数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.2.1) 可积的充要条件

可积函数类
Riemann 定理告诉我们, 可积函数波动剧烈(振幅较大)的地方并不是很多. 或者 说, 间断点(振幅不为零的点)并不是很多. 从 Riemann 定理出发, Lebesgue 得到了关于可积函数的进一步刻画.
可积函数类
Riemann 定理告诉我们, 可积函数波动剧烈(振幅较大)的地方并不是很多. 或者 说, 间断点(振幅不为零的点)并不是很多. 从 Riemann 定理出发, Lebesgue 得到了关于可积函数的进一步刻画. Lebesgue 说有界函数为可积函数当且仅当它“几乎处处”连续! (以后我们将讨论 其准确含义)
lim
ωi ∆xi =
π →0
i =1
lim [Sπ(f
π →0
)
−
sπ (f
)]
=
inf
π
Sπ (f
)
−
sup
π
sπ (f
).
(3) =⇒ (4): 这是显然的. (4) =⇒ (2): 如果存在分割 π, 使得 Sπ(f ) − sπ(f ) < ε, 则由
sπ(f ) ≤ sup sπ (f ) ≤ inf Sπ (f ) ≤ Sπ(f )
n
ωi ∆xi =
ωi ∆xi +
ωi ∆xi ≤ ε(b − a) + (M − m)ε.
i =1
{i|ωi <ε}
{i|ωi ≥ε}
由定理 1 (4) 知 f 可积.
可积函数类
推论 1 设 f 为有界函数, 若 f 只有有限个间断点, 则 f 可积.
可积函数类
推论 1 设 f 为有界函数, 若 f 只有有限个间断点, 则 f 可积.
证明. 任给 ε, η > 0, 取以间断点为中心的小区间, 使得这些小区间互不相交, 且其总长度小 于 ε. 挖去这些小区间以后 f 连续, 根据 Cantor 定理, 可以对挖去小区间以后剩下的 部分做分割, 使得 f 在这些分割小区间中的振幅都小于 η. 由 Riemann 定理即知 f 可 积.
可积的两个因素
从上面的讨论中可以看出, 连续函数可积是因为可以找分割, 使得每一个小区间 中它的振幅都很小, 而小区间的总长度是固定的;
单调函数可积是因为振幅的总和固定不变, 而每一个小区间的长度都很小.
综合考虑振幅和区间长度这两个因素, 可以得出: 若要函数可积,只需振幅较大 的那些小区间的总长度很小. 这可以总结为下面的结果.
Darboux 和与可积性
我们继续用 Darboux 和来研究有界函数的可积性. 对于固定的分割, Riemann 和介于 Darboux 下和与 Darboux 上和之间. 当分割的模趋于零时, 要看 Riemann 和是否收敛, 可以考察 Darboux 上和与 Darboux 下和的差, 看看它是否趋于零. 给定分割 π, 有界函数 f 在第 i 个小区间中的下确界和上确界分别记为 mi 和 Mi , 称 ωi = Mi − mi 为 f 在第 i 个小区间中的振幅.
Darboux 和与可积性
我们继续用 Darboux 和来研究有界函数的可积性. 对于固定的分割, Riemann 和介于 Darboux 下和与 Darboux 上和之间.
当分割的模趋于零时, 要看 Riemann 和是否收敛, 可以考察 Darboux 上和与 Darboux 下和的差, 看看它是否趋于零.
定理 2 (Riemann) 设 f 为 [a, b] 中的有界函数, 则 f 可积的充分必要条件是任给 ε, η > 0, 存在 [a, b] 的 某个分割 π, 使得
∆xi < ε.
{i|ωi ≥η}
Riemann 定理
证明. (必要性) 设 f 可积. 由定理 1 (4), 任给 ε, η > 0, 存在分割 π,
π
π
可知 0 ≤ infπ Sπ (f ) − supπ sπ (f ) ≤ Sπ(f ) − sπ(f ) < ε. 由 ε 的ห้องสมุดไป่ตู้意性即知 f 的上积 分与下积分相等.
可积函数类
命题 1 (1) 若 f ∈ C0[a, b], 则 f 可积; (2) 若 f 为 [a, b] 中的单调函数, 则 f 可积;
给定分割 π, 有界函数 f 在第 i 个小区间中的下确界和上确界分别记为 mi 和 Mi , 称 ωi = Mi − mi 为 f 在第 i 个小区间中的振幅.
n
Darboux 上和与 Darboux 下和的差可以表示为 ωi ∆xi , 其中 ∆xi 是第 i 个小
i =1
区间的长度.
可积的充要条件
定理,
任给
ε
>
0,
存在
δ
>
0,
当 π < δ 时, 有
n
I − ε < sπ(f ) ≤ f (ξi )∆xi ≤ Sπ(f ) < I + ε,
i =1
这说明 f 在 [a, b] 中可积, 积分为 I.
可积的充要条件
证明(续). (2) ⇐⇒ (3): 这可由 Darboux 定理及下式得到
n
问题 1 Riemann 函数的间断点有哪一些?
Riemann 函数
解. 显然, 0 ≤ R(x) ≤ 1. 任给 ε, η > 0, 当 1/q ≥ η, 即 q ≤ 1/η 时, [0, 1] 中形如 p/q 的 既约分数只有有限个. 因此满足 R(x) ≥ η 的只有有限个点. 取以这些点为中心的小 区间, 使得这些小区间互不相交, 且其总长度小于 ε. 在这些小区间以外, R(x) 的振幅 小于 η. 由 Riemann 定理即知 R(x) 可积.
定理 1 (可积的充要条件) 设 f 为 [a, b] 中的有界函数, 则以下命题等价: (1) f 在 [a, b] 中 Riemann 可积. (2) f 在 [a, b] 中的上积分和下积分相等.
n
(3) lim ωi ∆xi = 0, 其中 ωi = ωi (f ) = Mi − mi 是 f 在 [xi−1, xi ] 中的振幅.
问题 1 Riemann 函数的间断点有哪一些?
问题 2 Riemann 函数的积分等于多少?
n
n
n
ωi ∆xi =
f (xi ) − f (xi−1) ∆xi ≤
f (xi ) − f (xi−1) ε
i =1
i =1
i =1
= f (b) − f (a) ε,
由定理 1 (3) 知 f 可积.
可积的两个因素
从上面的讨论中可以看出, 连续函数可积是因为可以找分割, 使得每一个小区间 中它的振幅都很小, 而小区间的总长度是固定的;
可积函数类
命题 1
(1) 若 f ∈ C0[a, b], 则 f 可积; (2) 若 f 为 [a, b] 中的单调函数, 则 f 可积;
证明.
(1) 根据连续函数的一致连续性(Cantor 定理), 任给 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 π < δ 时 ωi < ε 均成立. 用定理 1 (3) 即知 f 可积. (2) 不妨设 f 单调递增. 任给 ε > 0, 当 π < ε 时
可积的两个因素
从上面的讨论中可以看出, 连续函数可积是因为可以找分割, 使得每一个小区间 中它的振幅都很小, 而小区间的总长度是固定的; 单调函数可积是因为振幅的总和固定不变, 而每一个小区间的长度都很小.
可积的两个因素
从上面的讨论中可以看出, 连续函数可积是因为可以找分割, 使得每一个小区间 中它的振幅都很小, 而小区间的总长度是固定的; 单调函数可积是因为振幅的总和固定不变, 而每一个小区间的长度都很小. 综合考虑振幅和区间长度这两个因素, 可以得出: 若要函数可积,只需振幅较大 的那些小区间的总长度很小. 这可以总结为下面的结果.
一元微积分与数学分析
— 可积的充要条件
梅加强
南京大学数学系
Darboux 和与可积性
我们继续用 Darboux 和来研究有界函数的可积性. 对于固定的分割, Riemann 和介于 Darboux 下和与 Darboux 上和之间.
Darboux 和与可积性
我们继续用 Darboux 和来研究有界函数的可积性. 对于固定的分割, Riemann 和介于 Darboux 下和与 Darboux 上和之间. 当分割的模趋于零时, 要看 Riemann 和是否收敛, 可以考察 Darboux 上和与 Darboux 下和的差, 看看它是否趋于零.
使得
n i =1
ωi
∆xi
<
εη.
这说明
n
η
∆xi ≤
ωi ∆xi +
ωi ∆xi = ωi ∆xi < εη.
{i|ωi ≥η}
{i|ωi ≥η}
{i|ωi <η}
i =1
(充分性) 由已知条件, 任给 ε > 0, 存在 [a, b] 的分割 π, 使得 {i|ωi≥ε} ∆xi < ε. 此时
例1 讨论 Riemann 函数 R(x) 在 [0, 1] 中的可积性, 其中
1/q, R(x) = 1,
0,
x = p/q, p < q 为互素正整数, x = 0, 1, x ∈ (0, 1) 为无理数.
Riemann 函数
解. 显然, 0 ≤ R(x) ≤ 1. 任给 ε, η > 0, 当 1/q ≥ η, 即 q ≤ 1/η 时, [0, 1] 中形如 p/q 的 既约分数只有有限个. 因此满足 R(x) ≥ η 的只有有限个点. 取以这些点为中心的小 区间, 使得这些小区间互不相交, 且其总长度小于 ε. 在这些小区间以外, R(x) 的振幅 小于 η. 由 Riemann 定理即知 R(x) 可积.