.二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)-【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品系列PPT
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩 托车？
例题讲解
解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水 线生产x辆摩托车，根据题意，得
20x2 2200x 60000
移项整理，得 x 2 110x 3000 0
例题讲解 从而原不等式的解集为
x 50 x 60
因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内 生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够 获得60000元以上的收益.
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 （第二 课时） -【新 教材】 人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件
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例题讲解 例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m) 和汽车刹车前的车速v（单位：km/h）之间有如下关系：
s 1 v 1 v2 20 180
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m, 那么这辆汽车刹车前的车速至少是多少(精确到1km/h)?
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4 (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－1x2＋3x－5>0.
2
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例题讲解
解：根据题意，得 s 1 v 1 v2 9.5
20 180
移项整理，得 v2 +9v 7110 0
对于方程 v2 +9v 7110 0, 0
方程有两个实数根
对于方程 x 2 110x 3000 0 ， =100 0
方程有两个实数根 x1 50, x2 60
画出二次函数 y x 2 110x 3000
结合图象得不等式 x 2110x 3000 0
解集为 x 50 x 60
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巩固练习
题型一 解不含参数的一元二次不等式
例 1 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－81≥0；
例题讲解 结合图象得不等式的解集为 v | v v1,或v v2 因为车速 v 0 ，所以 而 ， 79.9 v2 80 所以这辆汽车刹车前的车速至少为80km/h.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ巩固练习
【解】 (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0， 所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两个不等实根 x1＝－3，x2＝－12. 又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 xx＜－3或x>－12. (2)原不等式可化为2x－922≤0， 所以原不等式的解集为xx＝94.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第二课时）
复习
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
没有实数根 R
∅
∅
记忆口诀：大于取两边，小于取中间
例题讲解
例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水 线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造 的价值y(单位：元)之间有如下的关系：
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巩固练习
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根， 又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 R. (4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所 以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图 象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
v1 9
28521 2
, v2
9
28521 2
画出二次函数 s v2 +9v 7110 的图象
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小结
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数 为正. 2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的 判别式. 3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无 实根. 4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. 5写解集.根据图象写出不等式的解集.
数学人教A版(2019)必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共27张ppt)
∴ 抛物线 = − + + 与轴的两个交点坐标分别为（ − ，）与 ( , )
一
复习旧知——一元二次方程与二次函数（导学）
4、小结：二次函数 = + + ( ≠ )与一元二次方程 + + = ( ≠ )的
关系
令 = ,利用整体思想则可将二次
函数转化为一元二次方程
(1)从几何的角度：对于抛物线 = + +
(2)从代数的角度：对于一元二次方程 +
出它的图像？
解：∵ 已知 = − + +
∴ = −( − ) +15
二次函数 = + + ( ≠ )的配方
①化二次项系数为1：用含未知数的项除以二次项
即可得到括号里面的项，常数项照搬
= − − + ( ) −( ) + 15
（或只有一个实数根）
C.当 ∆< 时，原一元二次方程没有实数根
一
复习旧知——一元二次方程与二次函数（导学）
2、请各位同学分别用公式法或十字相乘法求解下列一元二次方程：
（2） − + =
解法一（公式法）：
解法二（完全平方公式法）：
∵ 已知 − + =
∵ 已知 − + =
∴ 原一元二次方程有两个不相等的实数根，分别为
=
∴ =
−
−±
−
= , =
=
+
−(−)±
×
二次函数与一元二次方程、不等式 课件(2)
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2
2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥
二次函数与一元二次方程不等式(两个课时)高一数学教学课件练习(人教A版2019)
x2 30x 200 0 解集为{x |10 x 20} 又 x 15 15 x 20 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个 15 元到 20 元之间(包括 15 元但不包括 20 元),才能 使这批削笔器每天获得 400 元以上的销售收入. 【点睛】本题考查了一元二次不等式在实际问题中的应用,属于基础题.
课本P55 习题
3.已知 M x 4x2 4x 15 0 ， N x x2 5x 6 0 ，求 M N ， M N .
【详解】
M
x 4x2 4x 15 0
x 2x 32x 5 0
x
x
3 2
或
x
5 2
，
N x x2 5x 6 0 x x 1 x 6 0 x x 1或 x 6.
因此，
M
N
x
x
3 2
或
x
6，
M
N
x
x
1
或
x
5 2
.
【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数
集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.
课本P55 习题
4.一名同学以初速度 v0 12m/s 竖直上抛一排球，排球能够在抛出点 2m 以上的位置最多停
|
x
1或
x
3 2
；
（6） x2 3x 4 0 其相应方程 x2 3x 4 0 的判别式为 32 4 4 7 0 ，
所以不等式 x2 3x 4 0 的解集为 R；
章节： 第二章一元二次函数、方程和不等式
.1二次函数与一元二次方程、不等 式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义
新教材必修第一册2.3：二次函数与一元二次方程、不等式课标解读：1.一元二次不等式的概念.（理解）2.一元二次不等式的解法.（掌握）3.二次函数与一元二次方程、不等式的关系.（理解）4.一元二次不等式的应用（理解）学习指导：1.从函数观点理解方程和不等式时数学的基本思想方法.学习本节时，用二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式，通过理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性，提升数学运算的核心素养.2.深刻体会一元二次不等式的图像特征及其不等式恒成立的相关关系.3.通过具体问题，认识一元二次不等式在现实生活中的广泛应用，培养数学建模等核心素养.知识导图：教材全解知识点1：一元二次不等式及其解法（重点） 1.一元二次不等式的定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是0022<++>++c bx ax c bx ax 或，其中c b a ,,均为常数，0≠a .2.一元二次不等式的解集满足一元二次不等式)0(0)0(022≠<++≠>++a c bx ax a c bx ax 或的实数x 组成的集合叫做一元二次不等式)0(0)0(022≠<++≠>++a c bx ax a c bx ax 或的解集，即}0|{2>++c bx ax x 或}0|{2<++c bx ax x .3.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是：（1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零，即标准形式02>++c bx ax （或＜0或≥0或≤0），0>a .（2）计算相应方程的根的判别式；（3）当0≥∆时，求出相应的一元二次方程两根. （4）根据一元二次不等式解的结构，写出解集.当0>∆时，设方程02=++c bx ax 的两根分别为21,x x ，且12x x >，利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集，也就是02>++c bx ax （0>a ）的解集是}|{12x x x x x <>或，即大于大根或小于小根，02<++c bx ax （0>a ）的解集为}|{21x x x x <<，即大于小根且小于大根.当0>∆时，则可结合二次函数的图像和不等号方向来确定不等式的解集. 其求解过程（以02>++c bx ax （0>a ）为例）用框图表示如下：例1-1：下面哪些不等式是一元二次不等式（其中c b a ,,为常数）？ （1）;02>x （2）52≤--x x ； （3）0653>-+x x ； （4）052<-y x ； （5）02>++c bx ax .答案：（1）（2）是一元二次不等式；（3）（4）不是一元二次不等式；（5）不确定，因为当0≠a 时，是一元二次不等式. 例1-2：解下列不等式； （1）;92-≤-x （2）522->x x ； （3）122--<x x ； （4）.962->x x答案：（1）}33|{≥-≤x x x 或；（2）R ；（3）∅；（4）}3|{≠∈x R x .知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的关系 0>∆0=∆0<∆一元二次不等式的解集bx ax +20>+c )0(>a}|{21x x x x x ><或}2|{ab x R x -≠∈R bx ax +20>+c )0(<a}|{21x x x x <<∅∅例2-3：解不等式0122<++-x x . 答案：}121|{>-<x x x 或重难拓展知识点3：一元高次不等式的解法最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.解一元高次不等式的基本思想方法是“化归”，即将高次不等式转化为低次不等式来求解.常见的方法有： （1）不等式组法将高次不等式)0(0)(<>x f 中的多项式)(x f 分解成若干个不可约因式的乘积，然后利用不等式的性质将高次不等式等价转化为一个或多个一元一次或一元二次不等式组，原不等式的解集就是各不等式组解集的并集. （2）列表法 解题步骤如下：①将不等式化为一端为0，另一端为若干个因式（一次因式或二次不可约因式）乘积的形式（各因式中x 最高次数的项的系数符号化为“+”），求出相应方程的根； ②根据不等式对应方程的根把x 的取值分成几部分，并按端点值的大小横向排列（由小到大），相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）； ③判断各取值范围内因式的符号，表格最下面一行是各取值范围内对应的各因式乘积的符号；④根据最下面一行积的符号写出不等式的解集. （3）穿根引线法（零点分段法）用穿根引线法解一元高次不等式非常方便，因此应熟练掌握.其解题步骤如下： ①分解因式，将不等式化为一端为0，另一端为若干个因式（一次因式或二次不可约因式）乘积的形式（各因式中x 最高次数的项的系数符号化为“+”）. ②求出相应方程的根，并在数轴上表示出来.③由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即某个因式是奇数次，就从数轴的一侧穿到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴）,简称“奇过偶不过”.④若不等式（x 最高次数的项的符号化为“+”后）“＞0”，则找“线”在数轴上方对应的x 的取值范围；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方对应的x 的取值范围. 例3-4:解不等式0)12)(2(2>--+x x x .答案：}234|{-<<->x x x 或.例3-5：解不等式014322≤---x x x .答案：}41|{≤<x x .题型与方法题型1：一元二次不等式的解法 1.不含参数的一元二次不等式的解法 例6：解下列不等式：;0372)1(2>++x x ;038)2(2>-+-x x;054)3(2≤--x x ;0481184)4(2≥-+-x x;05321)5(2>-+-x x .0232)6(2<-+-x x（5）解集为R.变式训练1：已知集合}032|{},0|{2<--=>=x x x B x x A ，则=⋂B A （ ） A.}30|{<<x x B.}01|{<<-x x C.}30|{><x x x 或 D.}4|{≥x x 答案：A变式训练2：如果，R a ∈且02<+a a ，那么22,,,a a a a --的大小关系为（ ） A.a a a a ->->>22 B.a a a a >->>-22 C.22a a a a ->>>- D.22a a a a ->>-> 答案：B2.已知一元二次方程不等式的解集，求参数问题例7：若不等式02>++c bx ax 的解集为}43|{<<-x x ，则不等式0322<--+b c ax bx 的解集为 . 答案：}53|{<<-x x变式训练：βα<<0，已知不等式02>++c bx ax 的解集为}|{βα<<x x ， 求：不等式0)2()(2>+---+a x a b x b c a 的解集.3.含参数的一元二次不等式的解法例8：（1）解关于x 的不等式：)(0)(322R a a x a a x ∈>++-. （2）解关于x 不等式：).(022R a a x ax ∈<+-答案：（1）当0<a 时，不等式的解集为};|{2a x a x x ><或当0=a 时，不等式的解集为};0|{≠x x 当10<<a 时，不等式的解集为};|{2a x a x x ><或 当1=a 时，不等式的解集为};1|{≠x x 当1>a 时，不等式的解集为}.|{2a x a x x ><或（2）当1≥a ，不等式的解集为∅当10<<a 时，不等式的解集为}.1111|{22aa x a a x x -->-+<或 当0=a ，不等式的解集为}0|{>x x当01<<-a 时，不等式的解集为}.1111|{22aa x a a x x -->-+<或 当1-=a 时，不等式的解集为}1|{-≠x x .当1-<a 时，不等式的解集为R.变式训练1：若01<<-a ，则关于x 的不等式0)1)((>--ax x a 的解集是 . 答案：}1|{a x ax <<变式训练2：已知0<a ，关于x 的一元二次不等式02)2(2>++-x a ax 的解集为（ ） A.}12|{><x a x x 或 B.}12|{<<x ax C.}21|{a x x x ><或 D.}21|{ax x << 答案：B题型2：一元二次不等式恒成立问题 1.在R 上恒成立问题例9：若对任意实数x ，关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 答案：}153|{≤<-x x变式训练：已知关于x 的不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 .答案：}191|{<≤m m 2.在某范围内恒成立问题例10：已知a ax x x f -++=3)(2，若22≤≤-x 时，2)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .答案：}2225|{-<≤-a a变式训练1：已知关于x 的不等式0862≥++-k kx kx 对任意的R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）.A.}10|{≤≤k kB.}10|{≤<k kC.}10|{><k k k 或D.}10|{≥≤k k k 或 答案：A变式训练2：设函数121--=mx mx y ，若对于任意的4,311+-<≤≤m y x 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）.A.}0|{≤m mB.}750|{<≤m m C.}7500|{<<<m m m 或 D.}75|{<m m 答案：D题型3：可转化为一元二次不等式（组）的不等式的解法 1.利用换元法转化为一元二次不等式 例11：解下列不等式：（1）;010324<-+x x （2）6<+x x ； （3）.03||22>--x x2.分式不等式的解法 例12：不等式22≥-xx 的解集为 . 答案：}02|{<≤-x x 3.一元高次不等式的解法例13：已知不等式0))((2>+++d x c bx ax 的解集是}413|{<<-<x x x 或. 则不等式0)()(23≤-+++-cd x bd c x ad b ax 的解集为 . 答案：}314|{≥-≤≤-x x x 或 例14：设0<a ，解关于x 的不等式0222>--++ax x a ax x 答案：当0=a 时，原不等式的解集为}02|{<<-x x ；4.含绝对值不等式的解法 例15：1|43|2≤-x x的解集为 . 答案：}4114|{≥≤≤--≤x x x x 或或易错提醒易错1：解含参不等式时忽略分类的完备性 例17：解含参不等式)(12)1(R a x x a ∈>--. 答案：当1=a 时，原不等式的解集为}2|{>x x ；当1>a 时，原不等式的解集为易错2：忽略最高次项系数的符号特征例18：要使12-++=m mx mx y 的值恒为负值，求m 的取值范围. 答案：}0|{≤m m感知高考考向1：一元二次不等式的解法例19：（1）已知集合}06|{},24|{2<--=<<-=x x x N x x M ，则=⋂N M （ ）. A.}34|{<<-x x B.}24|{-<<-x x C.}22|{<<-x x D.}32|{<<x x （2）已知集合}02|{2>--=x x x A ，则=A C R （ ）. A.}21|{<<-x x B.}21|{≤≤-x x C.}2|{}1|{>⋃-<x x x x D.}2|{}1|{≥⋃-≤x x x x答案：（1）C （2）B考向2：一元二次不等式的应用例20：甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件101≤≤x ），每小时可获得的利润是)315(100xx -+元.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.答案：（1）103≤≤x ；（2）甲厂应以6千克/时的速度生产产品，最大利润为457500元.基础巩固：1.设集合}0|{},0)3)(2(|{>=≥--=x x T x x x S ，则=⋂T S （ ）.A.}32|{≤≤x xB.}32|{≥≤x x x 或C.}3|{≥x xD.}320|{≥≤<x x x 或2.不等式组⎩⎨⎧<>+1|x |0)2(x x 的解集为（ ）.A.}12|{-<<-x xB.}01|{<<-x xC.}10|{<<x xD.}1|{>x x3.若R x ∈∀，式子12++ax x 都有意义，则实数a 的取值范围为（ ）.A.}22|{<<-a aB.}22|{-<>a a a 或C.}22|{≥-≤a a a 或D.}22|{≤≤-a a4.已知方程0)1(22=++-m x m x 有两个不等正实数根，则实数m 的取值范围是（）. A.}2232230|{+≥-≤<m m m 或 B.}223223|{+>-<m m m 或C.}2232230|{+>-≤<m m m 或D.}223223|{+≥-≤m m m 或5.不等式0432>+--x x 的解集为 .6.若不等式0232>+-x ax 的解集为}1|{b x x x ><或，则b a += .7.不等式1231522≥-+++x x x x 的解集为 .能力提升9.下列选项中，使不等式21x x x <<成立的x 的取值范围是（ ）.A.}1|{-<x xB.}01|{<<-x xC.}10|{<<x xD.}1|{>x x10.若10<<a ，则不等式0)1)((<--a x a x 的解集为（ ）. A.}1|{a x a x << B.}1|{a x a x << C.}1|{a x a x x <>或 D.}1|{a x a x x ><或11.不等式11<-x ax的解集为},21|{><x x x 或则（ ）.A.21<aB.21>aC.21=a D.21-=a 12.若关于x 的不等式0>+b ax 的解集为}1|{>x x ，则关于x 的不等式0652>--+x x b ax 的解集为 .13.不等式0122>--mx x 对一切31≤≤x 都成立，则m 的取值范围为 .14.若不等式1||<x 成立时，不等式0)]4([)]1([<+-⋅+-a x a x 也成立，则实数a 的取值范围为 .15.若不等式04)4(2222≥+--y m y xy m x 对一切非负的y x ,恒成立，则实数m 的取值范围为 .16.已知集合}122|{<-=x xx A ，集合}0)12(|{22<+++-=m m x m x x B .（1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.17.解关于x 的不等式)(02)12(2R m x m mx ∈>--+.18.解关于x 的不等式组：,1)2()1(01)2(2⎩⎨⎧+->->+-x a x x a 其中1>a .参考答案1. D2. C3. D4. C5. }14|{<<-x x6. 37. }32112|{<≤-<≤-x x x 或9. A10. A11. C12.}116|{<<->x x x 或13.}0|{<m m14.}23|{-≤≤-a a 15.}041|{≥-≤m m m 或16.（1）}1|{+<<=m x m x B （2）}12|{≤≤-m m17.当21-<m 时，解集为}12|{m x x <<-; 当21-=m 时，解集为∅; 当021<<-m 时，解集为}21|{-<<x m x ; 当0=m 时，解集为}2|{-<x x ; 当0>m 时，解集为}12|{m x x x >-<或;18.当21<<a 时，解集为}122|{a x a x x <<->或; 当2=a 时，解集为}.223|{≠>x x x 或; 当2>a 时，解集为}.212|{<<->x a a x x 或;。
2.3+二次函数与一元二次方程不等式(共2课时)(教学课件)高一数学必修第一册(人教A版2019)
(1)若此不等式的解集是 1,2 ，求a 的值；
(2)讨论此不等式的解集．
详解
(2) x2 x a2 a 0 就是 x2 x aa 1 0 ，即 x a 1 x a 0 ．
方程 x a 1 x a 0 的两根是 x1 a 1， x2 a ．
(①1)当由a题意1知a，，即1，a2是 1时x2 ， x此 a不2 等a式 0的的解两集根是，a 1, a ．
能力提升
题型一：不含参一元二次不等式的解法 【练习 1】解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－3>0.
解 (3)方程 x2－2x－3＝0 的两根是 x1＝－1，x2＝3. 函数 y＝x2－2x－3 的图象是开口向上的抛物线， 与 x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示． 结合图象可得不等式的解集为{x|x<－1 或 x>3}．
函数的零点
ax2＋bx＋c＞0；ax2＋bx＋c＜0 ax2＋bx＋c≥0；ax2＋bx＋c≤0
其中a、b、c为常数，a≠0．
方程的根
2.使一元二次不等式成立的的所有解 x 组成的集合叫做 一元二次不等式的解集(用集合的描述法表示).
函数图象与x 轴交点横坐标
3.方程ax2＋bx＋c=0的实数解x叫做二次函数y=ax2＋bx＋c的零点.
注：使得 ax2 bx c 0 成立的实数x（方程 ax2 bx c 0 的解）即为二次函 数 y ax2 bx c 的零点．
学习新知
观察一元二次不等式x2－12x+20<0与二次函数y=x2－12x+20间有何关系？
二次函数y=x2－12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段．
二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)教学设计
2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．二、教学重难点1.理解二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的联系2.会运用二次不等式模型求解范围及最值等问题及化归思想的呈现三、教学方法“问题链”教学法；“以学生为中心的课堂展开”四、教学过程1.复习引入有两个相等的实数根2.变式探究（1）一元二次不等式的本质问题1：现在，让我们回到问题的本质上去，为什么一元二次不等式的解是这个是形式？如果是一元高次不等式呢，我们又将如何解决？【活动预设】引导学生回归问题本质，运用乘法的性质来重新认识一元二次不等式，让理解力强的同学能举一反三解决三次不等式.【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识一元二次不等式的本质，加深外延的理解,为后续高次不等式的学习作铺垫.1．不等式0)1(12722>+++-x x x x ）（的解集为 ( ) A ．），（），（∞+--∞-34 B ．），（），（∞+∞-43 C ．），（34-- D ．），（43 【预设的答案】B问题2：若上述不等式改为三次不等式如：0)1(1272>++-x x x ）（：，那么我们有什么办法求解呢？问题的本质是怎么样的呢？【预设的答案】⎩⎨⎧>+->+0127012x x x 或⎩⎨⎧<+-<+0127012x x x当我们将）（1272+-x x 因式看作一个整体时，上述问题就归化为一元二次不等式的解题本质上去了，其本质是两同号因式相乘结果为正，两异号因式相乘结果为负。
（2）分式不等式问题3：在明确了问题的本质后，如果两个因式相乘与相除有什么不同呢，在具体的求解中我们又要注意些什么？【活动预设】引导学生回归问题本质，既然乘法与除法在结果上有相似性，那么对一元二次不等式问题进行迁移就可以解决分式不等式【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识分式不等式的本质，并理解乘法与除法的区别在于：分母不能为零2.解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 【预设的答案】解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52. (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 【预设的答案】 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12， ∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.（3）不等式恒成立问题问题4：在理解二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的联系后，能否提炼出一元二次不等式恒成立问题的解题核心？【活动预设】引导学生回归一元二次函数图象来解决恒成立问题. 【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识恒成立问题，渗透数形结合这一思想，加深对一元二次不等式，一元二次方程，二次函数三者的联系的理解,为后续函数的学习作铺垫. 3.(1)若对∀x ∈R 不等式x 2＋mx >4x ＋m －4恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x 2>4x ＋m －4在R 上恒成立，求m 的取值范围．【预设的答案】解 (1)原不等式可化为x 2＋(m －4)x ＋4－m >0，∴Δ＝(m －4)2－4(4－m )＝m 2－4m <0， ∴0<m <4，∴m 的取值范围为{m |0<m <4}．(2)原不等式可化为x 2－4x ＋4＝(x －2)2>m 恒成立， ∴m <0，∴m 的取值范围为{m |m <0}．[素养提升] 一元二次不等式恒成立的情况： ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.1．知识清单：(1)简单的分式不等式的解法(2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：①选取合适的字母表示题目中的未知数；②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；③求解所列出的不等式(组)；④结合题目的实际意义确定答案．2．方法归纳：转化、恒等变形．3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．。
高中数学必修第一册人教A版《二次函数与一元二次方程、不等式》教材分析
高中数学必修第一册人教A版《二次函数与一元二次方程、不等式》教材分析2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、本节知识结构框图二、重点、难点重点、难点：二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式.三、教科书编写意图及教学建议本节引入了一元二次不等式，研究它的解法和应用.在探索一元二次不等式的解法时，教科书首先从二次函数的观点看一元二次方程、不等式，然后从一元二次不等式与相应函数、方程的联系中推导出求解一元二次不等式的一般性方法，进一步发展了用函数理解方程、不等式的思想方法.1.一元二次不等式的定义本节从一元二次不等式的定义讲起，为了体现一元二次不等式的现实意义，教科书设计了一个实际问题——求花圃的矩形栅栏的边长，为了解决这个问题，需要把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来，再解数学模型.学生在初中学过了用一元一次不等式表示不等关系，在本章的第一节又练习了用不等式或不等式组表示不等关系，因此教科书在这里直接利用不等关系“围成的矩形区域的面积要大于20”建立了一个不等式“”.这就是一个一元二次不等式，教科书接下来给出了一般的一元二次不等式的定义和一般形式.要回答上述问题，就需解这个不等式，这就引出了对一元二次不等式解法的研究.2.借助二次函数与一元二次方程、不等式的联系，获得求解一元二次不等式的一般性方法求解一元二次不等式通常有两种基本方法，一种是代数方法，即先对二次三项式进行因式分解，把一元二次不等式转化为一元一次不等式组，再通过求解一元一次不等式组得到一元二次不等式的解集.但这种方法不适用于判别式的情况.另一种是函数方法，即借助二次函数图象，得到求解一元二次不等式的通性通法.教科书介绍的是后一种方法.在初中，学生学过了从一元一次函数观点看解一元一次方程、不等式，知道了解一元一次方程可以归结为在一次函数的函数值为0时，求自变量的值，解一元一次不等式或相当于在一次函数的值大于0或小于0时，求自变量的取值范围，这种解法利用的三者的关系是：一次函数的图象与轴的交点就是一元一次方程对应的点，在轴上方或下方的点的集合就组成了一元一次不等式或的图象.为了将这种思想方法迁移到“二次”，在探索求解一元二次不等式的方法之前，教科书设计了一个思考栏目，先让学生回顾初中学过的从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，再从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法.在解答这个思考栏目时，教科书借助具体的一元二次不等式，阐述了二次函数与一元二次方程、不等式的联系：二次函数的图象与轴有两个交点，，这两个点满足解析式，且，所以交点的横坐标是一元二次方程的两个根，而图象位于轴下方的点都满足解析式，且，所以这些点的横坐标的取值范围就是不等式的解集.这样，教科书不仅借助具体的一元二次不等式回答了如何从二次函数的观点看一元一次方程、不等式，而且获得了这个不等式的解集.接下来，教科书对上述方法进行了归纳、概括，获得了求解一般一元二次不等式的解法.教学中可以引导学生发现，上述解法的关键是利用二次函数的图象与轴的相关位置确定不等式的图象对应的的取值范围，而确定的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根.于是，借助二次函数图象求解一元二次不等式的方法是：先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.教科书接下来分，和三种情况，总结了二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，利用这个对应关系就可以求解任意一元二次不等式了.需要说明的是，由于一般函数的零点的概念和性质在本书的“4.5函数的应用（二）”中才会有比较深入的介绍，所以教科书在这里只介绍了什么是二次函数的零点，而且没有推广这个概念.3.归纳用二次函数求解一元二次不等式的程序接下来，教科书安排了三道例题，示范如何用二次函数解一元二次不等式.这三道例题分别对应了与所求解的不等式相应的二次函数的图象与轴有两个交点、有一个交点和没有交点的情况，例3还代表了不等式的二次项系数的情况.通过解例1～例3中的不等式，教师可以引导学生总结用二次函数解一元二次不等式或的一般步骤：（1）检查二次项系数的符号，对于的一元二次不等式，把它的二次项系数化为正数.（2）计算判别式的值，如果，求方程的根；如果，说明方程无实数根.（3）画出二次函数的图象，结合图象得出不等式的解集.教师在教学中还需要注意，不要让学生通过记忆不同情况下不等式的解集的方式来解不等式，而是让学生画出相应二次函数的草图，数形结合地解不等式.在三道例题之后，教科书设计了一个框图，目的是更清晰地描绘出用二次函数求解一元二次不等式的程序.教学时可以让学生尝试在总结上述步骤的基础上，自己画出这个框图.4.应用一元二次不等式解决实际问题在本节的最后，教科书安排了两道例题来示范如何用一元二次不等式解决实际问题.实际上，用一元二次不等式解决实际问题时，难点在于建立一元二次不等式表示实际问题中的不等关系，但学生在本章的开始阶段已经重点学习了这个内容，而本节的重点是一元二次不等式的解法.因此，教科书在例4，例5中都直接给出了描述实际问题的二次函数，为建立不等式提供了方便.例如，在例4中，某条摩托车流水线生产的摩托车数量与创造的价值之间的关系表示为二次函数__ ，那么要求这条流水线创收60 000元以上需要生产的摩托车的数量，实际上就是求一元二次不等式的解集.接下来，教科书按照前面介绍的求解一元二次不等式的步骤求出了不等式的解集，并根据实际情况解答了问题.本节的练习和习题2.3中也安排了应用一元二次不等式解实际问题的题目，除了习题2.3中“拓广探索”的题目，其他的题都比较容易列出一元二次不等式.教学中要注意把握本部分内容的重点，把重点放在解一元二次不等式上.。
人教高中数学必修一A版《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件
典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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方法指导
含参一元二次不等式的解法
➢ 判定二次项系数是否为零，分别讨论； ➢ 在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系； ➢ 在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根； ➢ 比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集； ➢ 综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
学习目标
➢ 掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用； ➢ 初步掌握解决实际问题的一般步骤.
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典例精讲
题型 一元二次不等式的实际应用
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典例精讲
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典例精讲
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变式训练
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方法指导
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
➢ 会解含参一元二次不等式.（重难点）
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题型1 含参一元二次不等式的解集
角度1 参数影响对应方程根的大小
典例精讲
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典例精讲
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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课堂小结
➢一个题型
一元二次不等式实际应用题 注意实际问题的具体范围
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随堂检测
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随堂检测
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2-2-3二次函数与一元二次方程、不等式(第2课时)教学设计-高一上学期数学人教A版必修第一册
3.解决恒成立问题，不等式中有两个字母，怎样分析哪个字母是主元，哪个字母是参数？
答案：解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
通过例题让学生理解一元二次不等式恒成立问题的解决策略，并能达到灵活运用的目的
实践练习有利于学生更能深刻理解应用一元二次不等式恒成立问题的解决方法
通过例题让学生理解形式上的一元二次不等式恒成立问题，必须讨论二次项系数是否为0的情况
通过练习，让学生熟练形式上的一元二次不等式恒成立问题的分类讨论思想，数形结合思想
课题
2.2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）
教材分析
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关 本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
通过例题让学生感知生活中的数学，理解利用一元二次不等式解决实际问题的方法
探究二、一元二次不等式的实际应用问题
思考：怎样利用一元二次不等式解决实际应用问题？
答案：（1）根据题意列出相应的一元二次函数；
（2）由题意列出相应一元二次不等式；
（3）求出解集；
（4）结合实际情况写出最终结果.
题型一、一元二次不等式恒成立问题
例1．若关于x的不等式4x2+ax+4>0的解集为R，则实数a的取值范围是（）
《二次函数与一元二次方程、不等式(二)》教学设计【高中数学人教A版必修第一册教案】
二次函数与一元二次方程、不等式（二）【复习回顾】问题1 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格．并试着总结一元二次不等式的解集与二次函数、一元二次方程的关系有哪些？有两个相等的实数根上(下)方的部分对应的自变量的取值范围．（2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根．问题2 求解一元二次不等式的步骤是怎样的？答案：【新知探究】1．利用一元二次不等式解决实际问题例1 一家车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：y=－20x2+2200x．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？追问1 这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？问题可以转化为解哪个不等式？对于实际问题还需要注意什么？答案：这个实际问题中蕴含的不等关系是：在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上．问题可以转化为解不等式－20x2+2200x>60000．在实际问题中要注意变量的实际意义对变量取值范围的限制．解：设这家工厂在一个星期内大约应该生产x(x∈N*)辆摩托车，根据题意，得：－20x2+2200x>60000．移项整理，得：x2－110x+3000<0．对于方程x2－110x+3000=0，0=，方程有两个实数Δ>100根x1=50，x2=60．图1画出二次函数y=x2－110x+3000的图象如图1，结合图象得不等式x2－110x+3000<0的解集为{x|50<x<60}．从而原不等式的解集为{x|50<x<60}．追问2 本题中x 的实际意义是什么？如何理解解集{x|50<x<60}？答案：因为x 只能取正整数，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获利60000元以上.例2 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km/h ）之间有如下关系：21801201v v s +=． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆车刹车前的车速至少为多少（精确到1km/h ）？追问1 该问题中的不等关系是什么？问题可以转化为解哪个不等式？这个实际问题中对变量有什么限制？答案：该问题中的不等关系是：测得这种车的刹车距离大于39.5m ．问题可以转化为解不等式5.3918012012>+v v .因为v 是车速，所以变量v >0；又为了实际生活中人们更容易识别，所以要求结果精确到1km/h ，所以v ∈N*．解：根据题意，得：5.3918012012>+v v . 移项整理，得：v 2+9v －7110>0．对于方程v 2+9v －7110=0，0Δ>，方程有两个实数根2285219,228521921+-=--=v v ． 画出二次函数s =v 2+9v －7110的图象如图2，结合图象得不等式的解集为{v |v<v 1，或v>v 2}，从而原不等式的解集为{v |v<v 1，或v>v 2}．因为车速车速v>0，所以v>v 2．而79.9<v 2<80，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80km/h ．追问2 现在你能完成教科书37页问题2了吗？请你试一试． 图2解：不等式①移项整理，得2x2－13x+20≤0．用上述方法解这个不等式得{x|2.5≤x≤4}．所以当每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．【归纳小结】问题5 利用一元二次不等式解决生活中实际问题要经历哪些步骤？需要注意什么？答案：步骤：（1）审：认真审题，寻找题中的不等关系；（2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系；（3）求：解不等式；（4）答：解释数学结果的实际意义．需要注意的是问题中变量“实际意义”对变量取值范围的限制．。