213二次根式的加减(2)
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21.3 二次根式的加减(第2课时)
(5
48 1 4 6) 27
2 2
5)Βιβλιοθήκη 21 2 分析说明：○中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。○中补充完全平方公式应 用. 归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完
全平方公式、平方差公式来简化运算. (二)二次根式混合运算的应用 1.若 x= 2 1 ,则 x2+x+1= 2.已知 x 3 2 , y 3 2 ， 求 1
九年级数学上册教案 课题：21.3 二次根式的加减 教学内容： 21.3 知识 技能 教学 目标 过程 方法
备课人：杨贤
情感 态度 重点 难点 教学 准备
二次根式的加减(第 2 课时) 在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算 与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算． 1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算 的顺序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的 一致性以及数式通性. 2. 在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整 式的运算的联系. 培养学生的类比运用意识
y x x y
; 2 2 x
6 xy 2 y
2
的值. ⊥ ABCD 的面 积.
3.如图，四边形 ABCD 中，AB⊥BC,AD AB,AB=1,BC=CD=2, 求 四 边 形
三、课堂训练 完成课本练习 .补充： 1.海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 a ,b,c,设 p = a 角形的面积为 S=
p p a p b p c
b c 2
, 则三
48 1 4 6) 27
2 2
5)Βιβλιοθήκη 21 2 分析说明：○中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。○中补充完全平方公式应 用. 归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完
全平方公式、平方差公式来简化运算. (二)二次根式混合运算的应用 1.若 x= 2 1 ,则 x2+x+1= 2.已知 x 3 2 , y 3 2 ， 求 1
九年级数学上册教案 课题：21.3 二次根式的加减 教学内容： 21.3 知识 技能 教学 目标 过程 方法
备课人：杨贤
情感 态度 重点 难点 教学 准备
二次根式的加减(第 2 课时) 在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算 与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算． 1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算 的顺序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的 一致性以及数式通性. 2. 在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整 式的运算的联系. 培养学生的类比运用意识
y x x y
; 2 2 x
6 xy 2 y
2
的值. ⊥ ABCD 的面 积.
3.如图，四边形 ABCD 中，AB⊥BC,AD AB,AB=1,BC=CD=2, 求 四 边 形
三、课堂训练 完成课本练习 .补充： 1.海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 a ,b,c,设 p = a 角形的面积为 S=
p p a p b p c
b c 2
, 则三
二次根式的加减(2)
观察题目的特点 是否能应用 乘法公式
计算
(1)
1 3(1 15 ) 3 5
(2)
(1 2 )( 2 2 )
(3)
(3 5 5 2 )
2
提高题
比较根式的大小.
6 14和 7 13
解:∵ 6 14 ） 6+2 84 +14=20+2 84 √ √ （
2
（ 7 13 ） 20+2 91
初中数学九年级上册 苏科版
3.3.2 二次根式的加减（2）
复习：
要进行二次根式加减运算,它们 具备什么特征才能进行合并？同类二次根式
(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
练习2计算：
5
（1） 80 20 5
（2） 18 98 27） 10 2 3 3 （
1 3 6 2பைடு நூலகம்4
1 （3）( 24 0. ( 5) 6) 8
1 1 (4) 32 3 10 0.08 48 4 2 3 3 2
计算
1、注意运算顺序 2、运用运算律
练习
5.计算:
15
2 8 7 18
4 2 8 2
1
2
1 32 12 4 3 48, 27
1 1 5 0.5 2 75 3 8
2 x 1 4 9 x 6 2 x 3 4 x
又 ∵ 6 14
2
0
21.3 二次根式的加减(2)
1 1 2 a 3 3 2 x , 75 , , , 3x , 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
彗眼识真:
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
下列计算哪些正确，哪些不正确？ 下列计算哪些正确，哪些不正确？
3+
2 =
5
（不正确 不正确） 不正确 （不正确 不正确） 不正确 不正确） （不正确 不正确 （正确 正确） 正确 不正确） a = 0（不正确）
( )
= 2 −(2 )（155 22− = −13 − 2 2
2
+ 3） (
( 3 )) − ( 3 ) 5 5−
=
= 5−3= 2
2
2
解：原式= 3 + 2 × 3 × 2 5 + 2 5
= 9 + 12 5 + 20 = 12 5 + 29
（3）（3 + 2 5）
2
( ) 观察题目的特点
是否能应用 乘法公式
a+ b =a b
a − b = a −b
a a +b a = (a+b) a
1 3a − 2 2a = a −
1 ⑸ 3
计 算 解：原式
1 1 − 48 − 10 0.08 32 − 3 3 2
= 4 2 − 3− 2 3−2 2
= 4 2 − 3−2 3+2 2 = 6 2 −3 3
2 2
解二：a − ab + b
2 2
2 2
[( 3 + 2 )− ( 3 − 2 )] + ( 3 + 2) ( 3 − 2) = (2 2 ) + 1 = 8 + 1 = 9
二次根式的加减法(2)
16.3二次根式的加减
第2课时
我们学习了哪些运算律： 加法交换律：a+b+c=a+c+b
加法结合律：(a+b)+c=a+(c+b) 乘法交换律：abc=acb 乘法结合律：(ab) c=a (cb) 乘法分配律：(a+b) c=ac+bc 整数的乘法同样适用二次根式
我们学习了哪些乘法公式： 平方差公式：
6 3 6
86
36
4 3 3 2
这里运用了乘法分配律
练习P14第1题的1、2小 题， 复习巩固P15第4题的1、 4小题，
例3
计算：
(2)(4 2 3 6) 2 2
解：原式 4 2 2 2 3 6 2 2
3 2 2 3
(3)2 2 (4 2
如何计算呢？
8)
例4
计算：
(1)( 2 3)( 2 5)
解：原式 ( 2) 3 2 5 2 15
2
2 2 2 15 13 2 2
例4
计算：
(2)( 5
3)( 5
2
3)
2
解：原式 ( 5)
( 3)
53 2
练习P14第2题，
复习巩固P15第4题3、3小题，
拓展与思维
1、已知a b 3,ab 2, 计算
b
a
1
a 的值 b
3 2 ,x
2
2、已知x 则x x 的值
2 2 1 2
3
2,
3、已知x
1
x
7 ,则x
1
x
第2课时
我们学习了哪些运算律： 加法交换律：a+b+c=a+c+b
加法结合律：(a+b)+c=a+(c+b) 乘法交换律：abc=acb 乘法结合律：(ab) c=a (cb) 乘法分配律：(a+b) c=ac+bc 整数的乘法同样适用二次根式
我们学习了哪些乘法公式： 平方差公式：
6 3 6
86
36
4 3 3 2
这里运用了乘法分配律
练习P14第1题的1、2小 题， 复习巩固P15第4题的1、 4小题，
例3
计算：
(2)(4 2 3 6) 2 2
解：原式 4 2 2 2 3 6 2 2
3 2 2 3
(3)2 2 (4 2
如何计算呢？
8)
例4
计算：
(1)( 2 3)( 2 5)
解：原式 ( 2) 3 2 5 2 15
2
2 2 2 15 13 2 2
例4
计算：
(2)( 5
3)( 5
2
3)
2
解：原式 ( 5)
( 3)
53 2
练习P14第2题，
复习巩固P15第4题3、3小题，
拓展与思维
1、已知a b 3,ab 2, 计算
b
a
1
a 的值 b
3 2 ,x
2
2、已知x 则x x 的值
2 2 1 2
3
2,
3、已知x
1
x
7 ,则x
1
x
《213二次根式的加减》课件
类比的数学思想
八年级 数学
21.3二次根式的加减
必做题：教科书习题P17的第2、3题.
选做题：教科书P18 的5题
小试牛刀
1. 下列各式中哪些是同类二次根式?
2,
√
75 ,
1, 50
1 27
,
√3
,
2 3
8ab3 ,6b
a ,3 2 2b
53 2 3
√ √10 √9
4 b 2ab 3 2ab
3√
A . 2 , 12
B.
1 2,
2
C. 4ab, ab2 D. a 1, a 1
2. 与 12 是同类二次根式的是( D )
A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
类比整式的加法法则， 结合 实例探索二次根式的加法法则。
计算
注意8 ：1对8 被开方数9 相5 同2的0 二5次根式
（A ）
A . 8 B . 12 C. 10 D. 27
估算 28 7的值在( Ｄ )
A. 7和8之间
B. 6和7之间
C. 3和4之间
D. 2和3之间
如果最简二次根式 m1 5 与 m n
是同类二次根式,求m、n 的值.
m=3,n=-2
若 75 y 6 3 ,则y的值是( Ｄ ) A. 3 B. 1 C. 2 3 D. 3
类比同类项的概念， 借助课外
资源理解同类二次根式的概念， 并结合实例加以说明。
几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就 叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式; (2)被开方数相同.
小试牛刀
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的
八年级 数学
21.3二次根式的加减
必做题：教科书习题P17的第2、3题.
选做题：教科书P18 的5题
小试牛刀
1. 下列各式中哪些是同类二次根式?
2,
√
75 ,
1, 50
1 27
,
√3
,
2 3
8ab3 ,6b
a ,3 2 2b
53 2 3
√ √10 √9
4 b 2ab 3 2ab
3√
A . 2 , 12
B.
1 2,
2
C. 4ab, ab2 D. a 1, a 1
2. 与 12 是同类二次根式的是( D )
A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
类比整式的加法法则， 结合 实例探索二次根式的加法法则。
计算
注意8 ：1对8 被开方数9 相5 同2的0 二5次根式
（A ）
A . 8 B . 12 C. 10 D. 27
估算 28 7的值在( Ｄ )
A. 7和8之间
B. 6和7之间
C. 3和4之间
D. 2和3之间
如果最简二次根式 m1 5 与 m n
是同类二次根式,求m、n 的值.
m=3,n=-2
若 75 y 6 3 ,则y的值是( Ｄ ) A. 3 B. 1 C. 2 3 D. 3
类比同类项的概念， 借助课外
资源理解同类二次根式的概念， 并结合实例加以说明。
几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就 叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式; (2)被开方数相同.
小试牛刀
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的
12.3二次根式的加减(2)
2．整式运算的法则、公式和运算 律有哪些？
（7 ） （8 ） （9 ）
a± b
a＋b a－b＝a －b
2
2
2
＝a ± 2ab＋b
2
2
a＋b n＋m＝an＋am＋bn＋bm
例1
计算：
1．
5 ( ＋2 3 ) 12
×
15 ；
2．
(3＋ 10)( 2－ 5)．
巩固练习：课本P166练习1
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式。
三合并
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如
2
与 3 )不能合并
他们的计算正确吗？
回顾： 1．二次根式有哪些性质？ 2 （1） a ＝a (a≥0)；
2
（2 ）
a ＝| a |
（3） ab＝ a b (a≥0， b≥0)； （4） a b＝ ab (a≥0， b≥0)； a a （5） ＝ ( a≥ 0， b＞ 0) ； b b a a ＝ ( a≥ 0， b＞ 0) ． （6 ） b b
(2)被开方数相同。
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的 B 是（ ） A.
C. 2. 与
2 , 12
B.
2
2,
4ab , ab
D.
a 1, a 1
1 2
A.
12 是同类二次根式的是(D ) 1 32 B. 24 C. 125 D. 6
27
二次根式加减法的步骤： 一化
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
例2
计算：
1． 2．
( 3＋ 2)( 3－ 2) ；
(3＋2 5) ．
21.3 二次根式的加减++第2课时+课件++++2024-2025学年华东师大版九年级数学上册
对点小练
4+
1.计算:(1) 16+ 2× 3=__________;
4-
(2)( 48- 6)÷ 3=__________;
7
(3)( 3+2)2- 48=_______.
新知要点
2.乘法公式应用:
a2-b2
(1)(a+b)(a-b)=__________;
a2±2ab+b2
(2)(a±b)2=_______________;
21.3 二次根式的加减
第2课时
课时学习目标
1.了解二次根式的加、减、乘、除四则运算法则
2.掌握二次根式的加、减、乘、除四则运算
素养目标达成
模型观念
推理能力、运算能力
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
1.运算顺序:
乘方
乘除
先算__________,再算__________,最后算加减.
(2)( 48+ 12-
(3)( 2-
3)2+2
1
)÷
3
3;
1
×3
3
2.
【解析】(1)原式=( )2-22=3-4=-1;
(2)原式=(4 +2
(3)原式=(Biblioteka )2-2×
)÷
× +(
=
)2+6
÷
= ;
× 2=2-2 +3+2 =5.
【技法点拨】
二次根式混合运算的四点注意
【举一反三】
1.已知x= 3+1,y= 3-1,求x2+y2的值.
4+
1.计算:(1) 16+ 2× 3=__________;
4-
(2)( 48- 6)÷ 3=__________;
7
(3)( 3+2)2- 48=_______.
新知要点
2.乘法公式应用:
a2-b2
(1)(a+b)(a-b)=__________;
a2±2ab+b2
(2)(a±b)2=_______________;
21.3 二次根式的加减
第2课时
课时学习目标
1.了解二次根式的加、减、乘、除四则运算法则
2.掌握二次根式的加、减、乘、除四则运算
素养目标达成
模型观念
推理能力、运算能力
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
1.运算顺序:
乘方
乘除
先算__________,再算__________,最后算加减.
(2)( 48+ 12-
(3)( 2-
3)2+2
1
)÷
3
3;
1
×3
3
2.
【解析】(1)原式=( )2-22=3-4=-1;
(2)原式=(4 +2
(3)原式=(Biblioteka )2-2×
)÷
× +(
=
)2+6
÷
= ;
× 2=2-2 +3+2 =5.
【技法点拨】
二次根式混合运算的四点注意
【举一反三】
1.已知x= 3+1,y= 3-1,求x2+y2的值.
3.3二次根式的加减(2)
3.3 二次根式的加减(2) (教案)备课时间: 主备人:【学习目标】：1、掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用2、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算【重点难点】：重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
【知识回顾】填空 ：（1）整式混合运算的顺序是：（2）二次根式的乘除法法则是：（3）二次根式的加减法法则是：（4）回顾整式的乘法公式：多项式乘法公式：平方差公式：完全平方公式：注：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律和乘法公式仍然适用。
【典型例题】例1、计算：（1）（125+23）×15； （2）（3+10）（2-5）；例2、计算：（1）（3+2）（3-2）；（2）2523）（【课堂练习】1、计算：（1）（3+22）×6； （2）5×（10-5）；（3）（6-3+1）×232、计算：（1）（3-22）（23-2）；（2）（22-3）（3+2）；（3）（5-6）（3+2）；（4）（a+ab +b ）（a -b ）（a ≥0，b ≥0）；3、计算：（1）（5+1）（5-1）；（2）（a +b ）（a -b ）（a ≥0，b ≥0）；（3）223）（-； （4）2b a ）（+（a ≥0，b ≥0）；点拨、二次根式在进行运算时要注意：1、二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的，含相同二次根式的项要合并2、运算律同样适用于二次根式的运算3、计算结果要最简【课外练习】1、计算：（1）（23-6）×12； （2）（18-12+2）×26；（3）（23-52）（3-22）；（4）（215+）（215-）；（5）（a2ac 4bb2-+-）+（a2ac 4bb2---）（2b-4ac≥0，a≠0）；（6）（a2ac 4bb2-+-）（a2ac 4bb2---）（2b-4ac≥0，a≠0）；。
21.3.2二次根式的加减(二)
21.3.2二次根式的加减（二）学案稿
学习目标：
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算
重点：熟练进行二次根式的混合运算.
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用.
学习过程：
一.复习回顾：
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是：
.
（2）二次根式的乘除法法则是：
.
（3）二次根式的加减法法则是：
.
（4）写出已经学过的乘法公式：
① ②
2、计算：
（1）6·a 3·
b 31 （2）16141÷ （3）505
11221832++-
二.合作探究：
1、探究计算：
（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷-
2、探究计算：
（1）)52)(32(++ （2）2)232(-
三、展示反馈：
计算：（1）12)323242731(
⋅-- （2）)32)(532(+-
四、拓展延伸：
同学们，我们以前学过完全平方公式222
()2a b a ab b ±=±+，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，下面我们观察： 222(21)(2)21212221322-=-⨯⨯+=-+=-
反之，23222221(21)
-=-+=- ∴ 2322(21)-=-
∴ 223-=2-1
仿上例，求：（1）；324+
（2）你会算124-吗？
（3）若n m b a +=
±2，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．。
二次根式加减(2)--
试一试: 1：计算
1 1 24 2 3 2 2 27 12 3 3
1 2 3 1 15 3 5
计算下列各题,你有 几种方法?
(2)、 a b 3ab ab ) ab (
3) 2 2 (3).(4 2 3 6 3
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
3 2 5
（不正确）
（不正确） （不正确） （正确） （不正确） a 0
a b a b
a b a b
a a b a ( a b) a
1 3a 2 2a a
1 ⑸ 3
2 2 2
代数式a +b +c -ab-bc-ac的值。
3 3 6 3
(3).(4 2 3 6 ) 2 2
(2).
3 3
8
3 6
(3).(4 2 3 6 ) 2 2
解：原式 8 6 3 6
48 18
(3).(4 2 3 6 ) 2 2
3 3 3 2
(3) 解略
(2 2 3 3)(3 3 2 2)
（2） (2 2 3 3)(3 3 2 2)
(2 2)(3 2 2)
(3)(7 2 2 6 )(2 6 7 2 )
(4) 7 7 3 ) (
(2 2 3 3)(3 3 2 2)
2
考考你
考考你
单项式与多项式相乘是怎么相乘的?
计算(1). 27 3 6 2 (2). 8 3 6 1 2 (3) 2( 6 4) 2 5 与整式乘法类似哦.
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观察题目的特点 是否能应用 乘法公式
计算
(1) 3(1 15) 3 1 5
(2) (1 2)(2 2) (3) ( 3 5 5 2 )2
（1）填空：根式 并的二次根式有
2,
3
75, 1 , 15, 27
个；
1 中可以与
3
3合
（2）选择：下列计算正确的是（ C ）
A 2 3 5
B2 2 2 2
(2).
3 3 8
3 •
6
(3).( 48 27) 3
（1）（ 5 2 3） 15 12
（2）（3 10）( 2 5)
（1）（ 3 2）( 3 2)
（2）（3 2 5）2
练习
5.计算:
15 2 8 7 18
2 8 4 12
2
32 12 4 1 3 48,
27
C 63 28 5 7
D 8 18 4 9
2
（3）选择：下列计算正确的是（ C ）
A 102 82 102 82 10 8 2
B 2 3 2 2 3 2 4 3 2 2
C 3 a b 3 a b 3 a2 b2
2
D 5 6 5 6 11
2 3的值
2已知a 3 2 5,b 3 2 5,求a2b ab2的值
4 2 9x 6 x 2x 1
3
4
x
5
0.5 2
1 3
1 8
75
1 1 24 2 3 2
2
3 27 12
3
2 3 1 15 3 1 5
12 2 3 33 3 2 2
22 23 2 2
解（：1）原式
222来自323 8 27 19
（2）原式 6 4 2 3 2 4 2 2
提高题
比较根式的大小.
6 14和 7 13
解: ∵（ 6 14）2 6+2√ 84 +14=20+2√ 84
（ 7 13 ）2 20+2 91
又 ∵ 6 14 0
7 13 0
6 14 7 13
已知a 3 2， b 3 2， 求a2 ab b2的值.
1已知x 3，求代数式 x 22 x 2 x 2
2
练习2计算：
（1） 80 20 5 5
（2）18 （ 98 27） 10 2 3 3
（3）( 24 0.5) ( 1 6) 3 6 1 2
8
4
(4) 32 3 1 10 0.08 1 48 4 2 3
3
2
计算
(1). 27 3 6 2
1、注意运算顺序 2、运用运算律
要进行二次根式加减运算,它们 具备什么特征才能进行合并？同类二次根式
(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式.
(3)下列各式中哪些是同类二次根式?
2 , 75 ,
1 ,
1 ,
2 3,
8ab3 ,6b
a ,3 2
50 27 3
2b
彗眼识真: 下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ 3 2 5 （不正确）
⑵ a b a b
（不正确）
⑶ a b a b （不正确）
⑷ a a b a (a b) a （正确）
⑸ 1 3a 1 2a a a 0（不正确）
3
2
练习4下列计算正确的是（B） A. 2x 3x 5x B.2a x 3b x (2a 3b) x C.4 5 5 5 20 5 D. 14a 22b 7a 11b