直线与方程PPT课件

并指出倾斜角 α 的取值范围．
[解] 当 m＝1 时，直线的斜率不存在，此时直线的 倾斜角为 α＝90°.
当 m≠1 时，由斜率公式可得 k＝m3－－21＝m－1 1.
① 当 m＞1 时，k＝m－1 1＞0，所以直线的倾斜角的
取值范围是 0°＜α＜90°.
② 当 m＜1 时，k＝m－1 1＜0，所以直线的倾斜角的
[解] 由题意知，直线l的斜率存在．设直线为y＋4＝ k(x＋5)，交x轴于点(4k－5，0)，交y轴于点(0，5k－4)，
S＝12×|4k－5|×|5k－4|＝5， 得25k2－30k＋16＝0(无实根)，或25k2－50k＋16＝0， 解得k＝25，或k＝85， 所以所求直线l的方程为2x－5y－10＝0， 或8x－5y＋20＝0.
取值范围是 90°＜α＜180°.
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题型一 直线的倾斜角和斜率
【例2】求直线xcosα+ 3y +2=0的倾斜角的取值范围。
分析 先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围.
解 因为直线xcosα + 3y +2=0,
所以直线的斜率为k=
cosα
.
设直线的倾斜角为β
3
,则tan
β
=
cosα
.
a1
∴a=0,方程即为x+y+2=0.
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[点评] 求直线方程的方法及方程形式的选择 (1)待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法． (2)方程形式的选择； 已知一点通常选择点斜式（要考查斜率不存在的情况）； 已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截 距式或两点式．
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3
又因为
3 cosα
3
3
3 3
,即

3 3

tan
β
3 3
所以 β 0，π6 56π，π .
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典例分析
题型一直线的倾斜角和斜率
【例2】求直线xcosα+ 3y+2=0的倾斜角的取值范围。
求倾斜角范围的步骤是： （1）求出斜率的取值范围； （2）利用正切函数的单调性，结合图象，确定倾
【例3】求下列直线l的方程.
3
(1)过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是 ;
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(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1：3x+4y+10=0的 倾斜角的一半。
分析 由已知条件求出直线的斜率，然后用适当形式
写出直线的方程.
3
解
（1）设∴直ta线nα即l的=3±x倾-344斜y,+角∴8=为l0的或α 方3,x则程+4s为yi-ny8α==±=0.354
y y1 y2 y1

x x1 x2 x1
不含与x轴垂直的直线x=x1和与 y轴垂直的直线y=y1
x a

y b

1
不含与坐标轴垂直和过原点的 直线
Ax+By+C= 0
(A2+B2≠0)
平面直角坐标系内的任意一条 直线都适用
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典例分析
题型一 直线的倾斜角和斜率
[例 1] 求经过 A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，
2
(2)直线的斜率
②已知两点P（x1,y1）,Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么
直线PQ的斜率为 k

y2 x2

y1 x1
(x1

x2 )
③斜率图象：
k

2
o

3
名称 点斜式 斜截式
两点式 截距式
一般式
方程
适用范围
y-y1=k(x-x1) 不含与x轴垂直的直线（x=x1） y=kx+b 不含垂直于x轴的直线
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基础梳理
1. 直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角 ①定义：直线向上的方向与x轴正方向所成的角,叫 做直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定 它的倾斜角为00. ②倾斜角的范围为0°≤α <1800
(2)直线的斜率 ①当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜
角α之间满足 k=tanα(α≠.900)
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举一反三
2．已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1， 且过点(6，－2)，求直线l的方程．
解：设直线l在y轴上的截距为b，则其在x轴上的 截距为b＋1，设其方程为b＋x 1＋by＝1. 由于直线l过点(6，－2)， 所以b＋6 1＋－b2＝1，b＝1或b＝2. 所以直线l的方程为x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0.
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举一反三
3. 设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
解析： (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上 的截距为零，当然相等，∴a=2,方程即为3x+y=0； 当直线不过原点时，∵截距存在且均不为0， ∴ a2 =a-2,即a+1=1,
, x+2,
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题型二 求直线的方程
【例3】求下列直线l的方程.
(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1：3x+4y+10=0的
倾斜角的一半。
解(2)设直线l和l1的倾斜角分别为α 、β ，则有α 又tanβ =- 3 ,∴tanβ =tan2α = 2tan α =- 3 ,
=
β 2
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解得tanα =3或tanα =
斜角的取值范围。
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举一反三
1. 直线xcosθ +y-1=0(θ ∈R)的倾斜角的取值范围是 解析: 设倾斜角为α,则k=tanα=-cosθ.
∵θ∈R,-1≤-cos θ≤1, 即 -1≤tan α≤1, ∴α∈ 0，π4 34π，π
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2020/1/1
题型二 求直线的方程
∵ π ＜β ＜π ,∴ π＜α
1.
3 =
β＜
1-tan 2α 4 π,∴tanα ＞0.
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4
22
∴tanα
=
1 3
舍去，∴tanα =3.
由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.
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题型二 求直线的方程
[例 4] 过点 A(－5，－4)作一直线 l，使它与两坐标轴相 交且与两轴所围成的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程．