浅析第二个重要的极限
浅析极限的几种求法
读 与 写 杂 志
Ｒｅａ ｄ ａ ｎｄ ｔ ｅ Ｐｅ ｒ ｉ ｏｄ ｉ ｃ ａ ｌ
２ ０ １ ５年 ７月 Ｊ ｕ ｌ ｙ ２ ０１ ５
浅 析 极 限 的 几 种 求 法
黄 绍 东
（ 河 南 工 业 和 信 息 化 职业 学 院 河 南 焦 作 ４ ５ ４ ０ ０ ０ ）
中图分 类号 ： Ｇ６ ４ ２
１ 引 言
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — １ ５ ７ ８ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ７ — ０ ０ ３ ６ 一 Ｏ ２
ｌ
ｎ ３ － ７ ｌ ｉ ａ １ ｎ ｒ
－
ｌ
ｎ
１
／
＝ 一
极 限 是 高 等 数 学 中最 基 本 的 概 念 之 一 ， 极 限思 想 贯 穿 于 高 等数学的始终 ， 所 以 说 极 限 的计 算 方 法 与 技 巧 在 数 学 领 域 里 显 得 尤 为 重 要 。极 限 的 计 算 方 法 与 技 巧 多 种 多 样 ， 常用 的 极 限 计 算 方 法 有 利 用 极 限 的定 义 求 极 限 、 利 用 极 限 的 四则 运 算 法 则 求 极限 、 利 用 两个 重 要 极 限 求 极 限 、 利用等价无 穷小求极 限 、 利 用
凑 成 重 要 极 限 的形 式 时要 保 证 正 弦 的角 度 不 变 ， 只能 通 过 调 整
法则求极限等。 每 种 方 法 都 有 相 应 的 局 限性 ， 都 不 是 万 能 的 。因 此在具 体解题 的时候就需 要大家仔 细审题 、 综 合考虑 ， 同 时 也 要 注 意 解 题 的方 法 与 技 巧 ，涉 及 到 极 限 的计 算 问 题 特 别 多 ， 而 且技巧性强 ， 难 教 也 难 学 。本 文 主 要 探 讨 并 总 结 了 一 些 极 限 的
数学分析中极限问题的浅析 (1)
《数学分析》中极限问题的浅析极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。
完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。
极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。
这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。
下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。
一 求数列极限（一） 利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理[1]求极限，这是一种简单而常用的方法。
例1、证明 （1） (a > 0)（2） 证明： （1）当a = 1时，等式显然成立。
当a >1时，令则：a = (1 + h n )n = 1 + nh n + 故0 < h n <h n = 0即： (1 + h n ) = 1 当 0 < a < 1时：lim ∞→n 1=n a lim ∞→n 1=n n n n h a +=1 (h n > 0)n nn n nh h h n n >++- 22)1(na由迫敛性定理lim∞→n lim ∞→n =n a lim∞→n lim ∞→n =n a lim ∞→n =na 11 1 lim ∞→n n a1= 1（2） 设n = (1 + h n )n = 1 + nh n +>由迫敛性定理得 h n = 0从而：例：求极限即：e n由迫敛性定理可得：从而：由连续函数定义知：极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式[2]，现叙述如下：（二）单调有界原理求极限单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么nn h n +=1其中h n > 0 则2≥n nn n h h n n ++- 22)1(22)1(nh n n -即： 0 < h n <)2(12≥-n n lim∞→n lim ∞→n =n n lim ∞→n (1 + h n ) = 1lim+→0λ⎪⎪⎭⎫+++ ⎝⎛λλλn e e e n 21时：解：当0>λλλλλnnn ne e e e ≤++< 1n n e n e e λλλλ≤ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫++≤ 1令 +→0λlim +→0n n n e e e e =⎪⎪⎭⎫+++ ⎝⎛λλλλ21lim+→0n λn ee n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++λλ 1⋅λ{}，，，对任意自然数，若存在设数列01000N N N a n >∃>ε{}为极限。
浅析极限的几种求法
浅析极限的几种求法作者：黄绍东来源：《读与写·教育教学版》2015年第07期摘要：极限是高等数学中一个非常重要的概念，高等数学中很多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数和广义积分等都是由极限来定义的。
极限的问题一直是高等数学的困难之一，也是许多科学领域的重要思想之一，因此掌握好极限的计算方法与技巧是学习高等数学相当关键的一个环节。
虽然极限的计算方法比较多，但每种方法都有其局限性，都不是万能的。
因此对于具体的极限计算问题，我们应该去追求更简便、更快捷的计算方法。
为此本文通过实例归纳总结了极限的若干种计算方法与技巧，学习并掌握这些方法与技巧，对于学好高等数学颇有好处。
关键词：极限定义法四则运算法则两个重要极限函数的连续性定积分定义法洛必达法则中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2015）07-0036-021 引言极限是高等数学中最基本的概念之一，极限思想贯穿于高等数学的始终，所以说极限的计算方法与技巧在数学领域里显得尤为重要。
极限的计算方法与技巧多种多样，常用的极限计算方法有利用极限的定义求极限、利用极限的四则运算法则求极限、利用两个重要极限求极限、利用等价无穷小求极限、利用函数的连续性求极限、利用定积分的概念求极限、利用洛必达法则求极限等。
每种方法都有相应的局限性，都不是万能的。
因此在具体解题的时候就需要大家仔细审题、综合考虑，同时也要注意解题的方法与技巧，涉及到极限的计算问题特别多，而且技巧性强，难教也难学。
本文主要探讨并总结了一些极限的计算方法与技巧，对极限的计算有一定的参考价值，克服了许多学生在面对极限计算问题无从下手的缺点，能够做到得心应手。
2 利用定义法求极限例1，证明： =2 .证：对于任意给定的ε>0，要使xn-2= -2= ，取正整数N= ，则当n>N时，xn-2上述证明方法叫做解析法（或倒推法），是证明极限问题经常采用的方法.证明过程中，倒推语句“要使”，“只要”等不能省略，更不能写成颠倒的因果关系.例如，若把上述证明叙述为“因为xn-2= ”，则在因果关系上是错误的。
浅析高中数学中有关极限的知识
张 德 华
（ 江 师 范 学 院 数 学 与 计算 机 学 院 ， 长 重庆
摘 要 ： 文 从 极 限 的概 念 出发 ， 绍 极 限 简 单 的 分 类 本 介 即数 列极 限与 函数 极 限 ， 过 分 析 来说 明 它们 之 间的 关 系 ， 通 阐 述在 高 中数 学 中这 两种 极 限 的 应 用 ．同时 通 过 一 些 例 子 来说 明 用极 限 方法 解 决 高 中数 学 中的 一 些 难题 ． 关键 词 ： 列极 限 函数 极 限 高 中数 学 数 在数 学 分 析 中极 限 理 论 是 重 点 之 一 ，它 的 思想 贯穿 于整 个 数 学 分 析 中 ． 于 高 中 学 生 来 说 ， 限 也 是 难 点 ， 要 是 因 对 极 主 为 它 的定 义 与 证 明 的 方 式 都 和 初 等 数 学 有 着 明 显 的 不 同 ． 因 此 如何 把 知 识 传 授 给 学 生 ，如 何 让 他 们对 这个 内容 掌握 得 更 好 ， 于 老 师 来说 就是 ～ 个 挑 战 了． 对
成 立 ？ 如 果 存 在 ， 给 出 证 明 ； 果 不 存在 ， 说 明 理 由 ． 请 如 请
解 ： 设存 在 这 样 的ａ ｂ 则 由ａ ａ ｂ 一 ）， 以得 到 ｌ ａ 假 、， ｎ － （ “可 ＿ ｉ ｍ
定义 １ 设伪 定义 在 ［ ，＊） 的 函数 ， 为定 数 ， 对 任 给 ａ＋ 上 Ａ 若 的ｓ Ｏ 存 在 正 数Ｍ（ ）使 得 当ｘ Ｍ时 有 Ｉｘ一 Ｉ ￣ 称 函 数ｆ ＞， ≥ａ ， ＞ ｆ ）Ａ＜ Ｉ （ ｓＪ 当Ｘ 于＋ 趋 时 以Ａ 为极 限 ， 记作 ｌ （ ） Ａ （ ） Ａ ｘ ｏ） ｉ ｘ ＝ 或ｆｘ 一 （ 一＋ 。 ． ｍｆ
一个重要极限的简单推广及运用
ｌ ｉ ｍ （ １ ＋ 吉） 。＝ ｅ ，
ｌ ｉ ｍ（ １＋ ） ：ｅ，
ｌ ｉ ｍ（ １＋ Ｅ １ ） 吉 ＝ｅ， 方框 “ 口” 代 表 任 意形 式 下
的同一 变量 。 ￣ １ １
…
、
第一 ｉ个重 要极 限的推 广
推广 １ ：
ｍ ｌ ｉ
＿ ＋ ０ ． ０
—
＝ｌ 。 ｇ ｅ （ 百 ０型未定式）
Ｕ
型未定式 ； 公式推 广 ； 运用 文章编号 ： １ ６ ７ １ １１ ５ ８ ０ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６ —０ １ ５ ３ —０ ２
文献标识码 ： Ａ
一
、
第二 个重 要极 限 ｌ ｉ ｍ（ １＋ ） ＝ｅ的特征
又 可 变 化 为 旱 ， 即 ０ 型 。 转 化 后 的 ０ ・ 。 。 型 和 罟
—’ Ｕ
ｌ ｉ ｍ （ 志 － ｅ
ｌ ｉ ｍ （ １ ＋ ） ） 而 ＝ｅ ． 它们 的共同特征是：
１ ． 都是 １ 型 的未 定式 ；
证明： ｌ ｉ ｍ
＝
ｌ ｉ ｍｌ ｏ ｇ 。 （ １＋ ）
—
２ ． 求 极 限的 函数 都 是 幂指 函数 （ 幂 指 函数 是 指 数形 式 ， 但 底 和指数 部 分 都是 函数 ） ， 其 形 式 皆 为底 函数为两 项之 和 ， 且 第一 项必 须 为 １ ， 第 二项 与 指 数
＋ Ｏ
ｌ ｉ ｍ —— ： 土 — 一 ： ｌ ｎ ｏ ，
ｌ ｏ ｇ 。 ｅ
＝
ｌ ｉ ｍ
—
・
加
Ｓ Ｘ 一 １ Ｃ０
特别 当 ｎ ＝ ｅ 时 即得
当 ：
ｎ
浅析极限的若干求法
【６ 极 （ 例】 限 求
【 】 解 由洛必达法则得
一）
【 】 －Ｏ时 ， 解 当ｘ － ￣ 乘以 ２ ｉｘ 再除 以２ｓｎ ， ％ｎ ＂ 则 ｉ
４０ １ ） ５ ０ ５
摘 要 ： 限 理 论 是 高等 数 学 的 基 础 ， 文 给 出了极 限 的 若 干 求 法 ， 用 具体 实例 加 以说 明 。 极 本 并 关 键 词 ： 限 ； 达 式 ； 价 无 穷 小 极 表 等
极 限 理 论 是 高 等 数 学 的 基础 ， 限 问题 是 高 等 数 学 中 困难 问题 之 极
的过 程 。
（ ） 般 清 况 下 利 用 等 价 无 穷 小 代 换 求 极 限 时， 对 乘 除 运 算 使 ２一 只
／‘ｎ ／‘ｎ 用 等价 代 换 ， 在 加 减 运 算 时 ， 非 乘 积 因 子 在 某 种 条 件 下 也 可 利 用 、 ｎ＋ 、 ｎ＋ 但 对 故 原 极 限＝ １ 等 价 代换 求 极 限 。
一
ｒ ｘ ｌ ｘ ¨ｌ 兰 Ｉ 兰 ＋ 兰 ＋－ １ ｉ ＋ ｘ ｌ ｉ ｉ
ｎ 【 ｘ ｘ ｘ Ｊ
＝
、
利用 等 价 无 穷 小量 代 换 求极 限
｝ １１ｎ＋ ＋ ａ＝ ．百 （ａ ｌ２ ｌ １ １ ＋ ａ … ｎ）ｎ ｎ
。
‘
在 求乘 除表 达 式 的极 限时 ，其 因 子 可 以用 等 价 无 穷 小量 来 代 替 ， 不 但 可 以 简化 求 极 限 的过 程 且 极 限 值 不 变 。 ｘ 时 ， 用 的 等 价 无 当 — 常 穷 ， 代 换 ：ｉｘ ｘ ａｃｉｘ ｘ ｔ ｘ ｘ ａｃ ｎ １ ＣＳ～ ｅ一 ～ Ｊ 、 ｓ ～ ｒｓｎ ～ ａ ～ ｒｔ ｘ ｘ 一ＯＸ ｘ ｔ １ ｘ ｎ ｎ ａ ａ— ￣ ｌａ １（＋ ）ｘ （＋ ｘ １ⅡＢ ｘｌｘ ｎ ｎ１ｘ ； １Ｂ） ～ ｘ 一 【 １求下列极 限 例 】
浅析第二个重要的极限
浅析第二个重要的极限作者：张春红来源：《知识文库》2017年第04期高等数学是从函数及其极限为基础展开研究的。
第二个重要极限跟第一个重要极限一样是极限中特殊的极限形式。
理解第二个重要极限的本质形式，是学好第二个重要极限的前提。
文章先分析第二个重要极限本质表现形式，然后分析其应用。
用事實说明第二个重要极限在高等数学和经济上的重要性第二个重要极限是型的极限类型，为导数的学习奠定了基础，在经济上用于复利的计算。
1 结构第二个重要的极限： .当时，底数趋向于1，指数趋向于无穷大，属于型的极限类型。
利用单调有界数列必有极限，可以求得极限为。
在极限中只要是无穷小就有①型的极限类型②表达式中，只要是无穷小即这说明：当及时，函数的值会无限地趋近于。
常数就是这个极限值，即.如果令公式还可以写成. （1.5.5）这两个极限式可以统一为“1加无穷小的无穷大次方的极限为”。
如：；；用求极限时，函数的特点是型幂指函数，只要中是无穷小，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数就符合第二个重要极限的类型。
2 应用2.1公式的直接应用应用第二个重要极限求极限：例1 求解这道题属于求幂指函数的极限，先变形化简后整理成第二个重要极限的形式，然后应用第二个重要极限求出结果。
应用第二个重要极限推导指数和对数函数的求导公式：例2 求函数的导数解例3 求函数的导数解即特殊地运用导数的定义表达出指数函数和对数函数的导数形式，结合第二个重要极限，推导得出求导公式，为导数的进一步学习铺砖引路。
第二个重要的极限在推导求指数函数和对数函数的求导公式过程中，起到了举足轻重的作用。
第二个重要极限是基本初等函数求导公式得出的奠基石。
第二个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的桥梁纽带作用。
2.2公式的间接应用经济上连续复利计算就是以第二个重要极限为依据的：设初始本金为p （元），年利率为r，按复利付息，若一年分m次付息，则第n年末的本利和为89如果利息按连续复利计算，即计算复利的次数m趋于无穷大时， t年末的本利和可按如下公式计算若要t年末的本利和为s，则初始本金。
论文_浅析函数极值的求法及应用[1]综述
![论文_浅析函数极值的求法及应用[1]综述](https://img.taocdn.com/s3/m/4609a33df18583d04964596f.png)
XX学院毕业论文浅析函数极值的求法及应用院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级、班级： 08数本姓名： XXX学号： XXXXXXX指导教师(职称)： XXXXX2012 年3 月15 日浅析函数极值的求法及应用摘要函数极值是数学研究的重要内容之一，故对函数极值问题的探讨具有重要意义。
本文讨论了利用拉格朗日乘数法、柯西不等式法和梯度法求函数条件极值，以及利用方向导数判别法、MATLAB法求函数无条件极值，归纳出了函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题的若干应用。
关键词函数极值求法应用Analysis of the function extreme value solution and its applicationAbstractThe extreme value of function is one of the important contents of mathematics study,so the function extreme problems of the function extreme value has important significance.This paper discusses the use of the Lagrange multiplier method,the Cauchy inequality method and gradient method for function conditional extremum,and the use of directional derivative method,MATLAB software and function unconditional extremum,summarized some applications about the extreme value of function in the proof of inequality, physics, production and sales and bee house problems.Keywords function；extreme value；solution；application目录摘要 (Ⅰ)关键词 (Ⅰ)第一章引言 (1)第二章函数极值的定义及其存在的条件 (1)2.1多元函数极值的定义 (2)2.2多元函数极值存在的条件 (2)第三章函数极值的若干求法 (3)3.1拉格朗日乘数法求极值 (3)3.2柯西不等式法求极值 (4)3.3梯度法求极值 (5)3.4利用方向导数判别多元函数的极值 (7)3.5 Matlab求函数极值 (9)第四章函数极值理论的应用 (12)4.1函数极值在不等式证明中的应用 (12)4.2函数极值在物理学中的应用 (13)4.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用 (14)4.4运用函数极值分析蜂房的最优化问题 (15)第五章结束语 (18)致谢语 (18)引用文献 (18)第一章 引言函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅析第二个重要的极限
高等数学是从函数及其极限为基础展开研究的。
第二个重要极限跟第一个重要极限一样是极限中特殊的极限形式。
理解第二个重要极限的本质形式，是学好第二个重要极限的前提。
文章先分析第二个重要极限本质表现形式，然后分析其应用。
用事實说明第二个重要极限在高等数学和经济上的重要性
第二个重要极限是型的极限类型，为导数的学习奠定了基础，在经济上用于复利的计算。
1 结构
第二个重要的极限：.
当时，底数趋向于1，指数趋向于无穷大，属于型的极限类型。
利用单调有界数列必有极限，可以求得极限为。
在极限中只要是无穷小就有
①型的极限类型
②表达式中，只要是无穷小
即
这说明：当及时，函数的值会无限地趋近于。
常数就是这个极限值，即
.
如果令公式还可以写成
. （1.5.5）
这两个极限式可以统一为“1加无穷小的无穷大次方的极限为”。
如：；；
用求极限时，函数的特点是型幂指函数，只要中是无穷小，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数就符合第二个重要极限的类型。
2 应用
2.1公式的直接应用
应用第二个重要极限求极限：
例1 求
解
这道题属于求幂指函数的极限，先变形化简后整理成第二个重要极限的形式，然后应用第二个重要极限求出结果。
应用第二个重要极限推导指数和对数函数的求导公式：
例2 求函数的导数
解
例3 求函数的导数
解
即
特殊地
运用导数的定义表达出指数函数和对数函数的导数形式，结合第二个重要极限，推导得出求导公式，为导数的进一步学习铺砖引路。
第二个重要的极限在推导求指数函数和对数函数的求导公式过程中，起到了举足轻重的作用。
第二个重要极限是基本初等函数求导公式得出的奠基石。
第二个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的桥梁纽带作用。
2.2公式的间接应用
经济上连续复利计算就是以第二个重要极限为依据的：
设初始本金为p （元），年利率为r，按复利付息，若一年分m次付息，则第n年末的本利和为
89
如果利息按连续复利计算，即计算复利的次数m趋于无穷大时，t年末的本利和可按如下公式计算
若要t年末的本利和为s，则初始本金。
经济上连续复利的计算，大家广泛熟悉的是购买商品房贷款。
贷款期的本金和利息采用连续复利的计算方法计算出来，然后在一定的前提下，根据本金和利息划分每个月应偿还的数目。
3 小结
第二个重要极限的运用是求解函数极限的方法之一，是求解型的极限直接而有效的方法之一，是银行计算复利有效工具。
学好第二个重要极限是学好求函数极限和导数等知识点的前提和基础，是理解和计算银行连续复利必备的知识。