第11节_弯曲应力
弯曲应力计算 (1)
第7章弯曲应力引言前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。
但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。
在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。
由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。
由此可见，梁横截面上有剪力Q有弯矩M时，就必然有正应力 。
为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。
弯曲正应力纯弯曲梁的正应力由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。
因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。
在梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲，称为纯弯曲。
如果在梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩两种内力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。
例如在图7-1所示的简支梁中，BC段为纯弯曲，AB段和CD段为横力弯曲。
分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样，需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。
图7-1变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。
为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、b -b 。
然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。
此时可以观察到如下的变形现象。
纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。
横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。
梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：(1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。
机械设计基础复习精要：第11章 齿轮传动
133第11章 齿轮传动11.1考点提要11.1.1 重要的术语及概念软齿面、硬齿面、许用应力、弯曲疲劳强度、接触疲劳强度、接触应力、弯曲应力、点蚀、胶合、载荷系数、齿宽系数、齿形系数、应力集中系数、应力循环次数、齿轮精度等级。
11.1.2 许用应力的计算接触疲劳强度的许用应力为： HH HN H S K lim ][σσ= （11—1） 式中：HN K 称为寿命系数，由应力循环次数确定；lim H σ是齿面材料的接触疲劳极限；H S 为安全系数。
即使两齿轮采用同样的材料和热处理，由于两齿轮会有齿数不同，所以应力循环次数也就不同，从而导致寿命系数HN K 不同，因此许用应力也不同。
只有两齿轮齿数相同或齿数虽不同但都按无限寿命取相同的寿命系数HN K 并取相同的安全系数H S ，许用应力才相同。
弯曲疲劳强度的许用应力为：FFE FN F S K σσ=][ （11—2） 式中：环次数确定）为寿命系数（由应力循FN K ；FE σ为齿面材料的弯曲疲劳极限；F S 为安全系数。
即使两齿轮采用同样的材料和热处理，由于两齿轮会有齿数不同，所以应力循环次数也就不同，从而导致寿命系数FN K 不同，因此许用应力也不同。
如果两齿轮齿数相同或齿数虽不同但都按无限寿命取相同的寿命系数FN K 并取相同的安全系数F S ，许用应力才会相同。
为实现等强度设计，如果采用软齿面（HBS 350≤），一般小齿轮比大齿轮硬度高30-50HBS，小齿轮对大齿轮有冷作硬化作用。
如采用硬齿面（HBS 350>），在淬火处理中难以做到如此的硬度差，设计时按同样硬度设计。
要注意：如果是开式齿轮传动，则极限应力要乘以0.7，由于极限应力是按单向转动所获得的数据，如果是双向转动，则也要乘以0.7。
11.1.3齿轮的失效形式和计算准则齿轮的失效形式有五种：（1）轮齿折断。
减缓措施：增大齿根的圆角半径，提高齿面加工精度，增大轴及支承的刚度。
《钳工》第十一章-矫正和弯形
第十一章矫正和弯形第一节矫正1．矫正的概念：消除条料、棒料或板料的弯曲或翘曲等缺陷，这个作业叫，做矫正。
矫正可在机器上进行（如用棒料校直机、压床或冲床等），也可靠手工矫正。
本章讲的是钳工用手工矫正的方法。
手工矫正由钳工用手锤在平台、铁砧或在虎钳等工具上进行，包括扭转、弯曲、延展和伸张等四种操作。
根据工件变形情况，有时单独用一种方法，有时几种方法并用，使工件恢复到原来的平整度。
金属变形有两种：（1）弹性变形：在外力作用下，材料发生变形，外力去除，变形就恢复了。
这种可以恢复的变形称为弹性变形。
弹性变形量一般是较小的。
（2）塑性变形：当外力超过一定数值，外力去除后，材料变形不能完全恢复。
这种不能恢复的永久变形称为塑性变形。
矫正是使工件材料发生塑性变形，将原来不平直的变为平直。
因此只有塑性好的材料（材料在破坏前能发生较大的塑性变形）才能进行矫正。
而塑性差的材料如铸铁、淬硬钢等就不能矫正，否则工件要断裂。
矫正时不仅改变了工件的形状，而且使工件材料的性质也发生了变化。
矫正后，金属材料表面硬度增加，也变脆了。
这种在冷加工塑性变形过程中产生的材料变硬的现象叫做冷硬现象（即冷作硬化）。
冷硬后的材料给进一一步的矫正或其他冷加工带来的困难，可用退火处理，使材料恢复到原来的机械性能。
2．矫正用的工具（1）矫正平板——用来做矫正工件的基准面。
（2）软、硬手锤和压力机一一手工矫正，一般用圆头硬手锤。
矫正已经加工过的表面、矫正薄钢件或有色金属制件，应该采用软手锤（如铜锤、铅锤和木锤等）。
另外还可用压力机进行机器矫正。
（3）检验工具——平板、直角尺、钢皮尺和百分表。
3．矫正的方法（1）条料的矫直条料由于堆放、搬运或加工不当，常产生扭曲和弯曲等变形，现将矫直的方法介绍如下：条料扭曲变形时，必须用扭转的方法来矫直它（如图9—1)。
将工件夹在虎钳上，用特制的扳手扭转到原来的形状。
操作时，左手扶着扳手的上部，右手握住扳手的末端，施加扭力。
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
第十一章 齿轮传动
强度计算方法
当量齿轮法，强度当量。 接触强度计算公式
校核公式
H
ZEZH Z
KT 1 u 1 bd 1
2
u
H
H lim
N / mm
2
设计公式
d1 2 KT
3 1
SH
2
d
u 1 ZEZ u
H
Z
H
mm
Z
cos 螺旋角系数
H
[
H
]
σH ——齿面啮合点最大接触应力 [σH]——齿轮材料的许用接触应力
圆柱面的最大接触应力σH的计算
赫兹公式：
H
4
Fn 2 ab
Fn
1
1
1 1 E1
2
1
2
1 21 E2
2
b
σH ——最大接触应力
与法向力Fn成正比； 与接触变形宽度2a成反比 与曲率半径ρ1 、ρ2成反比。 与宽度b成反比。
增加中心距a； 减小外载荷T1； 选σHlim高的材料和热处理。
336 ( u 1) u
3
提高许用接触应力[σH] ：
KT 1 ba
2
H
H
H lim
SH
11-6 直齿圆柱齿轮传动的轮 齿弯曲强度计算
轮齿相当于一个悬臂 梁，受载后会发生弯 曲。 两个问题：
计算时载荷的作用点 及大小 危险截面的位置
《弹塑性力学》第十一章 塑性力学基础
2021/8/9
30
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
-
+
+ -
+ +
s
- = +-
s
M I
y
y y0
x
y0s
y
M I
y
y0 y y0
s
M I
y
y y0
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§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M
x
y
b
M
z
h
y
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点： 随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。
（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
b
N2b EA
(P
s A)b
EA
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§11-2 一维问题弹塑性分析
b
N2b EA
(P s A)b
EA
Pe s A(1 a b) s A Pe (1 a b)
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进
入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变
齿轮传动(第11章)
K F FtYFa1YSa1Y F1 F 1 bm K F FtYFa 2YSa 2Y F2 F 2 bm
② 应力和许用应力的关系 两齿轮弯曲应力是否相同？许用应力呢？
F
K F Ft YFaYSaY [ F ] bm
39
③
设计计算时，因为 m 3
8
§11.2
齿轮传动的失效形式
1.轮齿折断
原因： • 齿根弯曲应力大； • 齿根应力集中。
9
1、轮齿折断
★ 疲劳折断 ★ 过载折断
全齿折断—常发生于齿宽较小的直齿轮
局部折断—常发生于齿宽较大的直齿轮，和斜齿轮
措施：选用合适的材料及热处理方法，使齿根芯部 有足够的韧性；采用正变位齿轮以增大齿根的厚度； 增大齿根圆角半径，消除齿根加工刀痕；对齿根进 行喷丸、碾压等强化处理； 提高齿面精度、增大 模数等
d1 sin 2
cos d1 d1 cos
O2
d N 2C 2 2 sin 2
1 1 1 2
d 2 z2 2 d2 u 1 d1 d1 z1
②
d'2 2
'
（从动）
2
②
u 1 1 2 d1 cos tan u
23
§11.4 齿轮传动的计算载荷
名义载荷：
Fn p L
pca K Fn L
计算载荷：
载荷系数：K K A Kv K K
24
1.使用系数KA
考虑齿以外的其他因素对齿轮传动 的影响，主要考虑原动机和工作机的影响
原动机 载荷状况 均匀平稳 轻微冲击 中等冲击 严重冲击 工作机器 … … … … 电机 1.0 … 1.1 … 1.25 1.5 1.75 2.0 内燃 机… 1.5 1.75 2.0 2.25 25
11-机械设计复习题 2
机械设计复习题一、填空1、用于联接的螺纹是三角形螺纹，其原因是三角形螺纹摩擦阻力大，效率低容易发生自锁。
2、机械磨损过程大致分为磨合阶段，稳定磨损阶段，剧烈磨损阶段三个阶段3、形成流体动压润滑的必要条件是俩工件之间的间隙要有稧行间隙、、阿基米德蜗杆传动在中间平蜗轮的啮合相当于齿轮与齿条的啮合；6、在闭式软齿面齿轮传动中（无冲击载荷），按_ 齿面接触疲劳强度设计，按齿根弯曲疲劳强度校核7、用于联接的螺纹是三角形螺纹，其原因是三角形螺纹摩擦阻力大，效率低容易发生自锁。
9、直齿圆锥齿轮的强度可近似按齿根弯曲疲劳强度强度进行计算。
9、键的剖面尺寸是由轴的直径标准确定的，而键长由轮毂长度确定的。
10、滚动轴承的基本额定动负荷C是指轴承基本额定寿命恰好为十的六次方转时，轴承所受的载荷11、闭式软齿面齿轮传动一般按齿面接触疲劳强设计，按齿根弯曲疲劳强度校核。
12.螺纹的公称直径是指螺纹的大径，螺纹的升角是指螺纹中径处的升角。
螺旋的自锁条件为螺纹升角小于或等于当量摩擦角。
13、三角形螺纹的牙型角α＝ 60 ，适用于连接，而梯形螺纹的牙型角α＝30，适用于传动。
14、螺纹联接防松，按其防松原理可分为摩擦防松、机械防松和破坏螺旋幅运动防松。
15、带传动的传动比不宜过大，若传动比过大将使小带轮包角减小，从而使带的有效拉力值减小。
16、滚动轴承的基本额定动载荷C，是指在该载荷作用下，轴承的_基本额定_寿命恰好为____十的六次方__。
17、增加蜗杆头数，可以_提高_传动效率，但蜗杆头数过多，将会给_加工___带来困难。
18、链传动瞬时传动比是 i=W1/W2 ，其平均传动比是 i=n1/n2=z2/z1 。
19、在变速齿轮传动中，若大、小齿轮材料相同，但硬度不同，则两齿轮工作中产生的齿面接触应力相同，材料的许用接触应力不同，工作中产生的齿根弯曲应力不同，材料的许用弯曲应力不同。
20、直齿圆柱齿轮作接触强度计算时取节点处的接触应力为计算依据，其载荷由一对轮齿承担。
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y1
σdA
y FN2
pn : N1
A1 dA
M
M
A1 I z y1dA I z
A1 y1dA
p1n1
:
N2
M
dM Iz
A1 y1dA
pp1 : dQ' 'bdx
目录
§11-4 对称弯曲切应力
X 0, M dM
Iz
M A1 y1dA I z
A1 y1dA 'bdx 0
（1）求截面形心 z
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
80 203 12
80 20 422
201203 20120 282 12
7.64106 m4
38
目录
§11-5 梁的强度条件
2.5kN.m 4kN.m
（3）作弯矩图 （4）B截面校核
m m1
FN1 p τ’
p1 nτ
dx n1
q
σdA y
FN2
z
y
q1
y1
' dM ( 1 ) dx I zb
A1 y1dA
dM
dx
Fs ,
A1
y1dA
S
* z
,
'
,
Fs
S
* z
Izb
§11-4 对称弯曲切应力
3 FS 2A
目录
切应变
§11-4 对称弯曲切应力
Fs
h2 (
y2)
G 2IzG 4
第十一章 弯曲应力
Chapter11 Stresses in beams
目录
第十一章 弯曲应力
§11-1 引言
§11-2 对称弯曲正应力 §11-3 惯性矩与平行轴定理 §11-4 对称弯曲切应力 §11-5 梁的强度条件 §11-6 梁的合理强度设计 §11-7 双对称截面梁的非对称弯曲 §11-8 弯拉（压）组合
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
M
max
Mymax IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
M WZ
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
16
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
B
x
FBY
x 90kN
x
180
120
3. 全梁最大正应力
30 最大弯矩
K
z Mmax 67.5kN m
y
截面惯性矩
Iz 5.832105 m4
max
M max ymax IZ
32
矩形截面 空心圆截面
空心矩形截面
IZ
bh3 12
IZ
D4
64
(1
4)
IZ
b0h03 12
bh3 12
Wz
bh2 6
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0 h03 12
bh3 12
) /(h0 / 2)
19
目录
§11-3 惯性矩与平行轴定理
已知任意形状的截面(如图) 的面积A以及对于形心轴xC和 yC的惯性矩I xC，I yC ，现需导 出该截面对于与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix， Iy。截面的形心C在x，y坐标 系内的坐标为
材料的许用应力 60MPa.
分析（1）
max
M
y max max Iz
max M max
Wz
（2）弯矩 M 最大的截面
（3）抗弯截面系数 Wz 最
小的截面 33 目录
§11-5 梁的强度条件
解：（1）计算简图 （2）绘弯矩图
（3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核 B截面：
Fb Fa
max
MB WzB
Fa
d13
62.5
267 0.163
32
32
C截面：
41.5106 Pa 41.5MPa
max
MC WzC
Fb
d
3 2
62.5160 32
0.133
46.4106 Pa
46.4MPa
32
（5）结论 轴满足强度要求
34
目录
§11-5 梁的强度条件 例题11-3
从而有
I x I xC a2 A
21
§11-3 惯性矩与平行轴定理
I x I xC a2 A 同理可得 I y I yC b2 A
以上两式就是惯性矩的平行移轴公式。
22
§11-4 对称弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力
一、矩形截面梁
y
P m m1 q(x)
m
b
m
h
m1
Fs
A
n n1
目录
回顾与比较
§11-1 引言
内力
应力
FN
A
T
IP
M
? ?
FS
目录
§11-1 引言
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，
梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.
内力 剪力FS 弯矩M
切应力 正应力
只有与切应力有关的切向内力元素
dFS = dA 才能合成剪力；
只有与正应力有关的法向内力元素
dFN = dA 才能合成弯矩.
所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力.
目录
mM
m FS
m
m FS m M
4
m
纯弯曲
§11-1 引言
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
deformation geometric relationship
三、静力学关系 FN、My、Mz
1 M
EIZ
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
变形几何关系 y
物理关系 E
E y
静力学关系
1 M
EI
Z
1
为曲率半径， 为梁弯曲变形后的曲率
正应力公式 My
IZ
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
正应力分布
My
IZ
M • 正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
§11-5 梁的强度条件
解：（1）计算简图
（2）绘弯矩图
（3）根据
max
M max Wz
计算
(6.7 50) 103 9.5
Wz
M max
4 140106
962106 m3 962cm3
（4）选择工字钢型号
36c工字钢 Wz 962 cm3
（5）讨论 q 67.6kg/m
36
目录
x
dx
Bx
z
y
p
O
p1 n
q1
x
n1
关于切应力的分布作两点假设：
dx
y
1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 ( // Fs )
2、切应力沿截面宽度均匀分布
目录
§11-4 对称弯曲切应力
讨论部分梁的平衡
m
m1
m m1
M
M+dM
τ’
y
p p1
n dx n1
FN1 p τ’
p1 nτ
dx n1
z
q
y
q1
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度 不变－－中性层
中间层与横截面的 交线－－中性轴
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
建立坐标
mn
a
a
o
o
b
by
m dx n
二、物理关系
胡克定理 E E y
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
FS 90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
解：1. 求支反力 FAy 90kN FBy 90kN
MC 901 6010.5 60kN m
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， then propose the hypothesis
Distribution regularity of deformation
Distribution regularity of stress
67.5103 180 103
2 5.832 105
104.17 106 Pa 104.17MPa
17
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
q=60kN/m
120
4. C 截面曲率半径ρ
A
1m
FAY
C
l = 3m