算法与复杂性-第1讲 概述
算法分析和计算复杂性分析
算法分析与评估1.概述在查找引擎优化范畴里边有一个疑问常常让人感受捉摸不透，到底是什么样的排序要素结尾决定了网页的排名。
而每个查找引擎公司都将其的查找引擎算法维护的极端严密，只有很少很少的一些的公司能有时机看到这些算法的全貌。
并且就算是有时机看到这些算法的真实容貌，要想领悟到话，还得具有深沉的数学功底。
这使得对查找引擎优化整个概念的晓得变得很艰难。
同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。
一个算法得出一个解，那么这个解是最优解还是可行解？如果是可行解，与最优解的偏差有多大？对于算法的效果，存在两种评价方法——证明方法和仿真分析方法。
证明方法是指利用数学方法对于算法进行评估，证明它的解的类型。
仿真分析方法是指产生或选取大量的、具有代表性的问题实例，利用该算法对这些问题实例进行求解，并对算法产生的结果进行统计分析。
例如对于TSP问题贪心算法的模拟与分析，关于贪心算法的正确性，直观上只需检查算法的输出结果中，每个城市出现且只出现一次，该结果即是TSP问题的可行解，说明算法正确的求解了这些问题。
关于它的效果，如果实例的最优解一直（问题规模小或问题已被成功求解），利用统计方法对若干问题实例的算法结果与最优解进行对比分析，即可对其进行效果评价。
而对于较大规模的问题实例，其最优解往往是未知的，因此，算法的效果评价只能借助于与前人算法的结果的比较。
2.复杂度评价一个算法时另一个问题是，算法能够执行的了吗？有限的时间和空间上这个算法能够执行吗？这就需要对算法的复杂性进行分析。
算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度。
2.1.时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
算法的复杂性
算法的复杂性算法的复杂性是算法效率的度量，是评价算法优劣的重要依据。
⼀个算法的复杂性的⾼低体现在运⾏该算法所需要的计算机资源的多少上⾯，所需的资源越多，我们就说该算法的复杂性越⾼；反之，所需的资源越低，则该算法的复杂性越低。
计算机的资源，最重要的是时间和空间（即存储器）资源。
因⽽，算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。
不⾔⽽喻，对于任意给定的问题，设计出复杂性尽可能低的算法是我们在设计算法时追求的⼀个重要⽬标；另⼀⽅⾯，当给定的问题已有多种算法时，选择其中复杂性最低者，是我们在选⽤算法适应遵循的⼀个重要准则。
因此，算法的复杂性分析对算法的设计或选⽤有着重要的指导意义和实⽤价值。
1.时间复杂性：如果⼀个问题的规模是n，解这⼀问题的某⼀算法所需要的时间为T(n)，它是n的某⼀函数 T(n)称为这⼀算法的“时间复杂性”例1：设⼀程序段如下for (int i = 0; i < n; i++) // (i = 0) 1次 (i < n) n次 (i++) n次{for (int j = 0; j < n; j++) // (j = 0) n次 (j < n) n*n次 (j++) n*n次{x++; //(i++) n*n次}}可见，这段程序总的执⾏次数是：T(n)=1+3n+3n*n。
因为时间复杂度是不考虑系数的所以 T(n)=O(n^2)2.空间复杂性:包括程序代码所占⽤的空间，输⼊数据所占⽤的空间和辅助变量所占⽤的空间这三个⽅⾯。
⼀个算法的空间复杂度只考虑在运⾏过程中为局部变量分配的存储空间的⼤⼩只要不超过内存，尽可能⽤空间换时间。
第5章 算法与复杂性
5.7 可计算性理论基础
研究计算的可行性和函数算法的理论，又称算法 理论，是算法设计与分析的基础，也是计算机科 学的理论基础。可计算性是函数的一个特性。
5.8 NP问题
NP(Non-deterministic Polynomial)问题是非确定性多 项式问题，是指算法无法直接计算出结果，只能通过进 行一些有选择的“猜算”来得到结果。 NP问题的研究结果有两种可能： 一种是找到了求解问题的算法； 另一种就是求解问题的算法是不存在的，那么就要从数
钥，通常有两个密钥，称为“公钥”和“私钥”，它 们两个必须配对使用，否则不能打开加密文件。
5.10 加密算法
常见加密算法有如下： (1)DES(Data Encryption Standard)：数据加密标准，速 度较快，适用于加密大量数据的场合。 (2)3DES(Triple DES)：是基于DES，对一块数据用3个不 同的密钥进行3次加密，强度更高； (3)RC2和RC4：用变长密钥对大量数据进行加密，比DES 快。 (4)IDEA(International Data Encryption Algorithm)国 际数据加密算法，使用128位密钥提供非常强的安全性。 (5)RSA：由RSA公司发明，是一个支持变长密钥的公共密 钥算法，需要加密的文件块的长度也是可变的。 (6)DSA(Digital Signature Algorithm)：数字签名算法， 是一种标准的DSS(数字签名标准)。
计算机算法设计与分析第1章算法概述
理论课：1～10周，40学时 周二(5-6)、周五(1-2)
上机： 18学时
期末考试： 闭卷笔试，第 11周
上课点名三次不到者取消考试资格； 迟到或作业缺交，一次扣10分（平时成绩）。
1
教学目的和要求
本课程是计算机类专业的专业基础课程； 通过课程学习和上机实践，对计算机常用算 法有一个较全面的了解，掌握通用算法的一 般设计方法； 学会对算法的时间、空间复杂度分析，掌握 提高算法效率的方法和途径。
24
三、算法复杂性分析
本课程主要对算法的时间复杂性进行分析。
关于算法的复杂性，有两个问题要弄清楚：
（1）用怎样的一个量（指标）来表达一个算法的
复杂性；
（2）对于一个算法，怎样具体计算它的复杂性。
25
1、算法的三种时间复杂性
算法的最坏、最好和平均时间复杂性 （1）最坏情况下的时间复杂性 Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n } （2）最好情况下的时间复杂性
8
图1.1 算法的概念图
（一）算法的性质
1、算法具有某些特性，如下几条：
(1)输入：有零个或多个外部提供的量作为算
法的输入。
(2)输出：算法产生至少一个量作为输出。这 些输出是和输入有某种特定关系的量。
9
（一）算法的性质
(3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无
歧义的。
(4)有限性（有穷性）：算法中每条指令的执
29
2、算法的时间复杂性计算
int search(int A[ ], int m, int c) { int i=1; while( A[i]<c && i<m ) i=i+1; if (A[i]==c) return i; else return 0; }
第一讲：计算复杂性理论
大多数研究者认可 的包容关系
L m
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型2
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型3。
计算复杂度的影响因素
建模假设 例：高空抛球的运动轨迹。 ----抛物线模型 假设1.没有空气阻力； 假设2.地面是平面。 ----椭圆模型
计算复杂度的影响因素
探索空间1 探索空间1---解的近似度、满意度
例：0—10之间的整数解：1-9共9个可行解（一维） 0—10之间的实数解：精确到小数点后6位 共有107个可行解（一维）； 107n个可行解（n维）
n! 10141世紀 → 10120世紀 102551世紀 → 102530世紀
问题与算法
每个問題都可能有多个算法存在． 每个算法的计算量（速度）都不同。 例： 赝品金币問題： 问题：9個外观完全一样的金币.，有一个是假的 （重量轻）． 提问：用天秤来鉴别真伪，天秤需要使用几次？
贋品金币問題算法 問題算法
优化技术与方法
計算量(1) 計算量
＋,－,×,÷ 比較：≠，≤，≥，＜，＞ 5种基本演算都是用1step 可以实现. 実際上,×比＋多占用時間. 「四舍五入」不算基本演算.
計算量(2) 計算量
｛a1, a2,..., an｝：n個整数 Q1. 求和（1）： a1+a2+･･･+an. 1 + +a n-1 steps → O(n)算法. Q2. 求和（2）： (1) 2×a1+･･･+ 2×an , 2n-1 steps→ O(n)算法. (2) 2×(a1+･･･+an) , n steps→ O(n)算法.
尚未确信能否用多項式時間算法求解的问题的 集合称为NP （non-deterministic polynomial）问题 某一个问题不属于NP问题的証明 如能够找到一个多項式時間算法 （簡単） 某一个问题属于NP问题的証明 可以归结为某一类既知的NP类问题（现阶段7类））
计算机专业课《算法》_第一章算法概述
几个复杂性参照函数
若干符号及其意义：O(f)，(f)，(f)，o(f)
• 在下面的讨论中，对所有n，f(n) 0，g(n) 0。
（1）渐近上界记号O O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：
0 f(n) cg(n) }
（2）渐近下界记号 (g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：
有限的计算步后停止。
2.确定性：每一条规则都是明确、无二义的。 3. 可行性：每一计算步都是基本的、可实现的。
4. 输入： 算法开始执行执行之前指定初始值 （有零个或多个输入） 。 5. 输出：产生与输入相关的量（有至少一个）。 二、算法的又一描述方式
设：四元组（Q, I, , f ).
其中：Q:状态集合； I, ：Q的子集，分别代表输入和输出 f: 定义在Q之上的一个映射，
1.2 算法复杂性分析（1） • • • • 计算机资源：时间、空间 复杂性：所需资源多少 算法复杂性：算法运行时所需资源的量 算法复杂性分析目的：分析问题复杂性、 选择最好算法 • 时间复杂性：所需时间资源的量T(n) • 空间复杂性：所需空间资源的量S(n)
• 其中n是问题的规模（输入大小）
算法复杂性分析（2） • 算法是否可行？ • 可计算理论 • 时间复杂性细化 • 三种典型的复杂性： 最坏、最好、平均复杂性
且有：若q Q ，则：f(q) = q。
1. 计算序列描述：
若对于I 的每一个输入x,由f 定义一个计算序列： y0 , y1 , y2 , …… 。 其中：y0 = x; yk+1 = f( yk ) (k 0)。
若一个计算序列在第k步终止，且k是使yK 的最小整数，则称yk是由x产生的输出。 2. 算法描述： 一个算法是对于I 中所有输入x, 都能在有穷步 内终止的一个计算序列。
算法的计算复杂性概念
算法的计算复杂性概念
计算复杂性是一个相当普遍的概念，用来衡量算法的复杂程度及其所需要的计算和存储资源。
它指出了通过解决一个特定问题所需要的资源数量和时间，是计算机科学领域中应用非常广泛的计算时间和空间复杂度理论。
计算复杂性的基本思想是：给定的算法的运行时间，由其所执行的基本步骤的重复次数决定。
这些步骤机会包括读写输出、内存操作、比较和逻辑判断等。
每一次的重复，都会消耗算法所需的资源。
算法的运行时间，在某程度上可以用消耗的资源数量来衡量。
计算复杂性概念被用来衡量算法空间和时间复杂度，以及评价算法效率，它是一种定量量度。
运行时间和空间复杂度由大O表示法来表示，Big O表示法在数学里描述函数增加量的时候，使用主要步骤多少来表示算法的复杂程度。
算法中最耗时的基本步骤是核心步，而计算复杂性可以衡量算法的效率，并评估算法的运行性能。
计算复杂性的概念历经多年，今天已经成为计算机科学领域的核心技术，深受计算性能分析专家、软件开发者和算法设计者的重视。
它不仅能够帮助识别算法效率的关键瓶颈，而且能够用精准的度量标准来比较两个算法的性能，帮助推进算法的改进，提高计算性能。
因此计算复杂性是一个极为重要的计算机科学概念，它能够用精确的方式衡量算法的复杂程度，用于评估算法的性能，以及帮助算法设计者和开发者识别算法缺陷并进行改进。
算法设计与分析知识点
第一章算法概述1、算法的五个性质：有穷性、确定性、能行性、输入、输出。
2、算法的复杂性取决于：(1)求解问题的规模(N) , (2)具体的输入数据(I),( 3)算法本身的设计(A)，C=F(N,I,A。
3、算法的时间复杂度的上界，下界，同阶，低阶的表示。
4、常用算法的设计技术：分治法、动态规划法、贪心法、回溯法和分支界限法。
5、常用的几种数据结构：线性表、树、图。
第二章递归与分治1、递归算法的思想：将对较大规模的对象的操作归结为对较小规模的对象实施同样的操作。
递归的时间复杂性可归结为递归方程：1 11= 1T(n) <aT(n—b) + D(n) n> 1其中，a是子问题的个数，b是递减的步长，~表示递减方式，D(n)是合成子问题的开销。
递归元的递减方式~有两种：1、减法，即n -b，的形式。
2、除法，即n / b，的形式。
2、D(n)为常数c：这时，T(n) = 0(n P)。
D(n)为线形函数cn：r O(n) 当a. < b(NT(n) = < Ofnlog^n) "n = blljI O(I1P)二"A bl吋其中.p = log b a oD(n)为幕函数n x：r O(n x) 当a< D(b)II JT{ii) = O(ni1og b n) 'ia = D(b)ll].O(nr)D(b)lHJI：中，p= log b ao考虑下列递归方程：T(1) = 1⑴ T( n) = 4T(n/2) +n⑵ T(n) = 4T(n/2)+n2⑶ T(n) = 4T(n/2)+n3解：方程中均为a = 4，b = 2，其齐次解为n2。
对⑴，T a > b (D(n) = n) /• T(n) = 0(n);对⑵，•/ a = b2 (D(n) = n2) T(n) = O(n2iog n);对⑶，•/ a < b3(D(n) = n3) - T(n) = 0(n3)；证明一个算法的正确性需要证明两点：1、算法的部分正确性。
第 4 章 第2节 算法复杂性问题 NP完全问题
第1.1章算法复杂性问题-----NP完全问题§1 NP问题与NP完全问题在第一章中我们初步讨论了算法复杂性的概念。
从第三章到第七章，我们讨论了不少问题和它们的算法。
这些问题基本上都是P问题，即它们都有多项式算法。
但在第一章中我们就已经指出，有不少问题至今没有找到多项式算法。
一个问题很自然地摆到我们面前：一个组合最优化问题，如果没有找到它的多项式算法，原因究竟是什么？是因为它本质上就不存在多项式算法呢？还是由于我们研究得不透彻或者我们的能力不够？后一种可能性是可能存在的。
线性规划问题，从三十年代开始提出，一直延续到七十年代，几十年没有找到一个多项式算法，已经有不少人认为线性规划可能没有多项式算法。
但在1979年，年轻的苏联数学工作者XиЧиЯН找到了第一个解线性规划的多项式算法——椭球算法，以后又出现了Karmaka算法。
在科学史上，经过几百年甚至上千年才被攻克的难题不胜枚举。
因此，如果能够根据问题的难度对问题进行分类，将会给算法研究带来巨大的好处。
首先，我们知道我们研究的问题难度很大，不可能找到或者很难找到有效算法，我们将会把精力集中于寻找问题的近似算法，避免了可能无效的研究。
第二，如果我们知道两个问题有相同的难度，那末它们之间必然存在某种内在联系，解决第一问题的方法经过适当的修改很可能就能解决第二个问题，这就对我们寻找一个解决第二个问题的方法带来帮助。
但是，对问题进行分类和判定一个问题属于哪一类，这两件工作都十分困难。
两个看上去很相似的问题，例如第一章中介绍的中国邮递员问题和旅行售货员问题。
但前者提出不久就被判定为P问题，而对后者研究了四十多年却没有结果。
在第一章中我们提到“理想计算机”模式。
目前绝大多数算法理论讨论都在一种“图灵机”的理想数学模型上进行，“图灵机”是为纪念英国科学家图灵而得名，因为他最早提出了这个模型。
图灵机是对目前使用的实际计算机的一个很好的简化和抽象。
凡是用图灵机描述的用多项式时间运行的算法，都可以在实际计算机上用多项式时间运行；反过来，实际计算机上的多项式算法，也都可在图灵机上被描述并按多项式时间运行。
计算机算法的设计与复杂度分析
计算机算法的设计与复杂度分析计算机算法的设计与复杂度分析是计算机科学领域的重要研究方向。
算法设计是指根据特定的问题需求和约束条件，提出一种计算机程序的设计方法，以解决该问题并达到预期的效果。
复杂度分析是评估算法的效率和性能的过程，它衡量了算法解决问题所需的计算资源和时间。
本文将介绍计算机算法设计的基本原则和常见的复杂度分析方法。
一、算法设计的基本原则在进行计算机算法设计时，我们应该遵循以下基本原则来确保算法的正确性和高效性。
1. 明确问题需求：在开始设计算法之前，我们应该清晰地理解问题的需求和约束条件。
只有通过准确地定义问题，才能设计出相应的算法。
2. 模块化设计：将算法分解为多个独立的模块，每个模块负责一个特定的任务。
这样可以简化算法的设计和实现过程，并提高代码的可读性和可维护性。
3. 选择适当的数据结构：合适的数据结构能够更有效地处理算法涉及到的数据。
我们应该根据问题的特点选择最适合的数据结构，如数组、链表、栈、队列、树等。
4. 使用适当的算法策略：针对不同的问题，我们应该选择适当的算法策略来解决。
例如，对于查找问题，可以选择二分查找、哈希表等算法策略。
5. 考虑算法的时间复杂度和空间复杂度：在算法设计过程中，我们应该对算法的效率进行评估和预估，考虑算法的时间复杂度和空间复杂度，以便在实际应用中能够满足性能要求。
二、常见的复杂度分析方法计算算法的复杂度是评估其运行效率的重要指标。
常见的复杂度分析方法包括时间复杂度和空间复杂度。
1. 时间复杂度：时间复杂度衡量算法解决问题所需的时间资源。
常见的时间复杂度有O(1)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)等。
其中，O(1)表示算法的执行时间是一个常数，与问题的规模无关；O(n)表示算法的执行时间与问题的规模成线性关系；O(nlogn)表示算法的执行时间与问题的规模以及问题分解的规模成对数关系；O(n^2)表示算法的执行时间与问题的规模成平方关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
超大规模集成电路 计算机网络 分布计算 每秒数千亿次
世界最快的超级计算机（2014）
43681..0KSPJ. eiU神CzqQoDu秘Umoa计EipnaEu算（t（Nte机美（瑞r（—国德士日—）国）本这）SP）e是iJqz美U富uDQo国a士iUain政通在EtE是府K跻N欧运C身是o洲营前m性的5十p0能u一榜0t强最e台单r登榜强神的上单大秘“前的的常十时一、客榜间台基”单比超于，的富级无20次士计限1数通算2带年比K机宽年，技中 5MC2它7以术9..oi.运MrTS来V的maitiut还营ar未pCalamcunr要于（曾aat（peny多位美e落r美（仅dC，于国选e国S美晚（达卢）-过）S国6美到加t。个Mo）该国1诺r它i月mr0美Va）的次运，机u是国l瑞。营该第c器前超a士2于来二，n十0级是国德自1次具榜1计跻家国德上年体单算身计北州榜6位的机月最算大莱便置另也首新中学茵荣不一是次榜心的-登详位威能上单，超首。常斯源榜的以级位它客特部它美该计。是，伐的便国中算它唯效利机是能心机运一力亚器全源8是行新于的0，球部英此于入美J它最四ü里榜美选国l运快i大以单国c榜阿行h速超外上能单研贡于的级的源者究国位超计阿唯部，中家于级算尔一位也心。 实1计于田卑一机相是. 验算加纳斯台天性比最室机州西山戴河能欧节。的州命尔二最洲能这跟劳的名产号弱上的是M伦橡。品（的榜超i它斯树最，r中一的级a第利岭一高它国台另计六弗国样速也），一算次莫家，度是它台机运上尔实它：全目超，行榜国验也每球前级每于，家室是秒最应计瓦位同实。连6强用算特于.2时验在续大于机电广7也千室最4的能，可州次是万。近学源它每的入连亿最的术部的秒超选续次高4用的性进级。次第浮速超高能行计最评四点度级性较2算高比3次运：计能弱中8速中位算6每算运。心.度，4居，秒机算最2。：它百第总1。创高最7每都万核五最.新速高2秒位次千心位高中度速居1浮万数。速0心：度第.点亿：5最度。每：千二运次高：最秒每万位算浮速每高5。。 度秒亿点最1速千最1：3次运高5.度万高53.19每浮算速.：亿速978千秒点，度4每次度万万8运总：秒浮：.个5亿算核每4点每9.千次，心秒2运秒9万浮总数1千算37.亿点核：.万5，67次运千心1亿总千5浮算万数7次核万.点，2亿：浮心亿8运总次76点数次04算核浮.运万：浮5，0心点算个4点25总数运4，运.万8核3算：总7算1个5心，42核，26万万数总.心总2个个：4核数核6。7心2：心8万数.3数6个94：.：332527万61..260个8万6万4个万个个
计算机什么都能做?
比如拿最简单例子，26个英文字母全排列， 它的排列数为：
26！≈4×1026 以每年365天计算，共有
365×24×3600＝3.1536×107秒 以每秒能完成109个排列的超高速电子计算机来 做这项工作，需要
4×1026/(3.1536×1016)≈1.2×1010年 即使计算机运行速度随着技术的提高，恐怕也还 是不可能实现的。因计算机的速度再提高也有它 的极限。
从经典的IBM面试题说起
村子中有50个人，每人有一条狗。在这50条狗中有病狗 （这种病不会传染）。于是人们就要找出病狗。
每个人可以观察其他的49条狗，以判断它们是否生病（如 果有病一定能看出来），只是自己的狗不能看。观察后得 到的结果不得交流，也不能通知病狗的主人。主人一旦推 算出自己家的是病狗就要枪毙自己的狗（发现后必须在一 天内枪毙），而且每个人只有权利枪毙自己的狗，没有权 利打死其他人的狗。
阿里巴巴面试题：澳大利亚的父母喜欢女孩，如果生出来 的第一个女孩，就不再生了，如果是男孩就继续生，直到 生到第一个女孩为止，问若干年后，男女的比例是多少？
淘宝校园笔试题：N个鸡蛋放到M个篮子中，篮子不能为 空，要满足：对任意不大于N的数量，能用若干个篮子中 鸡蛋的和表示。对输入整数N和M，输出所有可能的鸡蛋 的放法。
算法与复杂性
Algorithms and Complexity
刘杰 南华大学计算机学院软件工程系
课程简介
1．课程学时 总学时：48学时（理论）
2．课程主要内容 介绍算法的概念及算法分析的基础知识； 介绍一些经典算法 * 蛮力法
分治法 贪心法 动态规划 回溯法 分支限界法 NP完全表现、考勤、实验（占60％） 期末考查（小组答辩，占40％）
4．本课程主要参考书
[1]王晓东编著，计算机算法设计与分析(第4版)，电子工业出 版社，2012 [2]屈婉玲等，算法设计与分析，清华大学出版社，2011
刘汝佳——“白皮书全看完了，但枪没有响，第二天仍没有枪响。 到了第三天传来一阵枪声，问村里共有几条病狗，如何推 算得出？
Brainstorm
腾讯面试题：给你10分钟时间，根据上排给出十个数，在 其下排填出对应的十个数，要求下排每个数都是先前上排 那十个数在下排出现的次数。 上排的十个数如下：【0，1，2，3，4，5，6，7，8，9】
天河二号能做什么？
天河二号：32000颗主CPU，48000个协处理器， 300多万个计算核心，峰值计算速度达到每秒 5.49亿亿次，而持续计算时的速度每秒可达3.39 亿亿次。
假设每人每秒钟进行一次运算，“天河二号” 运算一小时，相当于13亿人同时用计算器算 上1000年。
除了助力探月工程、载人航天等政府科研项目外， 天河二号目前已经逐渐应用于民用领域，比如石 油勘探、汽球放到 一起，让你按顺序输出红白蓝三种颜色的球，可以用012 来表示，要求只能扫描一次数组。
为什么学习算法 ？
关于用计算机解决问题
计算机的能力
元器件
结构
算法
运算速度
继电器
“单兵作战” 单机的串行 每秒5000次
真空管
…… …… ……
晶体管
集成电路
大规模集成电路