xn 的每一项都小于 xn1 的对应项，且 xn1 还 xn xn1 ，即可证数列 xn 单调增加.
多了最后一项且其值大于 0 ，故得出 再证有界;由
1 式易得
1 1 1 1 1 1 2 n 1 1 xn 1 1 1 1 2 n 1 1 3 n! 2 12 2! 3! 2 2 ,
x 0
同理，由夹逼准则可得 x 0
综上，由极限存在的充要条件可知
sin x Biblioteka x .tan x 有关此极限多用于证明与计算比如求 x 0 x ,（读者自行完成）. lim 1 lim 1 e x x 接下来证明 . 1 lim 1 e x x 分析：对于 的证明看上去很复杂，但可以先借助极限存在准则（单调
/
sin x sin x x tan x, 0 x cos x 1 2 可得 x 证 由 ,
又
x 0
lim cos x 1 lim
,
由夹逼准则可得
x 0
sin x 1 x ;
sin x tan x x sin x, x 0 cos x 1 2 也可得 x 对于 , lim sin x 1 x ; lim
n 1
1
；
二项式定理
1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 2! n 1 n! n 1 n 1 n 1
1 1 n ; 1 1 n 1! n 1 n 1
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两个重要的极限
1．证明：0sin lim 1x x x
→= 证明：如图（a ）作单位圆。
当0<x<
2
π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。
即111sin 222x x <<tgx ，sinx<x<tgx 。
除以sinx ，得到11sin cos x x x
<< 或sin 1cos x x x >>。
（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。
故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。
由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x
=。
函数f(x)=sin x x
的图象如图（b ）所示。
2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11
(1)n n n b a n b b a
++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。
（1） 令a=1+11
n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。
由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n
+为递增数列。
再令a=1，b=1+12n
代入（1）。
由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。
不等式两端平方后有214(1)2n n >+
，它对一切自然数n 成立。
联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。
于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n
→∞+是存在的。
3．证明：1lim(1)x x e x
→∞+=。
证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：
1lim (1)x x e x →+∞+= （1） 1lim (1)x x e x →-∞+= （2）
现在先应用2中数列极限1lim(1)n n e n
→∞+=，证明（1）式成立。
设n≤x<n+1，则有1111111n x n +<+≤++及1111(1)(1)(1)1n x n n x n
++<+<++， （3） 作定义在[1，+)∞上的阶梯函数。
1()(1)1n f x n =++，n≤x<n+1，11()(1)n g x n
+=+，n≤x<n+1。
由（3）有f(x)<1(1)()x g x x +<，x ∈[1，)+∞。
由于11(1)11lim ()lim(1)lim 1111
n n x n n n f x e n n +→+∞→∞→∞++=+==+++
图（a ）
1111lim ()lim(1)lim(1)(1)n n x n n g x e n n n
+→+∞→∞→∞=+=++=，根据迫敛性定理便得（1）式。
现在证明（2）式。
为此作代换x=-y ，则111111(1)(1)(1)(1)(1)111
x y y y x y y y y --+=-=+=++--- 因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e 为极限，这就证得1lim (1)x x e x
→-∞+=。
以后还常常用到e 的另一种极限形式10lim(1)a a a e →+= （4） 因为，令1a x
=，则x→∞和a→0是等价的，所以，101lim(1)lim(1)x a x a a x →∞→+=+。