第六章-非正弦周期信号电路备课讲稿
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第6章 非正弦周期信号电路ppt课件
将上式积分号内两个积数的乘积展开，分别计算各乘积 项在一个周期内的平均值，有以下五种类型项：
55
第 6 章 非正弦周期信号电路
因而，二端网络吸收的平均功率可按下式计算：
(6-11) 其中，Pk=UkIk cos(θku－θki)=UkIkcosjk，是k次谐波的平均 功率。
56
第 6 章 非正弦周期信号电路
(2) 求二次谐波分量： (此时66.7 cos2ωt单独作用)
77
第 6 章 非正弦周期信号电路
(3) 求四次谐波分量：(此时－13.3 cos4ωt单独作用)
78
第 6 章 非正弦周期信号电路
(4) 输出电压为
79
第 6 章 非正弦周期信号电路
图6.18 滤波器 (a) 低通滤波器；(b) 高通滤波器
14
第 6 章 非正弦周期信号电路
15
第 6 章 非正弦周期信号电路
当k为奇数时， 当k为偶数时， 由此可得
16
第 6 章 非正弦周期信号电路
例 6.2 求图6.4所示周期信号的傅立叶级数展开式。
17
第 6 章 非正弦周期信号电路
图 6.4 例 6.2 图
18
第 6 章 非正弦周期信号电路
第 6 章 非正弦周期信号电路
第 6 章 非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解 6.2 非正弦周期信号的频谱 6.3 非正弦周期信号的有效值、 平均值和平均功率 6.4 非正弦周期电路的计算
1
第 6 章 非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解
6.1.1 非正弦周期信号 工程实际中经常遇到非正弦周期信号，如
6.4 非正弦周期电路的计算
把傅立叶级数、直流电路、交流电路的分 析和计算方法以及叠加原理应用于非正弦周期 电路中，就可以对其电路进行分析和计算。其 具体步骤如下：
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第 6 章 非正弦周期信号电路
因而，二端网络吸收的平均功率可按下式计算：
(6-11) 其中，Pk=UkIk cos(θku－θki)=UkIkcosjk，是k次谐波的平均 功率。
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第 6 章 非正弦周期信号电路
(2) 求二次谐波分量： (此时66.7 cos2ωt单独作用)
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第 6 章 非正弦周期信号电路
(3) 求四次谐波分量：(此时－13.3 cos4ωt单独作用)
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第 6 章 非正弦周期信号电路
(4) 输出电压为
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第 6 章 非正弦周期信号电路
图6.18 滤波器 (a) 低通滤波器；(b) 高通滤波器
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第 6 章 非正弦周期信号电路
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第 6 章 非正弦周期信号电路
当k为奇数时， 当k为偶数时， 由此可得
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第 6 章 非正弦周期信号电路
例 6.2 求图6.4所示周期信号的傅立叶级数展开式。
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第 6 章 非正弦周期信号电路
图 6.4 例 6.2 图
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第 6 章 非正弦周期信号电路
第 6 章 非正弦周期信号电路
第 6 章 非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解 6.2 非正弦周期信号的频谱 6.3 非正弦周期信号的有效值、 平均值和平均功率 6.4 非正弦周期电路的计算
1
第 6 章 非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解
6.1.1 非正弦周期信号 工程实际中经常遇到非正弦周期信号，如
6.4 非正弦周期电路的计算
把傅立叶级数、直流电路、交流电路的分 析和计算方法以及叠加原理应用于非正弦周期 电路中，就可以对其电路进行分析和计算。其 具体步骤如下：
非正弦周期电流电路及电路频率特性
电压分配
电感与电容两端的电压相等且相位相反，总电压 等于电阻两端的电压。
阻抗最小
在谐振频率下，电路的阻抗达到最小值，使得电 流达到最大值。
品质因数
串联谐振电路的品质因数Q较高，表示电路的选 择性较好。
并联谐振条件及特点
并联谐振条件
阻抗最大
电流分配
品质因数
在RLC并联电路中，当电源频 率等于电路的固有频率时，电 路发生并联谐振。此时，电路 中的阻抗最大，电流最小，且 电感与电容支路的电流相等且 相位相反。
电路频率特性的研究
探讨非正弦周期电流电路在不同频率下的响应特性，包括幅频特性、 相频特性和阻抗特性等，并分析这些特性对电路性能的影响。
实际应用案例
结合具体实例，展示非正弦周期电流电路及其频率特性在实际应用中 的价值，如电力电子设备、通信系统和控制系统等。
02
非正弦周期电流电路基本概 念
非正弦周期信号定义
非正弦周期信号
与正弦信号不同，非正弦周期信号的 波形在一个周期内不能简单地用正弦 函数描述。这种信号可以分解为一系 列不同频率的正弦波分量。
周期与非周期信号
周期信号是指在一个固定时间间隔内 重复出现的信号，而非周期信号则不 具有这种重复性。非正弦周期信号属 于周期信号的一种。
傅里叶级数展开与频谱分析
通频带
对于具有一定带宽的信号而言，能够通过谐振电路并被放大的频率范围称为通频带。通频带的宽度与 电路的品质因数Q有关，Q值越高则通频带越窄，反之则越宽。在实际应用中，需要根据信号的特点 和电路的要求来选择合适的通频带宽度。
06
非正弦周期电流电路实验验 证与仿真分析
实验目的和步骤
01
实验目的：通过搭建非正弦周期电流电路，验证其工作原 理和特性，并利用仿真软件进行分析，深入理解电路的频 率响应。
电感与电容两端的电压相等且相位相反，总电压 等于电阻两端的电压。
阻抗最小
在谐振频率下，电路的阻抗达到最小值，使得电 流达到最大值。
品质因数
串联谐振电路的品质因数Q较高，表示电路的选 择性较好。
并联谐振条件及特点
并联谐振条件
阻抗最大
电流分配
品质因数
在RLC并联电路中，当电源频 率等于电路的固有频率时，电 路发生并联谐振。此时，电路 中的阻抗最大，电流最小，且 电感与电容支路的电流相等且 相位相反。
电路频率特性的研究
探讨非正弦周期电流电路在不同频率下的响应特性，包括幅频特性、 相频特性和阻抗特性等，并分析这些特性对电路性能的影响。
实际应用案例
结合具体实例，展示非正弦周期电流电路及其频率特性在实际应用中 的价值，如电力电子设备、通信系统和控制系统等。
02
非正弦周期电流电路基本概 念
非正弦周期信号定义
非正弦周期信号
与正弦信号不同，非正弦周期信号的 波形在一个周期内不能简单地用正弦 函数描述。这种信号可以分解为一系 列不同频率的正弦波分量。
周期与非周期信号
周期信号是指在一个固定时间间隔内 重复出现的信号，而非周期信号则不 具有这种重复性。非正弦周期信号属 于周期信号的一种。
傅里叶级数展开与频谱分析
通频带
对于具有一定带宽的信号而言，能够通过谐振电路并被放大的频率范围称为通频带。通频带的宽度与 电路的品质因数Q有关，Q值越高则通频带越窄，反之则越宽。在实际应用中，需要根据信号的特点 和电路的要求来选择合适的通频带宽度。
06
非正弦周期电流电路实验验 证与仿真分析
实验目的和步骤
01
实验目的：通过搭建非正弦周期电流电路，验证其工作原 理和特性，并利用仿真软件进行分析，深入理解电路的频 率响应。
非正弦周期性电流电路
增加能耗
非正弦周期性电流可能导致额外的 能耗，增加能源消耗和运营成本。
非正弦周期性电流的消除方法
电路中加入滤波器可以 滤除非正弦周期性电流成 分。
优化电源设计
优化电源设计，提高电源 的输出质量，减少非正弦 周期性电流的产生。
采用线性负载
采用线性负载可以减少谐 波干扰和非正弦周期性电 流的影响。
非正弦周期性电流电 路
目录
• 非正弦周期性电流电路概述 • 非正弦周期性电流的产生与影响 • 非正弦周期性电流电路的分析方法
目录
• 非正弦周期性电流电路的实验研究 • 非正弦周期性电流电路的工程应用 • 非正弦周期性电流电路的发展趋势与展望
01
非正弦周期性电流电路概 述
定义与特点
特点
定义：非正弦周期性电流电 路是指电路中的电流呈非正
在控制系统中的应用
执行器控制
非正弦周期性电流电路可以用于执行器的控制，以实现系统的稳 定性和动态性能。
传感器信号处理
非正弦周期性电流电路可以用于传感器信号的处理，以提取有用 的信息并进行反馈控制。
伺服系统
非正弦周期性电流电路可以用于伺服系统的设计，以实现精确的 位置和速度控制。
06
非正弦周期性电流电路的 发展趋势与展望
如雷电、电磁场等外部因素可能对电 路产生干扰，导致非正弦周期性电流 的产生。
电路中元件的非线性
电路中的元件，如电阻、电容、电感 等，可能具有非线性特性，导致非正 弦周期性电流的产生。
非正弦周期性电流对电路的影响
电压波动
非正弦周期性电流可能导致电压 波动，影响用电设备的正常运行。
谐波干扰
非正弦周期性电流可能产生谐波干 扰，影响通信和信号处理设备的性 能。
非正弦周期电流电路
第9章非正弦周期电流电路电子技术中广泛使用着非正弦周期信号，例如脉冲信号发生器、锯齿波发生器等。
本章首先介绍了非正弦周期量产生的原因，其次讲述了非正弦周期信号的分解与合成，在此基础上对非正弦周期信号进行了谐波分析；介绍了非正弦周期信号的频谱表示法及频谱的特点；最后对非正弦周期信号作用下线性电路的分析计算进行了研究。
本章的学习重点：●非正弦周期信号的谐波分析法；●非正弦周期信号的频谱分析法；●非正弦周期信号作用下线性电路的分析与计算。
9．1 非正弦周期信号1、学习指导（1）非正弦周期信号的产生当电路中激励是非正弦周期信号时，电路中的响应也是非正弦的；当不同波形的周期信号加到电路中，在电路中产生的电压和电流当然也是非正弦波；若一个电路中同时有几个不同频率的正弦激励共同作用，电路中的响应一般也是非正弦量；电路中含有非线性元件时，即使激励是正弦量，电路中的响应也可能是非正弦周期函数。
非正弦周期信号的波形变化具有周期性，这是它们的共同特点。
（2）非正弦周期信号的合成与分解电子技术工程中大量使用着非正弦周期信号，当几个不同频率的正弦波合成时，其合成的结果是一个非正弦波，受此分析结果的启发，设想一个非正弦周期信号也一定可以分解为一系列的振幅不同、频率成整数倍的正弦波，由此引入了利用傅里叶级数表示非正弦周期信号的分析方法。
2、学习检验结果解析（1）电路中产生非正弦周期波的原因是什么？试举例说明。
解析：电路中产生非正弦周期波的原因一般有以下几个方面：①当电路中激励是非正弦周期信号时，电路中的响应当然也是非正弦的。
例如实验设备中的函数信号发生器，其中的方波和等腰三角波，它们在电路中产生的电压和电流不再是正弦的；123②同一电路中同时作用几个不同频率的正弦激励时，电路中的响应一般不再是正弦的。
例如晶体管放大电路，它工作时既有为静态工作点提供能量的直流电源，又有需要传输和放大的正弦输入信号，在它们的共同作用下，放大电路中的电压和电流既不是直流，也不是正弦交流，而是二者相叠加以后的非正弦波；③当电路中含有非线性元件时，即使激励是正弦量，电路中的响应也可能是非正弦周期函数。
非正弦周期信号电路
瞬态分析主要采用时域分析方法，通过建立电路的微分方程或差分方程来求解。
瞬态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下的动态响应过程，包括电压、 电流的峰值、相位、波形等参数。
稳态分析
稳态分析是研究非正弦周期信号作用于电路时，电路 达到稳态后电压和电流的平均值或有效值。
稳态分析主要采用频域分析方法，通过将非正弦周期 信号进行傅里叶级数展开，转化为多个正弦波成分，
非正弦周期信号电路可以用于设计音频功率 放大器，将微弱的音频信号放大到足够的功 率以驱动扬声器或其他音频输出设备。
电力电子系统
逆变器
01
非正弦周期信号电路可以用于设计逆变器，将直流电转换为交
流电，以驱动电机、照明和加热等设备。
整流器
02
非正弦周期信号电路也可以用于设计整流器，将交流电转换为
直流电，以提供稳定的直流电源。
再对每个正弦波成分进行单独分析。
稳态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下 的稳态工作状态，包括平均功率、效率等参数。
频率响应分析
1
频率响应分析是研究非正弦周期信号作用于电路 时，电路在不同频率下的响应特性。
2
频率响应分析主要采用频域分析方法，通过测量 电路在不同频率下的输入输出特性，绘制频率响 应曲线。
生物医学工程
在生物医学工程中，非正 弦周期信号用于刺激或记 录生物体的电生理信号。
02
非正弦周期信号电路的基本 元件
电感元件
电感元件是利用电磁感应原理制 成的元件，其基本特性是阻碍电
流的变化。
当电感元件的电流发生变化时， 会在其周围产生磁场，储存磁场
能量。
电感元件的感抗与频率成正比， 因此对于非正弦周期信号，电感 元件会对其产生较大的阻碍作用。
瞬态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下的动态响应过程，包括电压、 电流的峰值、相位、波形等参数。
稳态分析
稳态分析是研究非正弦周期信号作用于电路时，电路 达到稳态后电压和电流的平均值或有效值。
稳态分析主要采用频域分析方法，通过将非正弦周期 信号进行傅里叶级数展开，转化为多个正弦波成分，
非正弦周期信号电路可以用于设计音频功率 放大器，将微弱的音频信号放大到足够的功 率以驱动扬声器或其他音频输出设备。
电力电子系统
逆变器
01
非正弦周期信号电路可以用于设计逆变器，将直流电转换为交
流电，以驱动电机、照明和加热等设备。
整流器
02
非正弦周期信号电路也可以用于设计整流器，将交流电转换为
直流电，以提供稳定的直流电源。
再对每个正弦波成分进行单独分析。
稳态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下 的稳态工作状态，包括平均功率、效率等参数。
频率响应分析
1
频率响应分析是研究非正弦周期信号作用于电路 时，电路在不同频率下的响应特性。
2
频率响应分析主要采用频域分析方法，通过测量 电路在不同频率下的输入输出特性，绘制频率响 应曲线。
生物医学工程
在生物医学工程中，非正 弦周期信号用于刺激或记 录生物体的电生理信号。
02
非正弦周期信号电路的基本 元件
电感元件
电感元件是利用电磁感应原理制 成的元件，其基本特性是阻碍电
流的变化。
当电感元件的电流发生变化时， 会在其周围产生磁场，储存磁场
能量。
电感元件的感抗与频率成正比， 因此对于非正弦周期信号，电感 元件会对其产生较大的阻碍作用。
第六章 非正弦周期电流电路
非正弦周期电流电路的计算
• 6.5
滤波器的概念
6.1 非正弦周期电流和电压
非正弦周期函数
谐波分析法
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6.1 非正弦周期电流和电压
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到 非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、
计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都
是周期性的非正弦波形。 按非正弦规律变化的周期电源和信号为非正弦周 期信号。
电容C相当于开路
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一次谐波单独作用
相量法 uS(1)(t)→U
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6.2 周期函数分解为傅立叶级数
分解的傅立叶级数形式 系数计算公式
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6.2 周期函数分解为傅立叶级数
（1）周期函数
f(t)=f(t+kT)
T为周期函数f(t)的周期，
k=0，1，2，…… 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能 展开成一个收敛的傅里叶级数。 电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。
k
p
返 回
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6.3 非正弦有效值、平均值和平均功率
●非正弦周期量的有效值 假设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数
i I 0 I km sin( k1 t k )
k 1
则得电流的有效值为
I 1 T
T
0
I 0 I km sin( k1 t k ) dt k 1
2
0
2
cos ktd (t )
2
0
返 回
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（3）
三角函数的正交性
• 6.5
滤波器的概念
6.1 非正弦周期电流和电压
非正弦周期函数
谐波分析法
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6.1 非正弦周期电流和电压
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到 非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、
计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都
是周期性的非正弦波形。 按非正弦规律变化的周期电源和信号为非正弦周 期信号。
电容C相当于开路
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一次谐波单独作用
相量法 uS(1)(t)→U
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6.2 周期函数分解为傅立叶级数
分解的傅立叶级数形式 系数计算公式
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6.2 周期函数分解为傅立叶级数
（1）周期函数
f(t)=f(t+kT)
T为周期函数f(t)的周期，
k=0，1，2，…… 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能 展开成一个收敛的傅里叶级数。 电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。
k
p
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6.3 非正弦有效值、平均值和平均功率
●非正弦周期量的有效值 假设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数
i I 0 I km sin( k1 t k )
k 1
则得电流的有效值为
I 1 T
T
0
I 0 I km sin( k1 t k ) dt k 1
2
0
2
cos ktd (t )
2
0
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（3）
三角函数的正交性
非正弦周期电路
《电工基础》学案
非正弦周期电路
【学习要求】
1.了解什么叫非正弦周期信号，
2.展开为傅里叶级数的条件；
3.什么叫谐波分析？
4.会求解非正弦周期电压与电流的有效值。
【学习重点、难点】
1.重点：谐波分析和会求解非正弦周期电压与电流的有效值
2.难点：了解傅里叶级数法
3.【学时安排】两学时
【学习过程】
一、课前预习
1. 上网搜索非正弦周期信号有哪些？
2.上网搜索傅里叶级数法
二、课堂学习任务
任务一：非正弦周期电压和电流
任务二：非正弦周期函数展开为傅里叶级数
1.条件：
2.谐波分析
任务三：求解非正弦周期电压与电流的有效值
三、课堂小结（教师引导，学生归纳总结）
四、作业布置。
非正弦周期信号的分解及有效值、平均功率
k 1
k 1
式中： k uk ik
可见：非正弦周期电流电路的平均功率为直流分量的功率
与各次谐波单独作用时的平均功率之和。
同时可知：不同次的谐波电流与电压之间，只能构成瞬时 功率，不能构成平均功率。只有同次谐波的电流与电压之间， 才能既构成瞬时功率，又构成平均功率。
P181 [例6 －1] 求电动系电压表v、电 流表A和功率表W的读数。
解：电压表读数是u的有效值
U 102 (141.4)2 ( 28.28)2 102.5V
加，波形比较接近方波， 次谐波的叠加，更接近
但起伏较大
原方波，还有些小的起伏
方波电流信号的傅里叶级数为:
f
(t)
4Im
sin t
1 sin 3t
3
1 sin 5t
5
1 sin kt
k
其中k取奇数，取多少项为好依计算要求的精确度而定。
分解出来的各次谐波，随着 频率的增加振幅衰减。这种规律 体现在频谱图中。方波信号的频 谱图见右图。
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述 明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计 算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的 递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续 课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文 印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时 数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、 机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专 业。
3
1 sin(5t)+...+ 1 sin(kt)+...]
5
k
名称
全波整 流波
波形图
傅立叶级数
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判断非正弦周期波的谐波成分。
奇函数（原点对称）
奇函数（原点对称）
ftft
奇函数的波形的特点：对称于坐标原点
i(t)
Im
T
T 2
2
t
0
在一个 周期内的积分
为零
当 f t是奇函数时，ftcok st也是一个奇函数，因而有：
1T
A0 f(t)dt0
T0
AK2 Tf(t)cok stdt0 奇函数的傅里叶
-
2
0
u0
wt
(a)
(b)
正弦 交流电
两信号 叠加后的
波形
电路中存在 非线性元件，也产生非正弦的周期信号
非线性元 件二极管
+ u -
(a)
i
+
R uR
-
电源电压 波形
u
i
0T
T
2
(b)
t0
整流后电 流波形
t (c)
首页
§6-2 非正弦周期信号的分解
不同频率正弦波的合成
例：已知两个正弦电压u1 Umsi nt 和 u3Um3si3 nt
试作出 uu1 u3 的波形。
u
u u1
u3
0
wt
非正弦周期波的分解
综上所述，几个频率不同的正弦波之和是一个非正弦周 期波，那么反过来,一个非正弦周期波可以分解成几个不同 频率的正弦波之和
由数学知识可知，如果一个函数是周期性的，且满足狄 里赫利条件，那么它可以展开成一个收敛级数，即傅里叶级 数。电工技术中所遇到的周期函数f(t)一般都能满足这个条 件，因而可以分解为下列的傅里叶级数。
首页
§6.3 函数对称性与傅里叶级数的关系
把周期函数分解成傅里叶级数时，并不一 定包含所有谐波项。有的只包含有正弦项， 有的只包含有余弦项。这是因为周期函数 具有对称性。电工技术中遇到的周期函数 的波形往往具有某种对称性，利用函数的 对称性，不仅可使系数的计算过程得以简 化，更重要的是可以根据波形的对称性来
A0 1 T
T
2 T
f
(
t
)
d
t
2
AK 4
T
2f(t)coskdω t t
偶函数的傅里叶
T0
级数中将包含直
BK
2
T
Tf(t)sindktω 0 t
0
流分量且只有余 弦项，不含正弦
项
f(t)A0 Akcoskωt
k1
奇谐波函数（镜对称）
奇谐波函数（镜对称）
ftftT/ 2
奇函数的波形的特点：在任一周期内把第二个
半波的波形向前移动半个周期。就会与第一个
半波对称于横轴，二者互为镜像
在一个
周期内波形前移半
f (t)
周期波形相对于t轴
镜相对称
T 2
T
t
0
当 f t是奇函数时，ftcok st也是一个奇函数，因而有：
A0
1
T
f(t)d0t
T0
AK 2
T
f(t)coskdω t t
T0
不含直流分量和
BK 2
T0.2ms0.00s02
2 23.1r4as d31r4a0 sd0
T 0.0002
Im 10A
查表6-1并计算得：（表6-1见教材）
i 5 3 . 1 s3 8 it n 1 1 . 5 s 4 6 9 it 0 n 2 1 . 0 s 0 8 9 6 it 0 n 4 A 0 200
T0
级数中将不含直
4
BK
T
2 f(t)sinktdt
T0
流分量和余弦项， 只含正弦项
f(t)Bksinkt k1
偶函数（纵轴对称 ）
奇函数（纵轴对称 ）
ftft
奇函数的波形的特点：对称于坐标纵轴
u(t)
um
T
2
0
T
t
在一个 周期内的积分 为2倍半周期
的积分
当 f t 是偶函数时，ftsik n t也是一个奇函数，因而有：
f(t)C0k1Cksin kw C数tk0在是 一非周正期弦内周的期平函
式中：C k
C0
A0
A
2 k
B
2 k
k arcty
Ak Bk
均值，是一个常数， 称为周期函数f(t)的 恒定分量（或直流 分量），也称为零
次谐波。
其余各项的频率是
第二项C1sin(ωt+Φ1),称为基 波分量或一次谐波，其周期 和频率与原函数f(t)相同。
f(t)A0A1cows tB1siw ntA2co2w s tB2si2 nwt AkcokswtBksiknwt
即： f(t)A 0 A kcoksw B tksiknw t k1
式中，ω=2π/T，T为f(t)的周期 ，K为正整数。上式中的 A0、AK及BK称为傅里叶系数
傅里叶系数的确定：
T
f(t)sinkdω t t
偶次谐波， 只含 奇次谐波
T0
f （t ） ( Akc o s kω BKsti n k ω t ） k1
K为奇数时 coks1,Bk4kU m
K为偶数时
coks1,Bk0
所以：u ( t) 4 U m (st i1 s n 3 itn 1 s5 itn 1 sk itn )
35
k
(k为奇数）
例2 求出下图所示的锯齿波电流的傅里叶级数。
i 10
0 0.2 0.4
t(ms)
解： 锯齿波电流的周期，角频率和最大值分别为：
直流分量为 0
A kT 20 Tu (t)co ktsdT 2 t 0 T 2U m co ktsdT 2 tT 2 T( U m )co ktsd0 t B kT 20 Tu (t)sik n tdT 2 t 0 T 2U m sik n tdT 2 t T 2 T( U m )sik n td2 tk U m(1co k)s
周期函数频率的整 数倍，称为高次谐
波
周期函数展开为傅里叶函数举例
例1：矩形周期波电压如图所示，求其傅立叶展级数：
u Um
0T
2
T
t
Um
解：图示矩形周期电压，在一个周期内的表达式为：
u(t) Um
0tT 2
u(t) Um
T t T 2
A 0T 10 T u (t)d tT 10 T 2U m d tT 1T 2 T ( U m )d t0
1T
12
A0T0f(t)d t 20f(w)d t(w)t
Ak
2T T0
f(t)cokswtdt12
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(w)tcoksw(tw d)t
2T
12
Bk
T0
f(t)sinkw
tdt
0
f(w)tsinkw(tw d)t
利用三角函数公式，将分解式中的同频率正弦项与余弦项合 并，则傅里叶级数还可以写成另一种形式：
第六章-非正弦周期信号电路
§6.1 非正弦周期信号及波形
常见的几种非正弦周期信号
u
方波
三角波
u
0
共同特点：0 其一t 它们都是周期波，
t
u
锯齿其波二它们非的正变弦化的规u 律都是
脉冲波
0
t
0
t
频率不同的正弦电源作用于同一电路时,也产生
直
非正弦的周期信号
流 电+
1
u
u1
U - u1= 0
u
U + u0= m1Sinwt
奇函数（原点对称）
奇函数（原点对称）
ftft
奇函数的波形的特点：对称于坐标原点
i(t)
Im
T
T 2
2
t
0
在一个 周期内的积分
为零
当 f t是奇函数时，ftcok st也是一个奇函数，因而有：
1T
A0 f(t)dt0
T0
AK2 Tf(t)cok stdt0 奇函数的傅里叶
-
2
0
u0
wt
(a)
(b)
正弦 交流电
两信号 叠加后的
波形
电路中存在 非线性元件，也产生非正弦的周期信号
非线性元 件二极管
+ u -
(a)
i
+
R uR
-
电源电压 波形
u
i
0T
T
2
(b)
t0
整流后电 流波形
t (c)
首页
§6-2 非正弦周期信号的分解
不同频率正弦波的合成
例：已知两个正弦电压u1 Umsi nt 和 u3Um3si3 nt
试作出 uu1 u3 的波形。
u
u u1
u3
0
wt
非正弦周期波的分解
综上所述，几个频率不同的正弦波之和是一个非正弦周 期波，那么反过来,一个非正弦周期波可以分解成几个不同 频率的正弦波之和
由数学知识可知，如果一个函数是周期性的，且满足狄 里赫利条件，那么它可以展开成一个收敛级数，即傅里叶级 数。电工技术中所遇到的周期函数f(t)一般都能满足这个条 件，因而可以分解为下列的傅里叶级数。
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§6.3 函数对称性与傅里叶级数的关系
把周期函数分解成傅里叶级数时，并不一 定包含所有谐波项。有的只包含有正弦项， 有的只包含有余弦项。这是因为周期函数 具有对称性。电工技术中遇到的周期函数 的波形往往具有某种对称性，利用函数的 对称性，不仅可使系数的计算过程得以简 化，更重要的是可以根据波形的对称性来
A0 1 T
T
2 T
f
(
t
)
d
t
2
AK 4
T
2f(t)coskdω t t
偶函数的傅里叶
T0
级数中将包含直
BK
2
T
Tf(t)sindktω 0 t
0
流分量且只有余 弦项，不含正弦
项
f(t)A0 Akcoskωt
k1
奇谐波函数（镜对称）
奇谐波函数（镜对称）
ftftT/ 2
奇函数的波形的特点：在任一周期内把第二个
半波的波形向前移动半个周期。就会与第一个
半波对称于横轴，二者互为镜像
在一个
周期内波形前移半
f (t)
周期波形相对于t轴
镜相对称
T 2
T
t
0
当 f t是奇函数时，ftcok st也是一个奇函数，因而有：
A0
1
T
f(t)d0t
T0
AK 2
T
f(t)coskdω t t
T0
不含直流分量和
BK 2
T0.2ms0.00s02
2 23.1r4as d31r4a0 sd0
T 0.0002
Im 10A
查表6-1并计算得：（表6-1见教材）
i 5 3 . 1 s3 8 it n 1 1 . 5 s 4 6 9 it 0 n 2 1 . 0 s 0 8 9 6 it 0 n 4 A 0 200
T0
级数中将不含直
4
BK
T
2 f(t)sinktdt
T0
流分量和余弦项， 只含正弦项
f(t)Bksinkt k1
偶函数（纵轴对称 ）
奇函数（纵轴对称 ）
ftft
奇函数的波形的特点：对称于坐标纵轴
u(t)
um
T
2
0
T
t
在一个 周期内的积分 为2倍半周期
的积分
当 f t 是偶函数时，ftsik n t也是一个奇函数，因而有：
f(t)C0k1Cksin kw C数tk0在是 一非周正期弦内周的期平函
式中：C k
C0
A0
A
2 k
B
2 k
k arcty
Ak Bk
均值，是一个常数， 称为周期函数f(t)的 恒定分量（或直流 分量），也称为零
次谐波。
其余各项的频率是
第二项C1sin(ωt+Φ1),称为基 波分量或一次谐波，其周期 和频率与原函数f(t)相同。
f(t)A0A1cows tB1siw ntA2co2w s tB2si2 nwt AkcokswtBksiknwt
即： f(t)A 0 A kcoksw B tksiknw t k1
式中，ω=2π/T，T为f(t)的周期 ，K为正整数。上式中的 A0、AK及BK称为傅里叶系数
傅里叶系数的确定：
T
f(t)sinkdω t t
偶次谐波， 只含 奇次谐波
T0
f （t ） ( Akc o s kω BKsti n k ω t ） k1
K为奇数时 coks1,Bk4kU m
K为偶数时
coks1,Bk0
所以：u ( t) 4 U m (st i1 s n 3 itn 1 s5 itn 1 sk itn )
35
k
(k为奇数）
例2 求出下图所示的锯齿波电流的傅里叶级数。
i 10
0 0.2 0.4
t(ms)
解： 锯齿波电流的周期，角频率和最大值分别为：
直流分量为 0
A kT 20 Tu (t)co ktsdT 2 t 0 T 2U m co ktsdT 2 tT 2 T( U m )co ktsd0 t B kT 20 Tu (t)sik n tdT 2 t 0 T 2U m sik n tdT 2 t T 2 T( U m )sik n td2 tk U m(1co k)s
周期函数频率的整 数倍，称为高次谐
波
周期函数展开为傅里叶函数举例
例1：矩形周期波电压如图所示，求其傅立叶展级数：
u Um
0T
2
T
t
Um
解：图示矩形周期电压，在一个周期内的表达式为：
u(t) Um
0tT 2
u(t) Um
T t T 2
A 0T 10 T u (t)d tT 10 T 2U m d tT 1T 2 T ( U m )d t0
1T
12
A0T0f(t)d t 20f(w)d t(w)t
Ak
2T T0
f(t)cokswtdt12
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(w)tcoksw(tw d)t
2T
12
Bk
T0
f(t)sinkw
tdt
0
f(w)tsinkw(tw d)t
利用三角函数公式，将分解式中的同频率正弦项与余弦项合 并，则傅里叶级数还可以写成另一种形式：
第六章-非正弦周期信号电路
§6.1 非正弦周期信号及波形
常见的几种非正弦周期信号
u
方波
三角波
u
0
共同特点：0 其一t 它们都是周期波，
t
u
锯齿其波二它们非的正变弦化的规u 律都是
脉冲波
0
t
0
t
频率不同的正弦电源作用于同一电路时,也产生
直
非正弦的周期信号
流 电+
1
u
u1
U - u1= 0
u
U + u0= m1Sinwt