函数可积准则
合集下载
高等数学定积分可积条件
[ xk 1 , xk ] 上无界. 令
G
ik
f ( i )Δ xi ,
故必存在 k xk 1 , xk , 满足
M G f ( k ) . xk
前页 后页 返回
于是
i 1
f ( i )Δ xi
ik
f ( k )Δ xk
f ( i )Δ xi
前页 后页 返回
又任取 i [ xi 1 , xi ]\ Q, i 1, 2,
, n, 则
D(i )Δxi 0.
i 1
n
于是
n
D( i )Δxi D(i )Δxi
i 1 i 1 n i 1
n
n
1, 而这与
D( i )Δxi D(i )Δxi
S (T ) s(T ) ( M i mi )Δxi i Δxi .
i 1 i 1
n
n
此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明. 在用它 证明可积性问题时,有多种方法可使
i x i . i 1
n
前页 后页 返回
常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 第一种方法: 每个 i
M G Δ xk G M , xk
矛盾. 以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条件.
前页 后页 返回
例 1 试用反证法证明:狄利克雷函数 D( x ) 在任何
区间 [a , b] 上不可积.
证 若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则 J R, 0,
i 1
1 1 D( i )Δxi J D(i )Δxi J 1 2 2 i 1 i 1
fx可积的条件
fx可积的条件摘要：一、fx可积的定义与意义二、fx可积的条件1.连续性2.单调性3.周期性4.无穷可微性三、fx可积的判定方法1.牛顿-莱布尼茨公式2.积分换元法3.积分分部法4.三角函数积分法四、fx可积的应用领域1.数学分析2.工程数学3.概率论与数理统计4.微分方程正文：fx可积是数学中一个重要的概念，它表示在某个区间[a, b]上，函数f(x)的有界性以及该区间长度有限，使得对f(x)在该区间上的任意一点进行无穷小增量，其累加和收敛。
为了更好地理解和应用fx可积，下面我们来探讨fx可积的条件、判定方法及其应用领域。
一、fx可积的定义与意义fx可积是指在区间[a, b]上，函数f(x)满足以下条件：1.f(x)在[a, b]上连续，即任意两点间的极限存在且有限。
2.f(x)在[a, b]上单调，即函数值随着自变量的增加而增加或减少。
3.f(x)在[a, b]上周期性，即存在正数T，使得f(x+T) = f(x)。
4.f(x)在[a, b]上无穷可微，即函数的导数在区间内任意一点都存在且有限。
二、fx可积的条件1.连续性：f(x)在[a, b]上连续是fx可积的必要条件。
如果f(x)在[a, b]上不连续，那么它在该区间上就不能保证无穷小增量累加和的收敛性。
2.单调性：f(x)在[a, b]上单调有助于判断fx可积。
如果f(x)在[a, b]上单调增加（或减少），那么根据积分基本定理，fx可积。
3.周期性：f(x)在[a, b]上具有周期性，有助于简化积分的计算。
例如，当f(x) = |sin x|时，由于sin(x + 2π) = sin x，我们可以将区间[0, 2π]划分为无穷多个周期，从而简化积分计算。
4.无穷可微性：f(x)在[a, b]上无穷可微是fx可积的充分条件。
如果f(x)在[a, b]上无穷可微，那么根据牛顿-莱布尼茨公式，fx可积。
三、fx可积的判定方法1.牛顿-莱布尼茨公式：如果f(x)在[a, b]上连续、可导，且F(x)是f(x)在[a,b]上的原函数，那么f(x)在[a, b]上fx可积，且积分值为F(b) - F(a)。
可积准则(一)
lim s(T ) I ,
由于 i [ xi 1 , xi ], s (T )
f ( )x
i 1 i
n
i
s(T )
0 , 0 , T : l (T ) , i ,
有
I s(T ) f (i )xi s(T ) I .
s(T ) s(T ).
同理可证s(T ) s(T ) 。
高州师范学院
§8.2 可积准则
T 性质4和。
即 s(T ) s(T ), s(T ) s(T ).
T 了 证： 将[a, b]的两个分法 和T 的分点放在一起，构成 [a, b]的一个
n
证： mi inf{ f ( x) | x [ xi 1, xi ]},
由定义，
0, i [ xi 1 , xi ],有 mi f (i ) mi
n n n
mi xi f (i )xi mi xi xi
mi xi f (i )xi mi xi xi
性质6、（达布定理）
l (T ) 0
lim s(T ) L,
l (T ) 0
lim s(T ) l.
高州师范学院
§8.2 可积准则
二、可积准则
定理1 ( 可积准则 ) 函数 f (x) 在 [a, b] 可积 在 [a, b] 的上下积分相等，即 L l .
设 证 (必要性)“” f 在 [a , b] 上可积, 设
§8.2 可积准则
一、大和与小和 （达布上和与达布下和）
设f x 在 a , b 有界，在 a , b 插入分点 a x0 x1 xn1 xn b
函数可积的充要条件
函数可积的充要条件
函数可积，也称可积函数，是指表达式中存在两个变量u和v，函数f(u,v)满足以下充要条件中任何一个即可：
1、函数f(u,v)在定义域上偏导数(dx/du, dy/dv)都存在及连续；
2、某偏微分方程存在当然的解；
3、当 u 和 v 的变化量都很小时，函数f(u,v)的值等于它的偏导数乘以各自的变化量；
4、函数f(u,v)满足交换律f(u,v) = f(v,u)。
可积函数在实际应用中非常重要，它是解决光滑面积问题的基础，因此非常重要。
可积函数在计算数学、物理学、工程学等多个领域都得到应用。
例如，假设某一蓝图上有两个坐标轴给出的区域，从中可以得到这个区域的总面积，这就是可积函数的应用。
此外，可积函数也可以用来计算物理定律中一些复杂的数学关系，如电容、磁感应等。
总之，可积函数对许多科学领域起着重要的作用，其充要条件是函数f(u,v)在定义域上偏导数(dx/du, dy/dv)都存在及连续；某偏微分方程存在当然的解；当 u 和 v 的变化量都很小时，函数f(u,v)的值等于它的偏导数乘以各自的变化量；函数f(u,v)满足交换律f(u,v) = f(v,u)。
因此，对可积函数的理解和研究对深入了解物理定律、解决问题以及用数学表达的问题都至关重要。
可积准则
从而积分和具有复杂性，因此讨论积分和的极限是 极其困难的.为此，我们需要简化积分和，用分法T的 “最大”与“最小”的两个积分和去逼近一般的积分 和,即用极限的两边夹定理考察积分和有极限.首先给 出对掌握积分和变化非常有用的大和与小和的概念， 并讨论其性质。于是，讨论复杂的积分和的极限问题， 就归结为讨论比较简单的小和与大和的极限问题.
显然，对于[a,b]的同一分法T的小和与大和，总有不等式
s(T ) S(T )
因为，分法T确定后，相应区间上的上下确界也确定,且
m M
k
k
s(T ) S(T ) n
m x
k
k
k 1
n
M x
k
k
k 1
达布简介
达布（1842～1917） Darboux，Jean-Gaston 法国数学家。
小和、大和，积分和，区别
n
n
n
s(T ) mkxk S(T )
M k xk
(T , )
i 1
f ( )x
i
i
k 1
k 1
与积分和相比，达布和只与分割 T 有关，而与点
i 的取法无关.
这是因为当分法 T 给定后， 函数 f(x)在每个小区间的下确界和上确界是唯一 的，从而小和与大和也就随分法 T 确定. 这是小和，大和与积分和的主要区别.
n
n
n
a b c 且lim a limc l
n
n
n
n
n
n
n
则limb l
n
n
定理7 (函数的两边夹定理)P107
若x
0
U
(a), 有f
(x)
g(x)
一可积的必要条件
1RxdxlimS0
0
0
2021/6/16
16
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
a
f(x)dx
2021/6/16
其中： Mi sup{f(x):xi1xxi} mi inf{f(x):xi1xxi} 8
Riemann可积的第二充要条
件
其中：
Mi sup{f (x): xi1 x xi} mi inf{f (x): xi1 x xi}
i Mi mi
f(x)在[ax,i-b1 ]x上i Riemann可积
n
0,分 割 T ， 使 得 i xi i1
2021/6/16
9
Riemann可积的第三充要条件
n
ixi ixi ixi
i1
i
i
([a,b],f)xixi
xi-1 xi
i
i
注：连续函数、只
有有限个间断点的
( a , b [ ]f) , ( b a ) 有界函数和闭区间
其 中 ( [ a ,b ] ,f) 为 f在 [ a ,b ] 上 的 振 幅 上的单调函数
f(x)在[a,b]上Riemann可积
Riemann可积
， 0,分T 划 ，使得所 i有 振幅
的小 区 i的间 总长度 不超过
2021/6/16
10
三、可积函数类
1 . a , b 上 的 连 续 函 数 在 a , b 上 可 积 . 证 明 :设 fx 在 a ,b 上 连 续 ， fx 在 a ,b 上 一 致 连 续 ，
所 以 对 任 意 的 0 ， 0 , 使 对 于
a,b上 任 意 两 点 x',x'',只 要 x'x''， 就 有 fx'fx''
可积准则1
0
T
T
二、可积准则(可积的充要条件)
• 根据定积分的定义，函数f(x)在区间[a,b]是否可
积，就在于积分和 有限极限
n
i 1
f
( )x (
i
i
0)
是否存在
• 根据大小和性质，对于[a,b]的任意分法T，总有
s(T )
n
f (k )xk
S(T )
k 1
• 于是，讨论复杂的积分和的极限问题就归结为讨
即I 0 I ，设I I 0 I ,从而有
0
0
s(T ) I S(T ) (2)
又已知 s(T )
n
f (k )xk
S(T )
(3)
k 1
n
|
f
( )x
i
i
I
|
S (T
)
s(T
)
即f (x)在[a,b]可积
i 1
Riemann可积的充要条件
xi-1 xi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
s(T )
n
f (k )xk S (T )
k 1
定义 设E是非空数集，若 R 且
1)x E,有 x;
2) 0,x E,有x .
0
0
( x ) 0
则称是数集E的 下确界，记为
inf E.
1)表明是数集E的下界； 2)表明大于的任意数 都不是E的下界. E的下确界是数集E的最大的下界.
s(T ) s(T '') 与 S(T '') S(T ')
[S (T ' ' ) S (T )与s(T ' ) s(T ")]
数学分析8.2 可积准则详解(二)
§8.2 可积准则
由 于 f ( x ) 在 [ a , b − δ ′] 上 连 续 , 由 定 理 2 知 ， f ( x )在 [ a , b − δ ′ ]
可 积 ， 即对 [a , b − δ ′]的 任 一 分法 T ′
T ′ : a = x0 < x1 < ... < xn−1 = b − δ ′, b −δ ′ ε ′) ∑ ω i ∆x i < 有 (T 2 a
设 f ( x ) 在 [ b − δ ′ , b ] 上 的 振 幅 为 ω ′ , 上 下 确 界 为 M ′, m ′ , 则
M ′ ≤ M , m′ ≥ m .
于是， 于是，
高州师范学院
ω ′δ ′ = ( M ′ − m′)δ ′ < ( M − m) ⋅
= . 2( M − m) 2
ε
ε
i =1 i =1 n i =1
∑ ωi ∆ xi ≤ l (T ) ⋅ ∑ ωi = [ f (b) − f (a )]l (T )
i =1
高州师范学院
l (T ) < 因此,
n n
ε
f (b) − f (a )
=δ , 则
∑ ωi ∆ xi ≤ l (T ) ⋅ ∑ ωi
i =1
n i =1
n
则 当 l (T ) <
n
ε
M
时,
∑ ω i ∆ x i ≤ l (T ) ∑ ω i <
i =1
ε
M
M =ε.
例 如 , f 在 [ a , b ] 上 单 调 时 ,便 属 于 这 种 情 形 。
高州师范学院
§8.2 可积准则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用上述结论，按照本节通常记号，当
Mi
mi
b
a
,
i=1,2, ,n
第二节 函数可积准则/可积函数类
那么
0 ST
sT
n
(Mi
i1
mi )xi
ba
n
xi
i1
因此lim0(STFra bibliotek sT ) 0
故由推论7.1知可积.
注记：由此定理知初等函数在其定义域内闭区间 上是可积分的； 特别的，多项式 f (x) xn 是可积的.
定理7.4 设函数 f (x) C[a, b] ，则 f (x) 在 [a,b]上可积.
f (x) C[a, b] f (x) [a,b]
0, 0,当x, x[a, b，] 且 | x x | 时
| f (x) f (x) |
ba
mi1axn {xi}
将 [a,b]分为 n个小区间 [xi1, xi ]，令
Mi sup f (x) | x [xi1, xi ]
mi inf f (x) | x [xi1, xi ]
n
Darboux大和 ST Mixi
i1
Darboux小和
n
sT mixi
i1
第二节 函数可积准则/判别定理
第二节 函数可积准则/可积函数类
类似于定理7.4的证明，可得
定理7.5 具有有限个间断点的有界函数是可积的.
注记. 改变连续函数有限个点的函数值后，函 数依然可积.
如图，改变函数的 有限个点的值，与 坐标轴围成面积不 变.
第二节 函数可积准则/可积函数类
定理7.6 区间 [a, b]上的单调有界函数在 [a, b]上 可积．
a
f (x)dx
第二节 函数可积准则/判别定理
可积分充要条件
定理 7.3 函数 f (x)在 [a,b]上可积当且仅当
b
b
a f (x)dx a f (x)dx
若 f (x)可积，则
b
b
b
a f (x)dx a f (x)dx a f (x)dx
第二节 函数可积准则/判别定理
时
b
b
a f (x)dx sT T ST a f (x)dx
由上、下积分相等有 lim0T 存在，故 f (x) 可积.
第二节 函数可积准则/判别定理
推论 7.1 函数 f (x)可积的充要条件为
lim0(ST sT ) 0.
令 i Mi mi (1 i n)，称i 为 f (x) 在 [xi1, xi ]
“必要性” , ,对任意分割T ,i [xi1, xi ],当 时
n
I f (i )xi i1
设 Mi sup f (x) | x [xi1, xi ],mi inf f (x) | x [xi1, xi ]
则存在 i, i[xi1, xi ] 使得
b
b
a f (x)dx a f (x)dx
第二节 函数可积准则/判别定理
上下积分与DARBOUX和进一步关系
定理7.2 设 f (x)为区间I上有界函数，区
间I分割为n个小区间, 令 mi1axn {xi}， 则
b
lim
0
sT
a
f (x)dx
b
lim
0
ST
注记：有界仅仅是可积的必要条件，不是 充分条件。例如Dirichlet函数有界，但是 不可积。
第二节 函数可积准则/判别定理
例子
例1 f (x) x2 在[0,2]上可积.
对 [0,2]作分割T，将其分为n个区间[xi1, xi ] i 为此
小区间上的振幅. 由于0 f '(x) 4， 故
|i|=sup | f (1) f (2) | 4 | xi | i=1,2, ,n
那么
n
lim(
0
ST
sT )
lim
0
i1
ixi
0
由推论7.1 知可积.
第二节 函数可积准则/可积函数类
可积函数类
分段连续函数 连续函数 单调有界函数
第二节 函数可积准则/可积函数类
b
f (x)dx
a
n
mixi
n
f (i)xi I
i1
i1
结合以上两式可得
b
b
I a f (x)dx 2 a f (x)dx 2 I 4
由
任意性，得
b
b
a f (x)dx a f (x)dx
“ 充分性“ 由定理7.2知 mi1axn {xi}
上的振幅.
显然 i sup | f (x) f (x) | x, x [xi1, xi ]
推论7.1的条件还等价于
n
lim
0
i1
ixi
0
第二节 函数可积准则/判别定理
一个必要条件
定理7.1 若 f (x) 在 [a,b]上可积，则 f (x) 有界. 证明 （略）。
第七章 定积分
第二节 函数可积准则
可积函数的判别定理 可积函数类
第二节 函数可积准则
可积函数的判别定理
Darboux和 充分必要条件 一个必要条件 例子
第二节 函数可积准则/判别定理
DARBOUX和
设函数 f (x) 在区间 [a,b上] 有界，分割 T
a x0 x1 xn b
DARBOUX和的性质
分划加细，大和 ，小和
总有 sT ST
第二节 函数可积准则/判别定理
上下积分
因 f (x)有界，因此 sT有上界， ST
有下界，令
L inf{ST } l sup{sT }
则
sT l L ST
下积分 b f (x)dx ：l a
上积分 b f (x)dx ：L a
证明. 若 f (x) 单调增加，即 f (a) f (x) f (b， ) x [a,b].
f
(i)
M
i
b
a
,
f
(i)
mi
b
a
(i 1,2,
, n)
取 i i ，可得
b
n
n
f (x)dx
a
Mixi
f (i)xi I
i1
i1
第二节 函数可积准则/判别定理
另一方面，若取 i i ，则