直线与方程总结
直线系方程知识点总结
直线系方程知识点总结一、直线的一般方程1、直线的一般方程形式为Ax+By+C=0。
其中A、B和C是常数，A和B不能都为0。
2、直线的一般方程可以表示为两个变量的线性关系，即直线上的任意一点（x，y）都满足方程Ax+By+C=0。
3、直线方程的一般形式中的A、B和C可以根据直线的性质进行设定和求解。
例如，A 和B的比值确定了直线的斜率，而C的取值可以确定直线与坐标轴的交点。
4、直线的一般方程适用于解决直线的各种性质和问题，如求直线的斜率、与坐标轴的交点、过定点的直线方程等。
二、直线的斜截式方程1、直线的斜截式方程形式为y=kx+b。
其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
2、直线的斜截式方程是表示直线的一种简化形式，通过斜率和截距可以直观地了解直线在平面上的位置和特征。
3、直线的斜截式方程可以直接通过直线的斜率和截距求解，对于一些特定的问题，可以更加方便地使用斜截式方程。
4、直线的斜截式方程和一般方程可以相互转化，通过斜截式方程可以求解直线的一般方程，反之也可以通过直线的一般方程求解斜截式方程。
三、直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程形式为y-y1=k(x-x1)。
其中（x1，y1）是直线上的一个定点，k是直线的斜率。
2、直线的点斜式方程适用于已知直线上的一个定点和斜率的情况。
通过点斜式方程即可得到直线的方程。
3、直线的点斜式方程和斜截式方程可以相互转化，通过点斜式方程也可以求解直线的斜截式方程，反之也可以通过斜截式方程求解点斜式方程。
四、直线的截距式方程1、直线的截距式方程形式为x/a + y/b = 1。
其中a和b是直线在x轴和y轴上的截距。
2、直线的截距式方程是表示直线的一种特殊形式，通过截距可以直观地了解直线与坐标轴的交点。
3、直线的截距式方程可以直接通过直线在坐标轴上的截距求解，对于特定的问题可以更加方便地使用截距式方程。
4、直线的截距式方程和一般方程可以相互转化，通过截距式方程可以求解直线的一般方程，反之也可以通过直线的一般方程求解截距式方程。
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结直线作为几何中最基本的图形之一，其方程的相关知识在数学中具有重要地位。
以下将对直线与方程的知识点进行详细总结。
一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角直线与 x 轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角。
倾斜角的取值范围是0, π)。
当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0；当直线垂直于 x 轴时，倾斜角为π/2 。
2、斜率直线的斜率是倾斜角的正切值，常用 k 表示。
若直线的倾斜角为α（α≠π/2），则斜率 k ＝tanα。
对于两点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)，则直线 P₁P₂的斜率 k ＝（y₂ y₁)／（x₂ x₁)（x₁≠x₂）。
斜率反映了直线的倾斜程度，斜率越大，直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓；斜率为正，直线上升；斜率为负，直线下降；斜率为 0，直线水平。
二、直线的方程1、点斜式若直线过点 P(x₀, y₀)，且斜率为 k，则直线方程为 y y₀＝ k(xx₀) 。
2、斜截式若直线斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，则直线方程为 y ＝ kx ＋ b 。
3、两点式若直线过两点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)（x₁≠x₂，y₁≠y₂），则直线方程为（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁) 。
4、截距式若直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b（a≠0，b≠0），则直线方程为 x/a ＋ y/b ＝ 1 。
5、一般式Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0），这是直线方程的一般形式。
三、两条直线的位置关系1、平行两条直线斜率都不存在时，两直线平行；两条直线斜率都存在时，若斜率相等，截距不相等，则两直线平行。
2、垂直两条直线斜率都存在时，若斜率之积为－1，则两直线垂直；一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。
四、点到直线的距离点 P(x₀, y₀)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
直线与方程知识点及公式
直线与方程知识点及公式
一、直线知识点
1、定义
在平面直角坐标系中，两点间的连线称为直线（一般用符号l表示）。
2、直线的几何性质
（1）直线总是由两个点确定，可用两点式表示，如：l：(x1，y1)，(x2，y2)；
（2）直线总是由斜率和一个点确定，可用斜率-截距法表示，如：l: y = kx + b；
（3）直线总是由一条投影方程确定，可用平面投影法表示，如：
l:Ax+By+C=0；
（4）直线总是由一个点和法向量确定，可用向量方程表示，如：
l:(x-x0，y-y0)⊥(a，b)。
3、直线的运算
（1）两直线的交点：
若两条直线l1和l2的斜率不同，则这两条直线一定有交点（即使以
斜率-截距法表示的两条直线的斜率相同但截距不同，仍有交点），设其
交点为O，则有：
l1：y=k1x+b1；
l2：y=k2x+b2；
O(x0，y0)，则有：
x0=(b2-b1)/(k1-k2)，y0=k1x0+b1；
若两条直线l1和l2的斜率相同，则这两条直线要么重合，要么平行（即使以斜率-截距法表示的两条直线的截距相同但斜率不同，仍有平行），则没有交点；
（2）直线的平行和垂直
若两条直线的斜率分别为k1和k2，则：
两直线平行当且仅当k1=k2；。
直线与方程知识点归纳
直线与方程知识点归纳直线与方程是高中数学中的一个重要内容，既是代数学又是几何学的一部分。
直线是平面几何的基本概念，而方程是数学中的基本工具。
在直线与方程的学习中，我们需要掌握直线的性质、方程的基本概念及解法，以及直线与方程之间的相互关系。
下面将详细介绍这些知识点。
一、直线的性质1.直线的定义：直线是由一点和一个方向确定的无限延伸的图形。
2.直线的特点：直线上的任意两点都可以确定这条直线；直线上的任意两点可以确定直线上的向量，该向量表示了直线的方向。
3.直线与坐标系：平面直角坐标系中，直线可以用方程来表示，方程形式多样，包括一般式、点斜式、斜截式和截距式等。
4.直线的倾斜性：斜率是刻画直线倾斜程度的重要指标，表示直线上一点到另一点的纵向距离与横向距离之比，不同的斜率代表不同的倾斜情况。
5.直线的截距：截距是直线与坐标轴的交点距离原点的距离，直线与x轴相交的点称为x截距，与y轴相交的点称为y截距。
二、方程的基本概念及解法1.方程的定义：方程是已知数与未知数之间相等关系的陈述，它包含了等号、数和运算符号。
2.方程的分类：方程可分为代数方程和几何方程。
代数方程是指包含有变量的代数式，并且通过变量能满足等号关系；几何方程是指与几何概念有关的方程。
3. 一元一次方程的解法：对于形如ax+b=0的方程，可以利用加法、减法、乘法、除法等基本运算，将未知数从方程中分离出来，从而求得方程的解。
4. 二次方程的解法：对于形如ax^2+bx+c=0的方程，可以利用求根公式和配方法等解法，求得方程的解。
5.系数与根的关系：通过分析方程的系数与方程根之间的关系，可以确定方程的特征，包括判别式和根与系数之间的关系等。
6.方程的实根与虚根：根据判别式的值，可以判断方程的根是实数还是虚数，并进一步获取方程的解集。
7.方程的应用：方程是数学在现实问题中的重要应用工具，在物理、经济、工程等领域中都有广泛的应用。
三、直线与方程的相互关系2.直线方程的求法：通过已知直线上的两个点可以得到直线的斜率，从而得到直线的方程。
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率①两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -=≠-②斜率的范围：k R ∈ (2)直线的倾斜角范围：)0,180⎡⎣（3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。
2、直线方程(1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：1112122121(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：1x ya b+=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） （6）特殊直线方程①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx =在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+①平行：12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠） ②重合：12k k =且12b b = ③相交：12k k ≠特别地，垂直：121k k =-（2）11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++= ①平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠（验证） ②重合：1221A B A B =且1221A C A C = ③相交：1221A B A B ≠特别地，垂直：12120A A B B +=（3）与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为：0Ax By m ++=与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：0Bx Ay n -+= 4、其他公式（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x y B x y，则AB =（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 中点的坐标为1212(,)22x x y y ++ （3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心坐标公式为：123123(,)33x x x y y y ++++ （4）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式：d =（5）两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠间的距离：d =（用此公式前要将两直线中,x y 的系数统一）（6）点A 关于点P 的对称点B 的求法：点P 为,A B 中点（7）点A 关于直线l 的对称点B 的求法：利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上，列出方程组，求出点B 的坐标。
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结一、直线的表示1、比例表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线上任意的一点P(x,y)都满足比例关系：$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$2、斜截式：也叫斜率表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线可用如下斜率表达式：$$y-y_1=k(x-x_1)$$其中，k为斜率，可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$3、标准方程：直线可以用标准方程表达：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$A=y_2-y_1,B=x_1-x_2,C=x_2y_1-x_1y_2$$二、方程的表示1、一元一次方程：一元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+B=0$$其中，A、B为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=-\frac{B}{A}$$2、一元二次方程：一元二次方程可以按如下形式表示：$$Ax^2+Bx+C=0$$其中，A、B、C为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$3、二元一次方程：二元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C为常数，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$$$y=\frac{-A\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2B}$$4、同次及非同次线性方程组：。
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【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 【知识点三：直线的方程】 名称 方程的形式 已知条件 局限性①点斜式11()y y k x x -=-11(,)x y 为直线上一定点， k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线②斜截式 y kx b =+ k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线知能梳理问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式； 利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
直线方程归纳
直线与方程知识点 一 、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 0,900≥︒≤︒k πα； 0,18090πππk ︒︒α （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。
②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠）③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
（3）直线的倾斜角与斜率关系(4)、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
Eg:比较图1的斜率大小练习1 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。
A. －6 B. －7 C. －8 D. －92. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有() A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 13已知两点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围 为 (A) A 443-≤≥k k 或 B -443≤≤k C 443≤≤k D -443≤≤k 二 、两条直线平行与垂直的判定直线如果是点斜式 （1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。
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设正方形相邻两边方程为 x＋3y＋m＝0 和 3x－y＋n＝0.
∵正方形中心到各边距离相等，
∴|－1＋m|＝ 3 和|－3＋n|＝ 3 ，
10
10
10
10
∴m＝4 或 m＝－2(舍)，或 n＝6 或 n＝0.
∴其他三边方程为 x＋3y＋4＝0，
3x－y＝0,3x－y＋6＝0.
方法点评： 本题求正方形的中心是解题的切入点，然后设出正方形边所在 直线方程，利用中心到每一边的距离相等确定待定系数进而求得方 程．
直线与方程总结
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要点归纳
1．详析直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜 程度，但倾斜角 α 是角度(α∈[0°，180°))，是倾斜程度的直接体现； 斜率 k 是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映．在解题 的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便．
方法点评： (1)直线 l 过点 M，斜率变化时，可以理解为直线 l 绕定点 M 旋转，使直线 l 与线段 AB 的公共点 P 从端点 A 运动到端点 B，直 线 l 的倾斜角就由最小值 α1 变到最大值 α2.这是数形结合的思想方 法． (2)当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾 斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜 率也越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角不 确定是锐角或钝角时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不 一定随倾斜角的增大而增大．
(2)轴对称 ①两点关于直线对称，设 P1，P2 关于直线 l 对称，则直线 P1P2 与 l 垂直，且线段 P1P2 的中点在 l 上，这类问题的关键是由“垂直” 和“平分”列方程．
②两直线关于直线对称，设 l1，l2 关于直线 l 对称． 当三条直线 l1，l2，l 共点时，l 上任意一点到 l1，l2 的距离相 等，并且 l1，l2 中一条直线上任意一点关于 l 对称的点在另外一条 直线上；
(2)平行于已知直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是：Ax＋By ＋λ＝0(λ 是参数，λ≠C)；
(3)垂直于已知直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是：Bx－Ay ＋λ＝0(λ 是参数)；
(4)过两条已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0 的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ 是参数，当 λ＝0 时，方程变为 A1x＋B1y＋C1＝0，恰好表示直线 l1； 当 λ≠0 时，方程表示过直线 l1 和 l2 的交点，但不含直线 l1 和 l2 的 任一条直线)．
【例 1】 过点 M(0，－3)的直线 l 与以点 A(3,0)，B(－4,1)为端点的线段 AB 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围及倾斜角的范围．
解：如图所示
(1)直线 l 过点 A(3,0)时，即为直线 MA，倾斜角 α1 为最小值， 所以 tan α1＝0－3－－03＝1，即 α1＝45°.
6．“对称”问题的解题策略 对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称．
(1)中心对称 ①两点关于点对称，设 P1(x1，y1)，P(a，b)，则 P1(x1，y1)关 于 P(a，b)对称的点为 P2(2a－x1,2b－y1)，即 P 为线段 P1P2 的中点．特 别地，P(x，y)关于原点对称的点为 P′(－x，－y)． ②两直线关于点对称，设直线 l1，l2 关于点 P 对称，这时其中 一条直线上任一点关于点 P 对称的点在另一条直线上，并且 l1∥l2， P 到 l1，l2 的距离相等．
2．直线方程的五种形式及比较
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和 斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直 的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽 然可以表示任何直线，但要注意 A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况 进行讨论．
3.深入理解两直线的平行与垂直
法二：设直线 l 的方程为ax＋by＝1，则直线的斜率 k＝－ba.因为 l 与直线 y＝43x＋53垂直，所以 k＝－ba＝－34，即ba＝34.又因为与坐标 轴围成三角形的面积为 24，所以12|ab|＝24，即|ab|＝48，所以 a＝8， b＝6 或 a＝－8，b＝－6.所以直线 l 的方程为8x＋6y＝1 或－x8＋－y6＝ 1，即 3x＋4y－24＝0 或 3x＋4y＋24＝0.
方法点评：
所给直线方程是一般式，且直线斜率可能不存在时，利用 l1 ⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0 和 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1≠0 来判定两条直线是否垂直或平行，比用斜率来判定更简便，它不需
要讨论斜率不存在的情况．
专题四 交点、距离问题 求直线的交点坐标，计算点与点、点与线之间的距离，多数不 单独命题，通常与直线方程、直线的位置关系一起考查，要做到熟 记公式、准确计算．交点、距离问题中以直线过定点问题和对称问 题最有代表性．
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设 P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)，若 P 关于 l 的对称点 Q 的坐标为(x，y)，则 l 是 PQ 的垂直平分线，即①PQ⊥l；②PQ 的中点在 l 上．
解方程组Ayx－ －·x＋yx200·x0－＋ABB＝ ·y＋－2 y10＋，C＝0，
客运从业资格证考试 /keyun/ 道路旅客运输从业资格证考试 货运从业资格证考试 /huoyun/ 道路货物运输从业资格证 出租汽车从业资格证考试 /czc/ 出租车驾驶员理论考试
4．直击距离问题
可得 Q 点的坐标．
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线对
称．
【例 5】 已知 A(4,1)，B(0,4)两点，在直线 l：3x－y－1＝0 上找一点 M， 使得||MA|－|MB||的值最大，并求此时点 M 的坐标及最大值．
解：
设 B(0,4)关于直线 l：3x－y－1＝0 的对称点为 B′(x0，y0)，则
方法点评：由条件易求得 l 的斜率，设 l 的截距为 b，利用三 角形面积列出方程，解出 b 的值即可．另外，若从三角形面积的表 达式上考虑，也可设直线的截距式来解．
专题三 直线的位置关系 两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种，主要考查两条 直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的 位置关系，解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断， 可以避免讨论斜率不存在的情况．
由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件 的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数 关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程．
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(2)倾斜角与斜率的对应关系：当 α＝90°时，直线的斜率不存 在；当 α≠90°时，斜率 k＝tanα，且经过两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2) 的直线的斜率 kAB＝xy22－－xy11.
(3)当 α 由 0°→90°→180°(不含 180°)变化时，k 由 0(含 0)逐渐 增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到 0(不含 0)．
学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意 义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．
5．妙用直线系方程 直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有 某一共同性质的直线系表示成一个含参数的方程，然后根据直线所 满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程．直线系方程 的常见类型有： (1)过定点 P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k 是参数， 直线系中未包括直线 x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方 程；
【例 3】 a 为何值时， (1)直线 x＋2ay－1＝0 与直线(3a－1)x－ay－1＝0 平行？ (2)直线 ax＋(1－a)y＝3 与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2 互相垂 直？
【解析】 (1)由题意有 1×(－a)－2a(3a－1)＝0 且 1×(－1)－(3a－ 1)×(－1)≠0，即 a＝0 或 a＝16.故所求 a 的值为 0 或16. (2)由题意有 a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即 a＝1 或 a＝－3. 故所求 a 的值为 1 或－3.
专题二 求直线方程 直线的方程有五种形式，在求直线方程时要选择恰当的形式， 其中以点斜式、斜截式最为常用，通常采用待定系数法求直线的方 程．
【例 2】 求与直线 y＝43x＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三 角形的面积为 24 的直线 l 的方程．
解：
法一：由直线 l 与直线 y＝43x＋53垂直，可设直线方程为 y＝－ 34x＋b，则直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 x0＝43b，y0＝b.又因 为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，所以 S＝12|x0||y0|＝ 24，即1243b|b|＝24，b2＝36，解得 b＝6 或 b＝－6，故所求的直线 方程为 y＝－34x＋6 或 y＝－34x－6，即 3x＋4y－24＝0 或 3x＋4y＋ 24＝0.
【例 4】 已知正方形的中心为直线 x－y＋1＝0 和 2x＋y＋2＝ 0 的交点，正方形一边所在直线方程为 x＋3y－2＝0，求其他三边 方程．
解：
由x2－x＋y＋y＋1＝2＝0，0， 得xy＝ ＝－ 0，1， ∴中心坐标为(－1,0)．
∴中心到已知边的距离为|－112＋－322|＝
3， 10
yx300·x－ －0＋240＝0－－y310，＋2 4－1＝0，
解得xy00＝＝33，， 所以 B′(3,3)．
设 M′为直线 l：3x－y－1＝0 上任意一点，则||M′A|－|M′B||
当 l1∥l2∥l 时，l1 与 l 间的距离等于 l2 与 l 间的距离．