可积条件

§3 可积条件教学目的：掌握可积判别准则及可积函数类。

重点难点：重点为可积性判别,难点为可积函数类的证明。

教学方法：讲练结合。

一 可积的必要条件定理9．2 若函数f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上必定有界．证 用反证法．若f 在[]b a ,上无界，则对于[]b a ,的任一分割T ，必存在属于T 的某个小区间k k x f x ∆∆在,上无界．在k i ≠各个小区间i ∆上任意取定i ξ，并记 ().iki ix f G ∆=∑≠ξ现对任意大的正数M ，由于f 在k ∆上无界，故存在k k ∆∈ξ，使得 ().kk x GM f ∆+>ξ 于是有()()()iki ik k ini ixf x f xf ∆-∆≥∆∑∑≠=ξξξ1M G x x GM k k=-∆⋅∆+由此可见，对于无论多小的T ，按上述方法选取点集{}i ξ时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与f 在[]b a ,上可积相矛盾． 口 注:有界函数不一定可积。

例1 证明狄利克雷函数 ()⎩⎨⎧=x x x D ,0,1为无理数为有理数在[]10，上有界但不可积． 证 显然()[].1,0,1∈≤x x D对于[]10，的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，()111=∆=∆∑∑==ni iin i ixx D ξ；当取i ξ全为无理数时，()01=∆∑=ini ixD ξ．所以不论T 多么小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即()x D 在[]10，上不可积． 口 由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的．二 可积的充要条件要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值．设{}n i T i ,,2,1 =∆=为对[]b a ,的任一分割．由f 在[]b a ,上有界，它在每个i ∆上存在上、下确界：()().,,2,1,inf ,sup n i x f m x f M iix i x i ===∆∈∆∈作和()(),,11in i ni iiix m T s x M T S ∆=∆=∑∑==分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)．任给,,,2,1,n i i i =∆∈ξ，显然有()()().1∑=≤∆≤ni iiT S xf T s ξ与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与点集{}i ξ无关．由不等式(1)，就能通过讨论上和与下和当0→T 时的极限来揭示f 在[]b a ,上是否可积．所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的．定理9．3 (可积准则) 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε,总存在相应的一个分割T ，使得()()ε<-T s T S设i i i m M -=ω称为f 在i ∆上的振幅，有必要时也记为fi ω。

由于S(T )－()=T s ∑=ni i1ωi χ∆(或记为i Ti x ∆∑ω)，因此可积准则又可改述如下：定理3.9'， 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε，总存在相应的某一分割T ，使得εω<∆∑iTi x几何意义是：若f 在[]b a ,上可积，则包围曲线=y ()x f 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然． 三 可积函数类根据可积的充要条件，我们证明下面一些类型的函数是可积的(即可积的充分条件)．定理9．4 若f 为[]b a ,上的连续函数，则f 在[]b a ,上可积．证 由于f 在闭区间[]b a ,上连续，因此在[]b a ,上一致连续．这就是说，任给0>ε，存在>δ0，对[]b a ,中任意两点x '`x ''，只要x x ''-'δ<，便有()()ab x f x f -<''-'ε所以只要对[]b a ,所作的分割T 满足δ<T ，在丁所属的任一小区间i ∆上，就能使f 的振幅满足()()ab x f x f m M i i i -<''-'=-=εωsup从而导致εεχω=∆-≤∆∑∑Tii Ti xab由定理3.9'，证得f 在[]b a ,上可积．应该注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用．定理9．5 若f 是区间[]b a ,上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[]b a ,上可积．， 证 不失一般性，这里只证明f 在[]b a ,上仅有一个间断点的情形，并设该间断点即为端点b ．任给0>ε，取δ'，满足()m M -<'<20εδ，且a b -<'δ，其中M 与m 分别为f 在[]b a ,上的上确界与下确界(设M m <，否则f为常量函数，显然可积)．记f 在小区间[]b b ,δ'-=∆'上的振幅为ω'，则()()22εεδω=-⋅-<''m M m M因为f 在[]δ'-b a ,上连续，由定理9．4知f 在[]δ'-b a ,上可积．再由定理9．3，(必要性)，存在对[]δ'-b a ,的某个分割{}121,,,-∆∆∆='n T ，使得2εω<∆∑'i T i x令∆'=∆n ，则 {}121,,,-∆∆∆=n T 是对[]b a ,的一个分割，对于T ，有.22εεεδωωω=+<''+∆=∆∑∑'i T i i Ti x x根据定理9．3，(充分性)，证得f 在[]b a ,上可积． 口 定理9．6 若f 是[]b a ,上的单调函数，则f 在[]b a ,上可积．证 设f 为增函数，且()()()(),,b f a f a f a f =<若，则f 为常量函数，显然可积．对[]b a ,的任一分割T ，由f 的增性，f 在T 所属的每个小区间i ∆上的振幅为()(),1--=i i i x f x f ω 于是有()()[]Tx f x f x ni i iiTi∑∑---≤∆11ω()()[].T b f a f -= 由此可见，任给0>ε，只要()(),b f a f T -<ε这时就有,εω<∆∑iTi x所以f 在[]b a ,上可积．注意，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性． 例2 试用两种方法证明函数() ,2,1,111,1,0,0=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+==n n x n n x x f 在区间[]1,0上可积．证 [证法一] 由于f 是一增函数，虽然它在[]1,0上有无限多个间断点,,3,2,1==n nx n 但由定理9．5，仍保证它在[]1,0上可积． 口[证法二](仅利用定理9．3，和定理9．5) 任给0>ε，由于01lim=∞→nn ，因此当n 充分大时21ε<n ，这说明f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2ε上只有有限个间断点．利用定理9．5和定理9．3，推知f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2ε上可积，且存在对⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2ε的某一分割T '，使得2εω<∆∑'i T i x在把小区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0ε与T '合并,成为对[]1,0的一个分割T .由于f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0ε上的振幅10 ω，因此得到εεεωεωω=+<∆+⋅=∆∑∑'''2220i T i i T i x x所以f 在[]1,0上可积． 口 例3 证明黎曼函数()()⎪⎩⎪⎨⎧===内的无理数以及互素1,01,0,0,,,,,1x p q q p qp x q x f 在区间[]1,0上可积，且()01=⎰dx x f分析 已知黎曼函数在1,0=x 以 及一切无理点处连续，而在()1,0内的一切有理点处间断．证明它在[]1,0上可积的直观构思如下：在黎曼函数的图象中画一条水平直线2ε=y ,在此直线上方只有函数图象中有限个点，这些点所对应的自变量可被含于属于分割T 的有限个小区间中，当T 足够小时,这有限个小区间的总长可为任意小;而T 中其余小区间上函数的振幅不大于2ε,把这两部分相合,便可证得2εω<∆∑i Ti x .作业:1,2。